广东省广州市天河区2021-2022学年九年级上学期期末数学试题（原卷版）

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1. 下列关于防范“新冠肺炎”的标志中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A. 戴口罩讲卫生B. 勤洗手勤通风
C. 有症状早就医D. 少出门少聚集
【1题答案】
【答案】C
【解析】
【分析】直接利用轴对称图形和中心对称图形的概念求解．
【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意；
C、既是中心对称图形也是轴对称图形，故此选项符合题意；
D、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查中心对称图形和轴对称图形的知识，关键是掌握好中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，图形旋转180°后与原图重合．
2. 下列事件是必然事件的是（ ）
A. 同圆中，圆周角等于圆心角的一半
B. 投掷一枚均匀的硬币100次，正面朝上的次数为50次
C. 参加社会实践活动的367个同学中至少有两个同学的生日是同一天
D. 把一粒种子种在花盆中，一定会发芽
【2题答案】
【答案】C
【解析】
【分析】直接利用随机事件以及不可能事件、必然事件的定义分析即可得答案．
【详解】A、同圆中，圆周角等于圆心角的一半，是随机事件，不符合题意；
B、投掷一枚均匀的硬币100次，正面朝上的次数为50次，是随机事件，不符合题意；
C、参加社会实践活动的367个同学中至少有两个同学的生日是同一天，是必然事件，符合题意；
D、把一粒种子种在花盆中，一定会发芽，是随机事件，不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念，必然事件指在一定条件下，一定发生的事件，不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
3. 抛物线y＝2（x+1）2不经过的象限是（ ）
A. 第一、二象限B. 第二、三象限
C. 第三、四象限D. 第一、四象限
【3题答案】
【答案】C
【解析】
【分析】根据顶点式写出顶点坐标，开口向上，进而即可求得的答案
【详解】解： y＝2（x+1）2，开口向上，顶点坐标为
该函数不经过第三、四象限
如图，
故选C
【点睛】本题考查了图象的性质，根据解析式求得开口方向和顶点坐标是解题的关键．
4. 抛物线y＝（x+2）2+1可由抛物线y＝x2平移得到，下列平移正确的是（ ）
A. 先向右平移2个单位，再向上平移1个单位
B. 先向右平移2个单位，再向下平移1个单位
C. 先向左平移2个单位，再向上平移1个单位
D. 先向左平移2个单位，再向下平移1个单位
【4题答案】
【答案】C
【解析】
【分析】根据平移的规律“左加右减，上加下减”，将y＝x2向左平移2个单位再向上平移1个单位即可得y＝（x+2）2+1，即可求得答案
【详解】解：根据题意将y＝x2向左平移2个单位再向上平移1个单位即可得y＝（x+2）2+1，
故选C
【点睛】本题考查了二次函数的平移，掌握平移规律是解题的关键，理解题意弄清是谁平移到谁．
5. 在一只暗箱里放有a个除颜色外其他完全相同的球，这a个球中红球只有3个，每次将球搅拌均匀后，任意摸出1个球记下颜色再放回暗箱．通过大量重复摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在20%，那么可以推算a大约是（ ）
A. 15B. 12C. 9D. 4
【5题答案】
【答案】A
【解析】
【分析】由于摸到红球的频率稳定在20%，由此可以确定摸到红球的概率为20%，而a个小球中红球只有3个，由此即可求出n．
【详解】∵摸到红球的频率稳定在20%，
∴摸到红球的概率为20%，
而a个小球中红球只有3个，
∴摸到红球的频率为．解得．
故选A．
【点睛】此题考查利用频率估计概率，解题关键在于利用摸到红球的频率稳定在20%.
