广东省广州市海珠区2021-2022学年八年级上学期期末数学试题2（原卷版）

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1. 要使分式有意义，则x的取值范围是（ ）
A. x≠1B. x＞1C. x＜1D. x≠﹣1
【答案】A
【解析】
【详解】根据分式分母不为0的条件，要使在实数范围内有意义，
必须
故选A
2. 用科学记数法表示的数﹣5.6×10﹣4写成小数是（ ）
A. ﹣0.00056B. ﹣0.0056C. ﹣56000D. 0.00056
【答案】A
【解析】
【分析】科学记数法的标准形式为a×10n（1≤|a|＜10，n为整数）．本题把数据−5.6×10−4中−5.6的小数点向左移动4位就可以得到．
【详解】解：把数据−5.6×10−4中−5.6的小数点向左移动4位就可以得到，为−0.00056．
故选：A．
【点睛】本题考查写出用科学记数法表示的原数．将科学记数法a×10−n表示的数，“还原”成通常表示的数，就是把a的小数点向左移动n位所得到的数．把一个数表示成科学记数法的形式及把科学记数法还原是两个互逆的过程，这也可以作为检查用科学记数法表示一个数是否正确的方法．
3. 已知一个正多边形的每个外角等于45°，则这个正多边形是( )
A. 正五边形B. 正六边形C. 正七边形D. 正八边形
【答案】D
【解析】
【分析】已知正多边形的外角和为360°， 利用360°除以45°即可得这个正多边形的边数.
【详解】正多边形的边数为：360°÷45°=8，
则这个多边形是正八边形.
故选D.
【点睛】本题考查了多边形的外角和，熟知多边形的外角和是360°是解决问题的关键.
4. 下列从左到右的变形属于因式分解的是（ ）
A. x2+2x+1＝x（x+2）+1B. ﹣7ab2c3＝﹣abc•7bc2
C. m（m+3）＝m2+3mD. 2x2﹣5x＝x（2x﹣5）
【答案】D
【解析】
【分析】把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解．由定义判断即可．
【详解】解：A．x2+2x+1=（x+1）2，故A不符合题意；
B．-7ab2c3是单项式，不存在因式分解，故B不符合题意；
C．m（m+3）=m2+3m是单项式乘多项式，故C不符合题意；
D．2x2-5x=x（2x-5）是因式分解，故D符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查因式分解的意义，熟练掌握因式分解的定义，能够根据所给形式判断是否符合因式分解的变形是解题的关键．
5. 如图，已知∠1＝∠2，要得到结论ABC≌ADC，不能添加的条件是（ ）
A. BC＝DCB. ∠ACB＝∠ACDC. AB＝ADD. ∠B＝∠D
【答案】A
【解析】
【分析】根据全等三角形的判定方法，逐项判断即可求解．
【详解】解：根据题意得： ，∠1＝∠2，
A、当BC＝DC时，边边角，不能得到结论ABC≌ADC，故本选项符合题意；
B、当∠ACB＝∠ACD时，是角边角，能得到结论ABC≌ADC，故本选项不符合题意；
C、当AB＝AD时，是边角边，能得到结论ABC≌ADC，故本选项不符合题意；
D、当∠B＝∠D时，是角角边，能得到结论ABC≌ADC，故本选项不符合题意；
故选：A
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法——边角边、角边角、角角边、边边边是解题的关键．
6. 已知2x＝5，则2x+3的值是（ ）
A. 8B. 15C. 40D. 125
【答案】C
【解析】
【分析】根据逆用同底数幂的乘法进行计算即可．
【详解】解：∵2x＝5，
∴
故选C
【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，掌握同底数幂的乘法法则是解题的关键．
7. 若mx+6y与x﹣3y的乘积中不含有xy项，则m的值为（ ）
A. 0B. 2C. 3D. 6
【答案】B
【解析】
【分析】先运用多项式的乘法法则，进行乘法运算，再合并同类项，因积中不含xy项，所以xy项的系数为0，得到关于m的方程，解方程可得m的值．
【详解】解：∵（mx+6y）×（x-3y）=mx2-（3m﹣6）xy﹣18y2，且积中不含xy项，
∴3m﹣6=0，
解得：m=2．
