初中数学华师大版九年级上册24.2直角三角形的性质优秀复习练习题

这是一份初中数学华师大版九年级上册24.2直角三角形的性质优秀复习练习题，共4页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1.如图，公路AC，BC互相垂直，公路AB的中点M与点C被湖隔开，若测得AB的长为4.8km，则M，C两点间的距离为
( )
A. 1.2kmB. 2.4kmC. 3.6kmD. 4.8km
2.如图，在△ABC中，AD是BC边上的高线，CE是AB边上的中线，DG⊥CE于点G，CD=AE.若BD=6，CD =5，则△DCG的面积为( )
A. 10B. 5C. 103D. 53
3.如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC=2，CE=6，H是AF的中点，那么CH的长是( )
A. 2.5B. 2 5C. 5D. 4 5
4.若等腰三角形一腰上的高线与另一腰的夹角为38∘，则顶角的度数为( )
A. 38∘B. 128∘C. 38∘或142∘D. 52∘或128∘
5.给出下列说法： ①有一个角为60∘的等腰三角形是等边三角形; ②三边长分别为1， 10，3的三角形是直角三角形; ③直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半; ④三个角之比为3:4:5的三角形是直角三角形，其中正确的有( )
A. ③B. ① ②C. ① ② ③D. ① ② ③ ④
6.如图，在△ABC中，点D、点E分别是AB，AC的中点，点F是DE上一点，且∠AFC=90°，若BC=12，AC=8，则DF的长为( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
7.如图，边长为2 2的正方形ABCD，对角线AC，BD相交于O，E为BC边上一动点(不与B，C重合)，OF⊥OE交CD于F，G为EF中点.给出如下四个结论：①∠OEF=45°；②点E在运动过程中，△OEF面积不变化；③△CEF周长的最小值为2+2 2；④点E在运动过程中，OG与CG始终相等，其中正确的结论是( )
A. ①③B. ②③C. ①④D. ①③④
8.定义：如果一个三角形有一边上的中线等于这条边的一半，那么称三角形为“智慧三角形”.如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的边OA=6，OC=8，点M(4,0)，在边AB存在点P，使得△CMP为“智慧三角形”，则点P的坐标为( )
A. (6,2)或(6,6)
B. (6,2)或(6,3)
C. (6,1)或(6,3)或(6,6)
D. (6,1)或(6,2)或(6,6)
9.如图，在△ABC中，∠B=50∘，CD⊥AB于点D，F为边AC的中点，CD=CF，则∠ACB的度数为( )
A. 90∘B. 100∘C. 110∘D. 120∘
10.如图，一根木棒BC斜靠在墙上，木棒与它在墙壁及地板上的影子AB，AC构成一个直角三角形ABC，若∠CBA与∠BCA的角平分线交于点P，则∠P的度数为( )
A. 135°
B. 145°
C. 125°
D. 120°
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）
11.定义：如果一个三角形有一边上的中线等于这条边的一半，那么称三角形为“智慧三角形”.如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的边OA=3，OC=4，点M(2,0)，在边AB存在点P，使得△CMP为“智慧三角形”，则点P的坐标为：______．
12.如图，在四边形ABCD中，∠A=60∘，∠B=∠D=90∘，BC=3，CD=6，则AB的长为 ．
13.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90∘，将边BC沿斜边上的中线CD折叠到B'C处.若∠B=50∘，则∠ACB'= °.