6. 半径等于的圆中，垂直平分半径的弦长为（ ）
A. B. C. D.
【6题答案】
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意，利用勾股定理，先求出弦长的一半，进而求出弦长．
【详解】解：如图
由题意知，OA=4，OD=CD=2，OC⊥AB，
∴AD=BD，
在Rt△AOD中，，
∴．
故选：A．
【点睛】本题考查了垂径定理，在求弦长时，往往通过构造直角三角形，利用勾股定理，先求出弦长的一半，再求得弦长．此类问题极易出错，要特别注意．
7. 若x＝﹣1是关于x的一元二次方程ax2+bx﹣2＝0（a≠0）的一个根，则2021﹣2a+2b的值等于（ ）
A. 2015B. 2017C. 2019D. 2022
【7题答案】
【答案】B
【解析】
【分析】根据一元二次方程根的定义将代入方程ax2+bx﹣2＝0可得，即，整体代入到代数式中求解即可，一元二次方程的解（根）的意义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值称为一元二次方程的解．
【详解】解：将代入方程ax2+bx﹣2＝0可得，即
2021﹣2a+2b=
故选B
【点睛】本题考查了一元二次方程的解，代数式求值，整体代入是解题的关键．
8. 如图，正六边形ABCDEF的边长为6，以顶点A为圆心，AB的长为半径画圆，则图中阴影部分图形的周长为（ ）
A. 2πB. 4πC. 2π+12D. 4π+12
【8题答案】
【答案】D
【解析】
【分析】根据正多边形的外角求得内角的度数，进而根据弧长公式求得，即可求得阴影部分的周长．
【详解】解：正六边形ABCDEF边长为6，
阴影部分图形周长为
故选D
【点睛】本题考查了求弧长公式，求正多边形的内角，牢记弧长公式和正多边形的外角与内角的关系是解题的关键．
9. 在数轴上，点A所表示的实数为3，点B所表示的实数为a，⊙A的半径为2，下列说法错误的是（ ）
A. 当a＜5时，点B在⊙A内B. 当1＜a＜5时，点B在⊙A内
C. 当a＜1时，点B在⊙A外D. 当a＞5时，点B在⊙A外
【9题答案】
【答案】A
【解析】
【分析】根据数轴以及圆的半径可得当d=r时，⊙A与数轴交于两点：1、5，进而根据点到圆心的距离与半径比较即可求得点与圆的位置关系，进而逐项分析判断即可
【详解】解：∵圆心A在数轴上的坐标为3，圆的半径为2，
∴当d=r时，⊙A与数轴交于两点：1、5，
故当a=1、5时点B在⊙A上；
当d＜r即当1＜a＜5时，点B在⊙A内；
当d＞r即当a＜1或a＞5时，点B在⊙A外．
由以上结论可知选项B、C、D正确，选项A错误．
故选A．
【点睛】本题考查了数轴，点与圆的位置关系，掌握点与圆的位置关系是解题的关键．
10. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，将Rt△ABC绕顶点C逆时针旋转得到Rt△A'B'C，M是BC的中点，P是A′B'的中点，连接PM．若BC＝2，∠BAC＝30°，则线段PM的最大值为（ ）．
A. 2.5B. 2+C. 3D. 4
【10题答案】
【答案】C
【解析】
【分析】连接PC，先根据直角三角形的性质求出，再根据旋转的性质得出，然后根据直角三角形斜边上的中线性质得出，又根据线段中点的定义得出，最后根据三角形的三边关系定理即可得出答案．
【详解】如图，连接PC
在中，，
∴
∵将绕顶点C逆时针旋转得到
∴也是直角三角形，且
∵P是的中点，
∴
∵M是BC的中点
∴
则由三角形的三边关系定理得：
即
当点恰好在的延长线上时，
当点恰好在的延长线上时，
综上，
则线段PM的最大值为3
故选：C．
【点睛】本题考查了直角三角形的性质、旋转的性质、三角形的三边关系定理等知识点，掌握旋转的性质是解题关键．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11. 从一副没有“大小王”的扑克牌中随机地抽取一张，点数为“5”的概率是________．
【11题答案】
【答案】．
【解析】
【详解】试题分析：随机地抽取一张，总共有52种情况，其中点数是5有四种情况．根据概率公式进行求解．点数为“5”的概率是=．
故答案．
考点：概率公式．
12. 如图，在⊙O中，AC＝BD，若∠AOC＝120°，则∠BOD＝_____．
