新高考物理一轮复习讲义第2章 相互作用 力 第3讲 力的合成与分解 (含解析)

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1.力的合成
2.力的分解
3.矢量和标量
1.思考判断
(1)合力和分力可以同时作用在一个物体上。(×)
(2)两个力的合力一定比其分力大。(×)
(3)当一个分力增大时，合力一定增大。(×)
(4)几个力的共同作用效果可以用一个力来替代。(√)
(5)一个力只能分解为一对分力。(×)
(6)两个大小恒定的力F1、F2的合力的大小随它们夹角的增大而减小。(√)
(7)互成角度的两个力的合力与分力间一定构成封闭的三角形。(√)
2.(多选)一物体静止于水平桌面上，两者之间的最大静摩擦力为5 N，现将水平面内三个力同时作用于物体的同一点，三个力的大小分别为2 N、2 N、3 N。下列关于物体的受力情况和运动情况判断正确的是( )
A.物体所受静摩擦力可能为2 N
B.物体所受静摩擦力可能为4 N
C.物体可能仍保持静止
D.物体一定被拉动
答案 ABC
3.(多选)如图所示，某同学用同一弹簧测力计按图甲、乙两种方式测量某小桶的重力，图甲中系小桶的轻绳较长。下列说法中正确的是( )
A.图甲中弹簧测力计的示数比图乙中的大
B.两图中弹簧测力计的示数一样大
C.图甲中轻绳的拉力比图乙中的大
D.图乙中轻绳的拉力比图甲中的大
答案 BD
考点一 共点力的合成
1.共点力合成的常用方法
(1)作图法
(2)计算法
2.几种特殊情况的共点力的合成
3.两个共点力的合力的最大值与最小值
(1)当两个力方向相同时，合力最大，Fmax＝F1＋F2。
(2)当两个力方向相反时，合力最小，Fmin＝|F1－F2|。
(3)合力大小的变化范围为|F1－F2|≤F≤F1＋F2。
4.三个共点力的合力的最大值与最小值
(1)最大值：当三个分力同方向时，合力最大，即Fmax＝F1＋F2＋F3。
(2)最小值
①当两个分力的代数和大于或等于第三个分力时，合力最小为零。
②当最大的一个分力大于另外两个分力的代数和时，其最小的合力值等于最大的一个力减去另外两个分力的代数和。
例1 现代人经常低头玩手机，这会使颈椎长期受压，可能引发颈椎病。人低头时，可粗略认为头受重力G，肌肉拉力F1和颈椎支持力F2。如图1所示，某同学低头看手机时头颈弯曲与竖直方向成60°，此时肌肉对头的拉力F1约为头重的4倍，F2沿图中虚线方向，依据上述信息估算此时颈椎受到的压力F的可能值( )
图1
A.GC.4G5G
答案 C
解析 对人的头部受力分析如图所示。在三角形中，由几何知识可知，大角对大边，所以F2＞F1＝4G。又因为两边之和大于第三边，故F2＜G＋F1＝5G，根据牛顿第三定律知，颈椎受到的压力4G＜F＜5G，故C正确。
跟踪训练
1.两个共点力作用于一个物体上，力的方向可以任意调节，其中一个力为20 N，另一个力是F，它们的合力是50 N。则F的大小可能是( )
A.10 N B.25 N C.50 N D.80 N
答案 C
2.(2023·吉林长春模拟)如图2所示，一攀岩运动员正沿竖直岩壁缓慢攀登，由于身背较重的行囊，重心上移至肩部的O点，运动员的质量为60 kg，运动员双手臂所能承受的拉力不能超过540 N。此时手臂与身体垂直，手臂与岩壁夹角为53°，则此时行囊的质量不能超过(设手、脚受到的作用力均通过重心O，g取
10 m/s2，sin 53°＝0.8，cs 53°＝0.6)( )
图2
A.60 kg B.50 kg C.40 kg D.30 kg
答案 D
