新高考物理一轮复习讲义第4章 曲线运动 章末素养培优 (含解析)

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例1 (2023·北京西城区高三期末)2022年第24届冬季奥林匹克运动会将在北京和张家口举行，跳台滑雪是其中最具观赏性的项目之一。如图1所示为简化的跳台滑雪的雪道示意图，AO为助滑道，OB为着陆坡。运动员从助滑道上的A点由静止滑下，然后从O点沿水平方向飞出，最后在着陆坡上着陆。已知着陆坡OB的倾角为37°，O点与着陆点间的距离为75 m，重力加速度g取10 m/s2，sin 37°＝0.6，cs 37°＝0.8。将运动员和滑雪板整体看作质点，不计一切摩擦和空气阻力，求：
图1
(1)运动员从O点飞出到着陆的时间t；
(2)运动员经过O点时的速度大小v；
(3)A点与O点的高度差h。
答案 (1)3 s (2)20 m/s (3)20 m
解析 (1)运动员在OB上O′点着陆，则OO′＝75 m，运动员从O点沿水平方向飞出，最后在着陆坡上着陆，有
OO′sin 37°＝eq \f(1,2)gt2，解得t＝3 s。
(2)运动员从O点沿水平方向飞出，最后在着陆坡上着陆，水平方向有
OO′cs 37°＝vt
解得v＝20 m/s。
(3)运动员从助滑道上的A点由静止滑下到O点的过程中，根据能量守恒定律得
mgh＝eq \f(1,2)mv2
解得h＝eq \f(v2,2g)＝20 m。
二、思维方法：等效思想在解题中的应用
例2 如图2所示，在半径为R的铅球中挖出一个球形空穴，空穴直径为R且与铅球相切，并通过铅球的球心。在未挖出空穴前铅球质量为M。求挖出空穴后的铅球与距铅球球心距离为d、质量为m的小球(可视为质点)间的万有引力大小。
图2
思路分析 由于题目中没有告知距离d与球的半径R之间的关系，因此不能把挖出球形空穴后的铅球看成质点，故不能直接利用万有引力定律来计算引力的大小。但是，可以用填补法求解，即先把挖去的部分“补”上，使其成为半径为R的完整球体，再根据万有引力定律，分别计算出半径为R的球体和补上的球体对小球的万有引力，最后两引力相减即可得到答案。
答案 eq \f(GMm（7d2－8dR＋2R2）,2d2（2d－R）2)
解析 设挖出空穴前铅球与小球间的万有引力为F1，挖出的球形实体(由球体的体积公式易知质量为eq \f(M,8)，这里不再具体计算)与小球间的万有引力为F2，铅球剩余部分与小球间的万有引力为F，则有F1＝F＋F2
根据万有引力定律可得
F1＝Geq \f(Mm,d2)，F2＝Geq \f(Mm,8（d－\f(R,2)）2)
故挖出空穴后的铅球与小球间的万有引力为
F＝F1－F2＝Geq \f(Mm,d2)－Geq \f(Mm,8（d－\f(R,2)）2)
＝eq \f(GMm（7d2－8dR＋2R2）,2d2（2d－R）2)。
三、科学探究：航天事业的发展与宇宙探究
例3 (多选)2022年5月10日01时56分，天舟四号货运飞船成功发射，随后与“天和”核心舱成功对接。发射过程简化示意图如图3所示，先把天舟四号货运飞船发射到近地圆轨道Ⅰ，继而调整角度和高度，经过多次变轨不断逼近空间站轨道，当两者轨道很接近的时候，再从空间站下方、后方缓慢变轨接近。Ⅱ、Ⅲ是飞船绕地球运行的椭圆轨道，Ⅳ是飞船绕地球运行很接近空间站轨道的圆形轨道。P、Q分别为椭圆轨道Ⅲ的远地点和近地点，P、Q之间的距离为2L，地球半径为R，天舟四号货运飞船在Ⅰ、Ⅳ轨道上做匀速圆周运动。下列说法正确的是( )
