精品解析：重庆市开州区2021-2022学年八年级上学期期末数学试题

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（全卷共四个大题，满分：150分 考试时间：120分钟）
注意事项：
1．试题的答案书写在答题卡上，不得在试题卷上直接作答；
2．作答前认真阅读答题卡上的注意事项；
3．作图（包括作辅助线）请一律用黑色签字笔完成；
4．考试结束，由监考人员将答题卡收回．
一、选择题（本大题12个小题，每小题4分，共48分）在每个小题的下面，都给出了代号为A，B，C，D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑．
1. 下列各组线段能组成一个三角形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】三角形的三条边必须满足：任意两边之和第三边，任意两边之差第三边．
【详解】解：A.，不能组成三角形，不符合题意；
B.，不能组成三角形，不符合题意；
C.，能组成三角形，符合题意；
D. ，不能组成三角形，不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题主要考查对三角形三边关系的理解应用．判断是否可以构成三角形，只要判断两个较小的数的和最大的数就可以．
2. 下列图案不是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．
【详解】解：A、是轴对称图形，故本选项错误；
B、是轴对称图形，故本选项错误；
C、不是轴对称图形，故本选项正确；
D、是轴对称图形，故本选项错误．
故选：C．
【点睛】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
3. 若多边形的内角和是，则此多边形的边数为（ ）
A. 16B. 15C. 14D. 13
【答案】D
【解析】
【分析】根据多边形内角和可直接进行求解．
【详解】解：由题意得：，
解得：；
故选D．
【点睛】本题主要考查多边形内角和，熟练掌握多边形内角和公式是解题的关键．
4. 点关于轴的对称点的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据关于x轴对称的点的坐标特征进行判断．
【详解】解：点M（-3，-5）关于x轴的对称点的坐标为（-3，5）．
故选：A
【点睛】本题考查了关于x轴的对称点的坐标特点：点P（x，y）关于x轴的对称点P′的坐标是（x，-y）．
5. 下列运算错误的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据同底数幂的乘法与除法、幂的乘方、积的乘方法则即可完成．
【详解】A、根据同底数幂的乘法法则知，正确，故不符合题意；
B、根据幂的乘方法则知，正确，故不符合题意；
C、根据积的乘方法则知，正确，故不符合题意；
D、由同底数幂的除法法则得：，故计算错误，符合题意；
故选：D
【点睛】本题考查了幂的运算，熟练掌握幂的四种运算法则是关键．
6. 若代数式是完全平方式，则k等于（ ）
A. B. C. 8D. 64
【答案】A
【解析】
【分析】利用可知：若是完全平方公式，则，所以．
【详解】解：∵是完全平方式，
∴，即，
∴．
故选：A．
【点睛】本题考查完全平方公式，求完全平方式中的字母系数，解题的关键是理解两个数的平方和，再加上或减去这两个数的积就构成了完全平方式．
7. 如图中，D在BC的延长线上，过D作于F，交AC于E．已知，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据三角形外角的性质及三角形内角和定理即可求解．
【详解】解：∵，，
，
∴，
∵，
∴，
∴．
故选：B．
【点睛】本题考查了三角形外角的性质及三角形内角和定理，解题的关键是熟练运用数形结合的思想．
8. 如图，已知，增加下列条件：①；②；③；④．其中不能保证的条件是（ ）
A. ①B. ②C. ③D. ④
【答案】D
【解析】
【分析】先证明，然后根据全等三角形的判定方法对各选项进行判断．
【详解】解：，
，
即，
，
当添加时，根据“”可判断；
当添加时，根据“”可判断；
当添加时，根据“”可判断；
当添加时，不能判断．