解析 设岩壁对手的拉力为F1，岩壁对脚的弹力为F2，运动员和行囊的质量分别为M、m，以运动员和行囊整体为研究对象，受力分析如图所示，由平衡条件可知F1＝(M＋m)gcs 53°，则当岩壁对手臂的拉力达到最大值540 N时，行囊的质量最大，即F1＝Fmax＝540 N，代入解得m＝30 kg，D正确。
考点二 力的分解的两种常用方法
1.力的分解的两种常用方法
(1)按照力的实际作用效果分解
(2)正交分解法
①建系原则：一般选共点力的作用点为原点，在静力学中，以少分解力和容易分解力为原则(即使尽量多的力在坐标轴上)；在动力学中，常以加速度方向和垂直加速度方向为坐标轴方向建立坐标系。
②分解步骤：把物体受到的多个力F1、F2、F3、…依次分解到x轴、y轴上。
x轴上的合力：
Fx＝Fx1＋Fx2＋Fx3＋…
y轴上的合力：
Fy＝Fy1＋Fy2＋Fy3＋…
合力大小：F＝eq \r(Feq \\al(2,x)＋Feq \\al(2,y))(如图3所示)
图3
合力方向：若F与x轴夹角为θ，则tan θ＝eq \f(Fy,Fx)。
2.力的分解方法选取原则
(1)一般来说，当物体受到三个或三个以下的力时，常按效果进行分解，若这三个力中，有两个力互相垂直，优先选用正交分解法。
(2)当物体受到三个以上的力时，常用正交分解法。
角度 效果分解法
例2 (2023·重庆巴蜀中学适应性考试)如图4所示，图甲是一款手机支架，其表面采用了纳米微吸材料，用手触碰无粘感，接触到平整光滑的硬性物体时有吸力，会将其牢牢吸附在支架上，图乙是手机静止吸附在支架上的侧视图，支架斜面与水平方向间的夹角为θ，若手机的重力为G，则下列说法正确的是( )
图4
A.手机受到的支持力大小为Gcs θ
B.手机受到支架的摩擦力为零
C.手机支架对手机的作用力大小为G
D.手机支架对手机的作用力沿斜面向上
答案 C
解析 手机受到重力、垂直支架的支持力、纳米微吸材料的吸引力和沿支架斜面向上的静摩擦力处于静止状态，由平衡条件可知，在垂直支架方向有FN＝Gcs θ＋F吸，沿斜面方向有Ff＝Gsin θ，选项A、B错误；手机受到重力G和支架对手机的作用力F，处于平衡状态，由平衡条件可知，这两个力大小相等，方向相反，则手机支架对手机的作用力F大小为G，方向竖直向上，选项C正确，D错误。
跟踪训练
3.如图5所示是轿车常用的千斤顶，当摇动把手时，螺纹轴就能迫使千斤顶的两臂靠拢，从而将汽车顶起。若车轮刚被顶起时汽车对千斤顶的压力为1.0×105 N，此时千斤顶两臂间的夹角为120°。则下列判断正确的是( )
图5
A.此时千斤顶两臂受到的压力均为5.0×104 N
B.此时千斤顶对汽车的支持力为5.0×104 N
C.若继续摇动把手，将汽车顶起，千斤顶两臂受到的压力均增大
D.若继续摇动把手，将汽车顶起，千斤顶两臂受到的压力均减小
答案 D
解析 如图所示，将汽车对千斤顶的压力F沿两臂的方向分解为两个分力F1与F2，根据对称性可知，F1＝F2，可得2F1cs θ＝F，解得F1＝F＝1.0×105 N，根据牛顿第三定律可知，千斤顶对汽车的支持力为1.0×105 N，A、B错误；继续摇动把手，两臂靠拢，夹角减小，由F1＝eq \f(F,2cs θ)分析可知，当F不变，θ减小时，cs θ增大，F1减小，C错误，D正确。
角度 正交分解法
例3 如图6甲所示，推力F垂直斜面作用在斜面体上，斜面体静止在竖直墙面上，若将斜面体改成如图乙所示放置，用相同大小的推力F垂直斜面作用到斜面体上，则下列说法正确的是( )
图6
A.墙面受到的压力一定变小
B.斜面体受到的摩擦力一定变小
