2019-2020年北京市怀柔区高二数学上学期期末试题及答案

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第Ⅰ卷（选择题，共40分）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．
1. 抛物线y2=4x的焦点坐标是
A. （0,2）B. （0,1）C. （2,0）D. （1,0）
【答案】D
解：的焦点坐标为，故选D.
2. 如果，那么下面一定成立的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
解：∵，∴，∴A错误；
∵当时，且，∴成立；当时，且，成立，当时，且，.∴B错误；
∵，∴正确，∴C正确；
∵，∴，∴D错误．
故选：C
3. 双曲线的渐近线方程为
A. B. C. D.
【答案】B
解：焦点在轴上的双曲线的渐近线方程为，由得，，则双曲线的渐近线方程为，故选B.
4. 过点的抛物线的标准方程为（ ）
A. B. C. D. 或
【答案】D
解：由题意可设抛物线方程为或，∵抛物线过点（﹣1，1），
∴当抛物线方程为时，得a＝﹣1；当抛物线方程为时，得a＝1．
∴抛物线的标准方程是或.
故选：D
5. 已知数列为等差数列，则下面不一定成立的是（ ）
A. 若，则B. 若，则
C. 若，则D. 若，则
【答案】D
解：利用等差数列的单调性可得：若，所以公差，所以等差数列是递增数列，
所以，成立，∴A，B正确；
则不一定成立，例如时不一定成立，∴D不一定成立；
若，则，所以成立，∴C正确.
故选：D
6. 已知椭圆与双曲线的焦点相同，且椭圆上任意一点到两焦点的距离之和为，那么椭圆的离心率等于
A. B. C. D.
【答案】B
解：因为双曲线的焦点在x轴上,所以设椭圆的方程为,因为椭圆上任意一点到两焦点的距离之和为,所以根据椭圆的定义可得,则,,选B
7. 若是直线方向向量，是平面的法向量，则直线与平面的位置关系是（ ）
A. 直线在平面内B. 平行C. 相交但不垂直D. 垂直
【答案】C
解：∵，，假设存在实数，使得，则，
即 无解.不存在实数，使得成立，因此l与α不垂直．
由，可得直线l与平面α不平行．
因此直线l与平面α的位置关系是相交但不垂直．
故选：C
8. 已知m＝（a＞0），n＝x+1（x＜0），则m、n之间的大小关系是（ ）
A. m＞nB. m＜nC. m＝nD. m≤n
【答案】A
解：因为a＞0，
∴m＝＝a+﹣1≥2﹣1＝1
当且仅当a＝1时去等号，
∵x＜0，
∴n＝x+1＜1；
∴m＞n；
故选：A．
第Ⅱ卷（非选择题共110分）
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在题中横线上．
9. 不等式的解集是____________.
【答案】
解：依题意，不等式可化为不等式组或，
解得.
故答案为：.
10. 双曲线的实轴长为______，离心率为______．
【答案】 ①. 4 ②.
解：双曲线的，，＝，可得实轴长，＝.
故答案为：4，
11. 若，均为正数，且1是，的等差中项，则的最大值为______．
【答案】1
解：若，均为正数，且1是，的等差中项，则，故，当且仅当取等号.
故答案为：1
12. 在数列中，是它的第_______项．
【答案】6
解:根据题意，数列…中，其通项公式，
令＝，解得，即是数列的第6项.
故答案为：6
13. 已知平面的一个法向量是，且点在平面上，若是平面上任意一点，则向量______，点的坐标满足的方程是______．
【答案】 ①. ②.