故选择B．
【点睛】本题主要考查多项式乘多项式的法则，解一元一次方程，根据不含某一项就是让这一项的系数等于0列式是解题的关键．
8. 如图，ABC中，AB＞AC，AD平分∠BAC，AE⊥BC于E，若∠B＝α，∠C＝β，则∠ADC的度数为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据角平分线的性质可知．由三角形内角和定理求出，从而可推出．再由三角形外角性质可知，即可得出，即得出答案．
【详解】∵AD平分∠BAC，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
∵∠B＝α，∠C＝β，
∴．
故选D．
【点睛】本题考查角平分线的性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质．利用数形结合的思想是解答本题的关键．
9. 如图，△ABC≌△ADE，点D在BC上，且∠B＝60°，则∠EDC的度数等于（ ）
A. 30°B. 45°C. 60°D. 75°
【答案】C
【解析】
【分析】根据全等三角形的性质：对应角和对应边相等解答即可．
【详解】解：∵△ABC≌△ADE，
∴∠B=∠ADE=60°，AB=AD，
∴∠ADB=∠B=60°，
∴∠EDC=60°．
故选：C．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质，熟记性质并准确识图是解题的关键．
10. 如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的值是（ ）
A. 240°B. 360°C. 540°D. 720°
【答案】B
【解析】
【分析】根据四边形的内角和及三角形的外角定理即可求解．
【详解】解：如图，、与分别相交于点、，
在四边形中，，
，，
，
故选：B．
【点睛】本题考查了多边形的外角与内角、三角形的外角性质，解题的关键是熟记多边形的内角和公式及三角形的外角定理．
二、填空题（本题有6个小题）
11. 计算：_____________________．
【答案】1
【解析】
【分析】根据0指数幂的意义解答即可．
【详解】解：因为，所以．
故答案为：1．
【点睛】本题考查了0指数幂的意义，属于应知应会题型，熟知任何非零数的0次幂等于1是解题的关键．
12. 已知点A关于x轴的对称点B的坐标为(1，﹣2)，则点A的坐标为_____．
【答案】
【解析】
【分析】根据“关于x轴对称的两个点，横坐标相等，纵坐标互为相反数”，求解即可
【详解】解：∵点A关于x轴的对称点B的坐标为(1，﹣2)，
∴点A的坐标为
故答案为：
【点睛】本题考查了关于x轴对称的点的坐标特征，掌握“关于x轴对称的两个点，横坐标相等，纵坐标互为相反数”是解题的关键．
13. 如图，RtABC中，∠C＝90°，D是BC的中点，∠CAD＝30°，BC＝6，则AD+DB的长为____．
【答案】9
【解析】
【分析】根据∠CAD＝30°，得到AD=2CD，从而得到AD+BD=3CD,求得CD即可．
【详解】∵∠C＝90°，D是BC的中点，∠CAD＝30°，BC＝6，
∴AD=2CD，BD=CD=BC=3，
∴AD+BD=3CD=9，
故答案为：9．
【点睛】本题考查了直角三角形的性质，线段中点即线段上一点，把这条线段分成相等的两条线段的点，熟练掌握直角三角形的性质是解题的关键．
14. 在RtABC中，∠C＝90°，若BC＝6，AD平分∠BAC交BC于点D，BD＝2CD，则点D到线段AB的距离为_____．
【答案】2
【解析】
【分析】过点D作DE⊥AB于E，根据题意求出CD，根据角平分线的性质求出DE，得到答案．
【详解】解：过点D作DE⊥AB于E，
∵BC＝6，BD＝2CD，
∴CD＝2，
∵AD平分∠BAC，∠C＝90°，DE⊥AB，
∴DE＝CD＝2，即点D到线段AB的距离为2，
故答案为：2．
【点睛】本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
15. 边长分别为m和2m两个正方形如图的样式摆放，则图中阴影部分的面积为_____．
【答案】
【解析】
【分析】将图形补全为边长为的长方形，进而根据阴影部分面积等与长方形面积的一半减去小正方形的面积即可求解
【详解】如图，
图中阴影部分的面积为
故答案为：