【12题答案】
【答案】##120度
【解析】
【分析】根据圆的性质，可得OA=OB，OC=OD，证明△AOC≌△BOD，即可得答案．
【详解】解：由题意可知：OA=OB，OC=OD，
∵AC＝BD，
∴△AOC≌△BOD，
∵∠AOC＝120°，
∴∠BOD＝120°，
故答案为：120°．
【点睛】本题考查了圆的性质、三角形全等的判定和性质，做题的关键是证明△AOC≌△BOD．
13. 已知圆锥的底面半径为7cm，它的侧面积是35πcm，则这个圆锥的母线长为_____．
【13题答案】
【答案】5cm
【解析】
【分析】根据圆锥的侧面展开图是扇形，圆锥的底面周长是扇形的弧长，母线为扇形的半径，结合扇形的面积公式求解即可．
【详解】解：圆锥的底面周长为2π×7=14π，设圆锥母线长为l，
则×14π·l=35π，解得：l=5，
故答案为：5cm．
【点睛】本题考查圆锥的侧面积计算、扇形面积公式，熟练掌握圆锥侧面展开图与扇形之间的关系是解答的关键．
14. 已知二次函数y＝3（x﹣5）2，当x分别取x1，x2（x1≠x2）时，函数值相等，则当x＝时，函数值为 _____．
【14题答案】
【答案】
【解析】
【分析】根据解析式求得顶点坐标，进而根据题意即可求得答案
【详解】解：二次函数y＝3（x﹣5）2顶点坐标为，对称轴为
x分别取x1，x2（x1≠x2）时，函数值相等，
对称轴
当x＝时，函数值为
故答案为：
【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数的对称性，求得定点坐标是解题的关键．
15. 已知（x+3）（x﹣2）+m＝x2+x，则一元二次方程x2+x﹣m＝0的根是 _____．
【15题答案】
【答案】或.
【解析】
【分析】由题意将（x+3）（x﹣2）+m＝x2+x变形为，进而即可求得一元二次方程x2+x﹣m＝0的根.
【详解】解：∵（x+3）（x﹣2）+m＝x2+x，
∴，
∵x2+x﹣m＝0，
∴，
解得：或.
故答案为：或.
【点睛】本题考查求一元二次方程根，注意将（x+3）（x﹣2）+m＝x2+x变形为是解题的关键.
16. 如图，将半径为4，圆心角为120°的扇形OAB绕点A逆时针旋转60°，点O，B的对应点分别为O′，B′，连接BB′，则图中阴影部分的面积是_____．
【16题答案】
【答案】
【解析】
【分析】连接，，证明是含30°的，根据即可求解
【详解】解：如图，连接，
将半径为4，圆心角为120°的扇形OAB绕点A逆时针旋转60°，
，，,
是等边三角形
,
三点共线
，
是等边三角形
又
【点睛】本题考查了求扇形面积，旋转的性质，掌握旋转的性质是解题的关键．
三、解答题（本大题共9题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤、）
17. 解方程：.
【17题答案】
【答案】，.
【解析】
【分析】将方程左边的多项式分解因式，然后利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程，求出一次方程的解即可得到原方程的解．
【详解】
∴或
∴，
【点睛】此题考查了解一元二次方程-因式分解法，利用此方法解方程时，首先将方程右边化为0，左边化为积的形式，然后利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解．
18. 如图，在△ABC中，∠CAB＝70°，在同一平面内，将△ABC绕点A旋转到△AB'C′的位置，使得CC′AB，求∠CC'A的度数．
【18题答案】
【答案】∠CC'A =70°
【解析】
【分析】先根据平行线的性质，由得∠AC′C=∠CAB=70°，再根据旋转的性质得AC=AC′，∠BAB′=∠CAC′，于是根据等腰三角形的性质有∠ACC′=∠AC′C=70°．
【详解】∵，
∴∠ACC′=∠CAB=70°，
∵△ABC绕点A旋转到△AB′C′的位置，
∴AC=AC′，∠BAB′=∠CAC′，
在△ACC′中，∵AC=AC′
∴∠ACC′=∠CC'A =70°，
【点睛】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．
