精品解析：重庆市重庆市2021-2022学年八年级上学期期末数学试题

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（全卷共四个大题，满分150分，考试时间120分钟）
注意事项：
1．试题的答案书写在答题卡上，不得在试题卷上直接作答；
2．作答前认真阅读答题卡上的注意事项；
3．作图（包括作辅助线）请一律用黑色2B铅笔完成；
4．考试结束，由监考人员将试题卷和答题卡一并收回．
一、选择题：（本大题共12个小题，每小题4分，共48分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑．
1. 的结果是（ ）
A. B. C. 1D. 0
【答案】C
【解析】
【分析】根据0次幂的定义即可得出答案.
【详解】，故答案选择C.
【点睛】本题考查的是0次幂，比较简单，记住公式.
2. 下列四个手机图标中，是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据轴对称图形的概念求解．
【详解】A、不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
B、是轴对称图形，故此选项符合题意；
C、不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
D、不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
故选：B．
【点睛】此题主要考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
3. 计算（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】积的乘方，把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，据此计算即可．
【详解】解：（-2x2）3=（-2）3•（x2）3=-8x6．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了积的乘方，熟记幂的运算法则是解答本题的关键．
4. 若的值等于0，则x的值是（ ）
A. 2B. C. 2或D. 0
【答案】A
【解析】
【分析】根据分式值为零的条件可得：|x|-2=0且x+2≠0，再解即可．
【详解】解：若的值等于0，则|x|-2=0且x+2≠0，
所以x=2．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了分式值为零的条件，关键是掌握分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．注意：“分母不为零”这个条件不能少．
5. 如图，在△ABC中，AB=5，AC=3，AD为BC边上的中线，则△ABD与△ACD的周长之差为（ ）
A. 2B. 3C. 4D. 5
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意，AD是△ABC的边BC上的中线，可得BD=CD，进而得出△ABD的周长=AB+BD+AD，△ACD的周长=AC+CD+AD，相减即可得到周长差．
【详解】解：∵AD是△ABC的中线，
∴BD=CD，
∴△ABD与△ACD的周长之差为：
（AB+BD+AD）-（AC+CD+AD）
=AB+BD+AD-AC-CD-AD
=AB-AC
=5-3
=2；
故选：A．
【点睛】本题主要考查了三角形的中线、高和三角形周长的求法，熟练掌握三角形周长公式是解题的关键．
6. （ ）
A. 1B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用积的乘方的法则对所求的式子进行运算即可．
【详解】解：
=1×（-2.6）
=-2.6，
故选：D．
【点睛】本题主要考查积乘方，解答的关键是对积的乘方的法则的掌握．
7. 如图，△ABC中，AD为△ABC的角平分线，BE为△ABC的高，∠C=70°，∠ABC=48°，那么∠3是（ ）

A. 31°B. 59°C. 62°D. 69°
【答案】B
【解析】
【分析】根据高线定义可得∠AEB=90°，然后根据∠C=70°，∠ABC=48°求出∠CAB，再根据角平分线的定义求出∠1，然后利用三角形的内角和等于180°列式计算即可得解．
【详解】解：∵BE为△ABC的高，
∴∠AEB=90°，
∵∠C=70°，∠ABC=48°，
∴∠CAB=62°，
∵AF是角平分线，