C.斜面体受到的摩擦力可能变大
D.斜面体可能沿墙面向上滑动
答案 B
解析 受力分析如图所示
甲图中，FN1＝Fcs θ
Ff1＝mg＋Fsin θ≤Ffm
乙图中，FN2＝Fcs θ
所以墙面受到的压力不变，A项错误；
若Fsin θ＝mg，则Ff2＝0
若Fsin θ＞mg，则Ff2方向向下，
Ff2＝Fsin θ－mg
若Fsin θ＜mg，则Ff2方向向上，
Ff2＝mg－Fsin θ
所以斜面体受到的摩擦力一定变小，B项正确，C项错误；
因为墙面受到的压力没有变，所以Ffm不变，甲图中，Ff1＝mg＋Fsin θ≤Ffm，推不动斜面体，乙图中，Ff2＝Fsin θ－mg，肯定比Ffm小，所以斜面体肯定不沿墙面向上滑动，D项错误。
跟踪训练
4.如图7所示，某同学在家用拖把拖地，拖把由拖杆和拖把头构成。设某拖把头的质量为m，拖杆质量可忽略，拖把头与地板之间的动摩擦因数为μ，重力加速度为g。该同学用沿拖杆方向的力F推拖把，让拖把头在水平地板上向前匀速移动，此时拖杆与竖直方向的夹角为θ。则下列判断正确的是( )
图7
A.地面受到的压力FN＝Fcs θ
B.拖把头受到地面的摩擦力Ff＝μmg
C.推力F＝eq \f(μmg,sin θ)
D.推力F＝eq \f(μmg,sin θ－μcs θ)
答案 D
解析 拖把头受到重力、支持力、推力和摩擦力处于平衡状态，受力如图所示，建立直角坐标系，竖直方向上根据平衡条件可得FN′＝Fcs θ＋mg，根据牛顿第三定律可得地面受到的压力为FN＝Fcs θ＋mg，故A错误；根据滑动摩擦力的计算公式可得Ff＝μFN＝μ(Fcs θ＋mg)，故B错误；拖把头在水平地板上向前匀速移动，水平方向根据平衡条件可得Fsin θ＝Ff，即Fsin θ＝μ(Fcs θ＋mg)，解得推力F＝eq \f(μmg,sin θ－μcs θ)，故C错误，D正确。
考点三 力的合成与分解在实际生活中的应用
例4 (2021·广东卷，3)唐代《耒耜经》记载了曲辕犁相对直辕犁的优势之一是起土省力。设牛用大小相等的拉力F通过耕索分别拉两种犁，F与竖直方向的夹角分别为α和β，α＜β，如图8所示。忽略耕索质量，耕地过程中，下列说法正确的是 ( )
图8
A.耕索对曲辕犁拉力的水平分力比对直辕犁的大
B.耕索对曲辕犁拉力的竖直分力比对直辕犁的大
C.曲辕犁匀速前进时，耕索对犁的拉力小于犁对耕索的拉力
D.直辕犁加速前进时，耕索对犁的拉力大于犁对耕索的拉力
答案 B
解析 耕索对曲辕犁的拉力在水平方向上的分力为Fsin α，耕索对直辕犁的拉力在水平方向上的分力为Fsin β，由于α<β，则Fsin β＞Fsin α，A错误；耕索对曲辕犁的拉力在竖直方向上的分力为Fcs α，耕索对直辕犁的拉力在竖直方向上的分力为Fcs β，由于α<β，故Fcs α>Fcs β，B正确；耕索对犁的拉力与犁对耕索的拉力是一对作用力与反作用力，故耕索对犁的拉力等于犁对耕索的拉力，C、D错误。
跟踪训练
5.(多选)明朝谢肇淛的《五杂组》中记载：“明姑苏虎丘寺塔倾侧，议欲正之，非万缗不可。一游僧见之曰：无烦也，我能正之。”游僧每天将木楔从塔身倾斜一侧的砖缝间敲进去，经月余扶正了塔身。假设所用的木楔为等腰三角形，木楔的顶角为θ，现在木楔背上加一力F，方向如图9所示，木楔两侧产生推力FN，则( )
图9
A.若F一定，θ大时FN大
B.若F一定，θ小时FN大
C.若θ一定，F大时FN大
D.若θ一定，F小时FN大
答案 BC
