广东省广州市荔湾区2021-2022学年八年级上学期期末数学试题（原卷版）

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一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的．）
1. 下面图形中是轴对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．根据轴对称图形的概念对各选项进行一一判断即可，
【详解】解：A．不是轴对称图形，故本选项不合题意；
B．是轴对称图形，故本选项符合题意；
C．不是轴对称图形，故本选项不合题意；
D．不是轴对称图形，故本选项不合题意．
故选：B．
【点睛】本题考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2. 若分式的值为零，则x的值为（ ）
A. ±2B. ﹣2C. 2D. 不存在
【答案】B
【解析】
【分析】根据分式的值为零的条件是分子等于零，分母不等于零，即可求得的值．
【详解】解：∵分式的值为零，
∴
解得：
故选B
【点睛】本题考查了分式值为零的条件，掌握“分式的值为零的条件是分子等于零，分母不等于零”是解题的关键．
3. 下列运算正确的是（ ）
A. a4•a2=a8B. a6÷a2=a3C. (a3)2=a5D. (2ab2)2=4a2b4
【答案】D
【解析】
【分析】
【详解】A. a4•a2=a6 ，故A选项错误；
B. a6÷a2=a4 ，故B选项错误；
C. (a3)2=a6 ，故C选项错误；
D. (2ab2)2=4a2b4，正确，
故选D.
4. PM2.5是大气压中直径小于或等于0.0000025m的颗粒物，将0.0000025用科学记数法表示为（ ）
A. 0.25×10﹣5B. 0.25×10﹣6C. 2.5×10﹣5D. 2.5×10﹣6
【答案】D
【解析】
【分析】根据科学记数法的定义，科学记数法的表示形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．在确定n的值时，看该数是大于或等于1还是小于1．当该数大于或等于1时，n为它的整数位数减1；当该数小于1时，－n为它第一个有效数字前0的个数（含小数点前的1个0）．
【详解】解：0.0000025第一个有效数字前有6个0（含小数点前的1个0），从而．
故选D．
5. 下列变形从左到右一定正确的是（ ）
A. ＝B. ＝C. ＝D. ＝
【答案】D
【解析】
【分析】根据分式的基本性质分式的基本性质：分式的分子和分母同时乘以或除以同一个不为0的整式，分式的值不变,解决即可．
【详解】解：A、≠，故不符合题意；
B、当c≠0时＝ 成立，故不符合题意；
C、≠，故不符合题意；
D、＝，故符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查分式的化简，解决本题的关键是熟练掌握分式的基本性质．
6. 如图，已知△ABC的六个元素，则下列甲、乙、丙三个三角形中和△ABC全等的图形是（ ）
A. 甲乙B. 甲丙C. 乙丙D. 乙
【答案】C
【解析】
【分析】甲不符合三角形全等的判断方法，乙可运用SAS判定全等，丙可运用AAS证明两个三角形全等．
【详解】由图形可知，甲有两边一角，但50°的角不是两边的夹角，故不能判断两三角形全等，乙有两边及其夹角，能判断两三角形全等，丙得出两角及其一角对边，能判断两三角形全等，根据全等三角形的判定得：乙丙正确．
故选C．
【点睛】本题考查了三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．
注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
7. 若一个正多边形的每一个外角都是30°，则这个正多边形的内角和等于( )
A. 1440°B. 1620°C. 1800°D. 1980°
【答案】C
【解析】
【分析】根据任何多边形的外角和都是360°，利用360除以外角的度数就可以求出外角和中外角的个数，即多边形的边数．n边形的内角和是（n-2）•180°，把多边形的边数代入公式，就得到多边形的内角和．
