2023-2024学年山东重点大学附中高二（上）质检数学试卷（10月份）（含解析）

这是一份2023-2024学年山东重点大学附中高二（上）质检数学试卷（10月份）（含解析），共7页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知直线l过(0,3)，且与直线x+y+1=0垂直，则直线l的方程是( )
A. x+y−2=0B. x−y+3=0C. x+y−3=0D. x−y+2=0
2.已知点B是点A(6,8,10)在坐标平面Oxy内的射影，则|OB|=( )
A. 2 34B. 8C. 10D. 2 41
3.已知两条平行直线l1：x− 3y+6=0与l2：x− 3y+C=0(C<0)间的距离为4，则C的值为( )
A. 14B. −2C. −10D. 14或−10
4.已知A(0,−1)，B(0,2 3−1)，过点P(−2,−1)的直线l与线段AB有公共点，则直线l的倾斜角的取值范围是( )
A. (0,π6]B. (0,π3]C. [0,π6]D. [0,π3]
5.一条光线从点A(−1,3)射向x轴，经过x轴上的点P反射后通过点B(3,1)，则点P的坐标为( )
A. (0,0)B. (1,0)C. (32,0)D. (2,0)
6.已知直线l的参数方程为x=1+3t ,y=2+4t(t为参数)，则点(1,0)到直线l的距离是( )
A. 15B. 25C. 45D. 65
7.在直三棱柱ABC−A1B1C1中，∠BCA=90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BC=CA=CC1，则AM与CN所成角的余弦值为( )
A. 110B. 25C. 3010D. 22
8.如图，在平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，AB=AD，∠BAD=∠BAA1=∠DAA1=60°，若A1C⊥BC1，则AA1AB为( )
A. 1
B. 12
C. 23
D. 32
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9.已知A(3,2)，B(−4,1)，C(0,−1)，则下列说法正确的是( )
A. 直线AB的斜率为7
B. 直线BC的倾斜角为钝角
C. 若a=(1,1)，则a是直线CA的一个方向向量
D. △ABC中，边AB上中线的斜率为−5
10.已知平面α={P|n⋅P0P=0}，其中点P0(1,2,3)，n=(1,1,1)，则下列各点中在平面α内的是( )
A. (3,2,1)B. (−2,5,4)C. (−3,4,5)D. (2,−4,8)
11.给出下列命题，其中是假命题的是( )
A. 若直线l的方向向量a=(1,−1,2)，直线m的方向向量b=(1,1,−12)，则l⊥m
B. 若直线l的方向向量a=(0,1,−1)，平面α的法向量n=(1,−1,−1)，则l⊥α
C. 若平面α，β的法向量分别为n1=(0,1,3)，n2=(1,0,2)，则α⊥β
D. 若平面α经过三点A(1,0,−1)，B(0,1,0)，C(0,2,2)，向量n=(x,y,z)(x,y,z∈R)是平面α的法向量，则y+2z=0
12.如图，在棱长为1的正方体ABCD−A1B1C1D1中，E，F分别为DD1，BB1的中点，则下列选项正确的是( )
A. 直线FC1与底面ABCD所成的角为30°
B. 平面AB1E与底面ABCD夹角的余弦值为23
C. 直线FC1与直线AE的距离为 305
D. 直线FC1到平面AB1E的距离为 24
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13.经过点(0,5)，且在两坐标轴上的截距之和为2的直线的一般式方程为______．
14.如图，已知正方体ABCD−A′B′C′D′，E，F分别是上底面A′C′和侧面CD′的中心.若AE+AF=32AD+xAB+yAA′(x,y∈R).则x+y= ______ ．