∴∠1=∠CAB=31°，
在△AEF中，∠EFA=180°-31°-90°=59°．
∴∠3=∠EFA=59°，
故选：B．
【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，高线的定义，熟记概念与定理并准确识图是解题的关键．
8. 直线l是一条河，P，Q是在l同侧的两个村庄．欲在l上的M处修建一个水泵站，向P，Q两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则M处到P，Q两地距离相等的方案是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据轴对称性质及最短路径问题解答．
【详解】解：解：连接PQ，作PQ的垂直平分线交直线l于点M，
故选：C．
【点睛】本题考查了线段垂直平分线性质的应用．这类问题的解答依据是“线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等”．
9. 如图，已知，在不添加辅助线的情况下，若再添一个条件就可以证明，下列条件中符合要求的有（ ）个
① ② ③ ④
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】根据全等三角形的判定定理依次分析判断．
【详解】解：由题意知AB=CD，AC=CA，
①，可依据SSS证明；
②∵，∴∠DAC=∠ACB，不能证明；
③，不能证明；
④∵，∴∠BAC=∠ACD，利用SAS证明；
故选：B．
【点睛】此题考查了添加一个条件证明三角形全等，熟记全等三角形的判定定理是解题的关键．
10. 如图，△ABC与△AEF中，点F在BC上，AB＝AE，BC＝EF，∠B＝∠E，AB交EF于点D，∠FAC＝40°，则∠BFE＝（ ）
A. 35°B. 40°C. 45°D. 50°
【答案】B
【解析】
【分析】由“SAS”可证△ABC≌△AEF，可得∠C＝∠AFE，由外角的性质可求解．
【详解】解：在△ABC和△AEF中，
，
∴△ABC≌△AEF（SAS），
∴∠C＝∠AFE，
∵∠AFB＝∠FAC+∠C＝∠AFE+∠EFB，
∴∠BFE＝∠FAC＝40°，
故选：B．
【点睛】本题主要考查三角形的全等证明，掌握证明全等三角形的方法是解题的关键．
11. 如图，在中，，，垂足分别为D，E，，交于点H，已知，，则的长是（ ）
A. 1B. C. 2D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用“八字形”图形推出∠EAH=∠ECB，根据，EH=3，求出AE=4，证明△AEH≌△CEB，得到AE=CE=4，即可求出CH．
【详解】解：∵，，
∴∠CEB=，
∵∠AHE=∠CHD，
∴∠EAH=∠ECB
∵，EH=3，
∴AE=4，
∵∠AEH=∠CEB，∠EAH=∠ECB，EH=BE，
∴△AEH≌△CEB，
∴AE=CE=4，
∴CH=CE-EH=4-3=1，
故选A．
【点睛】此题考查了全等三角形的判定及性质，“八字形”图形的应用，熟记全等三角形的判定定理是解题的关键．
12. 若关于x的方程无解，则（ ）
A. 3B. 0或8C. 或3D. 3或8
【答案】C
【解析】
【分析】先将方程化为整式方程，根据分式方程无解，得到a=3时，原方程无解；当时，将x=0， x=2，代入整式方程的解中求出a值．
【详解】解：去分母得x（x+a）-5（x-2）=x（x-2），
整理得（a-3）x=-10，
当a=3时，原方程无解；
当时，系数化为1得，
∵关于x的方程无解，
∴x=0，或x-2=0，即x=2，
∴当x=0时，无解，
当x=2时，解得a=-2，
故选C．
【点睛】此题考查了分式方程无解的问题，正确解分式方程并掌握无解的情况是解题的关键．
二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上．
13. 将数0.000000123用科学记数法表示为______．
【答案】1.23×10-7
【解析】
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10-n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【详解】解：0.000000123=1.23×10-7；
故答案为：1.23×10-7．
【点睛】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10-n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