【点睛】本题考查了整式的乘法与图形面积，添加辅助线求解是解题的关键．
16. 如图，在ABC中，CD是AB边上的中线，设BC＝a，AC＝b，若a，b满足a2﹣10a+b2﹣18b+106＝0，则CD的取值范围是 _____．
【答案】2＜CD＜7
【解析】
【分析】已知等式变形后，利用完全平方公式配方，再利用非负数的性质求出a与b的值，即可求出CD的取值范围．
【详解】解：已知等式整理得：（a2−10a＋25）＋（b2−18b＋81）＝0，
即（a−5）2＋（b−9）2＝0，
∵（a−5）2≥0，（b−9）2≥0，
∴a−5＝0，b−9＝0，
解得：a＝5，b＝9，
∴BC＝5，AC＝9，
延长CD到E，使DE＝CD，连接AE，
∵CD为AB边上的中线，
∴BD＝AD，
在△BCD和△AED中，
，
∴△BCD≌△AED（SAS），
∴AE＝BC＝a，
在△ACE中，AC−AE＜CE＜AC＋AE，
∴AC−BC＜2CD＜AC＋AE，即b−a＜2CD＜a＋b，
∴＜CD＜，
则2＜CD＜7．
故答案为：2＜CD＜7．
【点睛】此题考查了配方法的应用，三角形三边关系，全等三角形的判定与性质，以及非负数的性质，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
三、解答题（本题有9个小题，解答要求写出文字说明，证明过程或计算步骤）
17. 计算：
（1）（25m2﹣15m3n）÷5m2
（2）8a2•（a4﹣1）﹣（2a2）3
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据多项式除以单项式进行计算即可
（2）根据单项式乘以多项式以及整式的加减进行计算即可
【小问1详解】
原式
【小问2详解】
原式
【点睛】本题考查了整式的混合运算，掌握多项式除以单项式，单项式乘以多项式以及整式的加减是解题的关键．
18. 已知：如图，AEFD，AE＝FD，EB＝CF．求证：．
【答案】见解析
【解析】
【分析】根据全等三角形的判定方法SSS、SAS、ASA、AAS分别进行分析即可．
【详解】∵EB＝CF
∴EB+BC＝CF+BC
∴EC=FB
∵
∴∠E＝∠F
在与中
∴
【点睛】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
19. 先化简，再求值：，其中a＝2021．
【答案】；
【解析】
【分析】先通分，再根据同分母的分式相加进行计算，化成最简分式后把a=2021代入，即可求出答案．
【详解】解：
；
当时，原式=
【点睛】本题考查了分式的化简与求值，能正确根据分式的运算法则进行化简是解此题的关键，注意运算顺序．
20. 列方程解应用题：一批学生志愿者去距学校8km的老人院参加志愿服务活动，一部分学生骑自行车先走，过了15min后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达．已知骑车学生的速度是汽车速度的一半，求骑车学生的速度．
【答案】骑车学生的速度16㎞/h．
【解析】
【分析】设骑车学生的速度为xkm/h，则汽车速度为2xkm/h，根据骑车所用时间- 15分钟=汽车所用时间，列方程，解方程即可．
【详解】解：设骑车学生的速度为xkm/h，则汽车速度为2xkm/h,
根据题意得：,
方程两边都乘以4x得：，
解得，
经检验得是原方程的根，且符合题意,
答：骑车学生的速度16㎞/h．
【点睛】本题考查列分式方程解行程问题应用题，掌握列分式方程解行程问题应用题方法与步骤，抓住等量关系：骑车所用时间- 15分钟=汽车所用时间列方程是解题关键．
21. 已知：如图，PC平分∠APB，CM⊥PA于M，CN⊥PB于N，D、E分别是边PA和PB上的点，且CD＝CE．求证：∠APB+∠DCE＝180°．
【答案】见详解．
【解析】
分析】根据PC平分∠APB，CM⊥PA于M，CN⊥PB于N，得出CM=CN，∠PMC=90°，∠PNC=90°，得出∠MPN+∠MCN=180°，再证Rt△MCD≌Rt△NCE（HL），得出∠MCD=∠NCE即可．
【详解】解：∵PC平分∠APB，CM⊥PA于M，CN⊥PB于N，
∴CM=CN，∠PMC=90°，∠PNC=90°，
∴∠MPN+∠MCN=360°-∠PMC-∠PNC=360°-90°-90°=180°，
在Rt△MCD和Rt△NCE中，
，