19. 在“双减”政策下，某学校自主开设了A书法、B篮球、C足球、D器乐四门选修课程供学生选择，每门课程被选到的机会均等．若小明和小刚两位同学各计划选修一门课程，请用列表或树状图求他们两人恰好同时选修球类的概率．
【19题答案】
【答案】
【解析】
【分析】画树状图展示所有16种等可能的结果数，再找出他们两人恰好选修球类的结果数，然后根据概率公式求解．
【详解】解：画树状图为：
共有16种等可能的结果数，其中他们两人恰好选修球类的结果数为4，
所以他们两人恰好选修球类的概率==．
【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．
20. 如图，在△ABC中，∠A＝∠B＝30°．
（1）尺规作图：在线段AB上找一点O，以O为圆心作圆，使⊙O经过B，C两点．
（2）求证：AC与（1）中所做的⊙O相切．
【20题答案】
【答案】（1）答案见解析 （2）答案见解析
【解析】
【分析】(1)作线段BC的垂直平分线MN，交AB于点O，以O为圆心，OB为半径作⊙O 即可；
(2)连接OC，证明∠ACB= 120°，再证明∠ACO= 90°，即可得答案．
【详解】解：(1)如下图，⊙O即为所作：
(2)证明：连接OC
∵△ABC中，∠A=∠B= 30°
∴∠ACB= 120°
由(1) 可知，OC= OB
∴∠OCB=∠B = 30°
∴∠ACO= 90°
∴AC是⊙O的相切．
【点睛】本题考查作图-垂直平分线、圆的画法，等腰三角形的性质，切线的判定等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
21. 在△ABC中，AB＝BC＝4，∠ABC＝90°，M是AC的中点，点N在边AB上（不与点A，B重合），将△ANM绕点M逆时针旋转90°得到△BPM．
问：△BPN的面积能否等于3，请说明理由．
【21题答案】
【答案】△BPN的面积不能等于3，理由见解析
【解析】
【分析】如图，根据等腰直角三角形的性质和旋转性质得△BPM为△ANM绕点M逆时针旋转90°得到的，设AN=BP=x，则BN=4－x，连接NP，根据直角三角形的面积公式得到关于x的一元二次方程，然后求解即可得出结论．
【详解】解：如图，∵在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝90°，M是AC的中点，
∴AM=BM，BM⊥AC，∠A=∠MBC=45°，
由旋转得∠NMP=90°，
∴∠AMN+∠NMB=∠NMB+∠BMP，即∠AMN=∠BMP,
∴△ANM≌△BPM（ASA），
∴△BPM为△ANM绕点M逆时针旋转90°得到的，
∴AN=BP，
设AN=BP=x，则BN=4－x，连接NP，
假设△BPN的面积能否等于3，则x(4－x)=3，
∴x2－4x+6=0，
∵△=42－4×1×6=－8＜0，
∴该方程无实数解，
∴△BPN的面积不能等于3，
【点睛】本题考查等腰三角形的性质、直角三角形斜边上的中线性质、旋转性质、全等三角形的判定与性质、等角的余角相等、三角形的面积公式、一元二次方程的应用，熟练掌握相关知识的联系与运用，证明△ANM≌△BPM是解答的关键．
22. 如图，PA，PB与⊙O相切，切点为A，B，CD与⊙O相切于点E，分别交PA，PB于点D，C．若PA，PB的长是关于x的一元二次方程x2﹣mx+m﹣1＝0的两个根．
（1）求m的值；
（2）求△PCD的周长．
【22题答案】
【答案】（1）；（2）2
【解析】
【分析】（1）根据切线长定理可得，则一元二次方程的判别式为0，进而即可求得的值；
（2）根据（1）的结论求得的长，CD与⊙O相切于点E，则,根据△PCD的周长即可求解．
【详解】解： PA，PB与⊙O相切，
PA，PB的长是关于x的一元二次方程x2﹣mx+m﹣1＝0的两个根
解得
（2）
PA，PB与⊙O相切， CD与⊙O相切于点E，
△PCD的周长
【点睛】本题考查了切线长定理，一元二次方程根的判别式，解一元二次方程，掌握切线长定理是解题的关键．
23. 某企业投资100万元引进一条农产品加工生产线，若不计维修、保养费用，预计投产后每年可创利33万元，但使用8年后生产线报废该，生产线投产后，从第1年到第x年的维修、保养费用累计为y万元，且y＝ax2+bx，若第1年的维修、保养费为2万元，第2年的为4万元．
（1）求a的值；