14.如图，把Rt△ABC绕点A逆时针旋转44°，得到Rt△AB'C'，点C'恰好落在边AB上，连接BB'，则∠BB'C'=_____．
三、解答题（本大题共6小题，共48.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15.(本小题8.0分)
如图，AD为△ABC的中线，BE为△ABD的中线．
(1)∠ABE=15°，∠BAD=40°，求∠BED的度数；
(2)若△ABC的面积为40，BD=5，则△BDE中BD边上的高EF为多少？若BE=6，求△BDE中BE边上的高DG为多少？
16.(本小题8.0分)
如图，在△ABC中，∠ABC=90°，∠ACB=30°，将△ABC绕点C顺时针旋转60°能与△DEC重合．
(1)请用尺规作图法，作AC的垂直平分线，垂足为F；(不要求写作法，保留作图痕迹)
(2)在(1)问情况下，连接DF，求证：△CFD≌△ABC(填空)．
证明：(2)∵点F是边AC中点，
∴CF= ______ ，
∵∠BCA=30°，∠ABC=90°，
∴BA=12AC,∠A=60°，
∴AB= ______ ，
∵将△ABC绕点C顺时针旋转60°得到△DEC，
∴AC=CD，∠FCD=60°，
∴∠A= ______ ，
在△ABC和△CFD中，AB=CF∠A=∠FCD(ㅤㅤ)
∴△ABC≌△CFD(SAS)．
17.(本小题8.0分)
求证：在直角三角形中，如果一个锐角等于30∘，那么它所对的直角边等于斜边的一半．
已知：如图，在Rt△ABC中，∠A=30∘，∠ACB=90∘.求证：BC=12AB．
请用两种方法完成证明．
18.(本小题8.0分)
我们新定义一种三角形：两边平方和等于第三边平方的4倍的三角形叫做常态三角形.例如：某三角形三边长分别是5，6和8，因为62+82=4×52=100，所以这个三角形是常态三角形．
(1)若△ABC三边长分别是2， 5和4，试判断此三角形是否为常态三角形；
(2)如图，在△ABC中，点D在边AB上，连接CD，AD=BD=DC，BC=6，AC19.(本小题8.0分)
如图1，在△ABC中，CD，BE分别是AB，AC边上的高线，M，N分别是线段BC，DE的中点．
(1)求证：MN⊥DE．
(2)连结DM，ME，猜想∠A与∠DME之间的关系，并说明理由．
(3)若将锐角三角形ABC变为钝角三角形ABC，其余条件不变，如图2，则(1)(2)中的结论是否仍成立?请说明理由．
20.(本小题8.0分)
如图，在Rt△ACB中，∠ACB=90∘，M为边AB的中点，点E在线段AM上，EF⊥AC于点F，连结CM，CE.已知∠A=50∘，∠ACE =30∘．
(1)求证：CE=CM．
(2)若AB=4，求线段FC的长．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解： ∵公路AC，BC互相垂直，∴∠ACB=90∘，
∵M为AB的中点， ∴CM=12AB，∵AB=4.8km，∴CM=2.4km，
即M，C两点间的距离为2.4km，
故选B．
2.【答案】B
【解析】略
3.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，正方形的性质，勾股定理，难点在于作辅助线构造出直角三角形．连接AC、CF，根据正方形的性质求出AC、CF，并判断出△ACF是直角三角形，再利用勾股定理列式求出AF，然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可求解．
【解答】
解：如图，连接AC、CF，
在正方形ABCD和正方形CEFG中，AC= 2BC=2 2，CF= 2CE=6 2，
∠ACD=∠GCF=45°，
所以，∠ACF=45°+45°=90°，
所以，△ACF是直角三角形，
由勾股定理得，AF= AC2+CF2=4 5，
∵H是AF的中点，
∴CH=12AF=12×4 5=2 5．
