新高考物理一轮复习讲义第5章 机械能守恒定律 第3讲 机械能守恒定律及其应用 (含解析)

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1.
2.
3.
4.
1.思考判断
(1)重力势能的变化与零势能参考面的选取无关。(√)
(2)被举到高处的物体重力势能一定不为零。(×)
(3)发生弹性形变的物体都具有弹性势能。(√)
(4)弹力做正功，弹性势能一定增加。(×)
(5)物体所受的合外力为零，物体的机械能一定守恒。(×)
(6)物体的速度增大时，其机械能可能减小。(√)
(7)物体除受重力外，还受其他力，但其他力不做功，则物体的机械能一定守恒。(√)
2.(多选)我国风洞技术世界领先。如图1所示，在模拟风洞管中的光滑斜面上，一个小物块受到沿斜面方向的恒定风力作用，沿斜面加速向上运动，则从物块接触弹簧至到达最高点的过程中( )
图1
A.物块的速度先增大后减小
B.物块加速度一直减小到零
C.弹簧弹性势能先增大后减小
D.物块和弹簧组成的系统机械能一直增大
答案 AD
考点一 机械能守恒的理解与判断
判断机械能守恒的三种方法
例1 (多选)如图2所示，将一个内外侧均光滑的半圆形槽置于光滑的水平面上，槽的左侧有一固定的竖直墙壁(不与槽粘连)。现让一小球自左端槽口A点的正上方由静止开始下落，从A点与半圆形槽相切进入槽内，则下列说法正确的是( )
图2
A.小球在半圆形槽内运动的全过程中，只有重力对它做功
B.小球从A点向半圆形槽的最低点运动的过程中，小球的机械能守恒
C.小球从A点经最低点向右侧最高点运动的过程中，小球与半圆形槽组成的系统机械能守恒
D.小球从下落到从右侧离开半圆形槽的过程中，机械能守恒
答案 BC
解析 小球从半圆形槽的最低点运动到半圆形槽右侧的过程中，小球对半圆形槽的力使半圆形槽向右运动，半圆形槽对小球的支持力对小球做负功，小球的机械能不守恒，A、D错误；小球从A点向半圆形槽的最低点运动的过程中，半圆形槽静止，则只有重力做功，小球的机械能守恒，B正确；小球从A点经最低点向右侧最高点运动的过程中，小球与半圆形槽组成的系统只有重力做功，机械能守恒，C正确。
跟踪训练
1.(2023·江苏苏州月考)如图3所示，轻质弹簧的一端与固定的竖直板P连接，另一端与物体A相连，物体A置于光滑水平桌面上，A右端连接一细线，细线绕过光滑的轻质定滑轮与物体B相连。开始时托住B，让A处于静止状态且细线恰好伸直，然后由静止释放B，直至B获得最大速度。下列有关该过程的分析正确的是( )
图3
A.B受到细线的拉力保持不变
B.A、B组成的系统机械能守恒
C.B机械能的减少量等于弹簧弹性势能的增加量
D.当弹簧的弹力大小等于B的重力时，A的动能最大
答案 D
解析 对A，由牛顿第二定律有FT－kx＝mAa，对B，由牛顿第二定律有mBg－FT＝mBa，联立有mBg－kx＝(mA＋mB)a，由于弹簧的伸长量x逐渐变大，故从开始到B速度达到最大的过程中B的加速度逐渐减小，可知细线对B的拉力逐渐增大，故A错误；由于该过程弹簧对A做负功，所以A、B组成的系统机械能不守恒，故B错误；对于A、B以及弹簧组成的系统，只有弹簧的弹力和重力做功，系统的机械能守恒，B机械能的减少量等于A机械能的增加量与弹簧弹性势能的增加量之和，所以B机械能的减少量大于弹簧弹性势能的增加量，故C错误；当弹簧的拉力与细线的拉力大小相等时，A的速度最大，动能最大，此时A的加速度为零，B的加速度也为零，细线的拉力大小等于B的重力，弹簧的弹力大小也等于B的重力，故D正确。
考点二 单物体的机械能守恒问题
1.表达式
2.选用技巧
在处理单个物体机械能守恒问题时通常应用守恒观点和转化观点，转化观点不用选取零势能面。
3.一般步骤
