（2024届高考数学）高考数学二轮复习之选填16题专项高分冲刺限时训练（13）

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一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.已知复数满足，其中是虚数单位，则在复平面内对应的点位于（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
【答案】D
【解析】，
所以在复平面对应的点位于第四象限，
故选：D．
2.设，，则=（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】，
则=
故选：B
3.已知，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】若，则，
若，则，故，
若“”能推出“”，
但“”推不出“”，
故“”是“”的充分不必要条件，
故选：A.
4.将5名实习老师安排到高一年级的3个班实习，每班至少1人、至多2人，则不同的安排方法有（ ）
A. 90种B. 120种C. 150种D. 180种
【答案】A
【解析】由题设，将老师按各组人数{1,2,2}分组，
∴不同的安排方法有种.
故选：A.
5.已知是等差数列，是其前项和.则“”是“对于任意且，”的（ ）
A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】由等差数列前n项和公式知：，
∴要使对于任意且，，则，即是递增等差数列，
∴“对于任意且，”必有“”，
而，可得，但不能保证“对于任意且，”成立，
∴“”是“对于任意且，”的必要而不充分条件.
故选：B.
6.足球场上有句顺口溜：冲向球门跑，越近就越好；歪着球门跑，射点要选好在足球比赛中，球员在对方球门前的不同的位置起脚射门对球门的威胁是不同的，射点对球门的张角越大，射门的命中率就越高.如图为标准对称的足球场示意图，设球场长，宽，球门长.在某场比赛中有一位左边锋球员欲在边线AB上点M处射门，为使得张角最大，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】设，
则，,
所以，
因为 ,当且仅当,即等号成立，
所以时，有最大值，由正切函数单调性知，此时张角最大.
故选：B
7.若，可以作为一个三角形的三条边长，则称函数是区间上的“稳定函数”.已知函数是区间上的“稳定函数”，则实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】，当时，；当时，；
在上单调递增，在上单调递减，
，
又，，，
由“稳定函数”定义可知：，即，
解得：，即实数的取值范围为.
故选：D.
8.半径为4的圆上有三点，满足，点是圆内一点，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
如图所示，
设与交于点，
由，
得四边形是菱形，且，则，，
由图知，，而，
所以，
同理，，而，
所以，
所以，因为点是圆内一点，则，
所以，
即的取值范围为，
故选：A.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求,全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分．
9.某人工智能公司近5年的利润情况如下表所示：
已知变量y与x之间具有线性相关关系，设用最小二乘法建立的回归直线方程为，则下列说法正确的是（ ）
A.
B. 变量y与x之间的线性相关系数
C. 预测该人工智能公司第6年的利润约为7.8亿元
D. 该人工智能公司这5年的利润的方差小于2
【答案】AC
【解析】依题意，，
因为回归直线方程为必过样本中心点，即，解得，
故A正确；则回归直线方程为，则与成正相关，即相关系数，故B错误，
当时，即该人工智能公司第6年的利润约为7.8亿元，故C正确，
该人工智能公司这5年的利润的方差为，故D错误；
故选：AC
10.已知数列满足，，数列的前n项和为，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABD
【解析】由，
可得：，，，，，
则
即，则，又时也成立，所以
故选项B判断正确；
由，可知选项A判断正确；
令
则2
两式相减得
故选项D判断正确；
由，可得选项C判断错误.
故选：ABD
11.函数在内有唯一零点的充分条件是（ ）
A. 的最小正周期为πB. 在内单调
C. 在内有且仅有一条对称轴D. 在内的值域为
【答案】AD
【解析】函数，当时，，
依题意，在内有唯一零点，当且仅当，解得，
对于A，的最小正周期为π，则，符合题意，A正确；
对于B，当在内单调时，必有，解得，不符合题意，B不正确；
对于C，因在内有且仅有一条对称轴，则，解得，
显然当时，不能确保有，即C不正确；
对于D，因在内的值域为，则必有，解得，符合题意，D正确.
故选：AD
12.如图，点是棱长为2的正方体的表面上一个动点，则（ ）
A. 当在平面上运动时，四棱锥的体积不变
B. 当在线段上运动时，与所成角的取值范围是
C. 当直线与平面所成的角为45°时，点的轨迹长度为
D. 若是的中点，当在底面上运动，且满足平面时，长度的最小值是
【答案】AC
【解析】A. 当在平面上运动时，点到面的距离不变，不变，
故四棱锥的体积不变，故A正确；
B. 建立如图所示空间直角坐标系：

设 ，，则 ，
设与所成的角为，则 ，
因为，
当时， ，
当 时， ，则 ，
综上： ，所以与所成角的取值范围是，故B错误；
C.因为直线与平面所成的角为，
若点在平面和平面内，因为最大，不成立；
在平面内，点的轨迹是，
在平面内，点的轨迹是，
在平面时，如图所示：
，
作平面，因为 ，所以 ，
又 ，所以 ，
则，所以点的轨迹是以为圆心，以为半径的四分之一圆，
所以点的轨迹长度为，
所以点的轨迹总长度为长度为，故C正确；
D.建立如图所示空间直角坐标系：

设 ，，
则 ， ，
设平面的一个法向量为，
则 ，即 ，
令 ，则 ，
因为平面，所以 ，即 ，
所以 ，
当 时，等号成立，故D错误；
故选：AC.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，多空题，第一空2分，第二空3分，共20分．
13.已知的展开式二项式系数和为64，则展开式中常数项是___．（用数字作答）
【答案】60
【解析】因为展开式二项式系数和为64，所以，，展开式的通项为 ，令，得，所以常数项为第5项，，故填60.
故答案为：60
14.已知双曲线离心率为，则其渐近线与圆的位置关系是________.
【答案】相离
【解析】双曲线的离心率为，可得，所以，双曲线的渐近线方程为，
圆的圆心坐标为，半径为，
圆心到直线的距离为，
因此，双曲线的渐近线与圆相离.
故答案为：相离.
15.已知函数，则的最大值是________．
【答案】
【解析】由题意知函数的周期为，
只需考虑在，内的最大值即可；
计算，
令，得，
即，
解得或，
所以在，时，有，或；
所以的最大值只能在、或和边界点处取到，
计算，，，；
所以的最大值是．
故答案为．
16.在四面体中，，均为边长为的正三角形，平面平面，则四面体的外接球的表面积为_______________.
【答案】
【解析】取中点，连接，
均为正三角形，，，
平面平面，平面平面，
平面，平面；
取，，作，，
均为正三角形，分别为的外心，
又平面，平面，即为四面体的外接球球心，
，，，
，
四面体的外接球的表面积为.
故答案为：.第x年
1
2
3
4
5
利润y/亿元
2
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4
5
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