2021-2022学年江苏省无锡市江阴市九年级上学期数学期中试题及答案

这是一份2021-2022学年江苏省无锡市江阴市九年级上学期数学期中试题及答案，共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 方程x2＝4x的解是（ ）
A. x＝0B. x1＝4，x2＝0C. x＝4D. x＝2
【答案】B
【解析】
【分析】移项后分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．
【详解】解：x2＝4x，
∴x2﹣4x＝0，
则x（x﹣4）＝0，
所以x﹣4＝0，x＝0，
解得x1＝4，x2＝0，
故选B．
【点睛】本题考查了解一元二次方程，能把一元二次方程转化成一元一次方程是解此题的关键．
2. 一元二次方程x2-3x+2=0 的两根分别是x1、x2，则x1+x2的值是（ ）
A. 3B. 2C. -3D. -2
【答案】A
【解析】
【详解】解：x2-3x+2=0
a=1，b=-3，
则x1+x2=-=3，
故选：A．
【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系．
3. 如图，在△ABC中，DEBC，，则下列结论中正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据DEBC，可得△ADE∽△ABC，相似三角形周长的比等于相似比，面积比等于相似比的平方，即可逐一判断．
【详解】解： ∵，
∴，
∵DEBC，
∴，△ADE∽△ABC，
∴，，，
故A，B，D错误，
故选C．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质：熟练掌握相似三角形的面积比是相似比的平方，周长的比等于相似比是解题的关键．
4. 如图，△ABC中，点D、E分别在AB、AC边上，则下列条件中，不一定能使△AED∽△ABC的是（ ）
A. ∠2=∠BB. ∠1=∠CC. D.
【答案】D
【解析】
【详解】解：∵∠A=∠A，
A．若添加∠2=∠B，可利用两角法判定△AED∽△ABC，故本选项不符合题意；
B．若添加∠1=∠C，可利用两角法判定△AED∽△ABC，故本选项不符合题意；
C．若添加，可利用两边及其夹角法判定△AED∽△ABC，故本选项不符合题意；
D．若添加，不能判定△AED∽△ABC，故本选项符合题意；
故选D．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定，解答本题的关键是熟练掌握相似三角形的判定定理．
5. 如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，如果AB=10，CD=8，则AE的长为（ ）
A. 2B. 3C. 4D. 5
【答案】A
【解析】
【分析】利用直径AB=10，则OC=OA=5，再由CD⊥AB，根据垂径定理得CE=DECD=4，然后利用勾股定理计算出OE，再利用AE=OA﹣OE进行计算即可．
【详解】连接OC，如图，∵AB是⊙O的直径，AB=10，∴OC=OA=5．
∵CD⊥AB，∴CE=DECD8=4．在Rt△OCE中，OC=5，CE=4，∴OE3，∴AE=OA﹣OE=5﹣3=2．
故选A．
【点睛】本题考查了垂径定理：平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理．
6. 若正六边形的周长为24，则它的外接圆的半径为（ ）
A. 4B. 4C. 2D. 2
【答案】B
【解析】
【分析】先画出图形，根据正六边形的周长求得边长为4，再连接、，求出的度数，根据等边三角形的判定得出是等边三角形，根据等边三角形的性质得出，即可得出选项．
【详解】解：如图连接、，
∵正六边形的周长为24，
∴正六边形的边长为4，
是正六边形的外接圆，
，
，
是等边三角形，
，
，
即正六边形的外接圆的半径是4，
故选：B．
【点睛】本题考查了正多边形与圆，等边三角形的性质和判定等知识点，能求出的度数是解此题的关键．
7. 如图，在平面直角坐标系中，正方形与正方形是以原点为位似中心的位似图形，且面积比为，点、、点在轴上，若点的坐标为，则点的坐标为
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据位似变换的性质得到，且，根据相似三角形的性质求出，得到答案．
【详解】解：正方形中的点的坐标为，
，．
正方形与正方形是以原点为位似中心的位似图形，且面积比为，
即相似比为，
在正方形中有，，
，且，
，
，
即
解得，，
∴，
又∵，
点的坐标为，
故选：A．
【点睛】本题考查的是位似变换，坐标与图形性质，两个图形必须是相似形是解题关键．