例2 (2022·全国乙卷，16)如图4，固定于竖直平面内的光滑大圆环上套有一个小环，小环从大圆环顶端P点由静止开始自由下滑，在下滑过程中，小环的速率正比于( )
图4
A.它滑过的弧长
B.它下降的高度
C.它到P点的距离
D.它与P点的连线扫过的面积
答案 C
解析 如图所示，设圆环下降的高度为h，圆环的半径为R，它到P点的距离
为L，根据机械能守恒定律得
mgh＝eq \f(1,2)mv2
解得v＝eq \r(2gh)，故B错误；
由几何关系可得h＝Lsin θ
sin θ＝eq \f(L,2R)
联立可得h＝eq \f(L2,2R)，则v＝Leq \r(\f(g,R))
故C正确，A、D错误。
跟踪训练
2.(2021·海南卷，2)水上乐园有一末段水平的滑梯，人从滑梯顶端由静止开始滑下后落入水中。如图5所示，滑梯顶端到末端的高度H＝4.0 m，末端到水面的高度h＝1.0 m。取重力加速度g＝10 m/s2，将人视为质点，不计摩擦和空气阻力，则人的落水点到滑梯末端的水平距离为( )
图5
A.4.0 m B.4.5 m C.5.0 m D.5.5 m
答案 A
解析 设人从滑梯由静止滑到滑梯末端速度为v，根据机械能守恒定律可知mgH＝eq \f(1,2)mv2，解得v＝4eq \r(5) m/s，从滑梯末端水平飞出后做平抛运动，则竖直方向做自由落体运动，根据h＝eq \f(1,2)gt2可知，t＝eq \r(\f(2h,g))＝eq \r(\f(2×1.0,10)) s＝eq \r(\f(1,5)) s，水平方向做匀速直线运动，则人的落水点距离滑梯末端的水平距离为x＝vt＝4eq \r(5)×eq \r(\f(1,5)) m＝4.0 m，故A正确。
考点三 连接体的机械能守恒问题
1.解决多物体系统机械能守恒的注意点
(1)要注意判断物体运动过程中系统的机械能是否守恒。
(2)注意寻找用绳或杆相连接的物体间的速度关系和位移关系。
(3)列机械能守恒方程时，一般选用ΔEk＝－ΔEp或ΔEA＝－ΔEB的形式。
2.常见的三种模型
模型 轻绳连接的物体系统机械能守恒
例3 质量均为m的物体A和B分别系在一根不计质量的细绳两端，绳子跨过固定在倾角为30°的斜面顶端的定滑轮上，斜面固定在水平地面上，开始时把物体B拉到斜面底端，这时物体A离地面的高度为0.8 m，如图6所示。若摩擦力均不计，从静止开始放手让它们运动(斜面足够长，g取10 m/s2)。求：
图6
(1)物体A着地时的速度大小；
(2)物体A着地后物体B继续沿斜面上滑的最大距离。
答案 (1)2 m/s (2)0.4 m
解析 (1)以地面为参考平面，A、B系统机械能守恒，有
mgh＝mghsin 30°＋eq \f(1,2)mveq \\al(2,A)＋eq \f(1,2)mveq \\al(2,B)
因为vA＝vB，所以vA＝vB＝2 m/s。
(2)A着地后，物体B继续沿斜面上升，则在B上升到最大高度过程中机械能守恒，有
eq \f(1,2)mveq \\al(2,B)＝mgΔssin 30°
解得Δs＝0.4 m。
模型 轻杆连接的物体系统机械能守恒
例4 如图7，滑块a、b的质量均为m，a套在固定竖直杆上，与光滑水平地面相距h，b放在地面上。a、b通过铰链用刚性轻杆连接，由静止开始运动。不计摩擦，a、b可视为质点，重力加速度大小为g，则( )
图7
A.a落地前，轻杆对b一直做正功
B.a落地时速度大小为eq \r(gh)
C.a下落过程中，其加速度大小始终不大于g
D.a落地前，当a的机械能最小时，b对地面的压力大小为mg
答案 D