故选：D．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的5种判定方法是解决问题的关键．选用哪一种判定方法，取决于题目中的已知条件．
9. 若等腰三角形的周长为26cm，一边为6cm，则腰长为（ ）
A 6cmB. 10cmC. 10cm或6cmD. 以上都不对
【答案】B
【解析】
【分析】题中给出了周长和一边长，而没有指明这边是否为腰长，则应该分两种情况进行分析求解．
【详解】解：①当6cm为腰长时，则腰长为6cm，底边=26-6-6=14cm，因为14＞6+6，所以不能构成三角形；
②当6cm为底边时，则腰长=（26-6）÷2=10cm，因为6-6＜10＜6+6，所以能构成三角形；
故腰长为10cm．
故答案：B．
【点睛】此题主要考查等腰三角形的性质及三角形三边关系的综合运用，关键是利用三角形三边关系进行检验．
10. 为响应国家号召，全体公民接种疫苗，以提高对“新冠"病毒的免疫功能．开州某大型社区有6000人需要接种疫苗，接种一天后，为了尽快完成该项任务，防疫部门除固定接种点外，还增加了一辆流动疫苗接种车，之后每天接种人数是原计划的1.25倍，结果提前3天完成全部接种任务．求原计划每天接种多少人？设原计划每天接种x人，则可列方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】设原计划每天接种人数为人，则增加了一辆流动疫苗接种车后每日接种人数为人，由题意：现某大型社区有6000人需要接种疫苗，结果提前3天完成全部接种任务，列出方程，解方程即可．
【详解】解：设原计划每天接种人数为人，则增加了一辆流动疫苗接种车后每日接种人数为人，
由题意得：，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．
11. 已知与的边与交于点，，，，为的中点，连接，则下列说法正确的有（ ）
（1）是个等腰三角形；（2）垂直平分；（3）平分；（4）这个图形是轴对称图形；（5）；
A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个
【答案】D
【解析】
【分析】利用全等三角形的判定ASA证明△ABE≌△CDE，则AE=CE，可判断（1）；再根据等腰三角形的三线合一性质可判断（2）；根据等腰三角形的等边对等角可求得∠EAC=∠ACB=30°，再由直角三角形的两锐角互余可求得∠DCA=60°，进而可求得∠DCE=∠ACB=30°，利用角平分线的定义可判断（3）；根据轴对称图形的定义可判断（4）；根据角平分线的性质证得DE=EF，再根据直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半可证得，进而可判断（5）．
【详解】解：在△ABE和△CDE中，
，
∴△ABE≌△CDE（ASA），
∴AE=CE，
∴△AEC是等腰三角形，故（1）正确；
∵F为AC的中点，
∴EF⊥AC，AF=CF，
∴EF垂直平分AC，故（2）正确；
∵AE=CE，
∴∠EAC=∠ACB=30°，
∵∠D=90°，
∴∠ACD=60°，
∴∠DCE=∠ACB=30°，
∴CE平分∠ACD，故（3）正确；
又∵∠D=90°，EF⊥AC，∠EAC=30°，
∴DE=EF，，
∵AD=AE+DE=3EF，
∴EF= AD，故（5）正确；
根据轴对称图形的定义，这个图形是轴对称图形，EF所在的直线是对称轴，
故（4）正确；
故选：D．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、角平分线的判定与性质、含30°角的直角三角形的性质、轴对称图形的定义，熟练掌握这些知识的联系和运用是解答的关键．
12. 若关于x的不等式组有解，且关于x的分式方程的解为非负数，则满足条件的整数a的值的和为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】解关于x的不等式组，可求得a的取值范围，解分式方程可求得方程的解，再根据解非负及分式方程解存在的条件可求得a的取值范围，从而可确定a的整数值，最后求得结果．
【详解】解不等式得：；解不等式得：
由于不等式组有解，则
解分式方程，得：
由题意得：
解得：
当x=1时，它是分式方程的增根，不符合题意
∴
解得：