【详解】解：多边形的边数：360°÷30°=12，
正多边形的内角和：（12-2）•180°=1800°，
故选：C．
【点睛】根据外角和的大小与多边形的边数无关，由外角和求正多边形的边数，是常见的题目，需要熟练掌握．
8. 如图，，点E在线段上，，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】依据△ABC≌△AED，即可得到∠AED=∠B，AE=AB，∠BAC=∠EAD，再根据等腰三角形的性质，即可得到∠B的度数，进而得出∠AED的度数．
【详解】解：∵△ABC≌△AED，
∴∠AED=∠B，AE=AB，∠BAC=∠EAD，
∴∠1=∠BAE=40°，
∴△ABE中，∠B==70°，
∴∠AED=70°，
故选：A．
【点睛】本题考查的是全等三角形的性质、等腰三角形的性质，掌握全等三角形的对应角相等是解题的关键．
9. 如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，DE是AB的垂直平分线，若△ABD的周长为a，BC＝b，则△BCD的周长为（ ）
A. a﹣2bB. a﹣bC. 2bD. a
【答案】B
【解析】
【分析】先由AB=AC，∠A=36°，可求∠C=∠ABC==72°，然后由DE是AB的垂直平分线，可得AE=BE，进而可得∠ABD=∠A=36°，然后根据外角的性质可求：∠CDB=∠ABD+∠A=72°，根据等角对等边可得：CD=CB，则AD=BD=CB=b，由△ABD的周长是a，可得AB=a-2b，由AB=AC，可得CD=a-3b，进而得到△BCD的周长=CD+BD+BC=a-3b+b+b=a-b．
【详解】解：∵AB=AC，∠A=36°，
∴∠C=∠ABC==72°，
∵DE是AB的垂直平分线，
∴AD=BD，
∴∠ABD=∠A=36°，
∵∠CDB是△ADC的外角，
∴∠CDB=∠ABD+∠A=72°，
∴∠C=∠CDB，
∴CB=BD，
∵AD=BD=CB=b，△ABD的周长是a，
∴AB=a-2b，
∵AB=AC，
∴CD=a-3b，
∴△BCD的周长=CD+BD+BC=a-3b+b+b=a-b．
故选：B．
【点睛】考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质以及三角形内角和定理等知识．解题关键是注意数形结合思想的应用，注意等腰三角形的性质与等量代换．
10. 若a，b，c是直角三角形ABC三边长，且a2＋b2＋c2＋200＝12a＋16b＋20c，则△ABC三条角平分线的交点到一条边的距离为（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】先配方求a，b，c的值，再证明 如图，为的三条角平分线的交点，过作垂足分别为 则 再利用等面积法可得答案.
【详解】解：∵a2+b2+c2+200=12a+16b+20c．
∴a2-12a+36+b2-16b+64+c2-20c+100=0．
∴（a-6）2+（b-8）2+（c-10）2=0．
∴a-6=0，b-8=0，c-10=0．
∴a=6，b=8，c=10．


如图，为的三条角平分线的交点，过作
垂足分别为 则
而
又

．
故选：B．
【点睛】本题考查完全平方式的应用，非负数的性质，角平分线的性质，勾股定理的逆定理的应用，解题关键是正确配方求出a，b，c的值并判断三角形是直角三角形．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．）
11. 已知直角坐标系中点和点B(3，b)关于x轴对称，则b-a=_____________．
【答案】
【解析】
【分析】根据关于轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数可得，，再计算的值即可．
【详解】解：点和点，点和点关于轴对称，
，，
，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了关于轴对称点的坐标特点，解题的关键是掌握点的变化规律．
12. 已知：m+2n﹣3＝0，则2m•4n的值为_____．
【答案】8
【解析】
【分析】把转化成的形式，根据同底数幂乘法法则可得，把代入求值即可.
