2021-2022学年江苏省南京市高淳区九年级上学期数学期中试题及答案

这是一份2021-2022学年江苏省南京市高淳区九年级上学期数学期中试题及答案，共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 一个不透明布袋中有2个红球，3个白球，这些球除颜色外无其他差别，摇匀后从中随机摸出一个小球，该小球是红色的概率为（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据随机事件A的概率P（A）=事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数即可求解．
【详解】解：∵口袋中有2个红球，3个白球，
∴P（红球）．
故选D．
【点睛】本题考查了随机事件概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A），掌握随机事件概率的求法是解题关键．
2. 下列图形中，是轴对称图形而不是中心对称图形的是（）
A. 平行四边形B. 圆C. 正方形D. 正五边形
【答案】D
【解析】
【分析】根据中心对称图形和轴对称图形的定义，即可求解．
【详解】解：A、平行四边形是中心对称图形，不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
B、圆既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C、正方形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项不符合题意；
D、正五边形是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项符合题意；
故选：D
【点睛】本题主要考查了中心对称图形和轴对称图形的定义，熟练掌握轴对称图形是要寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图形重合是解题的关键．
3. 以锐角△ABC的边BC为直径作⊙O，则顶点A与⊙O的位置关系是（）
A. 在⊙O内B. 在⊙O上C. 在⊙O外D. 不能确定
【答案】C
【解析】
【分析】根据圆的直径所对应的圆周角为直角即可解答．
【详解】解：如图：⊙O的直径BC所对应的圆周角为直角，因为∠A是锐角，所以顶点A在⊙O外，
故选：C．
【点睛】本题考查点与圆的位置关系，掌握圆的直径所对应的圆周角为90度是解题关键．
4. 某排球队6名场上队员的身高（单位：cm）是：180，184，188，190，192，194．现用一名身高为188cm的队员换下场上身高为194cm的队员，与换人前相比，场上队员的身高（）
A. 平均数变小，方差变小B. 平均数变小，方差变大
C. 平均数变大，方差变小D. 平均数变大，方差变大
【答案】A
【解析】
【分析】由题意分别计算出原数据和新数据的平均数和方差进行比较即可得出答案．
【详解】解：原数据的平均数为，
则原数据的方差为×[（180-188）2+（184-188）2+（188-188）2+（190-188）2+（192-188）2+（194-188）2]= ，
新数据的平均数为，
则新数据的方差为×[（180-187）2+（184-187）2+（188-187）2+（190-187）2+（188-187）2+（192-187）2]= ，
所以平均数变小，方差变小，
故选：A．
【点睛】本题主要考查方差和平均数，一般地设n个数据，x1，x2，…xn的平均数为x,则方差，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．
5. 一元二次方程2x2＋3x－5＝0的两个实数根分别为x1、x2，则x1＋x2的值为（）
A. B. －C. －D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用根与系数的关系求解即可．
【详解】解：根据题意得．
故选B．
【点睛】本题考查了根与系数的关系．若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，，．
6. 二次函数y＝a x2＋bx＋c（a≠0）中的自变量x与函数值y的部分对应值如下表：
则下列结论：①a＞0；②当函数值y＜0时，对应x的取值范围是x＜－1；③顶点坐标为（1，－8）；④若点P（－2，y1）、Q（5，y2）在抛物线上，则 y1＞y2．其中，所有正确结论的序号为（）
①③B. ②③
C. ①④D. ①②③④
【答案】C
【解析】
【分析】根据二次函数的性质逐项进行判断即可．
【详解】解：根据自变量x与函数值y的部分对应值可知，
