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浙江省杭州市西湖区2023-2024学年八年级上学期数学期中仿真模拟试卷（二）
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这是一份浙江省杭州市西湖区2023-2024学年八年级上学期数学期中仿真模拟试卷（二），共6页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（每题3分，共30分）
1．下列图标是节水、绿色食品、回收、节能的标志，其中是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
2．如图，在△ABC中，画出AC边上的高（ ）
A．B．
C．D．
3． 已知aA．a−24．等腰三角形的两边长分别为2cm和5cm，则这个三角形的周长为（ ）
A．12cmB．9cmC．7cmD．12cm或9cm
5．满足下列条件的△ABC中，不是直角三角形的是（ ）
A．∠A＝2∠B＝3∠CB．∠B+∠A＝∠C
C．两个内角互余D．∠A：∠B：∠C＝2：3：5
6．下列命题中，假命题是（ ）
A．全等三角形对应角相等
B．对顶角相等
C．同位角相等
D．有两边对应相等的直角三角形全等
7．已知一个三角形的三条边长之比为3：4：5，且三角形的周长为24cm，则三角形的面积为（ ）
A．6cm2B．12cm2C．24cm2D．48cm2
8．如图，△ABC的三边AC、BC、AB的长分别是8、12、16，点O是△ABC三条角平分线的交点，则SΔOAB：SΔOBC：SΔOAC的值为（ ）
A．4：3：2B．1：2：3C．2：3：4D．3：4：5
9．如图，在△ABC中，分别以点A和点B为圆心，大于12AB的长为半径画弧，两弧相交于点P、Q，作直线PQ交AB于点D，连接AD，若△ABC的周长为15，AB＝6，则△ADC的周长为（ ）
A．6B．7C．8D．9
10．如图，在△AOB和△COD中，OA=OB，OC=OD，OAA．4B．3C．2D．1
二、填空题（每空4分，共24分）
11．根据“ x 的2倍与3的差不小于8”列出的不等式是 ．
12．“若ab＞0，则a＞0，b＞0” 命题（选填“是”或“不是”）．
13．三角形三个内角度数之比是1：2：3，则此三角形是 三角形．
14．等腰△ABC中，AB=AC，顶角A为40°，平面内有一点P，满足AP=BC且BP=BA，则∠PBC的度数为 °．
15．如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AC=3，AB=4，BC=5，CD平分∠ACB，如果点P，点Q分别为CD，AC上的动点，那么AP+PQ的最小值是 ．
16．图1是小馨在“天猫双12”活动中购买的一张多档位可调节靠椅．档位调节示意图如图2所示，已知两支脚AB=AC=0.7米，BC=0.84米，O为AC上固定连接点，靠背OD=0.7米．档位为Ⅰ档时，OD//AB，档位为Ⅱ档时，OD'⊥AC.当靠椅由Ⅰ档调节为Ⅱ档时，靠背顶端D向后靠的水平距离(即EF)为 米．
三、解答题（共8题，共66分）
17．解不等式，并将解集在数轴上表示出来.
（1）4x−1>3x；
（2）2x−14−1+x6≥1.
18．图①、图②、图③均是6×4的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫做格点，△ABC的顶点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点均在格点上．
（1）在图①中以AC为边，画一个等腰△ACD；
（2）在图②中画△ABE，使△ABE与△ABC关于直线AB对称；
（3）在图③中画△BAF，使△BAF与△ABC全等．
19．如图，△ABC中，AD是△ABC的中线，AE是△ABC的角平分线，AH是△ABC的高．
（1）若△ABD的面积为8，AH=4，求BC的长；
（2）若∠B=30°，∠EAH=20°，求∠C的度数．
20．如图1，在平面直角坐标系中，点A(a，b)，连接OA，将OA绕点O逆时针方向旋转90°到OB．
（1）求点B的坐标；(用字母a，b表示)
（2）如图2，延长AB交x轴于点C，过点B作BD⊥AC交y轴于点D，求证：OC=OD．
21．如图，某人从A地到B地共有三条路可选，第一条路是从A到B，AB为10米，第二条路是从A经过C到达B地，AC为8米，BC为6米，第三条路是从A经过D地到B地共行走26米，若C、B、D刚好在一条直线上.
（1）求证：∠C=90°；
（2）求AD和BD的长.
22．如图，在△ABC中，AB的垂直平分线EF交BC于点E，交AB于点F，AD⊥BC于D，BE=AC．
（1）求证：D为线段CE的中点．
（2）若∠BAC=75°，求∠B的度数．
23．如图，点P是等边△ABC内一点，点D是△ABC外的一点，△ADB≌△APC，连接PD．
（1）求证：△ADP是等边三角形；
（2）若∠BPC=90°，∠APC=150°，PA=4，求PB的长．
24．【问题背景】
（1）如图1，点P是线段AB，CD的中点，求证：AC∥BD；
（2）【变式迁移】
如图2，在等腰△ABC中，BD是底边AC上的高线，点E为△ABD内一点，连接ED，延长ED到点F，使ED=FD，连接AF，若BE⊥AF，若AB=10，EB=6，求AF的长；
（3）【拓展创新】
如图3，在等腰△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点D为AB中点，点E在线段BD上（点E不与点B，点D重合），连接CE，过点A作AF⊥CE，连接FD，若AF=8，CF=3，请直接写出FD的长.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A、此选项中的图案不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
B、此选项中的图案是轴对称图形，故此选项符合题意；
C、此选项中的图案不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
D、此选项中的图案不是轴对称图形，故此选项不符合题意.
故答案为：B.
【分析】把一个平面图形，沿着某一条直线折叠，直线两旁的部分能完全重合的平面图形就是轴对称图形，据此一一判断得出答案.
2．【答案】D
【知识点】三角形的角平分线、中线和高
【解析】【解答】解：由题意可得：
AC边上的高为：过点B作BD⊥AC于点D
故答案为：D
【分析】根据三角形边上的高的定义即可求出答案。
3．【答案】D
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】
A：a−2B：2a<2b，正确，不合题意；
C：a+cD：ac故答案为：D.
【分析】本题考查不等式的性质：不等式的两边同时加上或减去同一个数，不等式依然成立；不等式的两边同时乘以或除以同一个正数，不等式不变号；不等式的两边同时乘以或除以同一个负数，不等式要变号，＞变＜，＜变＞，≥变≤，≤变≥，≠不变。
4．【答案】A
【知识点】三角形三边关系；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：由题意得，当2为等腰三角形的腰长时，等腰三角形的三条边为2，2，5，
∵2+2＜5，
∴等腰三角形的一条边2不可能为腰长，
∴5为等腰三角形的腰长，即三边分别为5，5，2，
∴等腰三角形的周长为：5+5+2=12.