解析 木楔两侧面产生的推力的合力大小等于F，由力的平行四边形定则可知，FN＝eq \f(F,2sin \f(θ,2))，则若F一定，θ越小，FN越大，A项错误，B项正确；若θ一定，F越大，FN越大，C项正确，D项错误。
A级 基础对点练
对点练1 共点力的合成
1.(多选)两个力F1和F2间的夹角为θ，两力的合力为F，以下说法正确的是( )
A.若F1、F2的大小和方向一定，则F的大小和方向一定
B.若F1与F2大小不变，θ角越小，合力F就越大
C.如果夹角θ不变，F1大小不变，只要增大F2，合力F就必然增大
D.合力F的作用效果与两个分力F1和F2共同产生的作用效果是相同的
答案 ABD
解析 根据平行四边形定则知，若F1、F2的大小和方向一定，则F的大小和方向一定，故A正确；若F1与F2大小不变，θ角越小，合力F就越大，故B正确；若θ角为钝角且不变，F1大小不变，增大F2时，合力F可能先变小后增大，如图所示，故C错误；合力与分力共同的作用效果是相同的，故D正确。
2.如图1所示，一个重为G的吊椅用轻绳AO、BO固定，绳AO、BO相互垂直，α>β，且两绳中的拉力分别为FA、FB，物体受到的重力为G，则( )
图1
A.FA一定大于G
B.FA一定大于FB
C.FA一定小于FB
D.FA与FB大小之和一定等于G
答案 B
解析 对结点O受力分析如图所示，由于α＞β，则G>FA>FB，G′＝G，根据三角形知识可知FA＋FB>G，故B正确。
3.(2023·湖南长沙高三月考)如图2所示，一个“Y”形弹弓顶部跨度为L，两根相同的橡皮条自由长度均为L，在两橡皮条的末端用一块软羊皮(长度不计)做成皮兜。若橡皮条的弹力与形变量的关系满足胡克定律，且劲度系数为k，发射弹丸时每根橡皮条的最大长度为1.5L(弹性限度内)，则发射过程中皮兜对弹丸的最大作用力为( )
图2
B.kL C.eq \f(2\r(2),3)kL D.eq \f(\r(2),3)kL
答案 C
解析 当橡皮条的长度为1.5L时，皮兜对弹丸有最大作用力，为F＝2kΔxcs θ＝kLcs θ，根据几何关系有cs θ＝eq \f(\r(（1.5L）2－（0.5L）2),1.5L)＝eq \f(2\r(2),3)，代入解得F＝eq \f(2\r(2),3)kL，故C正确。
4.(2023·河北衡水高三期中)如图3所示，解放军战士在水平地面上拉着轮胎做匀速直线运动进行负荷训练，运动过程中保持双肩及两绳的端点A、B等高。两绳间的夹角为θ＝60°，所构成的平面与水平面间的夹角恒为α＝53°，轮胎重为G，地面对轮胎的摩擦阻力大小恒为Ff，则每根绳的拉力大小为( )
图3
A.eq \f(2\r(3),9)Ff B.eq \f(\r(3),2)Ff C.eq \f(5\r(3),9)Ff D.eq \f(2\r(3),3)Ff
答案 C
解析 设每根绳的拉力为F，则这两根绳拉力的合力F合＝2Fcs eq \f(θ,2)，方向沿两绳夹角的角平分线，与水平面的夹角为α，轮胎受力分析如图所示，则F合cs α＝Ff，解得F＝eq \f(Ff,2cs αcs \f(θ,2))＝eq \f(5\r(3),9)Ff，故A、B、D错误，C正确。
对点练2 力的分解的两种常用方法
5.如图4所示，上网课时小明把手机放在斜面上，手机处于静止状态。则斜面对手机的( )
图4
A.支持力竖直向上
B.支持力小于手机所受的重力
C.摩擦力沿斜面向下
D.摩擦力大于手机所受的重力沿斜面向下的分力
答案 B
解析 设手机的质量为m，斜面倾角为θ。对手机进行受力分析，如图所示，由图可知支持力方向垂直斜面向上，摩擦力方向沿斜面向上，根据平衡条件有Ff＝mgsin θ，FN＝mgcs θ，因cs θ＜1，故FN＜mg，且摩擦力等于手机所受的重力沿斜面向下的分力，故B正确。