抛物线对称轴为，
根据函数值可知，，随的减小而增大，
，随的增大而增大，
∴抛物线开口向上，
故，结论①正确；
根据表格可知抛物线与轴交点为，
∴当函数值y＜0时，对应x的取值范围是，
故②错误；
根据顶点坐标的横坐标为，
故③错误；
根据抛物线上与对称轴距离越远，函数值越大可知，
，
∴，
故④正确；
故正确的结论有：①④，
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，熟知二次函数的基本性质是解本题的关键．
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分.不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卷相应位置上）
7. 一元二次方程x2﹣5＝0的解是 ___．
【答案】，## ，
【解析】
【分析】首先把-5移到方程右边，再两边直接开平方即可．
【详解】解：x2-5=0，
移项得：x2=5，
两边直接开平方得：x=±，
，则x1=，x2=-，
故答案为：x1=，x2=-．
【点睛】本题主要考查了直接开平方法解一元二次方程，解这类问题要移项，把所含未知数的项移到等号的左边，把常数项移项等号的右边，化成x2=a（a≥0）的形式，利用数的开方直接求解．
8. 某同学6次引体向上的测试成绩（单位：个）分别为16、18、20、17、16、18，这组数据的中位数是______．
【答案】17.5
【解析】
【详解】试题分析：找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数（或两个数的平均数）为中位数．
试题解析：题目中数据共有6个，故中位数是按从小到大排列后第3，第4两个数的平均数作为中位数，
16，16，17，18，18，20，
故这组数据的中位数是（17+18）=17.5．
考点：中位数．
9. 九（1）班同学为灾区小朋友捐款．全班40%的同学捐了10元，30%的同学捐了5元，20%的同学捐了2元，还有10%的同学因为自身家庭经济原因没捐款．则这次全班平均每位同学捐款____元．
【答案】5.9
【解析】
【分析】设总人数为x求平均值即可．
【详解】设全班人数为x人
则平均每位同学捐款为： （元）
故答案为：5.9
【点睛】本题考查平均数的知识，熟练掌握求值方法是解题的关键．
10. 有4根细木棒，长度分别为2cm、3cm、4cm、5cm，从中任选3根，恰好能搭成一个三角形的概率是__________．
【答案】
【解析】
【分析】根据题意，使用列举法可得从有4根细木棒中任取3根的总共情况数目以及能搭成一个三角形的情况数目，根据概率的计算方法，计算可得答案．
【详解】根据题意，从有4根细木棒中任取3根，有2、3、4；3、4、5；2、3、5；2、4、5，共4种取法，而能搭成一个三角形的有2、3、4；3、4、5，2、4、5，三种，得P=.
故其概率为：．
【点睛】本题考查概率的计算方法，使用列举法解题时，注意按一定顺序，做到不重不漏．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
11. 如图，⊙O是△ABC的外接圆，点O在△ABC内，若∠BCO＝40°，则∠A＝____°．
【答案】50
【解析】
【详解】试题解析：如图，连接BO.
∵OC=OB，∠BCO=40°，
∴∠OBC=40°，
∴∠BOC=180°-40°-40°=100°，
∴∠A=100°×=50°.
12. 如图，正六边形ABCDEF中，对角线BE长为4，则△BDE的面积为___．
【答案】
【解析】
【分析】根据正六边形的性质，可得，BC=DC，从而得到∠CDB=∠CBD=30°，∠BDE=90°，进而得到∠DBE=30°，从而 ，再由勾股定理，可得，即可求解．
【详解】解：在正六边形ABCDEF中，
，BC=DC，
∴∠CDB=∠CBD=30°，
∴∠BDE=∠CDE-∠CDB=90°，
∵BE是正六边形ABCDEF，
∴ ，
∴∠DBE=30°，
∵BE=4，
∴ ，
∴ ，
∴△BDE的面积为．
故答案为：
【点睛】本题主要考查了正多边形的性质，勾股定理，熟练掌握正多边形的性质，勾股定理是解题的关键．
13. 已知二次函数y＝（x－1）（x－a）（a为常数）的图象的对称轴是过（2，0）且平行于y轴的直线，则a的值为___．
【答案】3
【解析】
【分析】由题意根据抛物线解析式得到抛物线与x轴的交点横坐标，结合抛物线的轴对称性质求得a的值即可．
【详解】解：由二次函数y＝（x－1）（x－a）（a为常数）可知，该抛物线与x轴的交点坐标是（1，0）和（a，0）．
∵对称轴是过（2，0）且平行于y轴的直线，即x=2，
∴，解得a=3.
故答案为：3.