（2）小敏同学依题意判断，这条生产线在第四年能收回投资款，并在报废前能盈利100万元．你认为这个判断正确吗？请说明理由．
【23题答案】
【答案】（1）；（2）在第四年能收回投资款，但不能在报废前盈利100万元，理由见解析
【解析】
【分析】（1）根据题意，将代入解析式即可求得的值；
（2）根据题意列出一元二次方程，解方程，且根据为正整数求解，设盈利万元，根据二次函数的性质求得最值，进而即可解决问题．
【详解】解：（1）根据题意，将代入解析式得：
解得
（2）判断不正确
由题意
解得
是正整数
或
使用8年后生产线报废
，即这条生产线在第四年能收回投资款，
设盈利万元，则
又
该函数的对称轴为，在对称轴左侧，随的增大而增大
当时，取得最大值，最大值（万元）
故不能在报废前盈利100万元
【点睛】本题考查了二次函数的应用，理解题意列出函数关系式是解题的关键．．
24. 已知，P是直线AB上一动点（不与A，B重合），以P为直角顶点作等腰直角三角形PBD，点E是直线AD与△PBD的外接圆除点D以外的另一个交点，直线BE与直线PD相交于点F．
（1）如图，当点P在线段AB上运动时，若∠DBE＝30°，PB＝2，求DE的长；
（2）当点P在射线AB上运动时，试探求线段AB，PB，PF之间的数量关系，并给出证明．
【24题答案】
【答案】（1） （2）PF=AB-PB或PF=AB+PB，理由见解析
【解析】
【分析】（1）根据△PBD等腰直角三角形，PB＝2，求出DB的长，由⊙O是△PBD的外接圆，∠DBE＝30°，可得答案；
（2）根据同弧所对的圆周角，可得∠ADP=∠FBP，由△PBD等腰直角三角形，得∠DPB=∠APD=90°，DP=BP，可证△APD≌△FPB，可得答案．
【详解】解：（1）由题意画以下图，连接EP，
∵△PBD等腰直角三角形，⊙O是△PBD的外接圆，
∴∠DPB=∠DEB=90°，
∵PB＝2，
∴ ，
∵∠DBE＝30°，
∴
（2）①点P在点A、B之间，
由（1）的图根据同弧所对的圆周角相等，可得：
∠ADP=∠FBP，
又∵△PBD等腰直角三角形，
∴∠DPB=∠APD=90°，DP=BP，
在△APD和△FPB中
∴△APD≌△FPB
∴AP=FP，
∵AP+PB=AB
∴FP+PB=AB，
∴FP=AB-PB，
②点P在点B的右侧，如下图：
∵△PBD等腰直角三角形，
∴∠DPB=∠APF=90°，DP=BP，
∵∠PBF+∠EBP=180°，∠PDA+∠EBP=180°，
∴∠PBF=∠PDA，
在△APD和△FPB中
∴△APD≌△FPB
∴AP=FP，
∴AB+PB=AP，
∴AB+PB=PF，
∴PF= AB+PB．
综上所述，FP=AB-PB或PF= AB+PB．
【点睛】本题考查了圆的性质，等腰直角三角形，三角形全等的判定，做题的关键是注意（2）的两种情况．
25. 已知二次函数y＝﹣9x2﹣6ax﹣a2+2a．
（1）当a＝1时，求该二次函数的最大值；
（2）若该二次函数图象与坐标轴有两个交点，求实数a的值；
（3）若该二次函数在﹣≤x≤有最大值﹣3，求实数a的值．
【25题答案】
【答案】（1）2；（2）（3）或
【解析】
【分析】（1）将代入解析式，进而根据顶点公式求得最大值；
（2）由于二次函数与轴必有一个交点，且为，分类讨论，令，①与轴1个交点，即一元二次方程根的判别式等于0，与轴1个交点，且不为，②若与轴有两个交点，则必过原点，进而即可求得答案；
（3）根据题意分三种情况讨论，进而解一元二次方程即可，①，②，
【详解】解：（1）将代入解析式y＝﹣9x2﹣6ax﹣a2+2a，
即，
当时，该二次函数的最大值为
（2）①令，
解得
即该抛物线为与坐标轴的交点为原点，只有1个交点，不符合题意
②则该抛物线与轴有两个交点，且有一个必过原点
即，解得或（舍）
综上所述，
（3）y＝﹣9x2﹣6ax﹣a2+2a的对称轴为
①若，即，抛物线的开口向下，当时，
该二次函数在﹣≤x≤有最大值﹣3，
解得
，
舍去
②若，即
当﹣≤x≤时，随的增大而减小，当时，取得最大值为
解得
③若，即
当﹣≤x≤时，随的增大而增大，当时，取得最大值为
解得
综上所述或
【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数与坐标轴交点问题，二次函数的最值问题，掌握二次函数的性质是解题的关键．