14. 在测量一个小口圆形容器的壁厚时，小明用“X型转动钳”按如图方法进行测量，其中OA=OD，OB=OC，测得AB=a，EF=b，用a和b表示圆形容器的壁厚是______．
【答案】（b-a）
【解析】
【分析】连接AB，只要证明△AOB≌△DOC，可得AB=CD，即可解决问题．
【详解】解：连接AB．
在△AOB和△DOC中，
，
∴△AOB≌△DOC（SAS），
∴AB=CD=a，
∵EF=b，
∴圆柱形容器的壁厚是（b-a），
故答案为：（b-a）．
【点睛】本题考查全等三角形的应用，解题的关键是利用全等三角形的性质解决实际问题．属于中考常考题型．
15. 若，，则的值为______．
【答案】8
【解析】
【分析】指数相加可以化为同底数幂的乘法，故am+2n=am•a2n，指数相乘化为幂的乘方a2n=（an）2，再根据已知条件可得到答案．
【详解】解：am+2n=am•a2n=am•（an）2=2×4=8．
故答案为：8．
【点睛】本题主要考查了同底数幂的乘法，幂的乘方的逆运算，关键是熟练掌握相关运算法则．
16. 如图，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，D是BC边上的一点，过点B，C作BE⊥AD，CF⊥AD分别交AD于E，F，若BE=5，CF=3，则EF=______．
【答案】2
【解析】
【分析】利用AAS证明△ABE≌△CAF，得BE=AF=5，AE=CF=3，从而得出答案．
【详解】解：∵BE⊥AD，CF⊥AD，
∴∠BAC=∠BEA=∠AFC=90°，
∴∠ABE+∠BAE=90°，∠BAE+∠CAF=90°，
∴∠ABE=∠CAF，
在△ABE与△CAF中，
，
∴△ABE≌△CAF（AAS），
∴BE=AF=5，AE=CF=3，
∴EF=AF-AE=2，
故答案为：2．
【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，证明△ABE≌△CAF是解题的关键．
17. 已知x+y=3，x2+y2=23，（x-y）2的值为______．
【答案】37
【解析】
【分析】先根据式子2xy=（x+y）2-（x2+y2）计算出xy的值，再由式子（x-y）2=（x+y）2-4xy计算出（x-y）2的值即可．
【详解】解：∵x+y=3，x2+y2=23，
∴2xy=（x+y）2-（x2+y2）=32-23=-14，
∴xy=-7；
∴（x-y）2=（x+y）2-4xy=32-4×（-7）=37．
故答案为：37．
【点睛】本题考查完全平方公式，熟练完全平方公式的基本形式以及对公式的变形综合应用是解题的关键．
18. 如图，在等腰Rt△BCD中BC=DC，∠BCD=90°，CF是BD边上的高，CF=4．点E是BC的中点，点P是平面内一点，CP=3，连接EP，以点E为直角顶点，EP为直角边作等腰Rt△EPQ，连接DQ，则DQ的最小值为______．
【答案】##
【解析】
【分析】由“SAS”可证△QEF≌△PEC，可得QE=CP=3，由三角形的三边关系可求解．
【详解】解：如图，连接EF，QF，
∵BC=DC，∠BCD=90°，CF⊥BD，
∴CF=BF=DF=4，
∵点E是BC的中点，
∴EF=CE，EF⊥BC，
∵QE⊥EP，
∴∠QEP=90°=∠FEC，
∴∠FEQ=∠CEP，
在△QEF和△PEC中，，
∴△QEF≌△PEC（SAS），
∴QF=CP=3，
在△DQF中，DQ＞DF-QF，
∴当点Q在DF上时，DQ有最小值为4-3，
故答案为：4-3．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，三角形的三边关系，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．
三、解答题：（本大题共2个小题，其中19题8分，20题10分，共18分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．
19. 分解因式：
（1）
（2）
【答案】（1）ab（a-b）2
（2）（2x+y-z）（y+z）
【解析】
【分析】（1）先提公因式，然后利用完全平方公式继续分解即可；
（2）利用平方差公式分解即可．
【小问1详解】
解：a3b-2a2b2+ab3
=ab（a2-2ab+b2）
=ab（a-b）2；
【小问2详解】
解：（x+y）2-（x-z）2
=（x+y+x-z）（x+y-x+z）
=（2x+y-z）（y+z）．