【详解】解：由得
∴
∴故答案为：8．
【点睛】本题考查了幂的乘方和同底数幂乘法，掌握幂的乘方和同底数幂乘法的运算法则是解题关键．
13. 若等腰三角形的一个内角为，则它的顶角为 ________ ．
【答案】或
【解析】
【分析】分的角为顶角和底角两种情况讨论即可作答．
【详解】当的角为顶角时，此时顶角为；
当的角为底角时，此时顶角为；
即该三角形的顶角为：或者，
故答案为：或者．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质以及三角形的内角和定理的知识，主要分类讨论是解答本题的关键．
14. 如图，在△ABC中，AD、AE分别是边BC上的中线与高，AE＝4，△ABC的面积为12，则CD的长为_____．
【答案】3
【解析】
【分析】利用三角形的面积公式求出BC即可解决问题．
【详解】∵AE⊥BC，AE＝4，△ABC的面积为12，
∴×BC×AE＝12，
∴×BC×4＝12，
∴BC＝6，
∵AD是△ABC的中线，
∴CD＝BC＝3，
故答案为3．
【点睛】本题考查三角形的面积，三角形的中线与高等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中基础题．
15. 计算的结果是_____．
【答案】
【解析】
【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，约分得到最简结果即可．
【详解】解：
．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了分式的混合运算，解题的关键是掌握分式混合运算顺序和运算法则．
16. 如图，已知AC平分∠BAD，CE⊥AD于点E，CB＝CD．有下列结论：①∠ABC＋∠ADC＝180°；②AB＋AD＝2AE；③∠CDB＝∠CAB；④若∠BAD＝30°，AC＝6，M是射线AD上一点，N是射线AB上一点，则△CMN周长的最小值大于6，其中正确结论的序号是_____．
【答案】①②③
【解析】
【分析】过点C作CF⊥AB交于点F，证明Rt△CDE≌Rt△DBF（HL），可得∠ABC+∠ADC=180°；证明Rt△AEC≌Rt△AFC（HL），则AE=AF，所以AB+AD=2AB+2BF=2AF=2AE；由∠BDC=∠CBD，结合三角形外角∠DBF=∠ADB+2∠CAB，可得∠ADB+2∠CAB=∠DBC+∠DBC+∠ADB，即可证明∠CAB=∠DBC；作C点关于AD的对称点G，作C点关于AB的对称点H，连接GH交AD于点M，交AB于点N，连接CM、CN、AG、AH，当G、M、N、H四点共线时，△CMN周长最小，可证△AGH是等边三角形，GH=AC=6，则△CMN周长的最小值为6．
【详解】解：如图所示：过点C作CF⊥AB交于点F，
∵AC平分∠BAD，CE⊥AD，
∴CF=CE，
∵CB=CD，
∴Rt△CDE≌Rt△DBF（HL），
∴DE=BF，∠CBF=∠CDE，
∵∠ABC+∠CBF=180°，
∴∠ABC+∠ADC=180°；
故①正确；
∵CD=CF，∠AEC=∠AFC=90°，
∴Rt△AEC≌Rt△AFC（HL），
∴AE=AF，
∴AB+AD
=AB+AE+ED
=AB+AF+BF
=AB+AB+BF+BF
=2AB+2BF
=2AF
=2AE；
故②正确；
∵CD=BC，
∴∠BDC=∠CBD，
∵∠DBF=∠ADB+2∠CAB，
∠CBF=∠CDE=∠BDC+∠ADB，
∴∠ADB+2∠CAB=∠DBC+∠DBC+∠ADB，
∴∠CAB=∠DBC；
故③正确；
作C点关于AD的对称点G，作C点关于AB的对称点H，连接GH交AD于点M，交AB于点N，连接CM、CN、AG、AH，
∵CM=GM，CN=HN，
∴CM+CN+MN=GM+CH+MN≥GH，
∴当G、M、N、H四点共线时，△CMN周长最小，
∵∠BAD=30°，
∴∠GAH=60°，
∵AG=AC=AH，
∴△AGH是等边三角形，
∴GH=AC，
∵AC=6，
∴GH=6，
∴△CMN周长的最小值为6；
故④不正确；
故答案为：①②③．