故选B．
4.【答案】D
【解析】略
5.【答案】C
【解析】略
6.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．根据三角形中位线定理求出DE，根据直角三角形的性质求出FE，计算即可．
【解答】
解：∵点D、点E分别是AB，AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE=12BC，
∵BC=12，
∴DE=6，
在Rt△AFC中，∠AFC=90°，点E是AC的中点，AC=8，
∴FE=12AC=4，
∴DF=DE-FE=6-4=2，
故选B．
7.【答案】D
【解析】解：①∵四边形ABCD是正方形，AC、BD相交于点O，
∴OB=OC，∠OBC=∠OCD=45°，AC⊥BD，
∵OE⊥OF，
∴∠BOC=∠EOF=90°，
∴∠BOE=∠COF，
在△OBE和△OCF中，
∠BOE=∠COFOB=OC∠OBE=∠OCF，
∴△OBE≌△OCF(ASA)，
∴OE=OF，
∵∠BOE=∠COF，
∴∠EOF=∠BOC=90°，
∴△OEF是等腰直角三角形；
∴∠OEF=45°，故①正确；
②∵OE的值随着点E在运动，先变大，后减少，
∴△OEF面积也先变大，后减少；故②错误；
③∵△OBE≌△OCF，
∴BE=CF，
∴CE+CF=CE+BE=BC=2 2，
设BE=CF=x，则CE=2 2-x，
∴EF= CF2+CE2= x2+(2 2-x)2= 2(x- 2)2+4，
∴当x= 2时，EF有最小值，最小值为 4=2，
∴△CEF周长的最小值为2+2 2；故③正确；
④∵∠EOF=∠BCD=90°，G为EF中点．
∴OG=CG=12EF，
∴点E在运动过程中，OG与CG始终相等，故④正确；
综上，①③④正确，
故选：D．
①易证得△OBE≌△OCF(SAS)，则可证得结论①正确；
②由OE的值随着点E在运动，先变大，后减少，根据三角形面积公式即可判断选项②错误；
③先求得CE+CF=CE+BE=BC=2 2，设BE=CF=x，则CE=2 2-x，利用勾股定理得到EF= CF2+CE2= 2(x- 2)2+4，利用非负数的性质求得EF的最小值，即可求得选项③正确；
④利用直角三角形斜边中线的性质，即可得出选项④正确．
本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质、勾股定理、直角三角形斜边的中线以及等腰直角三角形的性质，掌握全等三角形的判定与性质是解此题的关键．
8.【答案】D
【解析】解：如图1，EH是△EFG的中线，EH=12FG，
∴EH=FH=GH=12FG，
∴∠HEF=∠F，∠HEG=∠G，
∴∠FEG=∠HEF+∠HEG=∠F+∠G=12×180°=90°，
∴“智慧三角形”是直角三角形．
如图2，△CMP为“智慧三角形”，且∠PMC=90°，
∵四边形OABC是矩形，OA=6，OC=8，点M(4,0)，
∴∠PAM=∠MOC=90°，OM=4，AM=2，
∴∠AMP=∠OCM=90°-∠OMC，
∴△AMP∽△OCM，
∴APOM=AMOC，
∴AP=AM⋅OMOC=2×48=1，
∴P(6,1)；
如图3、图4，△CMP为“智慧三角形”，且∠MPC=90°，
∵∠PAM=∠B=90°，
∴∠APM=∠BCP=90°-∠BPC，
∴△APM∽△BCP，
∴APBC=AMBP，
∵BC=OA=6，AB=OC=8，
∴BP=8-AP，
∴AP6=28-AP，
解得AP=2或AP=6，
∴P(6,2)或P(6,6)；
∵点M在OA边上，点P在AB边上，
∴∠PCM<∠BCO，
∴∠PCM<90°，
∴△CMP不能是以∠PCM为直角的“智慧三角形”，
综上所述，点P的坐标为(6,1)或(6,2)或(6,6)，
故选：D．