【点睛】本题考查抛物线与x轴的交点，二次函数图象上的点的坐标，利用抛物线的轴对称性质是解决本题的关键．
14. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是⊙O的直径，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点P，若∠ADC＝115°，则∠P＝____°．
【答案】40
【解析】
【分析】连接，根据圆内接四边形得出的度数，根据切线的性质以及三角形外角的性质可得出答案．
【详解】解：连接，
∵四边形ABCD内接于⊙O，∠ADC＝115°，
∴，
∵，
∴，
∵是⊙O的切线，
∴，
∴，
∴,
故答案为：．
【点睛】本题考查了圆内接四边形，圆切线的性质，三角形外角的性质等知识点，根据圆内接四边形以及圆切线的性质得出，的度数是解本题的关键．
15. 已知点P（－3，m）和Q（1，m）在二次函数y＝2x2＋bx－1的图像上．将这个二次函数图像向上平移____单位长度后，得到的函数图像与x轴只有一个公共点．
【答案】3个
【解析】
【分析】根据点P（－3，m）和Q（1，m）在二次函数y＝2x2＋bx－1的图像上，可求出 ，从而得到二次函数的解析式，再设将这个二次函数图像向上平移 个单位长度后，得到的函数图像与x轴只有一个公共点，然后根据判别式的意义 ，即可求解．
【详解】解：∵点P（－3，m）和Q（1，m）在二次函数y＝2x2＋bx－1的图像上，
∴二次函数的对称轴为 ，
∴ ，解得： ，
∴二次函数的解析式为 ，
设将这个二次函数图像向上平移 个单位长度后，得到函数图像与x轴只有一个公共点，
则得到的函数解析式为，
∴ ，
解得： ，
即将这个二次函数图像向上平移3单位长度后，得到的函数图像与x轴只有一个公共点．
故答案为：3个
【点睛】本题主要考查了抛物线与 轴的交点问题，熟练掌握二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0），决定抛物线与x轴的交点个数：时，抛物线与x轴有2个交点；时，抛物线与x轴有1个交点；时，抛物线与x轴没有交点是解题的关键．
16. 下列关于二次函数（为常数）的结论，①该函数的图象与函数的图象形状相同；②该函数的图象一定经过点；③当时，y随x的增大而减小；④该函数的图象的顶点在函数的图像上，其中所有正确的结论序号是__________．
【答案】①②④
【解析】
【分析】①两个二次函数可以通过平移得到，由此即可得两个函数的图象形状相同；②求出当时，y的值即可得；③根据二次函数的增减性即可得；④先求出二次函数的顶点坐标，再代入函数进行验证即可得．
【详解】当时，将二次函数的图象先向右平移m个单位长度，再向上平移个单位长度即可得到二次函数的图象；当时，将二次函数的图象先向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度即可得到二次函数的图象
该函数的图象与函数的图象形状相同，结论①正确
对于
当时，
即该函数的图象一定经过点，结论②正确
由二次函数的性质可知，当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小
则结论③错误
的顶点坐标为
对于二次函数
当时，
即该函数的图象的顶点在函数的图象上，结论④正确
综上，所有正确的结论序号是①②④
故答案为：①②④．
【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质等知识点，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键．
三、解答题（本大题共11小题，共88分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17. 解方程 (2x－1)2＝3－6x．
【答案】
【解析】
【分析】先移项，然后用因式分解法解一元二次方程即可．
【详解】解：(2x－1)2＝－3(2x－1)
(2x－1)2＋3(2x－1)＝0
(2x－1)[ (2x－1)＋3]＝0
(2x－1)( (2x＋2) ＝0
x1＝，x2＝－1．
【点睛】此题主要考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题关键．