∴且
综合之，满足条件的a的取值范围为：且
所以满足条件的整数a的值为：−3，−2，0，1
则它们的和为：
故选：B
【点睛】本题是不等式组与分式方程的综合，考查了解一元一次不等式组，解分式方程，要注意的是，分式方程的增根也是非负数，此时满足条件的a的值要排除．
二、填空题（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上．
13. 计算：________．
【答案】9
【解析】
【分析】先计算乘方，零指数幂，负整数指数幂，然后进行加减运算即可．
【详解】解：原式
．
【点睛】本题考查了乘方，零指数幂，负整数指数幂．解题的关键在于正确的计算．
14. 若分式的值为0，则x的值为_____．
【答案】1
【解析】
【分析】根据分式的值为零的条件得到且，解方程即可．
【详解】解：根据分式的值为零的条件得到且，
解得．
故答案为：．
【点睛】本题考查了分式的值为零的条件：当分式的分母不为零，分子为零时，分式的值为零．
15. 分解因式：﹣my2+4my﹣4m＝_____．
【答案】﹣m（y﹣2）2．
【解析】
【分析】先提取公因式再运用完全平方公式因式分解即可．
【详解】解：﹣my2+4my﹣4m
＝﹣m（y2﹣4y+4）
＝﹣m（y﹣2）2．
故答案为：﹣m（y﹣2）2．
【点睛】本题主要考查提公因式法因式分解以及公式法因式分解的综合题目，熟知完全平方公式的结构特点是解题的关键．
16. 如图，在中，，点D是的中点，连接，点E在上，且于点F，且，则的面积为________．
【答案】30
【解析】
【分析】根据，点是 的中点，求出和的长度，进而求出的面积，根据高相等面积之比等于底之比，即可求出．
【详解】解：，点是的中点，
，
，且，
，
又，
，
，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了三角形的面积，解题的关键是理解并灵活应用高相等，底之比等于面积之比．
17. 如图，将沿翻折，顶点均落在O处，且与重合于线段，测得，则________度．
【答案】96
【解析】
【分析】延长FO交AC于点G．根据三角形内角和定理可求出．由翻折的性质可知，即得出，从而可求出．由三角形外角性质结合三角形内角和定理即可得出，从而可求出．
【详解】解：如图，延长FO交AC于点G．
∵，
∴．
由翻折可知，
∴，即，
∴．
∵，，
∴，即，
∴．
故答案为：96．
【点睛】本题考查三角形内角和定理，三角形外角性质，翻折的性质．正确的作出辅助线是解题关键．
18. 贴春联是我国过春节时的重要传统习俗，春联有长有短，有五字联，七字联，十二字联等．一副完整的春联由上下两联配一个四字横批组成，如一副五字联“人开致富路，猪拱发财门”，横批“恭喜发财”，共由14个字组成．春节期间，开州书法协会开展现场书写并赠送春联的公益活动，按计划，会员甲需书写五字春联，会员乙需书写七字春联，会员丙需书写十二字春联各若干副，且他们分别书写一副完整的五字、七字和十二字春联所需时间分别是10分钟，15分钟和20分钟，若按计划完成任务，甲与丙的时间之和不超过10小时，且是乙的两倍．实际开展活动时，甲帮丙写了1副横批，乙帮丙写了n副横批，活动结束后，协会统计员惊讶地发现三人书写的字数一样多．则原计划丙需书写十二字春联_______副．
【答案】8
【解析】
【分析】由题意得每副五字春联有2×5+4=14（字）；每副七字春联有2×7+4=18（字）；每副十二字春联有2×12+4=28（字）；若设甲、乙、丙三人最终每人都写了x字，则由题意可得甲社员原计划用时为分钟，乙社员原计划用时分钟，丙社员原计划用时分钟．然后根据等量关系列出方程求解即可．
【详解】解：设活动结束时每人都写了x个字，则甲社员计划用时为分钟，乙社员计划用时为分钟，丙社员计划用时为分钟，
由题意列方程
整理得
解得
由，把代入解得
∵
又∵应为整数
∴式中应是7的倍数
∴
∴
∴原计划丙需书写十二字春联（副）
故答案为：8．
【点睛】本题考查了方程与不等式的应用．解题的关键在于审清题意，根据等量关系列方程．
三、解答题（本大题7个小题，每小题10分，共70分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．
19. 化简：
（1）