8. 有下列说法：①任意三点确定一个圆；②任意一个三角形有且仅有一个外接圆；③长度相等的两条弧是等弧；④直径是圆中最长的弦，其中正确的是（ ）
A. ①③B. ①④C. ②③D. ②④
【答案】D
【解析】
【分析】根据与圆相关的基本概念、性质和定义进行逐项分析判断即可．
【详解】解：①任意不在同一直线上的三个点确定一个圆，故原说法错误；
②任意一个三角形三边的中垂线有且仅有一个交点，则对应的外接圆有且仅有一个，故原说法正确；
③在同圆或等圆中，长度相等的两条弧是等弧，故原说法错误；
④连接圆上任意两点的线段是弦，其中直径是圆中最长的弦，故原说法正确；
∴说法正确的有：②④，
故选：D．
【点睛】本题考查和圆相关的基本概念与性质，掌握圆的基本性质，理解圆中的相关概念是解题关键．
9. 已知关于x的方程（a＋3）x＝10有正整数解，且关于y的一元二次方程y2－3y＋a－1＝0有两个实数根，则所有符合条件的整数a有（ ）
A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个
【答案】B
【解析】
【分析】根据关于x的方程（a＋3）x＝10有正整数解，求出a的值；y2－3y＋a－1＝0有两个实数根，求出a的值，两者结合即可得答案．
【详解】解：∵关于x的方程（a＋3）x＝10有正整数解，
∴a等于-2、2、-1、7；
∵y2－3y＋a－1＝0有两个实数根，
∴（-3）2-4（a-1）≥0，
∴9-4 a+4≥0，
∴a≤，
∴a等于2、-2、-1．
故选：B．
【点睛】本题考查了一元一次方程方程的解和一元二次方程根的情况，做题的关键是a＋3的取值情况以及对b2-4ac≥0有两个实数根掌握．
10. 如图，等边内接于⊙，是上任一点（不与、重合），连接、，交于，切⊙于点，交⊙于点．下列结论：①；②；③若，则四边形的面积为；④若，则图中阴影部分的面积为．正确的个数为（ ）
A 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】C
【解析】
【分析】利用同弧所对的圆周角相等可得①正确；利用假设法，利用条件证明三角形相似，与所给条件矛盾，可证②错误；构造，可得，求得即可证明③正确；可根据图2中的方法将阴影面积转化为扇形面积，即可验证④正确．
【详解】解：已知等边内接于⊙，
∴，
∵，
∴，
故①正确；
假设，
则，
又∵，
∴，
∴,
而 ，
∴，
∴矛盾，故②错误；
如图1延长至点，使，连接，
由已知可得,,
∴，
∴，
∴，，，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴过点作于,
∴，
∴,
∴，
故③正确；
如图2连接，，连接与交于，
∵切⊙于点，
∴，
∵交⊙于点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵在中，，
∵，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴
故④正确；
∴正确的有①③④3个；
故选：C．
【点睛】本题考查了圆的综合问题，涉及到垂径定理，圆周角定理，圆内接四边形等知识，利用相似三角形，三角函数探求线段的关系，利用全等转化面积，是解题的关键．
二、填空题（本大题共8小题，每空3分，满分30分．）
11. 已知一元二次方程x2－c＝0有一个根为2，则c的值为____．
【答案】4
【解析】
【分析】直接把x=2代入方程得到关于c的一次方程，然后解方程即可．
【详解】解：把x=2代入方程得4-c=0，
解得c=4．
故答案为：4．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．
12. 某商品原价100元，经过连续两次涨价后，售价为144元，设两次涨价的百分率相同，则这个百分率是____．
【答案】20%
【解析】
【分析】根据原价为100元，连续两次涨价后，现价为144元，根据增长率的求解方法，列方程求．
【详解】解：设这个百分率是，
依题意有：，
，
解得：，（舍去），
答：这个百分率是．
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用，解题关键是根据增长率的求解公式列出方程．
13. 若一条线段的长为x，且x是9和16的比例中项，则x的值为____．
【答案】12
【解析】
【分析】根据比例中项的定义列方程求解即可．
【详解】解：∵线段x是9和16的比例中项，
∴x2=9×16，
解得x=12（负值舍去）．
故答案为：12．
【点睛】本题考查了比例中项的概念，根据两条线段的比例中项的平方是两条线段的乘积，可得出方程求解．
14. 40°圆周角所对的弧的度数为____°．
【答案】80
【解析】
【分析】根据一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，进行计算．