故答案为：A.
【分析】根据等腰三角形的性质分情况讨论即2为腰长或5为腰长，利用三角形的三边关系即可判断只有5才能为腰长，从而知道等腰三角形的周长.
5．【答案】A
【知识点】三角形内角和定理
【解析】【解答】解：A、设∠C=2x，则∠B=3x，∠A=6x，
∴2x+3x+6x=180°，
∴x=18011°
∴最大的角∠A=6x=108011°≈98.18°，
∴该三角形不是直角三角形，
∴A选项符合题意
B、∵∠B+∠A＝∠C，∠A+∠B+∠C=180°，
∴2∠C=180°，
∴∠C=90°，
∴该三角形是直角三角形，
∴B选项不符合题意；
C、∵两个内角互余，且三个内角的和为180° ，
∴最大角=180°- 90°=90°，
∴该三角形是直角三角形，
∴C选项不符合题意；
D、设∠A=2y，则∠B=3y，∠C=5y，
∴2y+ 3y+ 5y=180°，
∴y=18°，
∴最大角∠C=5y=5×18°=90°，
∴该三角形是直角三角形，
∴D选项不符合题意；
故答案为：A.
【分析】利用三角形的内角和及角的运算逐项判断即可.
6．【答案】C
【知识点】真命题与假命题
【解析】【解答】解：A、全等三角形对应角相等，是真命题，不符合题意；
B、对顶角相等，是真命题，不符合题意；
C、两直线平行，同位角相等，是假命题，符合题意；
D、有两边对应相等的直角三角形全等，是真命题，不符合题意；
故答案为：C．
【分析】根据假命题的定义逐项判断即可。
7．【答案】C
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：由题意可得：
三角形三边长分别为：312×24=6，412×24=8，512×24=10
∵62+82=102
∴两直角边长分别为：6,8
故三角形面积S=12×6×8=24
故答案为：C
【分析】根据三边之比关系及周长可求出三角形三边长，再根据勾股定理得逆定理可得三角形为直角三角形，再根据三角形面积公式即可求出答案.
8．【答案】A
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质
【解析】【解答】解：如图，过点O作OD⊥AB于点D，OE⊥BC于点E，OF⊥AC于点F，
∵点O是△ABC三条角平分线的交点，
∴OD=OE=OF.
∵SΔOAB=12AB⋅OD=12×16OD=8OD，
SΔOBC=12BC⋅OE=12×12OD=6OE，
SΔOAC=12AC⋅OF=12×8OF=4OF，
∴SΔOAB：SΔOBC：SΔOAC=8OD：6OE：4OF=4：3：2.
故答案为：A.
【分析】过点O作OD⊥AB于点D，OE⊥BC于点E，OF⊥AC于点F，由点O是△ABC三条角平分线的交点，可得OD=OE=OF，由三角形的面积公式分别求出SΔOAB=8OD，SΔOBC=6OE，SΔOAC=4OF，继而求出其比值.
9．【答案】D
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵根据题意得出PQ是线段AB的垂直平分线，
∴AD＝BD，
∴AD+CD＝BC.
∵△ABC的周长为15，AB＝6，
∴△ADC的周长＝AC+BC＝△ABC的周长﹣AB＝15﹣6＝9.
故答案为：D.
【分析】根据题意得出PQ是线段AB的垂直平分线，根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等得AD=BD，进而根据三角形周长的计算方法等量代换及线段的和差可求出答案.
10．【答案】B
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定
【解析】【解答】解：∵∠AOB=∠COD=36°，
∴∠AOB＋∠BOC=∠COD＋∠BOC，
即∠AOC=∠BOD，
在△AOC和△BOD中，
OA=OB∠AOC=∠BODOC=OD ，
∴△AOC≌△BOD（SAS），
∴∠OAC=∠OBD，
∵∠OGA=∠MGB，
∴∠AMB=180−∠OBD−∠MGB＝180°−∠OAC−∠OGA=∠AOC=36°，
∴∠AMB=∠AOB=36°，故①符合题意；
∵△AOC≌△BOD，
∴AC=BD，故②，
作OG⊥AM于G，OH⊥DM于H，如图所示，
则∠OGA=∠OHB=90°，
∵△AOC≌△BOD，
∴S△OAC=S△OBD，即AC·OG=BD·OH，
∵AC=BD，
∴OG=OH，
∴MO平分∠AMD，故④符合题意；
假设MO平分∠AOD，则∠DOM=∠AOM，
在△AMO与△DMO中，
∠AOM=∠DOMOM=OM∠AMO=∠DMO，
∴△AMO≌△DMO（ASA），
∴AO=OD，
∵OC=OD，
∴OA=OC，
而OA∴假设不符合题意，OM不能平分∠AOD
故③不符合题意；
正确的序号有①②④．
故答案为：B．
【分析】根据全等三角形的判定方法和性质逐项判断即可。
11．【答案】2x-3≥8
【知识点】不等式的定义
【解析】【解答】解：∵ “ x 的2倍与3的差不小于8”
∴2x-3≥8.
故答案为：2x-3≥8.
【分析】利用不小于就是大于等于，列不等式即可.
12．【答案】是
【知识点】定义、命题及定理的概念
【解析】【解答】解：若ab＞0，则a＞0，b＞0是一个命题.
故答案为：是．
【分析】根据命题的定义求解即可。
13．【答案】直角
【知识点】三角形内角和定理
【解析】【解答】解：设三角形三个内角的度数分别为x，2x，3x，
∴x+2x+3x=180，
解得x=30，
∴三角形三个内角的度数分别为30°，60°，90°，
∴此三角形是直角三角形.
故答案为：直角.
【分析】根据题意设三角形三个内角的度数分别为x，2x，3x，再根据三角形内角和等于180°列出方程，求出x的值，从而求出三角形三个内角的度数，即可得出答案.