【点睛】考查了角平分线的性质、轴对称求最短距离和三角形全等的判断与性质，解题关键是熟练掌握三角形全等的判断与性质和轴对称求最短距离的方法．
三、解答题（本大题共9题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17. 计算：（2a＋b）（b﹣2a）﹣（2a3b＋4ab3）÷2ab．
【答案】-5a2-b2．
【解析】
【分析】先计算整式的乘除，再计算整式的加减，最后得到此题的结果．
【详解】解：（2a+b）（b-2a）-（2a3b+4ab3）÷2ab
=-4a2+b2-a2-2b2
=（-4-1）a2+（1-2）b2
=-5a2-b2．
【点睛】本题考查了整式的乘除加减混合运算，关键是能对以上运算准确确运算顺序、理解运算法则进行正确计算．
18. 解分式方程：．
【答案】原方程无解．
【解析】
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程无解．
【详解】解： ．
因式分解得，
去分母得：，
解得：x=-2，
经检验，
∴x=-2是分式方程增根，
原方程无解．
【点睛】本题考查分式方程的解法，熟练掌握分式方程的解法与步骤是解题关键．
19. 分解因式：
（1）x3y﹣9xy；
（2）x2（x﹣y）＋2x（y﹣x）﹣（y﹣x）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）先提出公因式，再利用平方差公式进行因式分解，即可求解；
（2）先提出公因式，再利用完全平方公式进行因式分解，即可求解．
【小问1详解】
解： ；
【小问2详解】
解：

．
【点睛】本题主要考查了多项式的因式分解，熟练掌握多项式的因式分解的方法，并根据多项式的特征，灵活选用合适的方法解答是解题的关键．
20. 如果b2﹣4a＝0且a≠0，求的值．
【答案】4．
【解析】
【分析】先根据已知得出b2=4a，然后统一成a的分式，利用完全平方公式展开，合并后，约分化简即可得答案．
【详解】∵b2﹣4a＝0，且a≠0，
∴b2=4a，
∴．
【点睛】本题考查分式化简求值，熟练掌握完全平方公式及分式基本性质是解题关键．
21. 如图，边长为1的正方形网格中，四边形ABCD的四个顶点A，B，C，D都在格点上．
（1）画出四边形ABCD关于x轴的对称图形四边形A1B1C1D1，则点C1坐标为 ；
（2）在y轴上找一点P，使得PA＋PC1最短，请画出点P所在的位置，并写出点P的坐标．
【答案】（1）画图见解析，（﹣1，﹣1）；
（2）画图见解析，（0，0）．
【解析】
【分析】（1）根据关于x轴对称的点的坐标特征得到A1、B1、C1、D1的坐标，然后描点即可；
（2）画出C点关于y轴的轴对称C'，连接AC'，交y轴于点P，即可确定P点位置．
【小问1详解】
解：如图，四边形A1B1C1D1为所作，点C1坐标为（﹣1，﹣1）；
故答案为（﹣1，﹣1）；
小问2详解】
解：如图，画出C点关于y轴的轴对称C'，连接AC'，交y轴于点P，点P为所作，P点坐标为（0，0）．
【点睛】本题主要考查了作图﹣﹣轴对称变换：几何图形都可看作是由点组成，我们在画一个图形的轴对称图形时，也是先从确定一些特殊的对称点开始的．也考查了最短路径问题．
22. 如图，在四边形ABCD中，AD⊥AB且AD＝AB＝CD，连接AC．
（1）尺规作图：作∠ADC的平分线DE交AC于点E；（保留作图痕迹，不写作法．）
（2）在（1）的基础上，若AC⊥BC，求证：DE＝2BC．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】（1）根据要求作出图形即可；
（2）证明△DEA≌△ACB（AAS），推出DE＝AC，AE＝BC，可得结论．
【小问1详解】
解：如图，射线AE即为所求．
【小问2详解】
证明：∵DA＝DC，DE平分∠ADC，
∴AE＝EC，DE⊥AC，
∴AC＝2AE，
∵AD⊥AB，AC⊥CB，
∴∠AED＝∠DAB＝∠ACB＝90°，
∴∠DAE+∠BAC＝90°，∠BAC+∠B＝90°，
∴∠DAE＝∠B，
