湖北省武汉市水果湖高级中学2023-2024学年高一数学上学期10月月考试题（Word版附解析）

这是一份湖北省武汉市水果湖高级中学2023-2024学年高一数学上学期10月月考试题（Word版附解析），共3页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 满足的集合的个数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
列举出符合条件的集合，即可得出答案.
【详解】满足的集合有：、、.
因此，满足的集合的个数为.
故选：B.
【点睛】本题考查符合条件的集合个数的计算，只需列举出符合条件的集合即可，考查分析问题和解决问题的能力，属于基础题.
2. 已知全集，集合，，那么阴影部分表示的集合为
A B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由韦恩图可知阴影部分表示的集合为，求出，计算得到答案
【详解】阴影部分表示的集合为，
故选
【点睛】本题主要考查的是韦恩图表达集合的关系和运算，属于基础题
3. 已知集合，那么是的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】先求出集合，且，再由充分条件和必要条件的定义即可得出答案.
【详解】由可得，所以，
由可得，所以，
所以是的真子集，
所以是的充分不必要条件.
故选：A.
4. 已知不等式的解集为,则不等式的解集为
A. B. {或}
C. D. 或}
【答案】B
【解析】
【分析】
根据不等式的解集可知对应方程的两个根,由根与系数关系求得与、与的关系,进而得要解的一元二次不等式,解不等式即可求解.
【详解】由不等式的解集为,得到
且方程的两个根分别为
由根与系数的关系得,
由,同时除以可得
即不等式可化为
则
因式分解可得
解得或
即不等式的解集为{或}
故选:B
【点睛】本题考查了一元二次不等式与一元二次方程的关系,一元二次方程的根与系数关系的应用,属于基础题.
5. 集合，若，则（ ）
A. B. 3或C. 3D. 3或或5
【答案】A
【解析】
【分析】由得，分类讨论：当时，，经验证不合题意，当时，得或，经验证符合题意.
【详解】因为，所以，
当时，，此时，，，不合题意，
当时，或，
当时，，，符合题意，
当时，不满足元素的互异性.
综上所述：.
故选：A.
【点睛】本题考查了由集合的交集求参数，考查了分类讨论思想，考查了集合中元素的互异性，属于基础题.
6. 已知aA. a2C. ba【答案】D
【解析】
【分析】
首先根据条件确定的正负关系，再根据不等式的性质判断选项.
【详解】因为a0，b的符号不定，正数，负数，0都有可能，所以ABC都不正确，对于D,当b>a，两边同时乘以正数c，不等号方向不变.
故选：D
7. 已知正实数a，b满足，则的最大值为（ ）
A. B. C. D. 2
【答案】B
【解析】
【分析】将条件中的式子进行配方，利用基本不等式得到关于的不等式，解不等式即可求出结果.
【详解】因为，
所以 ，当且仅当时等号成立，因为，
所以，即，所以，
即，因为为正实数，所以，因此，故的最大值为，此时，
故选：B.
8. 设正实数满足，则下列说法错误的是（ ）
A. 的最小值为4B. 的最大值为
C. 的最大值为2D. 的最小值为
【答案】C
【解析】
【分析】根据基本不等式以及“1”的妙用判断各选项.
【详解】对于A，，当且仅当时取等号，故A正确；
对于B，，当且仅当，即时取等号，故B正确；
对于C，，
则，当且仅当，即时，故C错误；
对于D，，当且仅当时取等号，故D正确.
故选：C.
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分.在每小题有多项符合题目要求）
9. 已知集合，集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】AD
【解析】
【分析】将集合，，再由集合包含关系以及集合的交、并运算即可求解.
【详解】由题意知，集合，
集合，
为偶数，为整数，
所以，，.
故选：AD.
10. 下列说法正确的为（ ）
A. 命题“，使”的否定形式是“，使”
B. “”是“”的充分不必要条件
C. 若p是q的充分条件，s是q的充要条件，则s是p的必要条件
D. 若命题“，”是假命题，则
【答案】BC
【解析】
【分析】本题考查命题真假的判断，是基础题，对各个选项逐一判断即可。
【详解】A，命题“，使”的否定形式是“，使”，故A错误；
B，当时，成立；
当时，解得或，
所以“”是“”的充分不必要条件，B正确；
C，若p是q的充分条件，s是q的充要条件，则有，所以s是p的必要条件，C正确；
D，若命题“，”是假命题，
则，是真命题，
故或，解得：，
所以m的取值范围是，D错误.