15.在我国古代数学名著《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑(biena).已知在鳖臑P−ABC中，PA⊥平面ABC，PA=AB=BC=2，M为PC的中点，则点P到平面MAB的距离为______．
16.已知点A(−1,0)，B(1,0)，C(0,1)，直线y=ax+b(a>0)将△ABC分割成面积相等的两部分，则b的取值范围是______．
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.(本小题10.0分)
如图，在空间直角坐标系xy中，正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为1，E1在A1B1上，F1在C1D1上，且B1E1=D1F1=3A1B14．
(Ⅰ)求向量BE1，DF1的坐标；
(Ⅱ)求BE1与DF1所成的角的余弦值．
18.(本小题12.0分)
求满足以下条件的参数的值．
(Ⅰ)若直线l1：x+(1+m)y−2=0和直线l2：mx+2y+4=0平行，求m的值．
(Ⅱ)已知直线l1经过点A(3,a)，B(a−2,3)，直线l2经过点C(2,3)，D(−1,a−2)，若l1⊥l2，求a的值．
19.(本小题12.0分)
已知直线l：kx−y+4k+2=0(k∈R)．
(Ⅰ)证明：直线l恒过第二象限；
(Ⅱ)若直线l交x轴的负半轴于点A，交y轴的正半轴于点B，O为坐标原点，设△AOB的面积为S，求S的最小值及此时直线l的一般式方程．
20.(本小题12.0分)
已知▱ABCD的两条边所在直线的方程分别是AB：x+y−1=0，AD：3x−y+4=0，且它的对角线的交点是M(3,3)．
(Ⅰ)求这个平行四边形其他两边所在直线的斜截式方程；
(Ⅱ)求▱ABCD的面积．
21.(本小题12.0分)
如图，AE⊥平面ABCD，CF/​/AE，AD//BC，AD⊥AB，AB=AD=1，AE=BC=2．
(Ⅰ)求直线CE与平面BDE所成角的正弦值；
(Ⅱ)若二面角E−BD−F的余弦值为13，求线段CF的长．
22.(本小题12.0分)
四面体ABCD中，△ABC是正三角形，△ACD是直角三角形，∠ABD=∠CBD，AB=BD．

(1)证明：平面ACD⊥平面ABC；
(2)过AC的平面交BD于点E，若平面AEC把四面体ABCD分成体积相等的两部分，求二面角D−AE−C的平面角的余弦值．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：∵直线x+y+1=0的斜率为−1，
∴由垂直关系可得直线l的斜率为1，
又直线l过(0,3)，且与直线x+y+1=0垂直，
∴直线l的方程为y−3=x，即x−y+3=0，
故选：B．
由直线的方程和垂直关系可得直线l的斜率，可得点斜式方程，化为一般式即可．
本题考查直线的一般式方程和垂直关系，属基础题．
2.【答案】C
【解析】解：因为点A(6,8,10)在坐标平面Oxy内的射影是B(6,8,0)，
所以|OB|= 62+82+02=10．
故选：C．
先求得点A(6,8,10)在坐标平面Oxy内的射影B，再利用两点间的距离求解．
本题主要考查了空间直角坐标系中点的坐标，属于基础题．
3.【答案】B
【解析】解：∵两条平行直线l1：x− 3y+6=0与l2：x− 3y+C=0(C<0)间的距离为4，
∴|6−C| 12+(− 3)2=4，
解提C=−2或C=14，
∵C<0，∴C的值为−2．
故选：B．
利用两条平行线间的距离公式能求出C的值．
本题考查两条平行线间的距离公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
4.【答案】D
【解析】解：因为A(0,−1)，B(0,2 3−1)，P(−2,−1)，
所以kPA=0，即直线PA的倾斜角为0，
kPB=2 3−1+10+2= 3，即直线PB的倾斜角为π3，
若直线l与线段AB有公共点，则直线斜率的范围为[0, 3]，
所以直线l倾斜角的范围为[0,π3].