【详解】解：根据圆周角定理，得
40°的圆周角所对的弧所对的圆心角是40°×2=80°．
故答案为80
【点睛】此题主要考查了圆周角定理．定理：同弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．
15. 若圆锥底面圆的半径为1，母线长为3，则这个圆锥的侧面积为____．
【答案】
【解析】
【分析】根据圆锥的侧面展开图为扇形，先计算出圆锥的底面圆的周长，然后利用扇形的面积公式求得扇形的面积即可．
【详解】解：圆锥的底面半径为，
圆锥的底面圆的周长，
圆锥的侧面积．
故答案为：．
【点睛】本题考查了圆锥的侧面积的计算：圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的弧长为圆锥的底面周长，扇形的半径为圆锥的母线长．也考查了扇形的面积公式：，为弧长）．
16. 一个直角三角形的两条直角边长分别为6cm、8cm，则它的内切圆的半径为_______cm．
【答案】2
【解析】
【分析】利用内切圆半径r=（a、b为直角边，c为斜边）易得这个三角形的内切圆的半径．
【详解】因为直角三角形两条直角边长分别为6cm，8cm，
则这个三角形的内切圆的半径==2（cm）．
故答案为：2．
【点睛】本题考查了三角形的内切圆与内心：与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心；三角形的内心到三角形三边的距离相等.
17. 如图，矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，点E从点B出发，以1单位每秒的速度向点C运动，DF＝，G，H分别是AE，EF的中点，在点E的整个运动过程中，当AE⊥EF时，点E的运动时间为____秒，线段GH扫过的图形面积为____．
【答案】 ①. 2 ②.
【解析】
【分析】答题空1：设当AE⊥EF时，点E的运动时间为t秒，则 ，由矩形的性质可证出，再证出进而得到即可求解；
答题空2：点E的运动时间为2秒；此时，线段GH扫过的图形为图中阴影部分，点M、N分别为点G、H的初始位置，则可证出四边形MNHG是平行四边形，延长HN交AB于点P，则PN⊥AB，且，利用点H是EF中点， ，即可求出进而得到即可求解．
【详解】解：设当AE⊥EF时，点E的运动时间为t秒，则 ，
∵矩形ABCD中，AB=3，AD=4，
∴ ，
∴ ，
∵DF＝，
∴ ，
∵AE⊥EF，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
整理得： ，解得： ,
即当AE⊥EF时，点E的运动时间为2秒；
此时，线段GH扫过的图形为图中阴影部分，点M、N分别为点G、H的初始位置，如图：
则点M、点G、点N、点H分别为AB、AE、BF、EF的中点，
∴MG、NH分别是△ABE、△FBE的中位线，
∴ ，
∴ ，
∴四边形MNHG是平行四边形，
延长HN交AB于点P，如图，
则PN⊥AB，且 ，
∵点H是EF中点， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
即线段GH扫过的图形面积为 ,
故答案为:2；．
【点睛】本题是四边形综合题目，考查了矩形的性质、平行四边形的判定、三角形中位线定理、相似三角形的判定与性质等知识；画出辅助线是解题的关键．
18. 在平面直角坐标系xOy中，点A（2＋2m，1），点B（2－m，4），其中m为实数，点O关于直线AB的对称点为C，则AB的最小值为____，点P（－2，0）到点C的最大距离为____．
【答案】 ①. 3 ②. 5＋
【解析】
【分析】答题空1：根据已知坐标求出两点间距离，结合实数性质即可求解；
答题空2：先求出直线AB的解析式，再确定AB上的定点M，连接MC、PC，根据三角形两边之和大于第三边即可求解．
【详解】解：∵A（2＋2m，1），B（2－m，4），
∴ ，
∵m为实数，
∴即 ，
∴当 时，为最小值；
∵A（2＋2m，1），B（2－m，4），
∴设直线AB解析式为 ，
将A、B代入解析式得 ，
令 则 ,
∴直线AB过定点M（2，3），
如图连接MC、PM，
∵C点为点O关于AB的对称点，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴点P（－2，0）到点C的最大距离为 ．
故答案为：3；．
【点睛】本题考查坐标与图形变化——对称，一次函数的性质，勾股定理，三角形边的关系等知识，解题关键是判断出直线AB过定点M．
三、解答题（本大题共10小题，共90分．）
19. 解下列方程：
（1）
（2）3x(x—1)=2—2x
【答案】（1）x1=3+，x2=3－；（2）x1=，x2=1
【解析】
【分析】(1) 利用配方法求得方程的解即可;
(2) 先将等式右边移项, 再因式分解, 然后求解即可.