故选：BC.
11. 下列四个命题中，所有假命题为（ ）
A. 对任意实数，，满足
B. 设，都是正数，若，则的最小值是12
C. 对任意实数，满足
D. 若，则
【答案】AB
【解析】
【分析】根据基本不等式的“一正”即可判断A是假命题；利用“1”的代换可求出的最小值为16，B是假命题；直接利用基本不等式“”可计算C，D为真命题.
【详解】对A：当，为负数时时，不成立，故A假命题；
对B：因为，都是正数，所以，当且仅当即时取等号，所以的最小值是16，故B为假命题；
对C：由题意可知，所以，当且仅当即时取等号，故C是真命题；
对D：若，则，，所以，当且仅当即时取等号，故D是真命题.
故选：AB.
12. 若，，则下列结论中一定正确的是（ ）
A. B.
C. D. 若，则的最小值为
【答案】ACD
【解析】
【分析】利用作差法判断A，举反例判断B，利用基本不等式判断CD.
【详解】对于A，由，，，
所以，所以，成立；
对于B，当时，，所以B不正确；
对于C，由，，可得，
所以，所以，等号不成立，所以；
对于D,由，得，
所以
.
当且仅当，即时，取得最小值4，
故选：ACD.
【点睛】关键点点睛，本题D的判断较为困难，利用展开后，利用基本不等式是解题的关键.
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 已知集合A＝{a，b，2}，B＝{2，，2a}，且A∩B＝A∪B，则a＝________．
【答案】0或
【解析】
【分析】根据A∩B＝A∪B，可得A＝B，然后作分类讨论，讨论时注意要满足集合的三要素即可. 主要考虑集合中的元素是否满足互异性
【详解】因为A∩B＝A∪B，所以A＝B，则应有或
解或或
又a＝0，b＝0时，不满足元素的互异性，故舍去，所以a的值为0或.
【点睛】本题考查集合三要素，难点在于互异性的判断，属于简单题.
14. 不等式恒成立的充要条件是_____________;
【答案】
【解析】
【分析】
先根据一元二次不等式恒成立得，再根据充要条件概念即可得答案.
【详解】当时，即，当时，，不等式恒成立，满足条件,时，不满足条件；
当时，由一元二次不等式恒成立得：，
解得：或.
综上：.
所以,不等式恒成立的充要条件是
【点睛】本题考查充要条件的求解，一元二次不等式恒成立问题，属于中档题.
15. 已知，，则的范围是__________.
【答案】
【解析】
【分析】设，求出、的值，利用不等式的基本性质可求得的取值范围.
【详解】设，其中、，
则，解得，所以，，
因为，，则，，
由不等式的基本性质可得，即.
故答案为：.
16. 已知，，且，则最小值为__________．
【答案】
【解析】
【分析】首先整理所给的代数式，然后结合均值不等式的结论即可求得其最小值.
【详解】，
结合可知原式，
且
，
当且仅当时等号成立.
即最小值为.
【点睛】在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 已知.
（1）若，求实数的值；
（2）若，求实数的取值范围.
【答案】（1）
（2）或或
【解析】
【分析】（1）由交集结果知，结合集合的描述易知方程的两根为或，应用韦达定理求参数；
（2）由并集结果知，讨论、，结合判别式、根与系数关系求参数，注意验证所得参数.
【小问1详解】
由方程，解得或，所以，
由，而，故，
即方程的两根为或，
利用韦达定理得：，即；
【小问2详解】
由已知得，又，
时，则，即，解得或；
时，若B中仅有一个元素，则，即，解得，
当时，，满足条件；当时，，不满足条件；
若B中有两个元素，则，利用韦达定理得到，解得，满足条件.
综上，实数a的取值范围是或或.
18. 已知集合，集合.
（1）若，且，求实数的取值范围.
（2），若是的必要不充分条件，判断实数是否存在，若存在求的范围.
【答案】（1）；（2）存在，.