（2）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）提取公因式，再整理，最后利用平方差公式展开即可；
（2）利用平方差公式和同底数幂的除法法则计算即可．
【小问1详解】
解：
【小问2详解】

【点睛】本题考查整式的混合计算．掌握整式的混合计算法则是解题关键．
20. 如图，中，于D．
（1）尺规作图：作的角平分线，交于点P，交于点Q（保留作图痕迹，不写做法）；
（2）若，求的度数．
【答案】（1）见解析 （2）72°
【解析】
【分析】（1）以点A为圆心，适当长为半径画弧，交AC、AB于一点，然后再以这两点为圆心，大于这两点距离的一半为半径画弧，交于一点，进而连接这个点和A点，交CD于点P，BC于点Q，则问题可求解；
（2）由题意易得，，然后可得，进而问题可求解．
【小问1详解】
解：如图
【小问2详解】
解：，
，
又平分，
，
又，
，
，
．
【点睛】本题主要考查直角三角形的性质及角平分线的尺规作图，熟练掌握直角三角形的性质及角平分线的尺规作图是解题的关键．
21. 解答下面两题：
（1）解方程：
（2）化简：
【答案】（1）无解 （2）
【解析】
【分析】（1）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解；
（2）原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分即可得到结果．
【小问1详解】
解：去分母，得：，
去括号，得： ，
移项，合并同类项，得：，
检验：当时，，
不是原分式方程的解，
原分式方程无解；
【小问2详解】
解：原式，
，
，
．
【点睛】本题考查了解分式方程，以及分式的混合运算，熟练掌握运算法则及分式方程的解法是解本题的关键．
22. 如图，和中，与相交于点F，且，，连接．
（1）求证：；
（2）求证：．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】（1）利用“HL”证明Rt△ABC≌Rt△ADE得∠BAC=∠DAE，继而知∠BAC-∠DAB=∠DAE-∠DAB，据此即可得证；
（2）根据三角形全等的判定定理证明△ADC≌△ABE，再证明△DFC≌△BFE，根据全等三角形的性质证明即可．
【小问1详解】
解：在Rt△ABC和Rt△ADE中，
∴Rt△ABC≌Rt△ADE
∴
∴
∴；
【小问2详解】
在△ADC和△ABE中，
∴
∴
又∵Rt△ABC≌Rt△ADE，
∴
∴
∴
在△DFC和△BFE中
∴△DFC≌△BFE，
∴．
【点睛】本题考查的是全等三角形的判定和性质，掌握三角形全等的判定定理：SSS、SAS、AAS或ASA以及直角三角形的HL以及全等三角形的对应边相等、对应角相等是解题的关键．
23. 每年春节，香肠是家家户户必不可少的年货，开州特产举子香肠有微辣、麻辣、广味（甜味）、烟熏4种口味，益家超市12月份销售广味（甜味）和麻辣两种口味的举子香肠数量相同，销售额分别是3500元和4200元，其中麻辣口味的单价比广味（甜味）的单价每千克多10元．
（1）麻辣口味和广味（甜味）的举子香肠每千克各是多少元？
（2）益家超市12月份微辣口味的销量比麻辣口味的销量多千克，微辣和麻辣两种口味的单价相同，烟熏口味每千克的售价比广味（甜味）每千克售价增加了，烟熏口味的销量比广味（甜味）的销量少10千克，最终12月份该超市四种口味的举子香肠的总销售额为17900元，求a的值．
【答案】（1）麻辣口味的举子香肠每千克60元，广味举子香肠每千克50元
（2）20
【解析】
【分析】（1）设广味（甜味）的举子香肠每千克元，则麻辣口味的举子香肠每千克元，利用数量总价单价，结合益家超市月份销售广味（甜味）和麻辣两种口味的举子香肠数量相同，即可得出关于的分式方程，解之即可求出广味（甜味）的举子香肠的单价，再将其代入中可求出麻辣口味的举子香肠的单价；
（2）利用数量总价单价，可求出12月份麻辣口味和广味（甜味）的举子香肠的销量，利用总价单价数量，结合12月份该超市四种口味的举子香肠的总销售额为17900元，即可得出关于的一元一次方程，解之即可求出的值．
【小问1详解】
解：设广味举子香肠每千克x元，则麻辣口味的举子香肠每千克元．
根据题意，得：，
解得：，
经检验：是原方程的解，
所以，原方程的解为，
麻辣口味：（元）．
答：麻辣口味的举子香肠每千克60元，广味举子香肠每千克50元．