先根据“智慧三角形”的定义及等腰三角形的性质证明“智慧三角形”是直角三角形，再分三种情况讨论，一是△CMP为“智慧三角形”，且∠PMC=90°，可证明△AMP∽△OCM，则APOM=AMOC，可求得AP=AM⋅OMOC=1，则P(6,1)；二是△CMP为“智慧三角形”，且∠MPC=90°，可证明△APM∽△BCP，则APBC=AMBP，于是得AP6=28-AP，可求得AP=2或AP=6，则P(6,2)或P(6,6)；三是说明∠PCM<90°，则△CMP不能是以∠PCM为直角的“智慧三角形”，于是得到问题的答案．
此题重点考查图形与坐标、直角三角形的两个锐角互余、同角的余角相等、相似三角形的判定与性质、数形结合与分类讨论数学思想的运用等知识与方法，证明△AMP∽△OCM及△APM∽△BCP是解题的关键．
9.【答案】B
【解析】略
10.【答案】A
【解析】解：在△ABC中，∠A=90°，而∠CBA+∠BCA+∠A=180°，
∴∠CBA+∠BCA=90°．
∵BP、CP平分∠CBA与∠BCA，
∴∠CBP=12∠CBA，∠BCP=12∠BCA，
∴∠CBP+∠BCP=12∠CBA+12∠BCA=12(∠CBA+∠BCA)=45°，
在△PBC中，∠P=180°-(∠CBP+∠BCP)=180°-45°=135°．
故选：A．
可将∠CBA与∠BCA的和作为一个整体看待，根据已知条件先求出∠CBA+∠BCA的度数，根据BP、CP平分∠CBA与∠BCA，求出∠CBP+∠BCP的度数，进而求得∠P的度数；根据木棒向上或向下滑动，∠A的大小不变，可知∠CBA+∠BCA、∠CBP+∠BCP的值均不变，由此可得结论．
本题考查的是直角三角形的性质和角平分线的定义、三角形的内角和定理，熟知直角三角形的两个锐角互余是解题的关键．
11.【答案】(3,12)或(3,1)或(3,3)
【解析】解：由题意可知，“智慧三角形”是直角三角形，∠CPM=90°或∠CMP=90°，
∴设P(3,a)，则AP=a，BP=4-a；
①若∠CPM=90°，在Rt△BCP中，由勾股定理得：
CP2=BP2+BC2=(4-a)2+9，
在Rt△MPA中，由勾股定理得：
MP2=MA2+AP2=1+a2，
在Rt△MPC中，由勾股定理得：
CM2=MP2+CP2=1+a2+(4-a)2+9=2a2-8a+26，
又∵CM2=OM2+OC2=4+16=20，
∴2a2-8a+26=20，
∴(a-3)(a-1)=0，
解得：a=3或a=1，
∴P(3,3)或(3,1)；
②若∠CMP=90°，在Rt△BCP中，由勾股定理得：
CP2=BP2+BC2=(4-a)2+9，
在Rt△MPA中，由勾股定理得：
MP2=MA2+AP2=1+a2，
∵CM2=OM2+OC2=20，
在Rt△MCP中，由勾股定理得：
CM2+MP2=CP2，
∴20+1+a2=(4-a)2+9，
解得：a=12．
∴P(3,12).
综上，P(3,12)或(3,1)或(3,3)．
故答案为：P(3,12)或(3,1)或(3,3)．
由题意可知，“智慧三角形”是直角三角形，∠CPM=90°或∠CMP=90°，设P(3,a)，则AP=a，BP=4-a；分两种情况：①若∠CPM=90°，②若∠CMP=90°，根据勾股定理分别求出CP2、MP2、CM2，并根据图形列出关于a的方程，解得a的值，则可得答案．
本题考查了矩形的性质及勾股定理在几何图形坐标计算中的应用，数形结合、分类讨论并根据题意正确地列式是解题的关键．
12.【答案】 75
【解析】略
13.【答案】10
【解析】略
14.【答案】22°
【解析】【分析】
本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，直角三角形的两锐角互余.根据旋转的性质可得AB=AB'，∠BAB'=44°，然后根据等腰三角形两底角相等求出∠ABB'，再利用直角三角形两锐角互余列式计算即可得解．
【解答】
解：∵Rt△ABC绕点A逆时针旋转44°得到Rt△AB'C'，
∴AB=AB'，∠BAB'=44°，
