湖北省鄂州市梁子湖区2022-2023学年九年级上学期期末质量监测数学试题

这是一份湖北省鄂州市梁子湖区2022-2023学年九年级上学期期末质量监测数学试题，共6页。试卷主要包含了单项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

考试时间:120分钟 试卷总分：120分
一、单项选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
下列关于x的方程中，是一元二次方程的是
A. B. C. D.
“垃圾分类，利国利民”.鄂州市碧石渡镇积极创建生活垃圾分类试点镇，已实现“镇-村-湾”生活垃圾分类全覆盖．以下垃圾分类标志的图形，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是
A. 可回收物B. 有害垃圾C. 厨余垃圾D. 其他垃圾
如图，以点O为圆心，任意长为半径画弧，与射线OM交于点A，再以点A为圆心，AO长为半径画弧，两弧交于点B，画出射线OB，则∠AOB=
A. 30° B. 45° C. 60° D. 90°
将抛物线平移得到抛物线，则这个平移过程是
A. 向上平移1个单位长度B. 向下平移1个单位长度
（第3题）
C. 向左平移1个单位长度 D. 向右平移1个单位长度
近年来，随着经济建设的蓬勃发展，鄂州市花大力气先后修成了江滩公园、西山公园、洋澜湖湿地公园、青天湖公园等各种主题公园，给广大市民提供了外出郊游的良好环境．据有关部门统计，2019年郊游人数约为20万人次，2021年郊游人数约为30万人次，设郊游人数年平均增长率为x，则下列方程中正确的是
A. B.
C. D.
如图，正比例函数与反比例函数的图象交于A，B两
点，其中，当的函数值大于的函数值时，
x的取值范围是
（第6题）
B.
C. 或 D. 或
如图，在矩形ABCD中，点A在x轴上，点B的坐标为(1，0)，且C，D两点在函数的图象上. 若在矩形ABCD内任取一点，则此点取自阴影部分的概率是
A. B. C. D.
如图所示的圆形暗礁区，两灯塔A，B之间的距离恰好等于圆的半径，为了使航船S不进入暗礁区，那么S对两灯塔A，B的视角∠ASB必须
A. 大于60°B. 小于60°C. 大于30°D. 小于30°
如图，已知二次函数的图象交x轴于（-3，0），对称轴为直线x=-1．下列结论：①；②；③；④若（-，），（，）是图象上的两点，则；⑤若，则．其中正确结论的个数是
A. 2B. 3C. 4D. 5
正三角形ABC的边长为6，E是边AC上一动点，A，D两点关于直线BE对称，连接DC并延长交直线BE于 F，连接AF，在点E运动过程中，AF+CF的最大值是
A. 6 B. C. D.
（第10题）
（第9题）
（第8题）
（第7题）
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
若关于x的方程的一个根为3，则k的值为 ▲ ．
现有某种产品100件，其中5件次品，从中随意抽出1件，恰好抽到次品的概率是 ▲ ．
如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，AC是⊙O的直径，若∠BAC=25°，则∠P的度数是 ▲ ．
如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，AC=3，∠BOC=2∠AOC．若用扇形OAC(图中阴影部分)围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥底面圆的半径是 ▲ ．
如图，一次函数的图象与y轴交于点B（0，3），与反比例函数的图象交于点D（m，n），以BD为对角线作矩形ABCD，使顶点A，C落在x轴上（点A在点C的右边），BD与AC交于点E，则k= ▲ ．
如图，正方形ABCD中，E为AB上一点，AF⊥DE于点F，已知AE=2，过点C，D，F的⊙O与边AD交于点G，若⊙O的半径是5，则DG= ▲ ．
（第16题）
（第15题）
（第14题）
（第13题）
三、解答题（本大题共8小题，共72分）
（本题满分8分）解下列方程：
(1)（4分）；(2)（4分）.
（本题满分8分）某校组织读书征文比赛，评选出一、二、三等奖若干名，并绘成如图所示的条形统计图和扇形统计图（不完整），请你根据图中信息解答下列问题：
(1)（2分）求本次比赛获奖的总人数，并补全条形统计图；
(2)（2分）求扇形统计图中“二等奖”所对应扇
形的圆心角度数；
(3)（4分）学校从甲、乙、丙、丁4位一等奖获
得者中随机抽取2人参加“世界读书日”宣
传活动，请用列表法或画树状图的方法，求出
恰好抽到甲和乙的概率．
（第18题）
（本题满分8分）关于x的方程有两个实数根，．
(1)（4分）求实数k的取值范围；
(2)（4分）若，满足，求k的值．