6.(多选)如图5为《天工开物》里名为“北耕兼种”的农具，关于图中涉及的物理知识，下列说法正确的是( )
图5
A.耩使用铁尖是为了便于“起土”
B.绳对耩的拉力和耩对绳的力是一对平衡力
C.绳对耩的拉力大于耩对绳的力，因此耩被拉动
D.研究耩的运动时，可将绳的拉力沿水平和竖直两个方向分解
答案 AD
解析 耩使用铁尖，根据力的分解可知，当铁尖作用于土时，会产生两个分力作用，使土容易向两侧翻动，起到“起土”作用，故A正确；绳对耩的拉力和耩对绳的力是一对作用力和反作用力，二者等大、反向，故B、C错误；研究耩的运动时，耩受到重力、阻力和绳的拉力作用，其在水平方向运动，需将绳的拉力沿水平方向和竖直方向进行分解，故D正确。
7.(2023·河南郑州高三月考)如图6甲所示，一艘帆船正逆风行驶。如图乙所示是帆船逆风行驶的简单受力分析图，风力F＝105 N、方向与帆面的夹角为θ＝30°，航向与帆面的夹角也为θ＝30°，风力在垂直帆面方向的分力推动帆船逆风行驶，则风力F在航向方向的分力为( )
图6
A.5.0×104 N B.2.5×104 N
C.2×104 N D.104 N
答案 B
解析 把风力F分别沿着帆面和垂直帆面的方向分解，风在垂直帆面方向的力为FN＝Fsin θ，再把风在垂直帆面方向的分力FN分别沿着航向和垂直航向的方向分解，风力F在航向方向的分力F0就是FN在沿着航行方向的分力，F0＝FNsin θ，综合可得F0＝Fsin2θ，代入F＝105 N，θ＝30°，可得F0＝2.5×104 N，选项B正确，A、C、D错误。
对点练3 力的合成与分解在实际生活中的应用
8.(2023·天津高三月考)超市里磁力防盗扣的内部结构及原理如图7所示，在锥形金属筒内放置四颗小铁珠(其余两颗未画出)，工作时弹簧通过铁环将小铁珠挤压于金属筒的底部，同时，小铁珠陷于钉柱上的凹槽里，锁死防盗扣。当用强磁场吸引防盗扣的顶部时，铁环和小铁珠向上移动，防盗扣松开。已知锥形金属筒底部的圆锥顶角是120°，弹簧通过铁环施加给每个小铁珠竖直向下的力F，小铁珠锁死防盗扣，每个小铁珠对钉柱产生的侧向压力为(不计摩擦以及小铁珠的重力)( )
图7
A.eq \f(\r(3),3)F B.eq \f(\r(3),2)F C.F D.eq \r(3)F
答案 A
解析 将力F分解为沿垂直于钉柱的压力和垂直斜面的压力，如图所示，则由几何关系可知，eq \f(F,F′)＝tan 60°，则每个小铁珠对钉柱产生的侧向压力为F′＝eq \f(F,tan 60°)＝eq \f(\r(3),3)F，B、C、D错误，A正确。
9.某压榨机的结构示意图如图8示，其中B为固定铰链，若在A铰链处作用一垂直于墙壁的力F，则由于力F的作用，滑块C压紧物体D。设C与D光滑接触，杆的重力及滑块C的重力不计。图中a＝0.6 m，b＝0.1 m，则物体D所受压力的大小与力F的比值为( )
图8
A.3 B.4 C.5 D.6
答案 A
解析 设力F与AC方向间的夹角为θ，将力F按作用效果沿AB和AC两个方向进行分解，作出力的分解图如图甲所示，则有2F2cs θ＝F，解得F2＝eq \f(F,2cs θ)。再将F2按作用效果分解成FN和FN′，作出力的分解图如图乙所示，则有FN＝F2sin θ，联立得FN＝eq \f(Ftan θ,2)，根据几何知识可知tan θ＝eq \f(a,b)＝6，则FN＝3F，故A正确，B、C、D错误。
B级 综合提升练