14．【答案】30或110
【知识点】等腰三角形的性质；三角形全等的判定（SSS）
【解析】【解答】解：分类讨论：当点P在AB的左侧时，如图，
∵AB=AC，BP=BA，∠BAC=40°，
∴AC=BP，∠ABC=12（180°-∠BAC）=70°，
在△ABC和△BAP中，∵BC=AP，AC=BP，AB=AB，
∴△ABC≌△BAP（SSS），
∴∠PBA=∠BAC=40°，
∴∠PBC=∠PBA+∠ABC=110°；
当点P在AB的右侧时，如图，
∵AB=AC，BP=BA，∠BAC=40°，
∴AC=BP，∠ABC=12（180°-∠BAC）=70°，
在△ABC和△BAP中，∵BC=AP，AC=BP，AB=AB，
∴△ABC≌△BAP（SSS），
∴∠PBA=∠BAC=40°，
∴∠PBC=∠ABC-∠PBA=30°.
综上∠PBC的度数为30°或110°.
故答案为：30或110.
【分析】当点P在AB的左侧时，由等腰三角形的性质及等量代换得AC=BP，∠ABC=70°，然后利用SSS判断出△ABC≌△BAP，得∠PBA=∠BAC=40°，然后根据∠PBC=∠PBA+∠ABC算出答案；当点P在AB的右侧时，由等腰三角形的性质及等量代换得AC=BP，∠ABC=70°，然后利用SSS判断出△ABC≌△BAP，得∠PBA=∠BAC=40°，然后根据∠PBC=∠CBA-∠ABP算出答案，综上即可得出答案.
15．【答案】125
【知识点】三角形的面积；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：如图所示，作点Q关于CD的对称点E，作AF⊥BC，
∵CD平分∠ACB，
∴点E在线段BC上，
∴AP+PQ=AP+PE≥AF，
∴AP+PQ的最小值为AF的长度，
∵∠BAC=90°，
∴S△ABC=12×AB×AC=12×BC×AF，即12×3×4=12×5×AF，
∴解得AF=125，
∴AP+PQ的最小值是125．
故答案为：125．
【分析】作点Q关于CD的对称点E，作AF⊥BC，利用三角形的面积公式可得S△ABC=12×AB×AC=12×BC×AF，即12×3×4=12×5×AF，再求出AF=125，即可得到AP+PQ的最小值是125。
16．【答案】0.14
【知识点】余角、补角及其性质；平行线的性质；等腰三角形的性质；勾股定理；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：如图，过A作AG⊥BC于点G，过O作OH⊥BC于H，作OM⊥D'F于点M，交DE于点N，
∴∠AGB=∠AGC=∠OHC=∠OND=90°，OM＝HF，ON＝HE，
∵AB＝AC＝0.7米，BC＝0.84米，
∴BG＝CG＝12BC＝0.42米，
∴AG＝AB2−BG2=0.72−0.422=0.56米，
∵OD∥AB，BC∥OM，
∴∠ABG＝∠DON，
又∵AB=DO=0.7米
∴△ABG≌△DON（AAS），
∴BG＝ON＝HE＝0.42米，
∵OD'⊥AC．
∴∠D'OM+∠MOC＝90°，
∵OM∥BC，
∴∠MOC＝∠ACG，
∵∠ACG+∠CAG＝90°，
∴∠CAG＝∠D'OM，
又∵AC=D'O=0.7米
∴△ACG≌△OD'M（AAS），
∴AG＝OM＝HF＝0.56米，
∴EF＝HF-HE＝0.56-0.42＝0.14米，
故答案为：0.14．
【分析】如图，过A作AG⊥BC于点G，过O作OH⊥BC于H，作OM⊥D'F于点M，交DE于点N，易得∠AGB=∠AGC=∠OHC=∠OND=90°，OM＝HF，ON＝HE，由等腰三角形性质可得BG＝CG＝0.42米，从而利用勾股定理求得AG＝0.56米；由平行线性质可推出∠ABG＝∠DON，利用“AAS”定理证出△ABG≌△DON，可得BG＝ON＝HE＝0.42米，再利用角的互余关系等量代换可得∠CAG＝∠D'OM，
进而证出△ACG≌△OD'M，可得到AG＝OM＝HF＝0.56米，最后由EF＝HF-HE代入数据，计算即可求解.
17．【答案】（1）解：4x−1>3x，
移项得4x−3x>1，
合并得x>1，
用数轴表示为：
（2）解2x−14−1+x6≥1，
去分母得3(2x−1)−2(1+x)≥12，
去括号得6x−3−2−2x≥12，
移项得6x−2x≥12+3+2，
合并得4x≥17，
系数化为1得x≥174，
用数轴表示为：
【知识点】解一元一次不等式；在数轴上表示不等式的解集
【解析】【分析】（1）利用移项合并、系数化为1先解出不等式，然后将解集在数轴上表示即可；
（2）利用去分母、去括号后、移项合并、系数化为1先解出不等式，然后将解集在数轴上表示即可；
18．【答案】（1）解：如图①△ACD ，即为所求；
（2）解：如图②△ABE ，即为所求；
（3）解：如图③△BAF ，即为所求．
【知识点】作图-三角形
【解析】【分析】（1）根据等腰三角形的性质即可得出结论；
（2）根据轴对称性质即可得出结论；
（3）根据全等三角形的性质即可得出结论。
19．【答案】（1）解：由题意可得：S△ABD=12BD·AH，
即8=12BD×4，
∴BD=4，
又AD为△ABC的中线，
∴BC=2BD=8，
（2）解：∵AH是△ABC的高，∠EAH=20°，
∴∠AHE=90°，∠AEH=90°−∠EAH=70°
∠EAB=∠AEH−∠B=70°−30°=40°
又AE是△ABC的角平分线
∴∠BAC=2∠EAB=80°
∴∠C=180°−∠BAC−∠B=70°
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形的面积；三角形内角和定理
【解析】【分析】本题考查三角形的中线、高线、角平分线的性质和内角和与面积的计算。
（1）根据 △ABD的面积为8和AH=4可得BD，结合 AD为△ABC的中线可知BC=2BD，则BC可求；
（2） 根据AH是△ABC的高，∠EAH=20°可知∠AHE，∠AEH，∠EAB，根据AE是△ABC的角平分线，得∠BAC=2∠EAB，可得∠C.