解析 当a到达底端时，b的速度为零，b的速度在整个过程中先增大后减小，动能先增大后减小，所以轻杆对b先做正功，后做负功，A错误；a落地时，b的速度为零，根据系统机械能守恒得mgh＝eq \f(1,2)mveq \\al(2,a)，解得va＝eq \r(2gh)，B错误；b的速度在整个过程中先增大后减小，杆对b的作用力先是动力后是阻力，所以杆对a的作用力就先是阻力后是动力，所以在b减速的过程中，杆对a是斜向下的拉力，此时a的加速度大于重力加速度，C错误；a、b及杆组成的系统的机械能守恒，当a的机械能最小时，b的速度最大，此时b受到杆的推力为零，b只受到重力和支持力的作用，结合牛顿第三定律可知，b对地面的压力大小为mg，D正确。
模型 轻弹簧连接的物体系统机械能守恒
例5 (2023·福建泉州质检)如图8，两个质量均为m的小球a、b(均可视为质点)通过轻质铰链用轻杆连接，a套在固定的竖直杆上，b放在水平地面上。一轻质弹簧水平放置，左端固定在杆上，右端与b相连。当弹簧处于原长状态时，将a由静止释放，已知a下降高度h时的速度大小为v，此时杆与水平面夹角为θ。弹簧始终在弹性限度内，不计一切摩擦，重力加速度大小为g。下列说法正确的是( )
图8
A.释放a的瞬间，a的加速度大小为g
B.释放a的瞬间，地面对b的支持力大小为2mg
C.a的速度大小为v时，b的速度大小为vtan θ
D.a的速度大小为v时，弹簧的弹性势能为mgh－eq \f(1,2)mv2
答案 C
解析 释放a的瞬间，a开始向下做加速运动，对a进行受力分析，竖直方向上受重力和轻杆对a的作用力沿竖直方向的分力，所以此时a的加速度大小不为g，A错误；把a、b作为整体，竖直方向有2mg－FN＝ma，则有FN＝2mg－ma，即释放a的瞬间，地面对b的支持力小于2mg，B错误；当a的速度大小为v时，a沿轻杆方向的分速度大小为vsin θ，则此时b的速度大小为eq \f(vsin θ,cs θ)＝vtan θ，C正确；a、b和弹簧组成的系统机械能守恒，则有mgh＝eq \f(1,2)mv2＋eq \f(1,2)m(vtan θ)2＋Ep，则a的速度大小为v时弹簧的弹性势能Ep＝mgh－eq \f(1,2)mv2－eq \f(1,2)m(vtan θ)2，D错误。
跟踪训练
3.如图9所示，小球a被一根长为L的可绕O轴自由转动的轻质细杆固定在其端点，同时又通过绳跨过光滑定滑轮与另一个质量为m的小球b相连，整个装置平衡时杆和绳与竖直方向的夹角均为30°。若将小球a由水平位置(杆呈水平状态)开始释放，不计摩擦，竖直绳足够长(重力加速度为g)，求：
图9
(1)小球a的质量；
(2)当杆转动到竖直位置时，小球b的速度大小(结果可用根式表示)。
答案 (1)eq \r(3)m (2)eq \r(\f(2（\r(3)－\r(2)）,2\r(3)＋1)gL)
解析 (1)当a球处于平衡状态时，有
2Tcs 30°＝Mg，T＝mg
解得M＝eq \r(3)m。
(2)当杆转动到竖直位置时，a球下降的高度为L，
b球上升的高度为h＝eq \r(2)L
设此时a球、b球的速度大小分别为va、vb，由速度分解可得va＝eq \r(2)vb
在整个运动过程中，系统的机械能守恒，有
MgL－mg·eq \r(2)L＝eq \f(1,2)Mveq \\al(2,a)＋eq \f(1,2)mveq \\al(2,b)
解得vb＝eq \r(\f(2（\r(3)－\r(2)）,2\r(3)＋1)gL)。
A级 基础对点练
对点练1 机械能守恒的理解与判断
1.如图1所示，斜劈劈尖顶着竖直墙壁静止在水平面上。现将一小球从图示位置静止释放，不计一切摩擦，则在小球从释放到落至地面的过程中，下列说法中正确的是( )
图1
A.斜劈对小球的弹力不做功
B.斜劈与小球组成的系统机械能守恒
C.斜劈的机械能守恒
D.小球重力势能的减少量等于斜劈动能的增加量
答案 B
解析 斜劈对小球的弹力与小球位移的夹角大于90°，故弹力做负功，A错误；不计一切摩擦，小球下滑时，小球和斜劈组成的系统只有小球的重力做功，系统机械能守恒，小球重力势能的减少量等于斜劈和小球动能的增加量，B正确，D错误；小球对斜劈的弹力做正功，斜劈的机械能增加，C错误。