【解析】
【分析】
（1）解一元二次不等式以及分式不等式，求出，讨论或，利用集合的包含关系即可求解
（2）由题意可得且，由集合的包含关系可得且等号不同时取，解不等式即可求解.
【详解】（1）由题意可得或，，
∴.
当时，有，即；
当时，有，解得.
综上所述，.
（2）由题意可得，且，
∵，
∴且等号不同时取，解得，∴.
19. 党的十九大报告指出，建设生态文明是中华民族永续发展的千年大计.而清洁能源的广泛使用将为生态文明建设提供更有力的支撑.2018年张家口市成功入围国家清洁能源取暖试点城市，到2021年，全市全面建成清洁能源取暖试点城市，并通过示范城市的建设大力推动清洁能源规模化、普及化及科学化发展.沼气作为取之不尽、用之不竭的生物清洁能源，在保护绿水青山方面具有独特功效.通过办沼气带来的农村“厕所革命”，对改善农村人居环境等方面，起到立竿见影的效果.为了积极响应国家推行的“厕所革命”，某农户准备建造一个深为2米，容积为32立方米的长方体沼气池，如果池底每平方米的造价为150元，池壁每平方米的造价为120元，沼气池盖子的造价为3000元，问怎样设计沼气池能使总造价最低？最低总造价是多少元？
【答案】当沼气池的底面是边长为４米的正方形时，沼气池的总造价最低，最低总造价是9240元.
【解析】
【分析】设沼气池的底面长为x米，沼气池的总造价为y元，依题意有，利用均值不等式即可求解.
【详解】设沼气池的底面长为x米，沼气池的总造价为y元，
因为沼气池的深为2米，容积为32立方米，所以底面积为16平方米，
因为底面长为x米，所以底面的宽为，
依题意有，
因为，由平均值不等式可得，
即，所以，
当且仅当，即时、等号成立，
所以当沼气池的底面是边长为４米的正方形时，沼气池的总造价最低，最低总造价是9240元.
20. 已知关于x的不等式的解集为或（）.
（1）求a，b的值；
（2）当，，且满足时，有恒成立，求k的取值范围.
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）方法一：根据一元二次不等式和相应方程的关系结合根与系数的关系得到关于a，b的方程组，求出a，b的值即可；方法二：根据一元二次不等式和相应方程的关系解出a，代入不等式，解出不等式，从而得到b；
（2）根据乘“1”法，结合基本不等式的性质求出的最小值，得到关于k的不等式，解出即可.
小问1详解】
方法一：因为不等式的解集为或，
所以1和b是方程的两个实数根且，
所以，解得
方法二：因为不等式的解集为或，
所以1和b是方程的两个实数根且，
由1是的根，有，
将代入，
得或，
∴；
【小问2详解】
由（1）知，于是有，
故，
当且仅当时，等号成立，
依题意有，即，
得，
所以k的取值范围为.
【点睛】本题考查了二次函数和二次不等式的关系，考查基本不等式的性质以及转化思想，属于较难题.
21. 已知.
（1）若时，不等式恒成立，求实数的取值范围；
（2）求解上述不等式：.
【答案】（1）；
（2）答案见解析.
【解析】
【分析】（1）根据二次项系数的正负性，结合一元二次不等式解集的性质分类讨论进行求解即可；
（2）根据二次项系数的正负性，结合一元二次不等式的解法分类讨论进行求解即可.
【小问1详解】
①当时，原不等式即：，符合题意；
②当时，不等式恒成立，必有：
且，解得：，
综上：实数的取值范围为：；
【小问2详解】
，
当时，，由可得：
，或；
当时，，由可得：；
当时，由（1）知：不等式的解为；
当时，，由可得：
，
综上所述：当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为 ，
22. 若正数a，b，c满足.
（1）求的最大值；
（2）求证：.
【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）由，应用基本不等式求最大值，注意取值条件；
（2）利用基本不等式求、、，即可证结论，注意等号成立条件.
【小问1详解】
由，
所以，即，仅当时等号成立，
综上，的最大值为.
【小问2详解】
由，仅当，即时等号成立，
由，仅当，即时等号成立，
由，仅当，即时等号成立，
综上，，仅当时等号成立.