10.已知两个共点力的合力为50 N，分力F1的方向与合力F的方向成30°角，分力F2的大小为30 N。则( )
A.F1的大小是唯一的 B.F2的方向是唯一的
C.F2有两个可能的方向 D.F2可取任意方向
答案 C
解析 作F1、F2和F的矢量三角形图，因F2＝30 N＞F20＝Fsin 30°＝25 N，且F2＜F，所以F1的大小有两种，即F1′和F1″，F2的方向有两种，即F2′的方向和F2″的方向，故选项A、B、D错误，C正确。
11.(2023·湖北黄冈月考)如图9所示，三根粗细均匀的完全相同的圆木A、B、C堆放在水平地面上并处于静止状态，每根圆木的质量为m，截面的半径为R，三个截面圆心连线构成的等腰三角形的顶角∠O1＝120°。若在地面上的两根圆木刚好要滑动，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，不考虑圆木之间的摩擦，重力加速度为g，则( )
图9
A.圆木间的弹力为eq \f(1,2)mg
B.下面两根圆木对地面的压力均为eq \f(3,2)mg
C.地面上的每根圆木受到地面的作用力为eq \f(3,2)mg
D.地面与圆木间的动摩擦因数为eq \f(\r(3),2)
答案 B
解析 对A进行受力分析，如图所示，A处于平衡状态，合力为零，则有FN1cs 60°＝FN2cs 60°＝eq \f(1,2)mg，解得FN1＝FN2＝mg，故A错误；对整体受力分析，受到重力、地面的支持力、向右的摩擦力和向左的摩擦力，由对称性可知，竖直方向有FNB＝FNC＝eq \f(3,2)mg，故B正确；对B进行研究，地面对B的作用力等于地面对B的支持力与地面对B的摩擦力的合力，大于eq \f(3,2)mg，故C错误；对C，有FN2′＝FN2，根据平衡条件得Ff＝FN2′sin 60°＝eq \f(\r(3),2)mg，所以地面对C的摩擦力大小为
eq \f(\r(3),2)mg，根据滑动摩擦力公式Ff＝μFNC，可得μ＝eq \f(Ff,FNC)＝eq \f(\f(\r(3),2)mg,\f(3,2)mg)＝eq \f(\r(3),3)，故D错误。
12.(2022·河南洛阳模拟)如图10所示，水平轻绳AC一端固定在墙上，另一端连接小球A；另一根轻绳跨过光滑定滑轮后分别连接小球A和水平地面上的物体B。已知物体B的质量mB＝3 kg，小球A的质量mA＝eq \r(3) kg。跨过定滑轮的轻绳两侧与竖直方向夹角均为30°，小球A和物体B均处于静止状态，取重力加速度大小g＝10 m/s2，求：
图10
(1)轻绳AC的张力大小；
(2)物体B所受地面的摩擦力大小和支持力大小。
答案 (1)10 N (2)10 N (30－10eq \r(3))N
解析 (1)对小球A进行受力分析可知，小球A受重力、轻绳AC的拉力和轻绳OA的拉力，根据平衡条件得
FAC＝mAgtan 30°，FOA＝eq \f(mAg,cs 30°)
解得FAC＝10 N。
(2)轻绳OA和OB为定滑轮两边的细绳，拉力相等，即FOA＝FOB
物体B受重力、轻绳OB的拉力、地面的摩擦力Ff和支持力FN，
则有Ff＝FOBsin 30°
FOBcs 30°＋FN＝mBg
解得Ff＝10 N，FN＝(30－10eq \r(3))N。类型
作图
合力的计算
两力互
相垂直
F＝eq \r(Feq \\al(2,1)＋Feq \\al(2,2))
tan θ＝eq \f(F1,F2)
两力等大，
夹角为θ
F＝2F1cs eq \f(θ,2)
F与F1夹角为eq \f(θ,2)
两力等大，
夹角为120°
F′＝F
F′与F夹角为60°