20．【答案】（1）解：如图1，
作AC⊥x轴于C，作BD⊥x轴于D，
∴∠ACO=∠BDO=90°，
∴∠AOC+∠A=90°，
∵∠AOB=90°，
∴∠AOC+∠BOD=90°，
∴∠A=∠BOD，
在△AOC和△OBD中，
∠ACO=∠BDO∠A=∠BODOA=OB，
∴△AOC≌△OBD(AAS)，
∴OD=AC=|b|，BD=OC=|a|，
∴B(−b，a)；
（2）证明：如图2，
设OC，BD交于点E，
∵BD⊥AC，
∴∠BCD=∠COD=90°，
∵∠BEC=∠DEO，
∴∠ACO=∠BDO，
∵∠AOB=∠COD=90°，
∴∠AOB+∠BOC=∠COD+∠BOC，
即：∠AOC=∠BOD，
∵OA=OB，
∴△AOC≌△BOD(ASA)，
∴OC=OD．
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定
【解析】【分析】（1）作AC⊥x轴于C，作BD⊥x轴于D，根据全等三角形的判定定理可得出 △AOC≌△OBD，根据全等三角形性质即可求出答案；
（2）设OC，BD交于点E，根据垂直性质进行角之间的等量替换，根据全等三角形的判定定理及性质即可求出答案。
21．【答案】（1）证明：根据题目条件有：AB=10米，AC=8米，BC=6米，
即：AB2=AC2+BC2，
∴△ABC是直角三角形，AB且为斜边，
∴∠C=90°
（2）解：根据题意有：AD+BD=26，
∴AD=26−BD，
∵BC=6米，
∴CD=BD+BC=BD+6，
∵AC=8米，∠C=90°，
∴在Rt△ACD中，有：AD=AC2+DC2，
∴26−BD=82+(6+BD)2，
解得：BD=9米，
∴AD=26−BD=26−9=17米，
即：BD=9米，AD=17米
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【分析】（1）根据勾股定理的逆定理可求解；
（2）由题意可得AD=26-BD，CD=BD+6，在Rt△ACD中，由勾股定理得AD=AC2+DC2，据此建立关于BD的方程，求出BD的长，从而求出AD的长.
22．【答案】（1）证明：连接AE ，如图所示，
∵EF垂直平分AB ，
∴ AE=BE ，
∵ BE=AC ，
∴ AE=AC ，
∴ △ACE是等腰三角形，
∵AD⊥BC ，
∴D是EC的中点，
（2）解：设 ∠B=x° ；
∵ AE=BE ，
∴ ∠BAE=∠B=x° ，
∴ ∠AEC=∠B+∠BAE=2x° ，
∵ AE=AC ，
∴ ∠C=∠AEC=2x° ，
∵ 在三角形ABC中， ∠B+∠C+∠BAC=3x°+75°=180° ，
解得 x=35 ，
∴ ∠B=35° ．
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）连接AE，由线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等得AE=BE，结合已知可得AE=AC，进而根据等腰三角形的三线合一可得ED=CD，即点D为CE的中点；
（2）设∠B=x°，由等边对等角得∠BAE=∠B=x°，由三角形外角性质得∠AEC=∠B+∠BAE=2x°，再由等边对等角得∠C=∠AEC=2x°，在△ABC中，根据三角形的内角和定理建立方程，可求出x的值，从而得到答案.
23．【答案】（1）证明：∵△ADB≌△APC，
∴AD=AP，∠DAB=∠PAC，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠BAC=∠PAC+∠BAP=60°，
∴∠DAB+∠BAP=60°，
即∠DAP=60°，
∴△ADP是等边三角形．
（2）解：∵△ADB≌△APC，∠APC=150°，
∴∠ADB=∠APC=150°，
∵∠BPC=90°，
∴∠APB=360°−90°−150°=120°，
∵△ADP是等边三角形．
∴∠ADP=∠APD=60°，PA=PD=4，
∴∠BDP=∠ADB−∠ADP=150°−60°=90°，
∠BPD=∠APB−∠APD=120°−60°=60°，
∴在Rt△BPD中，∠DBP=180°−90°−60°=30°，
∴PB=2PD=8．
【知识点】等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形
【解析】【分析】（1）先证明∠DAP=60°，再结合AD=AP，即可得到△ADP是等边三角形；
（2）先求出∠APB=360°−90°−150°=120°，再利用角的运算求出∠BPD=∠APB−∠APD=120°−60°=60°，利用三角形的内角和求出∠DBP=180°−90°−60°=30°，最后利用含30°角的直角三角形的性质可得PB=2PD=8。
24．【答案】（1）证明：∵点P是线段AB，CD的中点，
∴PA=PB，PD=PC，
在△PAC和△PBD中，
PA=PB∠APC=∠BPDPC=PD
∴△PAC≌△PBD(SAS)，
∴∠A=∠B，
∴AC∥BD；
（2）解：如图：连接CE，
∵在等腰△ABC中，BD是底边AC上的高线，
∴AD=DC，
在△ADF和△CDE中，
DF=DE∠ADF=∠CDEAD=CD
∴△ADF≌△CDE(SAS)，
∴∠FAD=∠ECD，AF=CE，
∴AF∥CE，
∵BE⊥AF，
∴BE⊥CE，
∵AB=BC=10，BE=6，
∴CE=BC2−BE2=102−62=8，
∴AF=8；
（3）解：522
【知识点】平行线的判定与性质；三角形全等的判定；勾股定理
【解析】【解答】解：（3）如图：延长FD到T，使得DT=DF，连接BT，延长CE交BT于点J.
∵点D为AB中点，
∴AD=BD，
在△ADF和△BDT中，
DF=DT∠ADF=∠BDTAD=DB
∴△ADF≌△BDT(SAS)，
∴AF=BT=8，∠T=∠AFD，
∴AF∥BT，
∵AF⊥CJ，
∴CJ⊥BT，
∴∠AFC=∠CJB=∠ACB=90°，
∵∠ACF+∠BCJ=90°，∠BCJ+∠CBJ=90°，
∴∠ACF=∠CBJ，
又∵AC=CB，
∴△AFC△CJB(AAS)，
∴CF=BJ=3，AF=CJ，
∴CJ=BT=8，
∴FJ=JT=8−3=5，
∵∠FJT=90°，
∴FT=2FJ=52，
∴DF=12FT=522.
【分析】（1）根据中点的概念可得PA=PB，PC=PD，利用SAS证明△PAC≌△PBD，得到∠A=∠B，然后根据平行线的判定定理进行证明；
（2）连接CE，根据等腰三角形的性质可得AD=DC，利用SAS证明△ADF≌△CDE，得到∠FAD=∠ECD，AF=CE，推出AF∥CE，然后利用勾股定理可求出CE的值，进而可得AF的值；
（3）延长FD到T，使得DT=DF，连接BT，延长CE交BT于点J，证明△ADF≌△BDT，得到AF=BT=8，∠T=∠AFD，根据同角的余角相等可得∠ACF=∠CBJ，证明△AFC≌△CJB，得到CF=BJ=3，CJ=BT=8，则FJ=JT=5，据此求解.