∴Rt△MCD≌Rt△NCE（HL），
∴∠MCD=∠NCE，
∴∠APB+∠DCE=∠APB+∠DCN+∠NCE=∠APB+∠DCN+∠MCD=∠APB+∠MCN=180°．
【点睛】本题考查角平分线性质，三角形全等判定与性质，四边形内角和，掌握角平分线性质，三角形全等判定与性质，四边形内角和是解题关键．
22. 如图，在边长为单位1的小正方形组成的10×10网格中（我们把组成网格的小正方形的顶点称为格点），点A和点B分别在网格的格点上．
（1）分解因式2a2﹣18；
（2）若2a2﹣18＝0，且点A(a，2)在第二象限，点B(a+5，﹣1)在第四象限，请求出点A和点B的坐标，并在所给的网格中画出平面直角坐标系；
（3）在（2）的条件下，已知点(a，﹣4)是点A关于直线的对称点，点C在直线l上，且ABC的面积为6，直接写出点C的坐标．
【答案】（1）；
（2）点A（-3，2），点B（2，-1），坐标系见详解；
（3）点C的坐标为（-2，-1）或（6，-1）．
【解析】
【分析】（1）先提公因式，再用平方差公式因式分解即可；
（2）先用因式分解法解一元二次方程，再根据点的坐标所在象限求出a的值，利用平移法确定坐标轴建立平面直角坐标系即可；
（3）先求出点A的对称点坐标，找出对称轴，根据点C在直线l上，设点C左边为（m，-1）然后分类当点C在点B左边，ABC的面积为6，，当点C在点B的右边，，解方程即可．
【小问1详解】
解：2a2﹣18=；
【小问2详解】
解：2a2﹣18＝0，
解得：
∵点A(a，2)在第二象限，
∴a=-3，
∴点A（-3，2），
点B(a+5，﹣1)在第四象限，
∴当，，点B（2，-1），
建立平面直角坐标系如图所示；
【小问3详解】
∵点A（-3，2），A′（-3，-4），
∴AA′∥y轴，
∴AA′的垂直平分线为y=-1，
∴直线l为y=-1，
∵点C在直线l上，设点C坐标为（m，-1）
当点C在点B左边，
∵ABC的面积为6，
∴
解得，点C（-2，-1）
当点C在点B的右边，
∴
解得，点C（6，-1）
∴点C的坐标为（-2，-1）或（6，-1）．
【点睛】本题考查因式分解，用因式分解法解一元二次方程，建立平面直角坐标系，点的平移，两点距离，三角形面积，轴对称性质，掌握因式分解，用因式分解法解一元二次方程，建立平面直角坐标系，点的平移，三角形面积，轴对称性质是解题关键．
23 已知ABC中，∠B＝∠C＝α．
（1）尺规作图（不要求写作法，但要保留作图痕迹）：
①作∠EAC的平分线AD；
②在AD上作点P，使ACP是以AC为底边的等腰三角形，并求出∠APC的度数（用含α的式子表示）；
（2）在（1）所作的AD上是否存在着另外的点P，使ACP也为等腰三角形，若有，请直接用含α的式子表示∠APC的大小；若没有，请说明理由．
【答案】（1）①见解析；②作图见解析，
（2）或
【解析】
【分析】（1）①尺规作图作∠EAC的角平分线即可；②作线段的垂直平分线，交于点，连接，则即为所求；
（2）分分别求解即可
【小问1详解】
①如图，射线即为所求
②作线段的垂直平分线，交于点，连接，则即为所求；
又平分
【小问2详解】
存在，当时，
当时，
综上所述，的值为或
【点睛】本题考查了作角平分线，垂直平分线，垂直平分线的性质，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，正确的作图是解题的关键．
24. 阅读材料：对于非零实数a，b，若关于x的分式的值为零，则解得x1＝a，x2＝b．又因为﹣（a+b），所以关于x的方程x+＝a+b的解为x1＝a，x2＝b．
（1）理解应用：方程的解为：x1＝ ，x2＝ ；
（2）知识迁移：若关于x的方程x+＝5的解为x1＝a，x2＝b，求a2+b2的值；
（3）拓展提升：若关于x的方程＝k﹣x的解为x1＝t+1，x2＝t2+2，求k2﹣4k+2t3的值．
【答案】（1）3，；
（2）19； （3）12．
【解析】
【分析】（1）根据题意可得x=3或x=；
（2）由题意可得a+b=5，ab=3，再由完全平方公式可得a2+b2=（a+b）2-2ab=19；
（3）方程变形为x-1+=k-1，则方程的解为x-1=t或x-1=t2+1，则有t（t2+1）=4，t+t2+1=k-1，整理得k=t+t2+2，t3+t=4，再将所求代数式化为k2-4k+2t3=t（t3+t）+4t3-4=4（t3+t）-4=12．