18. 主题班会课上，王老师出示了一幅漫画，经过同学们的一番热议，达成以下四个观点：A．放下自我，彼此尊重；B．放下利益，彼此平衡；C．放下性格，彼此成就； D．合理竞争，合作双赢．要求每人选取其中一个观点写出自己的感悟，根据同学们的选择情况，小明绘制了如下两幅不完整的图表．
请根据图表中提供的信息，解答下列问题：
（1）表中a＝ ，b＝ ；
（2）将条形统计图补充完整；
（3）现准备从A，B，C，D四个观点中任选两个作为演讲主题，则选中观点D（合理竞争， 合作双赢）的概率为 ．
【答案】（1）10；0.16；（2）见解析；（3）
【解析】
【分析】（1）由B观点的人数和所占的频率即可求出总人数；由总人数即可求出a、b的值；
（2）由（2）中的数据即可将条形统计图补充完整；
（3）画出树状图，然后根据概率公式列式计算即可得解．
【详解】解：（1）总人数＝12÷0.24＝50（人），
a＝50×0.2＝10，b＝＝0.16，
故答案为：10；0.16；
（2）条形统计图补充完整如图所示：
（3）根据题意画出树状图如下：
由树形图可知：共有12中可能情况，选中观点D（合理竞争，合作双赢）的概率有6种，
所以选中观点D（合理竞争，合作双赢）的概率＝＝．
【点睛】本题考查了列表法或树状图法求概率以及条形统计图，用到的知识为：概率=所求情况数与总情况数之比．
19. 某校七年级一班和二班各派出10名学生参加一分钟跳绳比赛，成绩如下表：
（1）两个班级跳绳比赛成绩的众数、中位数、平均数、方差如下表：
表中数据a＝ ，b＝ ；
（2）请用所学的统计知识，从两个不同角度比较两个班跳绳比赛的成绩．
【答案】（1）134.5，1.8；（2）①两个班级的平均成绩相同，二班的方差比一班的方差小，所以二班成绩比一班稳定，故二班成绩更好；②从众数来看一班的高分更多，故一班的成绩更好；③从中位数来看一班参赛同学有一半以上成绩都在135.5分以上，而二班只有134.5分，故一班成绩更好（言之有理即可）
【解析】
【分析】（1）根据中位数和方差的定义，求解可得；
（2）从众数、中位数、平均数及方差的意义，求解可得．
【详解】解：（1）根据表格得：二班10名学生跳绳比赛成绩位于第5位，第6位是134,135，
所以 ；
；
（2）①两个班级的平均成绩相同，二班的方差比一班的方差小，所以二班成绩比一班稳定，故二班成绩更好；
②从众数来看一班的高分更多，故一班的成绩更好；
③从中位数来看一班参赛同学有一半以上成绩都在135.5分以上，而二班只有134.5分，故一班成绩更好（言之有理即可）．
【点睛】此题主要考查了方差以及众数、中位数、平均分，正确把握一组数据中，出现次数最多的数是众数；位于一组数据正中间的一个数或两个数的平均数是中位数；方差越小，越稳定是解题的关键．
20. 小明参加某个智力竞答节目，答对最后两道单选题就顺利通关．第一道单选题有3个选项，第二道单选题有4个选项，这两道题小明都不会，不过小明还有一个“求助”没有用（使用“求助”可以让主持人去掉其中一题的一个错误选项）．
（1）如果小明第一题不使用“求助”，那么小明答对第一道题的概率是 ．
（2）如果小明将“求助”留在第二题使用，请用树状图或者列表来分析小明顺利通关的概率．
（3）从概率的角度分析，你建议小明在第几题使用“求助”．（直接写出答案）
【答案】（1）；（2）；（3）第一题.
【解析】
【分析】（1）由第一道单选题有3个选项，直接利用概率公式求解即可求得答案；
（2）画出树状图，再由树状图求得所有等可能的结果与小明顺利通关的情况，继而利用概率公式即可求得答案；
（3）由如果在第一题使用“求助”小明顺利通关的概率为：；如果在第二题使用“求助”小明顺利通关的概率为：；即可求得答案．
【详解】（1）如果小明第一题不使用“求助”，那么小明答对第一道题的概率=；
故答案为；
（2）画树状图为：
共有9种等可能的结果数，其中两个都正确的结果数为1，所以小明顺利通关的概率为；
（3）建议小明在第一题使用“求助”．理由如下：
小明将“求助”留在第一题，
画树状图为：
小明将“求助”留在第一题使用，小明顺利通关的概率=，
因为＞，
所以建议小明第一题使用“求助”．
【点睛】本题考查的是概率，熟练掌握树状图法和概率公式是解题的关键.