一、选择题（每题3分，共30分）
1．下列图标是节水、绿色食品、回收、节能的标志，其中是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
2．如图，在△ABC中，画出AC边上的高（ ）
A．B．
C．D．
3． 已知a
A．12cmB．9cmC．7cmD．12cm或9cm
5．满足下列条件的△ABC中，不是直角三角形的是（ ）
A．∠A＝2∠B＝3∠CB．∠B+∠A＝∠C
C．两个内角互余D．∠A：∠B：∠C＝2：3：5
6．下列命题中，假命题是（ ）
A．全等三角形对应角相等
B．对顶角相等
C．同位角相等
D．有两边对应相等的直角三角形全等
7．已知一个三角形的三条边长之比为3：4：5，且三角形的周长为24cm，则三角形的面积为（ ）
A．6cm2B．12cm2C．24cm2D．48cm2
8．如图，△ABC的三边AC、BC、AB的长分别是8、12、16，点O是△ABC三条角平分线的交点，则SΔOAB：SΔOBC：SΔOAC的值为（ ）
A．4：3：2B．1：2：3C．2：3：4D．3：4：5
9．如图，在△ABC中，分别以点A和点B为圆心，大于12AB的长为半径画弧，两弧相交于点P、Q，作直线PQ交AB于点D，连接AD，若△ABC的周长为15，AB＝6，则△ADC的周长为（ ）
A．6B．7C．8D．9
10．如图，在△AOB和△COD中，OA=OB，OC=OD，OA
二、填空题（每空4分，共24分）
11．根据“ x 的2倍与3的差不小于8”列出的不等式是 ．
12．“若ab＞0，则a＞0，b＞0” 命题（选填“是”或“不是”）．
13．三角形三个内角度数之比是1：2：3，则此三角形是 三角形．
14．等腰△ABC中，AB=AC，顶角A为40°，平面内有一点P，满足AP=BC且BP=BA，则∠PBC的度数为 °．
15．如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AC=3，AB=4，BC=5，CD平分∠ACB，如果点P，点Q分别为CD，AC上的动点，那么AP+PQ的最小值是 ．
16．图1是小馨在“天猫双12”活动中购买的一张多档位可调节靠椅．档位调节示意图如图2所示，已知两支脚AB=AC=0.7米，BC=0.84米，O为AC上固定连接点，靠背OD=0.7米．档位为Ⅰ档时，OD//AB，档位为Ⅱ档时，OD'⊥AC.当靠椅由Ⅰ档调节为Ⅱ档时，靠背顶端D向后靠的水平距离(即EF)为 米．
三、解答题（共8题，共66分）
17．解不等式，并将解集在数轴上表示出来.
（1）4x−1>3x；
（2）2x−14−1+x6≥1.
18．图①、图②、图③均是6×4的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫做格点，△ABC的顶点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点均在格点上．
（1）在图①中以AC为边，画一个等腰△ACD；
（2）在图②中画△ABE，使△ABE与△ABC关于直线AB对称；
（3）在图③中画△BAF，使△BAF与△ABC全等．
19．如图，△ABC中，AD是△ABC的中线，AE是△ABC的角平分线，AH是△ABC的高．
（1）若△ABD的面积为8，AH=4，求BC的长；
（2）若∠B=30°，∠EAH=20°，求∠C的度数．
20．如图1，在平面直角坐标系中，点A(a，b)，连接OA，将OA绕点O逆时针方向旋转90°到OB．
（1）求点B的坐标；(用字母a，b表示)
（2）如图2，延长AB交x轴于点C，过点B作BD⊥AC交y轴于点D，求证：OC=OD．
21．如图，某人从A地到B地共有三条路可选，第一条路是从A到B，AB为10米，第二条路是从A经过C到达B地，AC为8米，BC为6米，第三条路是从A经过D地到B地共行走26米，若C、B、D刚好在一条直线上.
（1）求证：∠C=90°；
（2）求AD和BD的长.
22．如图，在△ABC中，AB的垂直平分线EF交BC于点E，交AB于点F，AD⊥BC于D，BE=AC．
（1）求证：D为线段CE的中点．
（2）若∠BAC=75°，求∠B的度数．
23．如图，点P是等边△ABC内一点，点D是△ABC外的一点，△ADB≌△APC，连接PD．
（1）求证：△ADP是等边三角形；
（2）若∠BPC=90°，∠APC=150°，PA=4，求PB的长．
24．【问题背景】
（1）如图1，点P是线段AB，CD的中点，求证：AC∥BD；
（2）【变式迁移】
如图2，在等腰△ABC中，BD是底边AC上的高线，点E为△ABD内一点，连接ED，延长ED到点F，使ED=FD，连接AF，若BE⊥AF，若AB=10，EB=6，求AF的长；
（3）【拓展创新】
如图3，在等腰△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点D为AB中点，点E在线段BD上（点E不与点B，点D重合），连接CE，过点A作AF⊥CE，连接FD，若AF=8，CF=3，请直接写出FD的长.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A、此选项中的图案不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
B、此选项中的图案是轴对称图形，故此选项符合题意；
C、此选项中的图案不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
D、此选项中的图案不是轴对称图形，故此选项不符合题意.
故答案为：B.
【分析】把一个平面图形，沿着某一条直线折叠，直线两旁的部分能完全重合的平面图形就是轴对称图形，据此一一判断得出答案.
2．【答案】D
【知识点】三角形的角平分线、中线和高
【解析】【解答】解：由题意可得：
AC边上的高为：过点B作BD⊥AC于点D
故答案为：D
【分析】根据三角形边上的高的定义即可求出答案。
3．【答案】D
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】
A：a−2
C：a+c
【分析】本题考查不等式的性质：不等式的两边同时加上或减去同一个数，不等式依然成立；不等式的两边同时乘以或除以同一个正数，不等式不变号；不等式的两边同时乘以或除以同一个负数，不等式要变号，＞变＜，＜变＞，≥变≤，≤变≥，≠不变。
4．【答案】A
【知识点】三角形三边关系；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：由题意得，当2为等腰三角形的腰长时，等腰三角形的三条边为2，2，5，
∵2+2＜5，
∴等腰三角形的一条边2不可能为腰长，
∴5为等腰三角形的腰长，即三边分别为5，5，2，
∴等腰三角形的周长为：5+5+2=12.