在△DEA和△ACB中，
，
∴△DEA≌△ACB（AAS），
∴DE＝AC，AE＝BC，
∴DE＝2BC．
【点睛】本题考查作图﹣基本作图，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
23. 列方程解应用题：小明的爸爸出差回家后，小明发现爸爸的通信大数据行程卡上显示1天内爸爸去过深圳、广州、湛江．已知广州到深圳的路程为140公里，比广州到湛江的路程少280公里，小明爸爸驾车从广州到深圳的平均车速和广州到湛江的平均车速比为7：6，从广州到湛江的时间比从广州到深圳的时间多5小时．
（1）求广州到深圳的平均车速；
（2）从广州到湛江时，若小明的爸爸至少要提前2小时到达，则平均车速应满足什么条件？
【答案】（1）70km/h
（2）平均车速应不小于
【解析】
【分析】（1）设广州到深圳的平均车速为 km/h，则广州到湛江的平均车速为 km/h，根据题意得，列分式方程，解方程求解即可；
（2）设小明的爸爸从广州到湛江，速度为，根据题意列一元一次不等式，解不等式求解即可．
【小问1详解】
设广州到深圳的平均车速为 km/h，则广州到湛江的平均车速为 km/h，根据题意得，
解得，
经检验，是原方程的解
则广州到深圳的平均车速为．
答：广州到深圳平均车速为．
【小问2详解】
广州到湛江路程为：，
原来需要的时间为，
设小明的爸爸至少要提前2小时到达，速度为，
则，
解得，
即平均车速应不小于．
【点睛】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，根据题意找到等量关系和不等关系是解题的关键．
24. 已知△ABC为等边三角形，边长为8，点D，E分别是边AB，BC上的动点，以DE为边作等边三角形DEF．
（1）如图1，若点F落在边AC上．
①求证：AD＝BE；
②当△BDE为直角三角形时，求BE的长．
（2）如图2，当AD＝2BE时，点G为BC边的中点，求GF的最小值．
【答案】（1）①证明见解析；②BE＝或；
（2）2
【解析】
【分析】（1）①证明△ADF≌△BED，从而命题得证；②当∠BED＝90°时，此时BD＝2BE，进而求得BE，当∠BDE＝90°时，此时BE＝2BD，同样求得此时的BE．
（2）在BC上截取BH＝BD，连接DH，证明△BDE≌△FEH，推出∠CH60°，CH＝2FH，再证明CF平分∠ACB，得出点F的轨迹，进一步求得GF的最小值．
【小问1详解】
①证明：∵△ABC是等边三角形，△DEF是等边三角形，
∴∠A＝∠B＝60°，DF＝DE，∠EDF＝60°，
∴∠ADF+∠AFD＝180°﹣∠A＝120°，
∠ADF+∠BDE＝180°﹣∠EDF＝120°，
∴∠AFD＝∠BDE，
∴△ADF≌△BED（AAS），
∴AD＝BE；
②解：
当∠BED＝90°时，
由（1）得：△ADF≌△BED，
∴AD＝BE，
∴BD＝AB﹣AD＝8﹣BE，
∵∠B＝60°，
∴∠BDE＝90°﹣∠B＝30°，
∴BD＝2BE，
∴8﹣BE＝2BE，
∴BE＝；
如图2，
当∠BDE＝90°时，
∵BD＝8﹣AD＝8﹣BE，∠BED＝30°，
∴BE＝2BD，
∴BE＝2•（8﹣BE），
∴BE＝，
综上所述：BE＝或；
【小问2详解】
（3）如图3，

设AD＝2x，BE＝x，
∴BD＝AB﹣AD＝8﹣2x，
在BC上截取BH＝BD，连接DH，
∵∠B＝60°，
∴△BDH是等边三角形，
∴∠BDH＝60°，DH＝BD，
∵△DEF是等边三角形，
∴DE＝DF，∠EDF＝60°，
∴∠BDH＝∠EDF，
∴∠BDH﹣∠EDH＝∠EDF﹣∠EDH，
即：∠BDE＝∠HDF，
∴△BDE≌△FEH（SAS），
∴EH＝BD＝8﹣2x，FH＝BE＝x，∠DHF＝∠B＝60°，
∴CH＝BC﹣BE﹣EH＝8﹣x﹣（8﹣2x）＝x，∠FHC＝180°﹣∠BHD﹣∠DHF＝60°，
作射线CF，
如图4，
在△CFH中，CH＝2x，FH＝x，∠FHC＝60°，
取CH的中点M，连接FM，
∴HM＝CM＝，
∴HF＝HM，
∴△FHM是等边三角形，