【小问2详解】
解：由（1）可求12月麻辣口味的销量为：（千克），
12月广味的销量为：（千克），
由题意可得：
，
原方程可化为：，
所以：．
答：的值为20．
【点睛】本题考查了分式方程的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找准等量关系，正确列出一元一次方程．
24. 阅读理解题:在路上，我们经常看到这样汽车牌照号：“辽A30803”，“辽P12321”，“京C76H67”，…，给人以对称美的感受．除了表示地区标志的汉字和字母（如：沈阳车牌辽A，葫芦岛车牌辽P等）以外，像“30803”、“76H67”这样的由数或由数和字母共同组成的车牌号，我们称之为“轴对称车牌号”．在正整数中，现定义为，“形如的正整数叫做轴对称数．”比如：99，363，2112等都是轴对称数．
（1）写出最小的五位“轴对称数”；
（2）请你设计一个我们葫芦岛市的车牌号，要求：此车牌号的后五位是“轴对称车牌号”，且由数字和字母组成的；
（3）已知某车的车牌号是由数字组成的“轴对称车牌号”，设首位数字为m，去掉首尾数字后的中间的三位数为n．已知多项式x2﹣2m能用公式法分解因式，n是多项式a﹣1与多项式a+102相乘得到的多项式的一次项系数，求出符合条件的车牌号．
【答案】（1）10001；（2）“辽P12O21”；（3）车牌号是27072或87078
【解析】
【分析】（1）根据轴对称数的定义写出最小的五位“轴对称数”；
（2）根据轴对称数的定义写出即可，但前面要加辽P；
（3）先根据多项式乘多项式的法则计算，再根据n是多项式a-1与多项式a+102相乘得到的多项式的一次项系数，可得方程n＝101，求得n=707，再根据多项式x2-2m能用公式法分解因式，可得2m一定是完全平方数，可得m=2或m=8，从而得到符合条件的车牌号．
【详解】解：（1）最小的五位“轴对称数”是10001；
（2）“辽P12O21”；
（3）∵（a﹣1）（a+102）＝a2+102a﹣a﹣102＝a2+101a﹣102，
∴，
∴n＝707，
∵多项式x2﹣2m能用公式法分解因式，
∴2m一定是完全平方数，
又依题意可知，m是数字，且m≠0，
∴m＝2或m＝8．
因此这个车牌号是27072或87078．
【点睛】本题考查了数的十进制，轴对称的性质，因式分解的应用，从最中间的数字考虑求解是解题的关键．
25. 如图，在平面直角坐标系中，为等腰直角三角形，，点A的坐标为．
（1）求点B的坐标；
（2）在x轴上找一点P，使得的值最小，求出点P的坐标；
（3）在第四象限是否存在一点M，使得以点为顶点的三角形是等腰直角三角形，若存在，请直接写出所有满足条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）
（2）点P的坐标为
（3）在第四象限存在一点M，使得以以点为顶点的三角形是等腰直角三角形，点M的坐标为或者或者
【解析】
【分析】（1）过点A作AC⊥x轴于点C，过点B作BD⊥x轴于点D，证明△AOC≌△OBD（AAS），即可求B点坐标；
（2）作点B关于x轴的对称点B'，连接AB'交x轴于点P，连接BP，当A、B'、P三点共线时PA+PB的值最小，求出直线AB'的解析式即可求P点坐标；
（3）分三种情况：当∠AOM=90°时，AO=OM，过点A作AF⊥y轴交于点F，过点M作ME⊥y轴交于点E，证明△FAO≌△GMA（AAS），即可求M（4，-2）；②当∠OAM=90°时，OA=AM，过点A作AF⊥y轴交于F点，过点M作MG⊥AF交于点G，证明△FAO≌△GMA（AAS），即可求M（4，-2）；③当∠OMA=90°时，OM=AM，过点M作MQ⊥y轴交于Q点，过点A作AP⊥QM交于P点，证明△OQM≌△MPA（AAS），即可求M（2，-1）．
【小问1详解】
过点A作AC⊥x轴于点C，过点B作BD⊥x轴于点D，
∵点A的坐标为（3，1），
∴OC=3，AC=1，
又∵AC⊥x轴，BD⊥x轴，
∴∠ACO=∠BDO=90°，
∴∠OAC+∠AOC=90°，
又∵∠AOB=90°，
∴∠BOD+∠AOC=90°，
∴∠OAC=∠BOD，
又∵AO=BO，
∴△AOC≌△OBD（AAS），
∴OC=BD=3，AC=OD=1，
∴点B的坐标为（-1，3）；
【小问2详解】
如图2，作点B关于x轴的对称点B'，连接AB'交x轴于点P，连接BP，