故答案为：A.
【分析】根据等腰三角形的性质分情况讨论即2为腰长或5为腰长，利用三角形的三边关系即可判断只有5才能为腰长，从而知道等腰三角形的周长.
5．【答案】A
【知识点】三角形内角和定理
【解析】【解答】解：A、设∠C=2x，则∠B=3x，∠A=6x，
∴2x+3x+6x=180°，
∴x=18011°
∴最大的角∠A=6x=108011°≈98.18°，
∴该三角形不是直角三角形，
∴A选项符合题意
B、∵∠B+∠A＝∠C，∠A+∠B+∠C=180°，
∴2∠C=180°，
∴∠C=90°，
∴该三角形是直角三角形，
∴B选项不符合题意；
C、∵两个内角互余，且三个内角的和为180° ，
∴最大角=180°- 90°=90°，
∴该三角形是直角三角形，
∴C选项不符合题意；
D、设∠A=2y，则∠B=3y，∠C=5y，
∴2y+ 3y+ 5y=180°，
∴y=18°，
∴最大角∠C=5y=5×18°=90°，
∴该三角形是直角三角形，
∴D选项不符合题意；
故答案为：A.
【分析】利用三角形的内角和及角的运算逐项判断即可.
6．【答案】C
【知识点】真命题与假命题
【解析】【解答】解：A、全等三角形对应角相等，是真命题，不符合题意；
B、对顶角相等，是真命题，不符合题意；
C、两直线平行，同位角相等，是假命题，符合题意；
D、有两边对应相等的直角三角形全等，是真命题，不符合题意；
故答案为：C．
【分析】根据假命题的定义逐项判断即可。
7．【答案】C
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：由题意可得：
三角形三边长分别为：312×24=6，412×24=8，512×24=10
∵62+82=102
∴两直角边长分别为：6,8
故三角形面积S=12×6×8=24
故答案为：C
【分析】根据三边之比关系及周长可求出三角形三边长，再根据勾股定理得逆定理可得三角形为直角三角形，再根据三角形面积公式即可求出答案.
8．【答案】A
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质
【解析】【解答】解：如图，过点O作OD⊥AB于点D，OE⊥BC于点E，OF⊥AC于点F，
∵点O是△ABC三条角平分线的交点，
∴OD=OE=OF.
∵SΔOAB=12AB⋅OD=12×16OD=8OD，
SΔOBC=12BC⋅OE=12×12OD=6OE，
SΔOAC=12AC⋅OF=12×8OF=4OF，
∴SΔOAB：SΔOBC：SΔOAC=8OD：6OE：4OF=4：3：2.
故答案为：A.
【分析】过点O作OD⊥AB于点D，OE⊥BC于点E，OF⊥AC于点F，由点O是△ABC三条角平分线的交点，可得OD=OE=OF，由三角形的面积公式分别求出SΔOAB=8OD，SΔOBC=6OE，SΔOAC=4OF，继而求出其比值.
9．【答案】D
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵根据题意得出PQ是线段AB的垂直平分线，
∴AD＝BD，
∴AD+CD＝BC.
∵△ABC的周长为15，AB＝6，
∴△ADC的周长＝AC+BC＝△ABC的周长﹣AB＝15﹣6＝9.
故答案为：D.
【分析】根据题意得出PQ是线段AB的垂直平分线，根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等得AD=BD，进而根据三角形周长的计算方法等量代换及线段的和差可求出答案.
10．【答案】B
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定
【解析】【解答】解：∵∠AOB=∠COD=36°，
∴∠AOB＋∠BOC=∠COD＋∠BOC，
即∠AOC=∠BOD，
在△AOC和△BOD中，
OA=OB∠AOC=∠BODOC=OD ，
∴△AOC≌△BOD（SAS），
∴∠OAC=∠OBD，
∵∠OGA=∠MGB，
∴∠AMB=180−∠OBD−∠MGB＝180°−∠OAC−∠OGA=∠AOC=36°，
∴∠AMB=∠AOB=36°，故①符合题意；
∵△AOC≌△BOD，
∴AC=BD，故②，
作OG⊥AM于G，OH⊥DM于H，如图所示，
则∠OGA=∠OHB=90°，
∵△AOC≌△BOD，
∴S△OAC=S△OBD，即AC·OG=BD·OH，
∵AC=BD，
∴OG=OH，
∴MO平分∠AMD，故④符合题意；
假设MO平分∠AOD，则∠DOM=∠AOM，
在△AMO与△DMO中，
∠AOM=∠DOMOM=OM∠AMO=∠DMO，
∴△AMO≌△DMO（ASA），
∴AO=OD，
∵OC=OD，
∴OA=OC，
而OA
故③不符合题意；
正确的序号有①②④．
故答案为：B．
【分析】根据全等三角形的判定方法和性质逐项判断即可。
11．【答案】2x-3≥8
【知识点】不等式的定义
【解析】【解答】解：∵ “ x 的2倍与3的差不小于8”
∴2x-3≥8.
故答案为：2x-3≥8.
【分析】利用不小于就是大于等于，列不等式即可.
12．【答案】是
【知识点】定义、命题及定理的概念
【解析】【解答】解：若ab＞0，则a＞0，b＞0是一个命题.
故答案为：是．
【分析】根据命题的定义求解即可。
13．【答案】直角
【知识点】三角形内角和定理
【解析】【解答】解：设三角形三个内角的度数分别为x，2x，3x，
∴x+2x+3x=180，
解得x=30，
∴三角形三个内角的度数分别为30°，60°，90°，
∴此三角形是直角三角形.
故答案为：直角.
【分析】根据题意设三角形三个内角的度数分别为x，2x，3x，再根据三角形内角和等于180°列出方程，求出x的值，从而求出三角形三个内角的度数，即可得出答案.
14．【答案】30或110
【知识点】等腰三角形的性质；三角形全等的判定（SSS）
【解析】【解答】解：分类讨论：当点P在AB的左侧时，如图，
∵AB=AC，BP=BA，∠BAC=40°，
∴AC=BP，∠ABC=12（180°-∠BAC）=70°，
在△ABC和△BAP中，∵BC=AP，AC=BP，AB=AB，
∴△ABC≌△BAP（SSS），
∴∠PBA=∠BAC=40°，
∴∠PBC=∠PBA+∠ABC=110°；
当点P在AB的右侧时，如图，
∵AB=AC，BP=BA，∠BAC=40°，
∴AC=BP，∠ABC=12（180°-∠BAC）=70°，
在△ABC和△BAP中，∵BC=AP，AC=BP，AB=AB，
∴△ABC≌△BAP（SSS），
∴∠PBA=∠BAC=40°，
∴∠PBC=∠ABC-∠PBA=30°.