（本题满分8分）如图，方格纸中每个小正方形的边长都
是1个单位长度，在方格纸中建立如图所示的平面直角坐
标系，△ABC的顶点都在格点上．
(1)（3分）将△ABC向右平移6个单位长度得到△A1B1C1，
请画出△A1B1C1；
(2)（3分）画出与△A1B1C1关于点O对称的△A2B2C2；
(3)（2分）若将△ABC绕某一点旋转可得到△A2B2C2，请
直接写出旋转过程中点A到点A2所经过的路径长度．
（第20题）
（本题满分9分）如图，AB为⊙O的直径，PD切⊙O于点C，与BA的延长线交于点D，DE⊥PO交PO的延长线于点E，连接OC，PB，已知PB=6，DB=8，∠EDB=∠EPB．
(1)（3分）求证：PB是⊙O的切线；
(2)（3分）求⊙O的半径；
(3)（3分）连接BE，求BE的长．
（第21题）
（本题满分9分）某商店出售一款商品，经市场调查，该商品的日销量y（件）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，关于该商品的销售单价、日销量、日销售利润的部分对应数据如下表． [注：日销售利润=日销量×(销售单价－进价)]
(1)（3分）根据下表信息填空：该商品的进价是 ▲ 元/件，表中a的值是 ▲ ，y与x之间的函数关系式是 ▲ ；
(2)（3分）求该商品日销售利润的最大值；
(3)（3分）由于某种原因，该商品进价降低了m元/件（m＞0），商店规定，在今后的销售中，该商品的销售单价不能低于68元，日销量与销售单价之间仍满足(1)中的函数关系，若日销售最大利润为6 600元，求m的值．
（本题满分10分）请仔细阅读以下材料：
定理一：一般地，如图23-1，四边形ABCD中，如果连接两条对角线后形
成的 ∠BAC=∠BDC，则A，B，C，D四点共圆．
我们由定理一可以进一步得出结论：∠BDA=∠BCA，∠DBC=∠DAC，
∠ACD=∠ABD．
（图23-1）
定理二：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
温馨提示：下面问题的关键地方或许能够用到上述定理，如果用到，请直接运用相关结论；如果你有自己更好的做法，那就以自己的做法为主，只要正确，一样得分．
探究问题：如图23-2，在△ABC和△EFC中，AC=BC，EC=FC，∠ACB=
∠ECF=90°，连接BF，AE交于点D，BF交AC于点H，连接CD.
(1)（3分）求证BF=AE；
(2)（4分）请直接写出∠ADB= ▲ 度，∠BDC= ▲ 度；
(3)（3分）若∠DBC=15°，求证AH=2CD.
（图23-2）

（本题满分12分）
(1)（4分）如图24-1，在平面直角坐标系中，有两点A（x1，y1）,B(x2，y2)，过A，B两点分别向x轴、y轴作垂线，垂足分别为C，D，E，F，直线AF与BD相交于点G，则线段,,所以……①，我们把①式称作A，B两点间的距离公式．请根据此公式，求出A(-1，2)，B(2，-4)两点之间的距离；
(2)（4分）如图24-2，平面直角坐标系中，Rt△ABC的三个顶点都在抛物线上，且AB∥x轴，∠ACB=90°，过点C作CE⊥AB，垂足为E，请直接运用第一问的结论求出CE的长；
(3)（4分）如图24-3，Rt△ABC的三个顶点都在抛物线上，且直角顶点C在该抛物线的顶点处，设直线AB的解析式为y=kx+b，试证明该直线必过一定点．
（图24-1）
（图24-3）
（图24-2）
梁子湖区2022年秋期末质量监测
九年级数学答案
一、选择题
1.B 2.B 3.C 4.C 5.C 6.D 7.C 8.D 9.B 10.C
二、填空题
1 , 12. 120(或5%均可) , 13. 50°, 14. 1/2 , 15. 272 , 16. 6
解答题
解：(1)∵3x2−2x−1=0，
∴(x−1)(3x+1)=0，
∴x=1或x=−13；分
(2)∵(x−1)2−16=0，
∴(x−1)2=16，
∴x−1=±4，
∴x=5或x=−3 分
答案正确均给分
(1)本次比赛获奖的总人数为4÷10%=40(人)，分
所以二等奖人数为40−(4+24)=12(人).
图略分
(2)扇形统计图中“二等奖”所对应扇形的圆心角度数为360°×1240=108°；分
∵从四人中随机抽取两人有12种等可能的结果，恰好是甲和乙的有2种可能，
∴抽取两人恰好是甲和乙的概率是212=16． 分
树状图略分
(1)根据题意得Δ=(2k+1)2−4(k2+2)≥0，
解得k≥74；分
(2)根据题意得x1+x2=−(2k+1)<0，x1x2=k2+2>0，
∴x1<0，x2<0，
∵|x1|+|x2|=|x1x2|−1，
∴−(x1+x2)=x1x2−1，
∴2k+1=k2+2−1，整理得k2−2k=0，解得k1=0，k2=2，
∵k≥74，
∴k=2． 分
解：(1)如图，△A1B1C1即为所求；分
(2)如图，△A2B2C2即为所求；分
(3)根据图形可知，旋转中心的坐标为(−3,0)．
所以点A的路径是5π 分