图3
A.天舟四号货运飞船在轨道Ⅰ上的角速度比在轨道Ⅳ上的角速度小
B.天舟四号货运飞船在轨道Ⅲ和轨道Ⅰ上运行的周期的比值为eq \r(\f(L3,R3))
C.天舟四号货运飞船在轨道Ⅲ上P处与Q处的加速度大小的比值为eq \f(R2,（2L－R）2)
D.天舟四号货运飞船在轨道Ⅰ和轨道Ⅳ上的线速度大小的比值为eq \r(\f(L,R))
答案 BC
解析 对天舟四号货运飞船，由万有引力提供向心力有Geq \f(Mm,r2)＝mrω2，解得ω＝eq \r(\f(GM,r3))，因为飞船在轨道Ⅰ上的轨道半径小于在轨道Ⅳ上的轨道半径，则飞船在轨道Ⅰ上的角速度比在轨道Ⅳ上的角速度大，故A错误；飞船在轨道Ⅲ和轨道Ⅰ上，由开普勒第三定律有eq \f(R3,Teq \\al(2,1))＝eq \f(L3,Teq \\al(2,3))，解得eq \f(T3,T1)＝eq \r(\f(L3,R3))，故B正确；飞船运行时只受万有引力，由牛顿第二定律有Geq \f(Mm,（2L－R）2)＝maP，Geq \f(Mm,R2)＝maQ，解得飞船在Ⅲ轨道P处与Q处的加速度大小的比值为eq \f(aP,aQ)＝eq \f(R2,（2L－R）2)，故C正确；飞船在轨道Ⅰ和轨道Ⅳ上做匀速圆周运动，由万有引力提供向心力有Geq \f(Mm,R2)＝meq \f(veq \\al(2,1),R)，Geq \f(Mm,（2L－R）2)＝meq \f(veq \\al(2,2),2L－R)，解得飞船在轨道Ⅰ和轨道Ⅳ上的线速度大小的比值为eq \f(v1,v2)＝eq \r(\f(2L－R,R))，故D错误。
例4 (2022·湖南长沙模拟)2021年10月16日，我国神舟十三号载人飞船成功发射，搭载着王亚平等3名航天员与天宫号空间站顺利对接。3位航天员进入空间站绕地球做圆周运动时，由于地球遮挡阳光，会经历“日全食”过程。已知地球半径为R，地球质量为M，引力常量为G，地球自转周期为T0，太阳光可看作平行光。如图4所示，王亚平在A点测出她对地球的张角为2θ，OA与太阳光平行，下列说法正确的是( )
图4
A.空间站距地面的高度为R
B.空间站的运行周期为2πReq \r(\f(R,GMsin θ))
C.航天员每次经历“日全食”过程的时间为eq \f(2Rθ,sin θ)eq \r(\f(R,GMsin θ))
D.航天员每天经历“日全食”的次数为eq \f(T0sin θ,πR)eq \r(\f(GMsin θ,R))
答案 C
解析 飞船绕地球做匀速圆周运动，设神舟十三号载人飞船的轨道半径为r，由几何关系知sin θ＝eq \f(R,r)，空间站距地面的高度为h＝r－R＝eq \f(R,sin θ)－R，故A错误；万有引力提供向心力，eq \f(GMm,r2)＝meq \f(4π2r,T2)，联立解得T＝eq \f(2πR,sin θ) eq \r(\f(R,GMsin θ))，故B错误；地球自转一圈时间为T0，飞船绕地球一圈时间为T，飞船绕一圈会有一次日全食，所以每过时间T就有一次日全食，因此，一天内飞船经历“日全食”的次数为
n＝eq \f(T0,T)＝eq \f(T0sin θ,2πR)eq \r(\f(GMsin θ,R))，由图可知，飞船每次“日全食”过程的时间内飞船转过2θ角，所需的时间为t＝eq \f(2θ,2π)T＝eq \f(2Rθ,sin θ)eq \r(\f(R,GMsin θ))，故C正确，D错误。