由对称性可知BP=B'P，
∴AP+BP=AP+B'P≥AB'，
∴当A、B'、P三点共线时PA+PB的值最小，
连接BB'交x轴于点E，则E（-1，0），
∵点B与B'关于x轴对称，
∴点B'的坐标为（-1，-3），
设直线AB'的解析式为y=kx+b，
∴，
∴，
∴y=x-2，
当y=0时，x-2=0，解得，x=2
∴P（2，0）；
【小问3详解】
存在一点M，使得以点O，A，M为顶点的三角形是等腰直角三角形，理由如下：
①当∠AOM=90°时，AO=OM，
如图3，过点A作AF⊥y轴交于点F，过点M作ME⊥y轴交于点E，
∵∠FOA+∠FAO=90°，∠FOA+∠EOM=90°，
∴∠FAO=∠EOM，
∵AO=OM，
∴△FAO≌△EOM（AAS），
∴OF=EM，OE=FA，
∵A（3，1），
∴AF=3，OF=1，
∴M（1，-3）；
②如图4，当∠OAM=90°时，OA=AM，
过点A作AF⊥y轴交于F点，过点M作MG⊥AF交于点G，
∵∠FAO+∠FOA=90°，∠FAO+∠GAM=90°，
∴∠AFO=∠GAM，
∴△FAO≌△GMA（AAS），
∴AF=GM，OF=AF，
∵A（3，1），
∴AF=3，OF=1，
∴M（4，-2）；
③如图5，当∠OMA=90°时，OM=AM，
过点M作MQ⊥y轴交于Q点，过点A作AP⊥QM交于P点，
∵∠OMQ+∠QOM=90°，∠OMQ+∠AM=90°，
∴∠QOM=∠AMP，
∴△OQM≌△MPA（AAS），
∴OQ=MP，QM=AP，
∵A（3，1），
∴QM+MP=3，1+QO=QM，
∴1+QO+OQ=3，
∴QO=1，
∴M（2，-1）；
综上所述：M点坐标为（1，-3）或（4，-2）或（2，-1）．
【点睛】本题考查轴对称求最短距离，熟练掌握轴对称求最短距离的方法，三角形全等的判定与性质，等腰直角三角形的性质是解题的关键．
四、解答题（本大题1个小题，共8分）解答时必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．
26. 已知，在中，．
（1）如图1，取的中点D，连接，在上截取，连接，求的度数；
（2）如图2，分别以为边向外作等边和等边，连接交于点K，求证：；
（3）如图3，垂直平分交于点Q，点P在线段上运动（不与点重合），以为一边，在下方作交的延长线于点S，请直接写出与之间的数量关系．
【答案】（1）45° （2）见解析
（3）当点P在上运动时，；当点P在上运动时，
【解析】
【分析】（1）根据直角三角形的性质可得，再由为的中点，可得到是等边三角形，从而得到，再由，可得，即可求解；
（2）过点G作于点F，先证明，可得，再证得，可得，即可求证；
（3）分两种情况讨论：当点P在上运动时，当点P在上运动时，即可求解．
【小问1详解】
解： 在中，，
，
又为的中点，
，
，
是等边三角形，
，
，
又，
，
，
；
小问2详解】
证明：过点G作于点F，
是等边三角形，
，
又，
，
又，
，
，
又是等边三角形，
，
又，
，
，
，
又是等边三角形，
，
，
又，
，
，
，
；
【小问3详解】
解：当点P在上运动时，；当点P在上运动时， ，理由如下：
当点P在上运动时，如图，连接BQ，在QS上截取QJ，使得QP = QJ，设PB交QS于点K，
∵DQ垂直平分线段AB，
∴QA=QB，QD⊥AB，AD=DB，
∴∠QAD=∠QBA=30°，
∴∠AQD=∠BQD=60°，
∵QP=QJ，
∴△PQJ是等边三角形，
∴PJ=PQ，∠PJQ=60°，
∴∠PJS=∠PQB=120°，
∵∠BPS=60°，
∴∠BPS=∠BQK，∠PKS=∠QKB，
∴∠S=∠PBQ，
∴△PJS≌△PQB（AAS），
∴SJ=QB=QA，
∴QS=QJ+JS=PQ+QA；
如图，当点P在CQ上时，连接BQ，在BQ上截取PQ=PJ，设PS交BQ于点E，

∵DQ垂直平分线段AB，
∴QA=QB，QD⊥AB，AD=DB，
∴∠QAD=∠QBA=30°，
∴∠AQD=∠BQD=60°，
∴∠PQJ=60°，
∵PQ=PJ，
∴△PQJ是等边三角形，
∴∠QPJ=60°，PQ=QJ，
∵，
∴∠QPJ=∠BPS=∠BQD=60°，
∴∠QPJ-∠SPJ=∠BPS-∠SPJ，即∠QPS=∠BPJ，
∵∠QES=∠PEB，
∴∠S=∠PBJ，
∵PQ=PJ，