【小问1详解】
解：∵x+=a+b的解为x1=a，x2=b，
∴的解为x=3或x=，
故答案为：3，；
小问2详解】
解：∵x+=5，
∴a+b=5，ab=3，
∴a2+b2=（a+b）2-2ab=25-6=19；
【小问3详解】
解：=k-x可化为x-1+=k-1，
∵方程=k-x的解为x1=t+1，x2=t2+2，
则有x-1=t或x-1=t2+1，
∴t（t2+1）=4，t+t2+1=k-1，
∴k=t+t2+2，t3+t=4，
k2-4k+2t3
=k（k-4）+2t3
=（t+t2+2）（t+t2-2）+2t3
=t4+4t3+t2-4
=t（t3+t）+4t3-4
=4t+4t3-4
=4（t3+t）-4
=4×4-4
=12．
【点睛】本题考查了分式方程的解，理解题意，灵活求分式方程的解，并结合完全平方公式对代数式求值是解题的关键．
25. 已知：如图，ABC中，AB＝AC，∠A＝45°，E是AC上的一点，∠ABE＝∠ABC，过点C作CD⊥AB于D，交BE于点P．
（1）直接写出图中除ABC外的所有等腰三角形；
（2）求证：BD＝PC；
（3）点H、G分别为AC、BC边上的动点，当DHG周长取取小值时，求∠HDG的度数．
【答案】（1）△ADC，△CPE，△BCE都是等腰三角形，理由见解析
（2）见解析 （3）45°
【解析】
【分析】（1）△ADC，△CPE，△BCE都是等腰三角形，分别证明∠BEC=∠ACB=67.5°，∠A=∠ACD=45°，∠CPE=∠CEP=67.5°，可得结论；
（2）在线段DA上取一点H，使得DH=DB，连接CH，利用全等三角形的性质证明BH=EC，可得结论；
（3）作点D关于直线BC的对称点M，作点D关于AC的对称点F，连接FM交BC于点G，交AC于点H，此时△DGH的值最小，证明∠M+∠F=67.5°，可得结论．
【小问1详解】
解：△ADC，△CPE，△BCE都是等腰三角形，理由如下：
∵AB=AC，∠A=45°，
∴∠ABC = ∠ACB = (180°-45°)=67.5°，
∵∠ABE＝∠ABC，
∴∠ABE = 22.5°，
∴∠CBE=45°，
∴∠BEC=180°-∠CBE-∠ACB=67.5°，
∴∠BEC=∠ACB，
∴BC=BE，即△BCE为等腰三角形，
∵CD⊥AB，
∴∠ADC = ∠CDB = 90°，
∴∠ACD = 90°–∠A = 45°
∴∠A=∠ACD=45°，
∴DA= DC，
∴△ADC是等腰三角形，
∵∠CPE = ∠BPD = 90°–∠ABE=67.5°，∠BEC=180°-∠CBE-∠ACB=67.5°，∠CEP =67.5°，
∴∠CPE = ∠CEB = 67.5°，
∴CP=CE，
∴△CPE是等腰三角形，
综上所述，除ABC外的所有等腰三角形有△ADC，△CPE，△BCE；
【小问2详解】
证明：如图，在线段AD上取点H，使DH=DB，连接CH，
∵DH=DB，CD⊥AB，
∴BC=CH，
∴∠BHC=∠ABC=67.5°，
∵∠BEC=∠ACB=67.5°，
∴∠BHC=∠ABC=∠BEC=∠ACB，
∵BC=CB，
∴△BCH≌△CBE，
∴BH=CE，
∵CE=CP，
∴BH=CP，
∴ ；
【小问3详解】
解：如图，作点D关于直线BC的对称点M，作点D关于AC的对称点F，连接FM交BC于点G，交AC于点H，此时△DGH的周长最小，
∵∠ABC=67.5°，CD⊥AB，
∴∠BCD=90°-∠ABC=22.5°，
∵DM⊥CB，
∴∠CDM=90°-∠BCD=90°-22.5°=67.5°，
∵DA=DC，DF⊥AC，
∴∠CDF=∠CDA=45°，
∴∠MDF=45°+67.5°=112.5°，
∴∠M+∠F=180°-112.5°=67.5°，
∵GD=GM，HF=HD，
∴∠M=∠GDM，∠F=∠HDF，
∵∠DGH=∠M+∠GDM=2∠M，∠DHG=∠F+∠HDF=2∠F，
∴∠DGH+∠DHG=2(∠M+∠F)=135°，
∴∠GDH=180°-(∠DGH+∠DHG)=45°．
【点睛】本题属于三角形综合题，考查了等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，轴对称等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，关注全等三角形解决问题，学会利用轴对称解决最短问题