在△ABB'中，∠ABB'=12180∘-∠BAB'=12180∘-44∘=68∘，
∵∠AC'B'=∠C=90°，
∴B'C'⊥AB，
∴∠BB'C'=90°-∠ABB'=90°-68°=22°．
故答案为22°．
15.【答案】解：(1)∵∠BED是△ABE的外角，
∴∠BED=∠ABE+∠BAD=15°+40°=55°；
(2)解：如图，

∵AD为△ABC的中线，BE为△ABD的中线，
∴△ABD的面积=12△ABC的面积=20，△BDE的面积=12△ABD的面积=10，
∴12⋅BD⋅EF=10，即12×5EF=10，
∴EF=4，
∵12BE⋅DG=10，即12×6DG=10，
∴DG=103．
【解析】(1)利用三角形外角和内角的关系，直接求出∠BED；
(2)根据中线把三角形分成面积相等的两个三角形，知△ABC的面积可求出△ABD的面积、△BDE的面积，利用三角形的面积公式，知底可求出该底上的高．
本题考查了三角形的内外角关系、中线的性质及三角形的面积公式．解题时注意：三角形的一条中线把三角形分成面积相等的两个三角形．
16.【答案】12AC CF ∠FCD
【解析】(1)解：如图，分别以点A、C为圆心，以大于12AC为半径画弧，两弧相交于点M、N，过点M、N作直线l，交AC于点F，则直线l即为所求作AC的垂直平分线；
(2)证明：∵点F是边AC中点，
∴CF=12AC，
∵∠BCA=30°，∠ABC=90°，
∴BA=12AC,∠A=60°，
∴AB=CF，
∵将△ABC绕点C顺时针旋转60°得到△DEC，
∴AC=CD，∠FCD=60°，
∴∠A=∠FCD，
在△ABC和△CFD中，
AB=CF∠A=∠FCDAC=CD，
∴△ABC≌△CFD(SAS)．
故答案为：12AC，CF，∠FCD，AC=CD．
(1)分别以点A、C为圆心，以大于12AC为半径画弧，两弧相交于点M、N，过点M、N作直线l，交AC于点F，则直线l即为所求作AC的垂直平分线；
(2)先根据中点的定义和含30°角的直角三角形性质证明AB=CF，再根据旋转的性质和直角三角形性质得到∠A=∠FCD，根据“边角边”即可证明△CFD≌△ABC．
本题考查了尺规作图-作已知线段的垂直平分线，旋转的性质，含30°角的直角三角形的性质等知识，理解题意，熟知相关知识，并根据已知条件灵活应用是解题关键．
17.【答案】略
【解析】略
18.【答案】解：(1)∵22+42=4×( 5)2=20，
∴此三角形是常态三角形．
(2)在△ABC中，AD=BD=DC，
∴∠A=∠ACD，∠B=∠BCD，
而∠A+∠B+∠ACB=180°，即2(∠A+∠B)=180°，
∴∠A+∠B=90°，故∠ACB=90°．
∴△ABC是直角三角形．
已知△BCD是常态三角形，分CD2+BC2=4×BD2和CD2+BD2=4×BC2两种情况进行讨论：
①当CD2+BC2=4×BD2时，由BC=6，AD=BD=DC可得CD2+62=4×BD2时，
解得：BD=DC=2 3，
则AB=4 3，
在Rt△ABC中，AC= AB2-BC2= (4 3)2-62=2 3．
②当CD2+BD2=4×BC2时，由BC=6，AD=BD=DC可得2BD2=4×62，
解得：BD=DC=6 2，
则AB=12 2，
在Rt△ABC中，AC= AB2-BC2= (12 2)2-62=6 7，6 7>6，不符合题意，舍去．
故AC的长为2 3．
【解析】(1)根据常态三角形的定义判定即可；
(2)先证明△ABC是直角三角形，再由△BCD是常态三角形，分CD2+BC2=4×BD2和CD2+BD2=4×BC2两种情况求出出CD的长，从而解决问题．
本题考查了新定义题，勾股定理以及勾股定理的逆定理等知识，读懂题意，进行分类讨论是解题的关键．
19.【答案】(1)略
(2)∠DME=180∘-2∠A.理由略
(3)(1)中的结论仍成立，(2)中的结论不成立.理由略

【解析】略
20.【答案】(1)略
(2) 3
【解析】略