21. 已知二次函数y＝－x2＋2x＋3．
（1）这个二次函数图像与x轴的交点坐标为 ，它的顶点坐标为 ；
（2）画出这个二次函数的图象，并说明y＝－x2的图象经过怎样的平移可得到该函数的图象；
（3）x取什么值时，该函数图象在x轴上方？
（4）x取什么值时，y的值随x值的增大而减小？
【答案】（1）（3，0），（-1，0）；（1，4）；（2）见解析；（3）当－1＜x＜3时，函数图像在x轴上方；（4）当x＞1时，y的值随x值的增大而减小
【解析】
【分析】（1）令，解出 的值，即可得到二次函数图象与x轴的交点坐标，再将二次函数解析式化为顶点式，即可求解；
（2）根据（1）中二次函数图象与x轴的交点坐标，顶点坐标，即可画出图象，再由y＝－x2的顶点坐标为 ，二次函数y＝－x2＋2x＋3的顶点坐标为（1，4），即可得到平移方式；
（3）观察图象，即可求解；
（4）观察图象，即可求解．
【详解】解：（1）当 时， ，
解得： ，
∴二次函数图象与x轴的交点坐标为（3，0），（-1，0）；
∵ ，
∴二次函数y＝－x2＋2x＋3的顶点坐标为（1，4）；
（2）根据（1）中二次函数图象与x轴的交点坐标，顶点坐标，列出如下表格：
根据表格，画出如下图象：
∵y＝－x2的顶点坐标为 ，二次函数y＝－x2＋2x＋3的顶点坐标为（1，4），
∴由y＝－x2的图象向右平移1个单位，向上平移4个单位长度可得该函数的图象；
（3）观察图象，得：当－1＜x＜3时，函数图象在x轴上方；
（4）观察图象，得：当x＞1时，y的值随x值的增大而减小．
【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．
22. 已知：矩形ABCD，AB＝8，BC＝12．
（1）用直尺和圆规作⊙O，使⊙O过B、C两点，且与AD相切（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）求（1）中所作圆的半径．
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】
【分析】（1）作的角平分线与 的交点 ,以 点在作一条中位线 ，在以 的长度，通过，两点之间的交点来确定圆心 ，在以为圆心过B、C两点为半径画圆即可；
（2）连接OB，由（1）可知∠EMC=90º，通过四边形ABCD是矩形，得知EM=AB=8，在设半径为R，通过勾股定理即可得出结论．
【详解】解：（1）作图如下：
（2）连接OB，由（1）可知∠EMC=90º，
ON⊥BE，BM= =6
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠ABM=90º
∴ ∠EMB=∠A=∠ABM=90º，
∴ 四边形ABME是矩形
∴ EM=AB=8
设半径为R，则OB=OE=R，OM=8-R
在Rt△BOM中，由勾股定理得：BM2+OM2=BO2，故（8-R）2+62=R2
则 ．
【点睛】本题考查了切线的判断与性质，勾股定理以及矩形的判断与性质，此题综合性比较强，比较复杂，需要细心去做．
23. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝12，BC＝5，半径为2的⊙O分别与AC、BC相切于点E、F．
（1）求证：AB是⊙O的切线；
（2）求图中阴影部分的面积．
【答案】（1）见解析；（1）
【解析】
【分析】（1）连接OE、OF、OC，作OM⊥AB，垂足为M，利用面积法求出OM的长，由此得到结论；
（2）先证明OA、OB分别是∠CAB、∠CBA的角平分线，得到∠AOB=135º，再利用扇形面积公式计算即可得到答案．
【详解】（1）连接OE、OF、OC，作OM⊥AB，垂足M，
∵⊙O与AC，BC相切，
∴OE=OF=2，∠OEC=∠OFC=90°，
∵AC=12，BC=5，
∴AB=13，
由面积法S△AOC＋S△BOC＋S△AOB＝S△ABC，
∴OE·AC＋OF·BC＋OM·AB＝AC·BC，
∴OM=2，
又∵OM⊥AB，
∴AB是⊙O的切线；
（2）OM⊥AB，∠OEC=∠OFC=90º，OE=OF=OM，
∴OA、OB分别是∠CAB、∠CBA的角平分线，
由∠ACB＝90°，∴∠CAB＋∠CBA＝90°，
∴∠OAB＋∠OBA＝45°，∠AOB=135º，
∴S阴影=S△AOB－S扇形=×13×2－×π×22=．
【点睛】此题考查切线的判定定理和性质定理，角平分线的性质，正确掌握面积法计算三角形的面积，由此求线段长度是解题的关键．
24. 在一块长方形镜面玻璃的四周镶上与它的周长相等的边框，制成一面镜子，镜子的长与宽的比是．已知镜面玻璃的价格是120元/m2，边框的价格是30元/m，加工费是60元． 如果制作这面镜子共花了210元，求这面镜子的长和宽．
【答案】这面镜子的长为1m，宽为m
【解析】
【分析】根据题意设这面镜子的宽为x米，则长为2x米，由边框的钱数加上玻璃的钱数加上加工费等于210元列出方程解出即可．
【详解】设这面镜子的宽为x米，则长为2x米，由题意得
(x+2x)×2×30+2x×x×120+60=210
整理得
因式分解得
解得： （舍去），
∴2x=1（m），
答：这面镜子的长是1m，宽是0.5m．
【点睛】本题考查了一元二次方程实际应用问题，准确找到等量关系列出方程是解题的关键．
25. 如图，BD、CE是△ABC的高．
（1）求证：B、C、D、E四个点在同一个圆上；
（2）若∠BDE＝45°，∠DEC＝15°，BE＝5，则∠EBD＝ °，DE＝ ．
【答案】（1）见解析；（2）30，5
【解析】
【分析】（1）取BC中点O，连接DO、EO，得到BO＝CO＝DO＝EO即可得出结论；
（2）先证出，再得到即可求出∠EBD；再证出，进而得到，则可知，由直角三角形的性质可得，即可求解.