【详解】解：（1），
，
解得：，
(2) 3x(x—1)=2—2x，
，
【点睛】本题主要考查解一元二次的解法：配方法、因式分解法.
20. 求值：
（1）已知，求的值；
（2）已知，a＋b＋c＝22，求3a－b＋2c的值．
【答案】（1）；（2）24
【解析】
【分析】（1）设b＝3k，则a＝4k（k≠0），代入求值即可；
（2）设＝k，表示a，b，c代入等式求出k值，代入求解即可．
【详解】解：（1）根据题意，设b＝3k，则a＝4k（k≠0），
＝＝
＝．
（2）设＝k，则a＝2k，b＝4k，c＝5k．
∵a+b+c=22
∴2k＋4k＋5k＝22，解得k＝2．
∴a＝4，b＝8，c＝10．
∴3a－b＋2c＝3×4－8＋2×10＝24．
【点睛】本题考查了比例性质，解题关键是通过设比值的办法，表示出字母的值．
21. 已知关于x的一元二次方程：x2－（2k＋2）x＋k2＋2k＝0．
（1）求证：这个方程总有两个不相等的实数根；
（2）若等腰△ABC的一边长a＝3，另两边长b、c恰好是这个方程的两个实数根，求△ABC的周长．
【答案】（1）见解析；（2）11或7．
【解析】
【分析】（1）先计算根的判别式，化简得到4，证得＞0，方程总有两个不相等的实数根；
（2）解得一元二次方程的两个根为x1＝k，x2＝k＋2，再由等腰三角形的性质分类讨论a＝b或a＝c，据此解题．
【详解】（1）证明：∵△＝（2k＋2）2－4·1·（k2＋2k）＝4＞0，
∴这个方程总有两个不相等的实数根．
（2）由x2－（2k＋2）x＋k2＋2k＝0得，
(x-k)(x-k-2)=0
x1＝k，x2＝k＋2
解得原方程的两个实数根为b＝k，c＝k＋2，由（1）得a＝3为腰，
若a＝b，则k＝3，三角形三边分别为3，3，5，其周长为11；
若a＝c，则k＋2＝3，故k＝1，三角形三边分别为3，3，1，其周长为7，
综上：△ABC的周长为11或7．
【点睛】本题考查根与系数的关系，求根的判别式、等腰三角形的性质等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．
22. 如图，有一路灯杆AB（底部B不能直接到达），在灯光下，小明在点D处测得自己的影长DF=3m，沿BD方向到达点F处再测得自己得影长FG=4m，如果小明的身高为1.6m，求路灯杆AB的高度．
【答案】6.4m
【解析】
【分析】由CD∥EF∥AB得可以得到△CDF∽△ABF，△ABG∽△EFG，故，，证，进一步得，求出BD，再得；
【详解】解：∵CD∥EF∥AB，
∴可以得到△CDF∽△ABF，△ABG∽△EFG，
∴，，
又∵CD=EF，
∴，
∵DF=3，FG=4，BF=BD+DF=BD+3，BG=BD+DF+FG=BD+7，
∴
∴BD=9，BF=9+3=12
∴
解得，AB=6.4m
因此，路灯杆AB的高度6.4m.
【点睛】考核知识点：相似三角形的判定和性质.理解相似三角形判定是关键.