解:∵平面α的一个法向量是，且点在平面上，是平面上任意一点，
∴向量＝，∴＝，∴点的坐标满足的方程是．
故答案为：，
14. 在平面直角坐标系中，曲线是由到两个定点和点的距离之积等于的所有点组成的．对于曲线，有下列四个结论：
①曲线是轴对称图形；
②曲线是中心对称图形；
③曲线上所有的点都在单位圆内；
其中，所有正确结论的序号是__________．
【答案】①②
解:由题意，设动点坐标为，利用题意及两点间的距离公式的得：，
对于①，分别将方程中的被﹣代换不变，被﹣ 代换不变，方程都不变，故关于轴对称和轴对称，故曲线是轴对称图形，故①正确
对于②，把方程中的被﹣代换且被﹣代换，方程不变，故此曲线关于原点对称，曲线是中心对称图形，故②正确；
对于③，令＝0可得，，即2=1+，此时对应的点不在单位圆2+2=1内，故③错误．
故答案为：①②
三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
15. 已知等差数列满足，．
（1）求的通项公式；
（2）设等比数列满足，，问：与数列的第几项相等？
【答案】
（1）；（2）第31项
解:（1）设等差数列的公差为，因为，且，
所以 ，解得，．所以．
（2）由（1）题意可得，设数列的公比为，因为，且，
所以，解得，，所以．由，得.
∴与数列的第31项相等．
16. 在四棱锥中，平面，底面四边形直角梯形，，，，，为中点．
（1）求证：；
（2）求异面直线与所成角的余弦值．
【答案】
（1）详见解析；（2）．
解:（1）由题意在四棱锥中，平面，底面四边形为直角梯形，，
以为原点，分别以，，为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，
则，，，，．因为为中点，所以，
所以，，所以，所以．
（2）由（1）得，，，，
，所以与所成角的余弦值为．
17. 已知椭圆的右焦点，且点在椭圆上．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过点且斜率为1的直线与椭圆相交于、两点，求的面积．
【答案】
（1）；（2）．
解:（1）由题意，椭圆焦点且过点，得，．
又，所以椭圆方程为．
（2）由题意得，直线的方程为，设，，
联立直线与椭圆方程，得，
得，则
，
又，所以．
设原点到直线的距离为，．
所以的面积．
18. 已知数列满足数列的前n项和为，且.
（1）求数列，的通项公式；
（2）设，求数列的前n项和．
【答案】
（1），；（2）．
解:（1）因为，，所以为首项是1，公差为2的等差数列，
所以．
又当时，，所以，
当时， ①
②
由①－②得，即，
所以是首项为1，公比为的等比数列，故．
（2）由（1）得，
所以．
19. 如图，在直三棱柱中，，，点，，分别为棱，，的中点．
（1）求证：平面；
（2）求二面角的大小；
（3）在线段上是否存在一点，使得直线与平面所成的角为？如果存在，求出线段的长；如果不存在，说明理由．
【答案】
（1）详见解析；（2）；（3）点存在，即的中点，．
解:（1）在直三棱柱中，平面，又因为，
以为原点，分别以，，为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系．
由题意得，，，，，．
所以，，设平面的法向量为，则
，即，令，得，，于是．
又因为，所以．又因为平面，
所以平面．
（2）设平面的法向量为，，，
，即，令，得，，于是，
平面法向量，．
所以二面角的大小为．
（3）．设直线与平面所成角为，则，设，则，，
所以，解得或（舍），
所以点存在，即的中点，．
20. 已知椭圆
（1）求椭圆的标准方程和离心率；
（2）是否存在过点的直线与椭圆相交于，两点，且满足．若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由．
【答案】
（1），；（2）存在，7x﹣+3＝0或7x+﹣3＝0
解:（1）由，得，进而，；
（2）假设存在过点P（0，3）的直线l与椭圆C相交于A，B两点，且满足，
可设直线l的方程为x＝m（y﹣3），联立椭圆方程x2+2y2＝4，
可得（2+m2）y2﹣6m2y+9m2﹣4＝0，△＝36m4﹣4（2+m2）（9m2﹣4）＞0，即m2＜，
设A（x1，y1），B（x2，y2），可得y1+y2＝，y1y2＝，①
由，可得（x2，y2﹣3）＝2（x1，y1﹣3），即y2﹣3＝2（y1﹣3），即y2＝2y1﹣3，②
将②代入①可得3y1﹣3＝，y1（2y1﹣3）＝，
消去y1，可得•＝，解得m2＝，所以，
故存在这样的直线l，且方程为7x﹣y+3＝0或7x+y﹣3＝0．