2023-2024学年河南省重点中学高二（上）第一次月考数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年河南省重点中学高二（上）第一次月考数学试卷（含解析），共7页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.在下列四个命题中，正确的是( )
A. 若直线的倾斜角越大，则直线斜率越大
B. 过点P(x0,y0)的直线方程都可以表示为：y−y0=k(x−x0)
C. 经过两个不同的点P1(x1,y1)，P2(x2,y2)的直线方程都可以表示为：(y−y1)(x2−x1)=(x−x1)(y2−y1)
D. 经过点(1,1)且在x轴和y轴上截距都相等的直线方程为x+y−2=0
2.如图，在空间四边形OABC中，点E在OA上，满足OE=2EA，点F为BC的中点，则EF=( )
A. −12OA+23OB−12OC
B. 23OA−12OB−12OC
C. −12OA−12OB+12OC
D. −23OA+12OB+12OC
3.直线x−ysinθ+2=0的倾斜角的取值范围是( )
A. [0,π)B. [π4,3π4]C. [π4,π2]D. [π4,π2)∪(π2,3π4]
4.正四面体的棱长为2，MN是它内切球的一条弦(把球面上任意2个点之间的线段称为球的弦)，P为正四面体表面上的动点，当弦MN最长时，PM⋅PN的最大值为( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
5.冰糖葫芦是中国传统小吃，起源于南宋.由山楂串成的冰糖葫芦如图1所示，若将山楂看成是大小相同的圆，竹签看成一条线段，如图2所示，且山楂的半径(图2中圆的半径)为1，竹签所在直线方程为2x+y=0，则与该串冰糖葫芦的山楂都相切的直线方程为( )
A. 2x+y±2=0B. 2x+y± 5=0
C. 2x+y±4=0D. 2x+y±2 5=0
6.已知直线(3+2λ)x+(3λ−2)y+5−λ=0恒过定点P，则与圆C：(x−2)2+(y+3)2=16有公共的圆心且过点P的圆的标准方程为( )
A. (x−2)2+(y+3)2=36B. (x−2)2+(y+3)2=25
C. (x−2)2+(y+3)2=18D. (x−2)2+(y+3)2=9
7.如图，已知A(5,0)，B(0,5)，从点P(1,0)射出的光线经直线AB反射后再射到直线OB上，最后经直线OB反射后又回到点P，则光线所经过的路程长为( )
A. 2 13
B. 2 10
C. 2 26
D. 4 13
8.已知正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为4，EF是棱AB上的一条线段，且EF=1，点Q是棱A1D1的中点，点P是棱C1D1上的动点，则下面四个结论中正确的个数是( )
①PQ与EF一定不垂直
②二面角P−EF−Q的正弦值是 1010
③△PEF的面积是2 2
④点P到平面QEF的距离是常量
A. 1B. 2C. 3D. 4
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9.下列说法正确的是( )
A. 若向量a,b,c共面，则它们所在的直线共面
B. 若G是四面体OABC的底面△ABC的重心，则OG=13(OA+OB+OC)
C. 若OG=−25OA+35OB+35OC，则A，B，C，G四点共面
D. 若向量p=mx+ny+kz，则称(m,n,k)为p在基底{x,y,z}下的坐标，已知p在单位正交基底{a,b,c}下的坐标为(1,2,3)，则p在基底{a−b,a+b,c}下的坐标为(−12,32,3)
10.已知直线l1：(m+3)x+y−1=0，l2：4x+my+3m−4=0，下列命题中正确的是( )
A. 若l1⊥l2，则m=−125
B. 若l1//l2，则m=1或m=−4
C. 当m=0时，(1,3)是直线l1的方向向量
D. 原点到直线l2的最大距离为 10
11.已知菱形ABCD中，∠BAD=60°，AC与BD相交于点E.将△ABD沿BD折起，使顶点A至点M，在折起的过程中，下列结论正确的是( )
A. BD⊥CM
B. 存在一个位置，使△CDM为等边三角形
C. DM与BC不可能垂直
D. 直线DM与平面BCD所成的角的最大值为60°
12.在棱长为1的正方体ABCD−A1B1C1D1中，点P满足DP=λDD1+μDA，λ∈[0,1]，μ∈[0,1]，则以下说法正确的是( )
A. 当λ=μ时，BP/​/平面CB1D1
B. 当μ=12时，存在唯一点P使得DP与直线CB1的夹角为π3
C. 当λ+μ=1时，DP+PB的最小值为 2+ 2
D. 当点P落在以B1为球心， 2为半径的球面上时，λ+μ的最小值为2− 2
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13.经过点P(1,−2)作直线l，若直线l与连接A(0,−1)与B(2,1)两点的线段总有公共点，则直线l的斜率k的取值范围为 ．
14.如图，在一个120°的二面角的棱上有两点A，B，线段AC，BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都与棱AB垂直，若AB= 2，AC=1，BD=2，则CD的长为 ．
15.如图，在四棱锥P−ABCD的平面展开图中，四边形ABCD是边长为2的正方形，△ADE是以AD为斜边的等腰直角三角形，∠HDC=∠FAB=90°，则四棱锥P−ABCD外接球的球心到面PBC的距离为______ ．
16.函数f(x)= x2+8x+20+ x2+4x+20的最小值为______ ．
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.(本小题10.0分)
已知△ABC的顶点B(−1,−3)，AB边上的高CE所在的直线方程为4x+3y−7=0，BC边上中线AD所在的直线方程为x−3y−3=0．
(1)求点C的坐标；
(2)求点C到直线AB的距离．
18.(本小题12.0分)
如图，在平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，∠A1AD=∠A1AB=∠BAD=60°，AB=AD=2，AA1=1，点P为线段BC中点．
(1)求|D1P|；
(2)求直线AB1与D1P所成角的余弦值．
19.(本小题12.0分)
已知t∈(0,5]，由t确定两个点P(t,t)，Q(10−t,0)．
(1)写出直线PQ的方程(答案含t)；
(2)在△OPQ内作内接正方形ABCD，顶点A，B在边OQ上，顶点C在边PQ上.若OA=a，当正方形ABCD的面积最大时，求a，t的值．
20.(本小题12.0分)
在下列所给的三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并加以解答．
①与直线4x−3y+5=0垂直；②过点(5,−5)；③与直线3x+4y+2=0平行．
问题：已知直线l过点P(1,−2)，且____．
(1)求直线l的一般式方程；
(2)已知M(3,−16)，O为坐标原点，在直线l上求点N坐标，使得|MN|−|ON|最大．
21.(本小题12.0分)
如图，某种风筝的骨架模型是四棱锥P−ABCD，四边形ABCD是等腰梯形，AD//BC，AC∩DB=O，PO⊥平面ABCD，∠BOC=90°，OA=1，OC=2，E在PB上．
(1)为保证风筝飞行稳定，需要在E处引一尼绳，使得PB=3PE，求证：直线PD/​/平面AEC；
(2)实验表明，当tan∠PAC=2时，风筝表现最好，求此时直线PA与平面PBC所成角的正弦值．
22.(本小题12.0分)
如图，在四棱锥P−ABCD中，四边形ABCD为平行四边形，PA=PD= 2，AB=1，AD=2，PD⊥AB．
(1)证明：平面PCD⊥平面PAB；
(2)若PB= 3，试在棱PD上确定一点E，使得平面PAB与平面EAC所成锐二面角的余弦值为2 77．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：倾斜角的范围为(0,π2)时，直线斜率k>0；倾斜角的范围为(π2,π)时，直线斜率k