2.(多选)(2023·广东深圳模拟)悬崖速降是选择崖面平坦、高度适合的崖壁，用专业的登山绳作保护，由崖壁主体缘绳下滑，从崖顶下降到崖底的一种运动。如图2所示，某次速降可视为竖直方向的直线运动，速降者先从静止开始匀加速运动(加速度小于重力加速度)，之后做匀减速运动，到达地面时速度恰好减为零。则下列说法正确的是( )
图2
A.在加速下降阶段，速降者处于失重状态
B.在加速下降阶段，速降者的机械能增大，在减速下降阶段，速降者的机械能
减小
C.在整个下降过程中，速降者的重力势能一直减小
D.在整个下降过程中，绳对速降者先做正功后做负功
答案 AC
解析 对速降者受力分析可知，受绳的拉力和重力，当加速下降时，加速度向下，则速降者处于失重状态，故A正确；对速降者而言无论是加速下降和减速下降，位移向下而拉力向上，绳的拉力始终做负功，则速降者的机械能一直减小，故B、D错误；在整个下降过程中，重力做正功，则速降者的重力势能一直减小，故C正确。
对点练2 单物体的机械能守恒问题
3.(多选)(2023·广东广州高三月考)如图3，质量为m的小明在东湖游泳时，以初速度v往水下跳，落在比地面低h的水面上，重力加速度为g，若以水面为参考平面，且不计空气阻力，则( )
图3
A.小明在水面上的重力势能为0
B.重力对小明做的功为－mgh
C.小明在水面上的动能为eq \f(1,2)mv2＋mgh
D.小明在水面上的机械能为eq \f(1,2)mv2＋mgh
答案 ACD
解析 以水面为参考面，因此小明在水面上的重力势能为0，故A正确；重力做功与运动路径无关，取决于初末位置的高度差，可得重力对小明做的功为W＝mgh，故B错误；由动能定理得mgh＝Ek－eq \f(1,2)mv2，解得小明在水面上的动能为Ek＝eq \f(1,2)mv2＋mgh，故C正确；不计空气阻力，运动过程只有重力做功，机械能守恒，抛出时的机械能为E机＝eq \f(1,2)mv2＋mgh，由机械能守恒定律可知，小明在水面上的机械能为E机＝eq \f(1,2)mv2＋mgh，故D正确。
4.(多选)(2023·湖南长沙模拟)如图4所示，一长为L的轻杆下端固定一质量为m的小球，上端连在光滑水平轴O上，轻杆可绕水平轴在竖直平面内运动。当小球在最低点时给它一个水平初速度，小球刚好能做完整的圆周运动。不计空气阻力，重力加速度为g。则下列判断正确的是( )
图4
A.除最高点外，小球做完整圆周运动的过程中仅有一处合力指向圆心
B.小球的初速度大小为eq \r(5gL)
C.杆的力为0时，小球的速度大小为eq \r(\f(2,3)gL)
D.杆的力为0时，小球的速度大小为eq \r(\f(4,3)gL)
答案 AC
解析 小球做变速圆周运动，除最高点外，仅在最低点合力指向圆心，A正确；小球恰能做完整圆周运动，最高点速度为0，根据机械能守恒定律，有2mgL＝
eq \f(1,2)mv2，可得最低点速度为v＝2eq \r(gL)，B错误；设杆的力为0时，杆与竖直方向的夹角为θ，杆的速度为v1，将小球所受重力沿杆和垂直杆方向进行分解，如图所示，则有mgcs θ＝meq \f(veq \\al(2,1),L)，从最高点到该位置运动过程，根据机械能守恒定律，有mgL(1－cs θ)＝eq \f(1,2)mveq \\al(2,1)，联立解得v1＝eq \r(\f(2,3)gL)，C正确，D错误。
5.(2023·河北邯郸模拟)如图5所示，半圆形光滑轨道固定在水平地面上，一物块以速度v从轨道下端滑入轨道，并恰能从轨道上端水平飞出，则小物块的落地点到轨道下端的距离为(重力加速度大小为g)( )
图5