23. 如图，在△ABC中，AB=AC，以AC为直径的⊙O交AB于点D，交BC于点E．
（1）求证：BE=CE；
（2）若BD=2，BE=3，求AC的长．
【答案】(1)证明见解析；（2）9
【解析】
【分析】（1）连接AE，如图，根据圆周角定理，由AC为⊙O的直径得到∠AEC=90°，然后利用等腰三角形的性质即可得到BE=CE；
（2）连接DE，如图，证明△BED∽△BAC，然后利用相似比可计算出AB的长，从而得到AC的长．
【详解】证明：连接AE，如图，
∵AC为⊙O的直径，
∴∠AEC=90°，
∴AE⊥BC，
而AB=AC，
∴BE=CE；
解：连接DE，如图，
∵BE=CE=3，∴BC=6，
∵∠BED=∠BAC，而∠DBE=∠CBA，
∴△BED∽△BAC，
∴，即，
∴BA=9，
∴AC=BA=9．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，角平分线的性质和圆周角定理，解题的关键是作好辅助线.
24. 某宾馆有80张床位，每张床每晚的收费是100元时，床位可以全部租出，若每张床每晚每提高10元，则减少5张床位租出，为获得8400元的利润，同时让消费者获得实惠，则每张床位每晚的租金为多少元？
【答案】120元．
【解析】
【分析】设每张床位定价元，根据总价=单价×数量，即可得出关于的一元二次方程，解之取让消费者获得实惠的值即可得出结论．
【详解】解：设每张床位每晚的租金为元，
由题意可得，
整理得：，
解得：，，
∵要让消费者获得实惠，
∴，
答：每张床位每晚的租金为120元．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
25. 边长为的正方形中，是边的垂直平分线，连接，⊙经过，两点且与边相切于点，动点在射线上且在点的右侧，动点位于直线的上方，连接．
（1）请用无刻度直尺和圆规在图1中作出⊙并直接写出⊙的半径 ；（不写作法，保留痕迹）
（2）设交于点，若，的面积为，求的值（用含的代数式表示），并直接写出的最大值．
【答案】（1）图见解析，；（2），．
【解析】
【分析】（1）按照要求作图，确定圆心，连接，利用垂径定理求得半径的值；
（2）过点作于，通过相切可得，进而求得，可证
，通过相似建立线段之间比的关系，从而求得答案．
【详解】（1）如图所示
作垂直平分线与交于点，
以为圆心，长为半径作⊙，
⊙为所求；
连接，
则，，，
在中，，
∴，
解得：，
故答案为：；
（2）解：过点作于，
∵，，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∵与⊙相切于，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
当时，取最大值为，
即，的最大值为．
【点睛】本题考查了圆与正方形的综合问题，利用垂径定理求圆的半径，利用相似三角形建立线段间的关系，正确构造相似三角形是解题关键．
26. 为了优化人居环境、提升城市品质，某小区准备在空地上新建一个边长为8m的正方形花坛，如图，该花坛由4块全等的小正方形组成．在小正方形ABCD中，O为对称中心，E、F分别在AB、AD上，AE＝AF，G、H分别为BE、DF的中点．
（1）设AE＝x m，请用含x的代数式表示EG的长及四边形OHEG的面积S；
（2）已知：小正方形ABCD中，在△AEH、四边形OHEG内分别种植不同的花卉，每平方米的种植成本分别是80元、60元，其余部分种植草坪，每平方米的种植成本为95元，若另外的3块正方形区域也按此相同方式种植，问：点E在什么位置时，在这个大正方形花坛内种植花卉和草坪所需的总费用为5475元．
【答案】（1），S＝－x2＋4；（2）AE为1.5m
【解析】
【分析】（1）分别计算出和四边形AGOH的面积即可得到答案；
（2）首先计算出正方形ABCD中空白部分面积，再根据在这个大正方形花坛内种植花卉和草坪所需的总费用为5475元列出方程求解即可．
【详解】解：（1）∵AE＝x，
∴BE＝4－x，EG＝BG＝2－x，
∴S△AEH＝·x·（x＋2－x）＝x2＋x．
而S四边形AGOH＝2×（x＋2－x）×2＝4＋x，
∴S＝（4＋x）－（x2＋x）＝－x2＋4．
（2）正方形ABCD中，空白部分面积为16－（4＋x）＝12－x，