综上∠PBC的度数为30°或110°.
故答案为：30或110.
【分析】当点P在AB的左侧时，由等腰三角形的性质及等量代换得AC=BP，∠ABC=70°，然后利用SSS判断出△ABC≌△BAP，得∠PBA=∠BAC=40°，然后根据∠PBC=∠PBA+∠ABC算出答案；当点P在AB的右侧时，由等腰三角形的性质及等量代换得AC=BP，∠ABC=70°，然后利用SSS判断出△ABC≌△BAP，得∠PBA=∠BAC=40°，然后根据∠PBC=∠CBA-∠ABP算出答案，综上即可得出答案.
15．【答案】125
【知识点】三角形的面积；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：如图所示，作点Q关于CD的对称点E，作AF⊥BC，
∵CD平分∠ACB，
∴点E在线段BC上，
∴AP+PQ=AP+PE≥AF，
∴AP+PQ的最小值为AF的长度，
∵∠BAC=90°，
∴S△ABC=12×AB×AC=12×BC×AF，即12×3×4=12×5×AF，
∴解得AF=125，
∴AP+PQ的最小值是125．
故答案为：125．
【分析】作点Q关于CD的对称点E，作AF⊥BC，利用三角形的面积公式可得S△ABC=12×AB×AC=12×BC×AF，即12×3×4=12×5×AF，再求出AF=125，即可得到AP+PQ的最小值是125。
16．【答案】0.14
【知识点】余角、补角及其性质；平行线的性质；等腰三角形的性质；勾股定理；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：如图，过A作AG⊥BC于点G，过O作OH⊥BC于H，作OM⊥D'F于点M，交DE于点N，
∴∠AGB=∠AGC=∠OHC=∠OND=90°，OM＝HF，ON＝HE，
∵AB＝AC＝0.7米，BC＝0.84米，
∴BG＝CG＝12BC＝0.42米，
∴AG＝AB2−BG2=0.72−0.422=0.56米，
∵OD∥AB，BC∥OM，
∴∠ABG＝∠DON，
又∵AB=DO=0.7米
∴△ABG≌△DON（AAS），
∴BG＝ON＝HE＝0.42米，
∵OD'⊥AC．
∴∠D'OM+∠MOC＝90°，
∵OM∥BC，
∴∠MOC＝∠ACG，
∵∠ACG+∠CAG＝90°，
∴∠CAG＝∠D'OM，
又∵AC=D'O=0.7米
∴△ACG≌△OD'M（AAS），
∴AG＝OM＝HF＝0.56米，
∴EF＝HF-HE＝0.56-0.42＝0.14米，
故答案为：0.14．
【分析】如图，过A作AG⊥BC于点G，过O作OH⊥BC于H，作OM⊥D'F于点M，交DE于点N，易得∠AGB=∠AGC=∠OHC=∠OND=90°，OM＝HF，ON＝HE，由等腰三角形性质可得BG＝CG＝0.42米，从而利用勾股定理求得AG＝0.56米；由平行线性质可推出∠ABG＝∠DON，利用“AAS”定理证出△ABG≌△DON，可得BG＝ON＝HE＝0.42米，再利用角的互余关系等量代换可得∠CAG＝∠D'OM，
进而证出△ACG≌△OD'M，可得到AG＝OM＝HF＝0.56米，最后由EF＝HF-HE代入数据，计算即可求解.
17．【答案】（1）解：4x−1>3x，
移项得4x−3x>1，
合并得x>1，
用数轴表示为：
（2）解2x−14−1+x6≥1，
去分母得3(2x−1)−2(1+x)≥12，
去括号得6x−3−2−2x≥12，
移项得6x−2x≥12+3+2，
合并得4x≥17，
系数化为1得x≥174，
用数轴表示为：
【知识点】解一元一次不等式；在数轴上表示不等式的解集
【解析】【分析】（1）利用移项合并、系数化为1先解出不等式，然后将解集在数轴上表示即可；
（2）利用去分母、去括号后、移项合并、系数化为1先解出不等式，然后将解集在数轴上表示即可；
18．【答案】（1）解：如图①△ACD ，即为所求；
（2）解：如图②△ABE ，即为所求；
（3）解：如图③△BAF ，即为所求．
【知识点】作图-三角形
【解析】【分析】（1）根据等腰三角形的性质即可得出结论；
（2）根据轴对称性质即可得出结论；
（3）根据全等三角形的性质即可得出结论。
19．【答案】（1）解：由题意可得：S△ABD=12BD·AH，
即8=12BD×4，
∴BD=4，
又AD为△ABC的中线，
∴BC=2BD=8，
（2）解：∵AH是△ABC的高，∠EAH=20°，
∴∠AHE=90°，∠AEH=90°−∠EAH=70°
∠EAB=∠AEH−∠B=70°−30°=40°
又AE是△ABC的角平分线
∴∠BAC=2∠EAB=80°
∴∠C=180°−∠BAC−∠B=70°
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形的面积；三角形内角和定理
【解析】【分析】本题考查三角形的中线、高线、角平分线的性质和内角和与面积的计算。
（1）根据 △ABD的面积为8和AH=4可得BD，结合 AD为△ABC的中线可知BC=2BD，则BC可求；
（2） 根据AH是△ABC的高，∠EAH=20°可知∠AHE，∠AEH，∠EAB，根据AE是△ABC的角平分线，得∠BAC=2∠EAB，可得∠C.