A.eq \f(v2,4g) B.eq \f(v2,5g) C.eq \f(2v2,5g) D.eq \f(2v2,3g)
答案 C
解析 设轨道半径为r，在半圆轨道最高点有mg＝meq \f(veq \\al(2,1),r)，故v1＝eq \r(gr)，物块由最低点到最高点的过程中，根据机械能守恒定律，有eq \f(1,2)mv2＝2mgr＋eq \f(1,2)mveq \\al(2,1)，物块做平抛运动，有x＝v1t，2r＝eq \f(1,2)gt2，联立可得x＝eq \f(2v2,5g)，故C正确，A、B、D错误。
对点练3 连接体的机械能守恒问题
6.质量分别为m和2m的两个小球P和Q，中间用轻质杆固定连接，杆长为L，在离P球eq \f(1,3)处有一个光滑固定转轴O，如图6所示。现在把杆置于水平位置后自由释放，Q球顺时针摆动到最低位置，则(重力加速度为g)( )
图6
A.小球P在最高位置的速度大小为eq \f(\r(gL),3)
B.小球Q在最低位置的速度大小为eq \r(\f(2gL,3))
C.小球P在此过程中机械能增加量为eq \f(4,9)mgL
D.小球Q在此过程中机械能减少eq \f(2,3)mgL
答案 C
解析 设Q球顺时针摆动到最低位置时的速度为v1，此时P运动到最高点的速度为v2，整个系统机械能守恒，有2mg·eq \f(2,3)L－mg·eq \f(L,3)＝eq \f(1,2)×2mveq \\al(2,1)＋eq \f(1,2)mveq \\al(2,2)，又由于两球都绕O点转动，角速度相同，因此v1＝2v2，解得v1＝eq \f(2\r(2gL),3)，v2＝eq \f(\r(2gL),3)，A、B错误；在此过程中，小球P机械能增加量ΔE＝mg·eq \f(L,3)＋eq \f(1,2)mveq \\al(2,2)＝eq \f(4,9)mgL，由于整个系统机械能守恒，因此小球Q机械能减少量也为eq \f(4,9)mgL，C正确，D错误。
7.(多选)(2022·河南郑州模拟)如图7所示，一半圆形光滑轨道固定在竖直平面内，半圆顶点有大小可不计的定滑轮，O点为其圆心，A、B为半圆上两点，OA处于水平方向，OB与竖直方向夹角为45°，一轻绳两端连接大小可不计的两个小球甲、乙，初始时使甲静止在B点，乙静止在O点，绳子处于拉直状态。已知甲球的质量m1＝2 kg，乙球的质量m2＝1 kg，半圆轨道的半径r＝1 m，当地重力加速度为g＝10 m/s2，忽略一切摩擦。解除约束后，两球开始运动的过程中，下列说法正确的是( )
图7
A.甲球刚开始运动时的加速度大小为eq \f(10（\r(2)－1）,3) m/s2
B.甲球沿着球面运动过程中，甲、乙两球速度相同
C.甲球沿着球面运动过程中，甲、乙两球组成的系统机械能不守恒
D.甲球沿着球面运动过程中，乙球机械能增加
答案 AD
解析 甲球刚开始运动时，两球加速度大小相等，设为a。根据牛顿第二定律得，对甲球有m1gcs 45°－F＝m1a，对乙球有F－m2g＝m2a，联立解得a＝eq \f(10（\r(2)－1）,3) m/s2，A正确；甲球沿着球面运动过程中，甲、乙两球速度方向不同，B错误；甲球沿着球面运动过程中，忽略一切摩擦，对于甲、乙两球组成的系统，只有重力做功，系统的机械能守恒，C错误；甲球沿着球面运动过程中，绳子拉力对乙球做正功，则乙球机械能增加，D正确。
8.(2023·山东潍坊模拟)如图8所示，质量为2.5m的物体A放在倾角为α＝30°的固定斜面体上，一平行于斜面的轻绳跨过光滑定滑轮一端与物体A连接，另一端与一竖直轻弹簧相连，弹簧下端悬挂一质量为m的砝码盘B，整个系统处于静止状态。现将质量为m的砝码轻轻放在B盘中，二者开始运动。B在运动过程中始终未着地，已知最大静摩擦力等于滑动摩擦力，弹簧的弹性势能表达式为Ep＝eq \f(1,2)kx2(x为形变量)。轻绳不可伸长，弹簧始终在弹性限度内，要使物体A始终保持静止状态，A和斜面体之间的动摩擦因数的最小值为( )