【详解】（1）证明：取BC中点O，连接DO、EO．
∵BD、CE是△ABC的高，
∴∠BDC＝∠BEC＝90º，
∵O是BC中点，
∴BO＝CO＝DO＝EO＝BC
∴B、C、D、E四个点在以O为圆心的同一个圆上．
（2）令EC、BD相交于点F，
∵，
∴ ，
∵CE为△ABC的高，
∴ ，
∴ ，
∵BD为△ABC的高，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
在中， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴.
【点睛】本题考查点与圆的位置关系，相似三角形判定与性质，直角三角形的性质等知识，掌握相似三角形判定与性质，直角三角形的性质是解题关键．
26. 如图，AB是⊙O的直径，AC与⊙O交于点C，∠BAC的平分线交⊙O于点D，DE⊥AC，垂足为E．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若AC＝6，DE＝4，求⊙O的半径．
【答案】（1）见解析；（2）⊙O的半径为5
【解析】
【分析】（1）由题意连接OD，结合角平分线性质证明∠ODE=90°即可；
（2）根据题意作OP⊥AE，利用垂径定理结合勾股定理进行分析即可得出答案.
【详解】解：（1） 连接OD，
∵AD是∠BAC的角平分线，
∴∠EAD=∠DAB
∵OA=OD，
∴∠DAB=∠ODA
∴∠EAD=∠ODA，
∴AE∥OD
∵DE⊥AC，
∴∠DEA=90º，
∴∠ODE=90º
又∵OD是半径（或D是半径的外端点），
∴DE是⊙O的切线
（2）作OP⊥AE，由垂径定理，
∴AP= AC=3
∠EPO=90º，∠ODE=∠DEP=90º，
∴四边形EPOD是矩形，
∴OP=DE=4
在Rt△APO中，由勾股定理得：AP2+OP2=OA2
∴OA=5，故⊙O的半径为5．
【点睛】本题考查切线的判定和性质、垂径定理、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，属于中考常考题型．
27. 已知四边形ABCD中，，，，，，
以BC为直径作．
（1）如图①，与AD边相切，切点为E，求m的值；
（2）就m的取值范围讨论⊙O与边AB、AD除点B外的公共点总个数的情况（直接写出答案）．
【答案】（1）；（2）或时，有1个公共点；或时，有2个公共点；时，有3个公共点
【解析】
【分析】（1）连接OE，作，由题意可知，，从而四边形AHOE是矩形，根据，，得到，求出AB的长度；
（2）当点A在上时，可求出，然后判断出当时，与AB有1个交点（除B外），，与AD有1个交点，从而再判断与边AB、AD的交点个数．
【详解】解：（1）连接OE，作，
∵BC为直径，，
∴，
∵与AD边相切，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四边形AHOE是矩形
∴，
∵，，
∴，
在中，∵，，
∴，
故；
（2）当点A在上，连接OA，
∵，，
∴为等边三角形，
∴，
∴，
∴当时，与AB有1个交点（除B外），
当AD与相切时，此时，与AD有1个交点，
∴时，与边AB、AD有3个交点（除B外），
当时，与边AB、AD有1个交点（除B外），
综上所述：或时，有1个公共点；或时，有2个公共点；时，有3个公共点．
【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，解题的关键是理解题意．x
…
－3
－2
－1
0
1
4
…
y
…
16
7
0
－5
－8
－5
…
观点
频数
频率
A
a
0.2
B
12
0.24
C
8
b
D
20
0.4
跳绳成绩（个）
132
133
134
135
136
137
一班人数（人）
1
2
0
2
3
2
二班人数（人）
0
1
4
1
2
2
众数
中位数
平均数
方差
一班
136
135.5
135
2.8
二班
134
a
135
b
x
-2
-1
1
3
4
y
-5
0
4
0
-5