20．【答案】（1）解：如图1，
作AC⊥x轴于C，作BD⊥x轴于D，
∴∠ACO=∠BDO=90°，
∴∠AOC+∠A=90°，
∵∠AOB=90°，
∴∠AOC+∠BOD=90°，
∴∠A=∠BOD，
在△AOC和△OBD中，
∠ACO=∠BDO∠A=∠BODOA=OB，
∴△AOC≌△OBD(AAS)，
∴OD=AC=|b|，BD=OC=|a|，
∴B(−b，a)；
（2）证明：如图2，
设OC，BD交于点E，
∵BD⊥AC，
∴∠BCD=∠COD=90°，
∵∠BEC=∠DEO，
∴∠ACO=∠BDO，
∵∠AOB=∠COD=90°，
∴∠AOB+∠BOC=∠COD+∠BOC，
即：∠AOC=∠BOD，
∵OA=OB，
∴△AOC≌△BOD(ASA)，
∴OC=OD．
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定
【解析】【分析】（1）作AC⊥x轴于C，作BD⊥x轴于D，根据全等三角形的判定定理可得出 △AOC≌△OBD，根据全等三角形性质即可求出答案；
（2）设OC，BD交于点E，根据垂直性质进行角之间的等量替换，根据全等三角形的判定定理及性质即可求出答案。
21．【答案】（1）证明：根据题目条件有：AB=10米，AC=8米，BC=6米，
即：AB2=AC2+BC2，
∴△ABC是直角三角形，AB且为斜边，
∴∠C=90°
（2）解：根据题意有：AD+BD=26，
∴AD=26−BD，
∵BC=6米，
∴CD=BD+BC=BD+6，
∵AC=8米，∠C=90°，
∴在Rt△ACD中，有：AD=AC2+DC2，
∴26−BD=82+(6+BD)2，
解得：BD=9米，
∴AD=26−BD=26−9=17米，
即：BD=9米，AD=17米
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【分析】（1）根据勾股定理的逆定理可求解；
（2）由题意可得AD=26-BD，CD=BD+6，在Rt△ACD中，由勾股定理得AD=AC2+DC2，据此建立关于BD的方程，求出BD的长，从而求出AD的长.
22．【答案】（1）证明：连接AE ，如图所示，
∵EF垂直平分AB ，
∴ AE=BE ，
∵ BE=AC ，
∴ AE=AC ，
∴ △ACE是等腰三角形，
∵AD⊥BC ，
∴D是EC的中点，
（2）解：设 ∠B=x° ；
∵ AE=BE ，
∴ ∠BAE=∠B=x° ，
∴ ∠AEC=∠B+∠BAE=2x° ，
∵ AE=AC ，
∴ ∠C=∠AEC=2x° ，
∵ 在三角形ABC中， ∠B+∠C+∠BAC=3x°+75°=180° ，
解得 x=35 ，
∴ ∠B=35° ．
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）连接AE，由线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等得AE=BE，结合已知可得AE=AC，进而根据等腰三角形的三线合一可得ED=CD，即点D为CE的中点；
（2）设∠B=x°，由等边对等角得∠BAE=∠B=x°，由三角形外角性质得∠AEC=∠B+∠BAE=2x°，再由等边对等角得∠C=∠AEC=2x°，在△ABC中，根据三角形的内角和定理建立方程，可求出x的值，从而得到答案.
23．【答案】（1）证明：∵△ADB≌△APC，
∴AD=AP，∠DAB=∠PAC，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠BAC=∠PAC+∠BAP=60°，
∴∠DAB+∠BAP=60°，
即∠DAP=60°，
∴△ADP是等边三角形．
（2）解：∵△ADB≌△APC，∠APC=150°，
∴∠ADB=∠APC=150°，
∵∠BPC=90°，
∴∠APB=360°−90°−150°=120°，
∵△ADP是等边三角形．
∴∠ADP=∠APD=60°，PA=PD=4，
∴∠BDP=∠ADB−∠ADP=150°−60°=90°，
∠BPD=∠APB−∠APD=120°−60°=60°，
∴在Rt△BPD中，∠DBP=180°−90°−60°=30°，
∴PB=2PD=8．
【知识点】等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形
【解析】【分析】（1）先证明∠DAP=60°，再结合AD=AP，即可得到△ADP是等边三角形；
（2）先求出∠APB=360°−90°−150°=120°，再利用角的运算求出∠BPD=∠APB−∠APD=120°−60°=60°，利用三角形的内角和求出∠DBP=180°−90°−60°=30°，最后利用含30°角的直角三角形的性质可得PB=2PD=8。
24．【答案】（1）证明：∵点P是线段AB，CD的中点，
∴PA=PB，PD=PC，
在△PAC和△PBD中，
PA=PB∠APC=∠BPDPC=PD
∴△PAC≌△PBD(SAS)，
∴∠A=∠B，
∴AC∥BD；
（2）解：如图：连接CE，
∵在等腰△ABC中，BD是底边AC上的高线，
∴AD=DC，
在△ADF和△CDE中，
DF=DE∠ADF=∠CDEAD=CD
∴△ADF≌△CDE(SAS)，
∴∠FAD=∠ECD，AF=CE，
∴AF∥CE，
∵BE⊥AF，
∴BE⊥CE，
∵AB=BC=10，BE=6，
∴CE=BC2−BE2=102−62=8，
∴AF=8；
（3）解：522
【知识点】平行线的判定与性质；三角形全等的判定；勾股定理
【解析】【解答】解：（3）如图：延长FD到T，使得DT=DF，连接BT，延长CE交BT于点J.
∵点D为AB中点，
∴AD=BD，
在△ADF和△BDT中，
DF=DT∠ADF=∠BDTAD=DB
∴△ADF≌△BDT(SAS)，
∴AF=BT=8，∠T=∠AFD，
∴AF∥BT，
∵AF⊥CJ，
∴CJ⊥BT，
∴∠AFC=∠CJB=∠ACB=90°，
∵∠ACF+∠BCJ=90°，∠BCJ+∠CBJ=90°，
∴∠ACF=∠CBJ，
又∵AC=CB，
∴△AFC△CJB(AAS)，
∴CF=BJ=3，AF=CJ，
∴CJ=BT=8，
∴FJ=JT=8−3=5，
∵∠FJT=90°，
∴FT=2FJ=52，
∴DF=12FT=522.
【分析】（1）根据中点的概念可得PA=PB，PC=PD，利用SAS证明△PAC≌△PBD，得到∠A=∠B，然后根据平行线的判定定理进行证明；
（2）连接CE，根据等腰三角形的性质可得AD=DC，利用SAS证明△ADF≌△CDE，得到∠FAD=∠ECD，AF=CE，推出AF∥CE，然后利用勾股定理可求出CE的值，进而可得AF的值；
（3）延长FD到T，使得DT=DF，连接BT，延长CE交BT于点J，证明△ADF≌△BDT，得到AF=BT=8，∠T=∠AFD，根据同角的余角相等可得∠ACF=∠CBJ，证明△AFC≌△CJB，得到CF=BJ=3，CJ=BT=8，则FJ=JT=5，据此求解.
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