图8
A.eq \f(\r(3),3) B.eq \f(\r(3),15) C.eq \f(4\r(3),15) D.eq \f(7\r(3),15)
答案 D
解析 放砝码前，弹簧的伸长量为x0＝eq \f(mg,k)，砝码和B盘向下运动过程，与弹簧组成的系统机械能守恒，砝码和B盘运动到最低点时弹力最大，则有2mg(x－x0)＝eq \f(1,2)kx2－eq \f(1,2)kxeq \\al(2,0)，可得3mg＝kx，动摩擦因数最小时，由平衡关系可得kx＝
2.5mgsin α＋2.5μmgcs α，解得μ＝eq \f(7\r(3),15)，故A、B、C错误，D正确。
B级 综合提升练
9.如图9所示，物体A的质量为M，圆环B的质量为m，由绳子通过定滑轮连接在一起，圆环套在光滑的竖直杆上。开始时连接圆环的绳子水平，长度l＝4 m。现从静止释放圆环，不计定滑轮和空气的阻力，g取10 m/s2。若圆环下降h＝3 m时的速度v＝5 m/s，则A和B的质量关系为( )
图9
A.eq \f(M,m)＝eq \f(35,29) B.eq \f(M,m)＝eq \f(7,9)
C.eq \f(M,m)＝eq \f(39,25) D.eq \f(M,m)＝eq \f(15,19)
答案 A
解析 圆环下降3 m后的速度可以按如图所示分解，故可得vA＝vcs θ＝eq \f(vh,\r(h2＋l2))，A、B和绳子看成一个整体，整体只有重力做功，机械能守恒，当圆环下降h＝3 m时，根据机械能守恒定律可得mgh＝MghA＋eq \f(1,2)mv2＋eq \f(1,2)Mveq \\al(2,A)，其中hA＝eq \r(h2＋l2)－l，联立可得eq \f(M,m)＝eq \f(35,29)，故A正确。
10.(多选)(2023·山东潍坊模拟)如图10所示，两根固定直杆组成“V”字形，两杆夹角为30°，其中左侧杆竖直，右侧杆光滑。轻弹簧的一端固定在E点，另一端连接质量为0.1 kg的小球，小球套在OF杆上。某时刻，小球从F点由静止开始沿右侧杆下滑，到达M点时弹簧恢复原长，越过M点后继续下滑。已知EF垂直于OE，EM垂直于OF，N为右侧杆上一点且∠OEN＝30°，弹簧原长为0.45 m，重力加速度g大小取10 m/s2，以下判断正确的是( )
图10
A.小球沿杆下滑过程中，从F点至M点过程中弹簧弹力功率先增大后减小
B.从F点运动到N点的过程中，小球机械能守恒
C.小球达到N点时，速度大小为3 m/s
D.小球达到N点时，重力的瞬时功率为3 W
答案 AC
解析 小球在F点速度为0，弹簧弹力功率为0；到达M点时弹簧恢复原长，弹簧弹力为0，则弹簧弹力功率为0。可见从F点至M点过程中弹簧弹力功率先增大后减小，选项A正确；小球从F点运动到N点的过程中，弹簧对小球要做功，小球机械能不守恒，选项B错误；在F点和N点弹簧的形变量相等，弹簧的弹性势能相等。对于小球与弹簧组成的系统，由于只有重力和弹力做功，所以系统的机械能守恒，小球从F点运动到N点的过程中，根据系统的机械能守恒得mgeq \(FN,\s\up6(－))sin 60°＝eq \f(1,2)mveq \\al(2,N)，根据几何关系可知eq \(FN,\s\up6(－))＝2eq \(EM,\s\up6(－))tan 30°，联立解得vN＝3 m/s，选项C正确；小球达到N点时，重力的瞬时功率为P＝mgvNsin 60°＝0.1×10×3×
eq \f(\r(3),2) W＝eq \f(3,2)eq \r(3) W，选项D错误。