略分
(2)解：在Rt△PBD中，PB=6，DB=8，
根据勾股定理得：PD=62+82=10，
∵PD与PB都为⊙O的切线，
∴PC=PB=6，
∴DC=PD−PC=10−6=4；
在Rt△CDO中，设OC=r，则有OD=8−r，
根据勾股定理得：(8−r)2=r2+42，
解得：r=3，
则圆的半径为3．分
（3）：延长PB、DE相交于点F，
∵PD与PB都为⊙O的切线，
∴OP平分∠CPB，
∴∠DPE=∠FPE，
∵PE⊥DF，
∴∠PED=∠PEF=90°，
又∵PE=PE，
∴△PED≌△PEF(ASA)，
∴PD=PD=10，DE=EF，
∴BF=PF−PB=10−6=4，
在Rt△DBF中，DF=DB2+BF2=82+42=45，
∴BE=12DF=25． 分
注，其他做法只要正确同样给分
解：(1)设该产品的成本单价是n元，根据题意，得：
5250=150×(75−n)，解得n=40．
a=120×(78−40)=4560．设日销售量y(件)与销售单价x(元)之间满足的一次函数解析式为y=kx+b，
把(75,150)，(78,120)代入解得一次函数解析式为y=−10x+900．
答：商品的进价为40元、a为4560、y与x之间的函数关系式为y=−10x+900；分
(2)根据题意，得：
w=(x−40)(−10x+900)
=−10x2+1300x−36000
=−10(x−65)2+6250．
答：该商品日销售利润的最大值为6250元；分
(3)设利润为w1 元，根据题意可得：
w1=(x−40+m)(−10x+900)
=−10x2+(1300−10m)x+900m−36000，
∵销售单价不低于68元，即x≥68，
∴68≤x≤90，
对称轴为x=−b2a=65−m2，
∵m≥0，
∴65−m2<68，且开口向下，
∴w1随x的增大而减小，
∴当x=68时，w1 有最大值为6600，
∴(68−40+m)(−680+900)=6600，
∴m=2．
答：m的值为2． 分
23.（1）略分
（2）90°、45°分
（3）略证：由定理一得，∠DCA=∠DBA=30°
取AH中点G，连接DG
则由定理2得GA=GH=DG,又由（1）得∠CAD=∠DBC=15°∴∠DGC=30°=∠DCA
∴CD=DG
∴AH=分
其他做法只要正确同样给分
24.解（1）AB=分
（2）略解：由对称性可设A（a，a2）,B（-a，a2），C（c， c2）,
则E（c，a2）,AB=|2a|
从而CE=a2-c2=①
AC2=（a-c）2+k2, BC2=（a+c）2+k2, AB2=4a2
∴（a-c）2+k2+（a+c）2+k2=4a2
化简得k2=a2-c2 ②
联立①、②得k2=k，k=1或0，又因为k≠0
∴k=1、即CE=分
（3）求得C（0，4），分
设A（m， - m2+4）,B（n， - n2+4）
由两点间距离公式可得AC2=m2+ m4，AB2=（m-n）2+（m2-n2）2，BC2=n2+n4，
又由勾股定理得
AC2+BC2=AB2，所以m2+ m4+n2+n4=（m-n）2+（m2 - n2）2,
化简得m2n2+mn=0 mn=-1或0
∵mn≠0
∴mn=-1，
联立y= -x2+4、y=kx+b得
-x2+4=kx+b，
x2+kx+b-4=0的两个根分别是m，n
由根与系数的关系得：mn=b-4
所以b-4=-1，b=3
∴直线y=kx+b必过点（0,3）分
注：其他做法只要正确都可给分