【点睛】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，一定要注意如果多项式的各项含有公因式，必须先提公因式．
20. 计算：
（1）
（2）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据完全平方公式、单项式乘多项式将式子展开，然后合并同类项即可；
（2）根据分式的除法和减法可以解答本题．
【小问1详解】

=
【小问2详解】
=
=
=
=
【点睛】本题考查整式的混合运算、分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
四、解答题：（本大题共6个小题，每小题10分，共60分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．
21. 如图，点D是△ABC内部的一点，BD=CD，过点D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，且∠EDB=∠FDC．
（1）求证：DE=DF；
（2）求证：△ABC为等腰三角形．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】（1）根据已知条件证明△DEB≌△DFC，即可解决问题；
（2）由（1）△DEB≌△DFC，可得∠EBD=∠FCD，根据BD=CD，即可解决问题．
【小问1详解】
证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠DEB=∠DFC，
在△DEB和△DFC中，
，
∴△DEB≌△DFC（AAS），
∴DE=DF；
【小问2详解】
证明：∵△DEB≌△DFC，
∴∠EBD=∠FCD，
∵BD=CD，
∴∠DBC=∠DCB，
∴∠EBD+∠DBC=∠FCD+∠DCB，
∴∠ABC=∠ACB，
∴AB=AC，
∴△ABC为等腰三角形．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，解决本题的关键是得到△DEB≌△DFC．
22. 如图，在平面直角坐标系中顶点坐标分别为，，．与关于y轴对称，且点A，B，C的对应点分别为点，，；
（1）在下图中画出；
（2）点M从点出发，先沿适当的路径运动到x轴上的点D处，再沿适当的路径运动到点C处停止，请画出点M的最短路径．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】（1）根据轴对称的性质即可画出图形；
（2）作点A'关于x轴的对称点A''，连接CA''交x轴于D．
【小问1详解】
如图所示，△A'B'C'即为所求；
【小问2详解】
如图所示，A'D→DC即为点M的最短路径．
【点睛】本题主要考查了作图-轴对称变换，轴对称-最短路线问题，准确画出图形是解题的关键．
23. 某社区拟建A，B两类摊位以搞活“地摊经济”，每个A类摊位的占地面积比每个B类摊位的占地面积多2平方米．建A类摊位每平方米的费用为40元，建B类摊位每平方米的费用为30元．用60平方米建A类摊位的个数恰好是用同样面积建B类摊位个数的．
（1）求每个A，B类摊位占地面积各为多少平方米？
（2）该社区拟建A，B两类摊位共90个，且建造这90个摊位的总费用不超过12500元，则A类摊位的数量最多为多少个？
【答案】（1）每个A类摊位占地面积为5平方米，每个B类摊位占地面积3平方米；
（2）A类摊位的数量最多为40个．
【解析】
【分析】（1）设每个A类摊位占地面积为x平方米，则每个B类摊位占地面积为（x-2）平方米，由题意：用60平方米建A类摊位的个数恰好是用同样面积建B类摊位个数的．列出分式方程，解方程即可；
（2）设A类摊位的数量为m个，则B类摊位的数量为（90-m）个，由题意：建造这90个摊位的总费用不超过12500元，列出一元一次不等式，解不等式即可．
【小问1详解】
解：设每个A类摊位占地面积为x平方米，则每个B类摊位占地面积为（x-2）平方米，
依题意得：，
解得：x=5，
经检验，x=5是原分式方程的解，且符合题意，
则x-2=5-2=3．
答：每个A类摊位占地面积为5平方米，每个B类摊位占地面积3平方米；
【小问2详解】
解：设A类摊位的数量为m个，则B类摊位的数量为（90-m）个，
由题意得：40×5m+30×3×（90-m）≤12500，
解得：m≤40，
答：A类摊位的数量最多为40个．
【点睛】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找出数量关系，正确列出一元一次不等式．