11.如图11所示，倾角为37°的斜面与一竖直光滑圆轨道相切于A点，轨道半径R＝1 m，将滑块由B点无初速度释放，滑块恰能运动到圆周的C点，OC水平，OD竖直，xAB＝2 m，滑块可视为质点，取g＝10 m/s2，sin 37°＝0.6，cs 37°＝0.8，求：
图11
(1)滑块在斜面上第一次下滑到A点的时间；
(2)若滑块能从D点抛出，滑块仍从斜面上无初速度释放，释放点至少应距A点多远。
答案 (1)1 s (2)5.75 m
解析 (1)设滑块到达A点的速度为vA，以A点所在水平面为参考平面，从A到C过程，由机械能守恒定律有
eq \f(1,2)mveq \\al(2,A)＝mgRcs 37°
从B到A过程，滑块做匀加速直线运动，由匀变速直线运动规律可知
veq \\al(2,A)＝2axAB，vA＝at
联立各式解得a＝4 m/s2，t＝1 s。
(2)设滑块能从D点抛出的最小速度为vD，在D点，由重力提供向心力，
有mg＝meq \f(veq \\al(2,D),R)
从A到D由机械能守恒定律有
eq \f(1,2)mvA′2＝mgR(1＋cs 37°)＋eq \f(1,2)mveq \\al(2,D)
vA′2＝2ax′
联立各式解得x′＝5.75 m。
12.如图12所示，O为固定在水平面的转轴，小球A、B的质量均为m，A与B、O间通过铰链用轻杆连接，杆长均为L，B球置于水平地面上，B、O之间用一轻质弹簧连接。现给A施加一竖直向上的力F，此时两杆夹角θ＝60°，弹簧处于原长。改变F使A球缓慢运动，当θ＝106°时力F恰好为零。A、B始终在同一竖直平面，弹簧在弹性限度内，忽略一切摩擦，sin 53°＝0.8，cs 53°＝0.6，重力加速度为g。
图12
(1)求弹簧的劲度系数k；
(2)若A球自由释放时加速度为a，此时B球加速度多大？
(3)在(2)情况下当θ＝90°时，B的速度大小为v，求此时弹簧的弹性势能。
答案 (1)eq \f(10mg,9L) (2)eq \f(g－2a,2\r(3)) (3)eq \f(\r(3)－\r(2),2)mgL－eq \f(3,4)mv2
解析 (1)对A球受力分析，如图甲所示
有2F1cs 53°＝mg
对B球受力分析，如图乙所示
有FBsin 53°＝kx
其中x＝2L(sin 53°－sin 30°)
且F1＝FB，解得k＝eq \f(10mg,9L)。
(2)A球自由释放时的加速度方向垂直于AO杆，
由牛顿第二定律得
mgcs 60°－F1cs 30°＝ma
对B有F1cs 60°＝maB
解得aB＝eq \f(g－2a,2\r(3))。
(3)当θ＝90°时，vA＝vcs 45°，对系统由机械能守恒定律得
mgL(cs 30°－cs 45°)＝eq \f(1,2)mveq \\al(2,A)＋eq \f(1,2)mv2＋Ep
解得Ep＝eq \f(\r(3)－\r(2),2)mgL－eq \f(3,4)mv2。常见
情景
三点
提醒
①分清两物体是速度大小相等，还是沿绳方向的分速度大小相等。
②用好两物体的位移大小关系或竖直方向高度变化的关系。
③对于单个物体，一般绳上的力要做功，机械能不守恒；但对于绳连接的系统，机械能则可能守恒。
常见
情景
模型
特点
①平动时两物体线速度相等，转动时两物体角速度相等。
②杆对物体的作用力并不总是沿杆的方向，杆能对物体做功，单个物体机械能不守恒。
③对于杆和球组成的系统，忽略空气阻力和各种摩擦且没有其他力对系统做功，则系统机械能守恒。
模型
特点
由轻弹簧连接的物体系统，一般既有重力做功又有弹簧弹力做功，这时系统内物体的动能、重力势能和弹簧的弹性势能相互转化，而总的机械能守恒。
两点
提醒
①对同一弹簧，弹性势能的大小完全由弹簧的形变量决定，无论弹簧伸长还是压缩。
②弹簧两端物体把弹簧拉伸至最长(或压缩至最短)时，两端的物体具有相同的速度，弹性势能最大。