∴FM＝HM＝CM＝x，∠FMH＝60°，
∴∠FCM＝∠CFM，
∵∠FMH＝∠FCM+∠CFM，
∴2∠FCM＝60°，
∴∠FCM＝30°，
∴CF是∠ACB的平分线，
即：F点在∠ACB的角平分线上运动，
作GF′⊥CF于F′，此时，GF最小；
∵G是BC的中点，
∴CG＝＝4，
∴GF′＝＝2．
故GF的最小值为2．
【点睛】本题考查了等边三角形性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质等知识，解决问题的关键是构造全等，找到F的运动轨迹．
25. 如图，共顶点的两个三角形△ABC，△AB′C′，若AB＝AB′，AC＝AC′，且∠BAC＋∠B′AC′＝180°，我们称△ABC与△AB′C′互为“顶补三角形”．
（1）如图2，△ABC是等腰三角形，△ABE，△ACD是等腰直角三角形，连接DE；求证：△ABC与△ADE互为顶补三角形．
（2）在（1）的条件下，BE与CD交于点F，连接AF并延长交BC于点G．判断DE与AG的数量关系，并证明你的结论．
（3）如图3，四边形ABCD中，∠B＝40°，∠C＝50°．在平面内否存在点P，使△PAD与△PBC互为顶补三角形，若存在，请画出图形，并证明；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）见解析 （2）
（3）存在，见解析
【解析】
【分析】（1）根据定义证明即可；
（2）设交于点，先证AG是BC的垂直平分线，再由“”可证△ADH△BAG，可得AG=DH，即可得结论；
（3）延长CD交BA延长线于点Q，作CD的垂直平分线EP交AB的垂直平分线于点P，连接CP，DP，AP，BP，由线段垂直平分线的性质可得PC＝PD，PA＝PB，PE⊥CD，PF⊥AB，由等腰三角形的性质可得∠DPE＝∠CPE，∠APF＝∠BPF，可证∠APD＋∠BPC＝180°，即可证△PAD与△PBC互为“顶补三角形”．
【小问1详解】
△ABE，△ACD是等腰直角三角形，
,
△ABC与△ADE互为顶补三角形
【小问2详解】
如图，设交于点，交于点，交于点，
∵△ABC是等腰三角形，△ABE，△ACD是等腰直角三角形，
∴AB= AC= AD = AE，∠ABE = ∠ACD = 45°，∠DAC =∠BAE = 90°，
∴∠BAD =∠CAE
∵∠ABE = ∠ACD， AB = AC，∠BAC = ∠BAC
∴△ABN ≌△ACM (ASA)
∴AM = AN
∴BM=CN
又∵∠ABF = ∠ACF，∠BFM= ∠CFN
∴△BFM ≌△CFN (AAS)
∴BF =CF
又∵AB=AC
∴AF是BC的垂直平分线
又∵AB=AC
∴∠BAG= ∠CAG
∴∠DAH = ∠EAH
又∵AD= AE
∴DH = HE, AH⊥DE
∵AG⊥BC
∴∠ABG +∠BAG = 90° = ∠DAH+CAG
∴∠ABG = ∠DAH
又∵AB= AD
∴∠AHD = ∠AGB = 90°
∴△ADH≌△BAG(AAS)
∴DH = AG
∴DE = 2AG
【小问3详解】
存在，理由如下：
如图，延长CD交BA延长线于点Q，作CD的垂直平分线EP交AB的垂直平分线于点P，连接CP，DP，AP，BP，
∵PE垂直平分CD，PF垂直平分AB，
∴PC＝PD，PA＝PB，PE⊥CD，PF⊥AB，
∴∠DPE＝∠CPE，∠APF＝∠BPF，
∵∠B＝40°，∠C＝50°,∠B＋∠C＝90°，
∴∠Q＝90°，且PE⊥CD，PF⊥AB，
∴∠EPF＝90°，
∴∠APD＋∠DPE＋∠APF＝90°
∵∠APD＋∠BPC＝∠APD＋∠EPF＋∠CPE＋∠BPF＝∠APD＋∠DPE＋∠APF＋90°
∴∠APD＋∠BPC＝180°，且PC＝PD，PA＝PB，
∴△PAD与△PBC互为“顶补三角形”，
【点睛】考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，垂直平分线的性质，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键