∴80×4（x2＋x）＋60×4（－x2＋4）＋95×4（12－x）＝5475．
化简得4x2－12x＋9＝0．
解得x1＝x2＝1.5．
答：当AE为1.5m时，在这个大正方形花坛内种植花卉和草坪所需的总费用为5475元．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．
27. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与x轴、y轴分别交于点A、B，在中，，一次函数图像过点，与y轴交于G，动点P从O点沿y轴正方向以每秒2个单位长度的速度出发，同时，以点P为圆心的⊙P，其半径从6个单位起以每秒1个单位长度的速度缩小，设运动时间为t（秒）．
（1）求点C的坐标及直线EG的函数表达式；
（2）在点P运动的同时，若直线EG沿y轴以每秒1个单位长度的速度向上平移，当⊙P与运动后的直线EG相切时，求此时⊙P的半径；
（3）在点P运动的同时，若线段CD沿x轴以每秒1个单位长度的速度向左平移，以CD为边作等边，当⊙P内存在Q点时，直接写出t的取值范围 ．
【答案】（1），；（2）4；（3）
【解析】
【分析】（1）分别令，，可求得，，再根据平行四边形的性质，可求得点的坐标，将代入，即可求得答案；
（2）过点作于，当⊙P与运动后的直线EG相切时，易得，可设，，进而得，则，用含有的式子表示，再利用同角三角函数相等可用含有的式子表示,可得关于的方程，解得即可得答案；
（3）以CD为边作等边，有两种情况，情况一是点在上，利用表示，的坐标，利用两点距离公式表示的长，当时为临界状态，可求得的取值范围，情况二是点在轴上，同理表示出的长，令，所得方程无实数根舍去即可．
【详解】解：已知一次函数的图像与x轴、y轴分别交于点A、B，
∴令，得，
∴，
又令，则，
∴，，
在平行四边形中，，
∴，
即，
又∵一次函数图像过点，
∴，
∴，
∴，
即，直线EG的函数表达式；
（2）∵直线EG的函数表达式，
∴，，，
∴，
∴设，，
∴在中易得，
∴，
运动后，，
∴，
过点作于，
当⊙P与运动后的直线EG相切时，
∴，
∴，
∴，
解得，
∴；
（3）由（1）可得，，，
∴，，，
∴，
∴，，
∴，
在平行四边形中，
∴以CD为边作等边，
情况一：如图 ，
∴，
∴运动后，，，
∴，
当时，
，
整理得，
∴，，
∴当⊙P内存在Q点时，；
情况二：如图，，，
∴，
∴运动后，，，
∴，
当时，
，
整理得，
∴，
∴方程无实数解，
综上所述：．
【点睛】本题考查圆与平行四边形，三角形综合问题，利用待定系数法求得一次函数解析式，利用同角三角函数相等建立方程，利用两点间距离公式求得线段，都是解题关键，其中（3）还考查了分类讨论思想，此为易错点．
28. 在菱形ABCD中，CD＝CA＝6，对角线AC、BD交于点O，E为边BC上一点，直线EO分别交边AD、射线BA于点G、F．
（1）求菱形ABCD的面积；
（2）请判断是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由；
（3）设△BEF的面积为S1，四边形ABED的面积为S2，试确定点E的位置，使得．
【答案】（1）18；（2）是，定值为；（3）BE＝4
【解析】
【分析】（1）证明得到△ABC是边长为6的等边三角形，即可求出菱形面积；
（2）利用平行线段成比例，可以得出△FAG∽△FBE，得出BF的表达式，即可求出的值，据此判断是否为定值；
（3）利用（2）各边的表示方法，可以求出S1、S2的表示方法，依此列方程求解，即可得出BE的值．
【详解】解：（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴AD＝AC，
又CD＝CA＝6，
∴△ABC是边长为6的等边三角形．
∴＝
∴S菱形＝＝18．
（2）是定值，理由如下：
设BE＝m，则CE＝6－m，
∵AD∥BC，AO=CO
∴
∴AG=CE＝6－m
由AG∥BE可知，△FAG∽△FBE．
∴＝，＝．
得FA＝，
∴BF＝．
∴＋＝＋＝；
（3）由（2）得
S1＝·m··＝，
S2＝(m+6)·3＝，
∴5×＝4×．
解得m1＝4，m2＝－12（舍），
∴当BE＝4时，＝．
【点睛】此题考查了相似三角形的判定与性质，以及菱形的性质等知识．此题综合性很强，图形也比较复杂，解题的关键是方程思想与数形结合思想的应用．