24. 已知，7张如图1的长为a，宽为b（其中a＞b）的小长方形纸片，按图2方式不重叠地放在长方形ABCD内，长方形ABCD的长AD=m，未被覆盖的部分的长方形MNPD的面积记作S1，长方形BEFG的面积记作S2．
（1）用含m，a，b的式子表示S1和S2；
（2）若S1-S2的值与m的取值无关，求a，b满足的数量关系．
【答案】（1）S1=ma-3ab，S2=4bm-4ab；
（2）a，b满足的数量关系a=4b．
【解析】
【分析】（1）根据图形可得出长方形MNPD的长MD的长MD为m-3b，宽MN为a，即可得出S1的面积，长方形BEFG的长EF为m-a，宽FG为4a，即可得出S2的面积；
（2）根据（1）计算S1-S2的值与m的取值无关，即a-4b=0，即可得出答案．
【小问1详解】
解：∵MD=AD-AM=m-3b；MN=a，
∴S1=MD•MN=（m-3b）•a=ma-3ab，
∵EF=EP-FP=m-a，FG=4b，
∴S2=EF•FG=（m-a）•4b=4bm-4ab；
【小问2详解】
解：S1-S2=ma-3ab-4bm+4ab
=ab+ma-4bm
=ab+m（a-4b），
∵S1-S2的值与m的取值无关，
∴a-4b=0，
即a=4b，
所以a，b满足的数量关系a=4b．
【点睛】
本题主要考查了列代数式，及整式的混合运算，根据题意列出代数式再根据法则进行计算是解决本题的关键．
25. 在Rt△ABC中，∠ABC=90°，点D是CB延长线上一点，点E是线段AB上一点，连接DE．AC=DE，BC=BE．
（1）求证：AB=BD；
（2）BF平分∠ABC交AC于点F，点G是线段FB延长线上一点，连接DG，点H是线段DG上一点，连接AH交BD于点K，连接KG．当KB平分∠AKG时，求证：AK=DG+KG．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】（1）证明Rt△ACB≌Rt△DEB即可解决问题；
（2）作BM平分∠ABD交AK于点M，证明△BMK≌△BGK，△ABM≌△DBG，即可解决问题．
【小问1详解】
证明：在Rt△ACB和Rt△DEB中，
，
∴Rt△ACB≌Rt△DEB（HL），
∴AB=BD；
小问2详解】
证明：如图：作BM平分∠ABD交AK于点M，
∵BM平分∠ABD，KB平分∠AKG，
∴∠ABM=∠MBD=45°，∠AKB=∠BKG，
∵∠ABF=∠DBG=45°，
∴∠MBD=∠GBD，
在△BMK和△BGK中，
，
∴△BMK≌△BGK（ASA），
∴BM=BG，MK=KG，
在△ABM和△DBG中，
，
∴△ABM≌△DBG（SAS），
∴AM=DG，
∵AK=AM+MK，
∴AK=DG+KG．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是得到△BMK≌△BGK．
26. 阅读下列材料：
1637年笛卡尔在其《几何学》中，首次应用“待定系数法”
将四次方程分解为两个二次方程求解，并最早给出因式分解定理．
他认为：对于一个高于二次的关于x的多项式，“是该多项式值为0时的一个解”与“这个多项式一定可以分解为（）与另一个整式的乘积”可互相推导成立．
例如：分解因式．
∵是的一个解，∴可以分解为与另一个整式的乘积．
设
而，则有
，得，从而
运用材料提供的方法，解答以下问题：
（1）①运用上述方法分解因式时，猜想出的一个解为_______（只填写一个即可），则可以分解为_______与另一个整式的乘积；
②分解因式；
（2）若与都是多项式的因式，求的值．
【答案】（1）①：x=-1；（x+1）；②；（2）3
【解析】
【分析】（1）①计算当x=-1时，方程成立，则必有一个因式为（x+1）,即可作答；
②根据待定系数法原理先设另一个多项式，然后根据多项式乘多项式的计算即可求得结论；
（2））设（其中M为二次整式），由材料可知，x=1，x=-2是方程的解，然后列方程组求解即可．
【详解】解：（1）①，观察知，显然x=-1时，原式=0，则的一个解为x=-1；原式可分解为（x+1）与另一个整式的积．
故答案为：x=-1；（x+1）
②设另一个因式为（x2+ax+b），
（x+1）（x2+ax+b）=x3+ax2+bx+x2+ax+b
=x3+（a+1）x2+（a+b）x+b
∴a+1=0 ，a=-1， b=3
∴多项式的另一因式为x2-x+3．
∴．
（2）设（其中M为二次整式），
由材料可知，x=1，x=-2是方程的解，
∴可得，
∴②-①，得m-n=3
∴的值为3．
【点睛】本题考查了分解因式，正确理解题意，利用待定系数法和多项式乘多项式的计算法则求解是解题的关键．