故选：D．
由已知结合直线的斜率公式及直线的倾斜角与斜率关系可求．
本题主要考查了直线的斜率公式及直线的倾斜角与斜率关系的应用，属于基础题．
5.【答案】D
【解析】解：设点B(3,1)关于x轴的对称点为B′(3,−1)，
所以直线AB′的方程为y+1=3−(−1)−1−3⋅(x−3)，即x+y−2=0，
令y=0，则x=2，所以点P(2,0)．
故选：D．
写出点B关于x轴的对称点B′的坐标，从而知直线AB′的方程，再令y=0，求得x的值即可．
本题考查直线的方程与斜率，直线中的对称问题，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
6.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查参数方程化普通方程，考查点到直线距离公式的应用，是基础题．
消参数t化参数方程为普通方程，再由点到直线的距离公式求解．
【解答】
解：由x=1+3ty=2+4t(t为参数)，消去t，可得4x−3y+2=0．
则点(1,0)到直线l的距离是d=|4×1−3×0+2| 42+(−3)2=65．
故选D．
7.【答案】C
【解析】解：以C为原点，CA为x轴，CB为y轴，CC1为z轴，建立空间直角坐标系，
设BC=AC=CC1=2，
则C(0,0,0)，N(1,0,2)，A(2,0,0)，M(1,1,2)，
CN=(1,0,2)，AM=(−1,1,2)，
设CN与AM所成角为θ，
则csθ=|CN⋅AM||CN||AM|=3 5× 6= 3010，
∴CN与AM所成角的余弦值为 3010．
故选：C．
以C为原点，CA为x轴，CB为y轴，CC1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出CN与AM所成角的余弦值．
本题考查两直线所成角的余弦值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．
8.【答案】C
【解析】解：A1C=AB+AD−AA1，BC1=AD+AA1，
因为A1C⊥BC1，所以A1C⋅BC1=0，A1C⋅BC1=(AB+AD−AA1)(AD+AA1)=0，
AB⋅AD+AB⋅AA1+AD2+AD⋅AA1−AA1⋅AD−AA12=0，
设AB=AD=1，AA1=t(t>0)，则1×1×12+1⋅t⋅12+12−t2=0，
12+12t+1−t2=0，整理得2t2−t−3=0，因式分解(2t−3)(t+1)=0，解得t=−1(舍去)或t=32．
所以，则AA1AB=t1=32．
故选：C．
利用空间向量线性运算和数量积的性质即可求解．
本题考查空间向量线性运算即数量积，属于中档题．
9.【答案】BCD
【解析】解：因为A(3,2)，B(−4,1)，C(0,−1)，
A：kAB=2−13+4=17，A错误；
B：kBC=1+1−4−0=−12<0，故直线BC的倾斜角为钝角，B正确；
C：CA=(3,3)=3a，即a是直线CA的一个方向向量，C正确；
D：因为AB的中点(−12,32)，
则AB边上中线的斜率k=32+1−12=−5，D正确．
故选：BCD．
结合直线的斜率公式检验选项A；结合直线的斜率与倾斜角关系检验选项B；结合向量共线定理检验选项C；结合中点坐标公式及直线的斜率公式检验选项D．
本题主要考查了直线的斜率公式，斜率与倾斜角关系，直线的方向向量的概念，属于基础题．
10.【答案】ACD
【解析】解：对于A，若P=(3,2,1)，则P0P=(2,0,−2)，P0P⋅n=2×1+0×1+(−2)×1=0，所以点(3,2,1)在平面α内，故A正确；
对于B，若P=(−2,5,4)，则P0P=(−3,3,1)，P0P⋅n=−3×1+3×1+1×1=1≠0，所以点(−2,5,4)不在平面α内，故B错误；
对于C，若P=(−3,4,5)，则P0P=(−4,2,2)，P0P⋅n=−4×1+2×1+2×1=0，所以点(−3,4,5)在平面α内，故C正确；
对于D，若P=(2,−4,8)，则P0P=(1,−6,5)，P0P⋅n=1×1−6×1+5×1=0，所以点(2,−4,8)在平面α内，故D正确．
故选：ACD．
将点P取各点的坐标逐一判断P0P⋅n是否等于0即可．
本题考查空间向量数量积的坐标运算，属于基础题．
11.【答案】ABC
【解析】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，a⋅b=1×1+(−1)×1+2×(−12)=−1，两个向量不垂直，则直线l与m不垂直，A错误；
对于B，直线l的方向向量a=(0,1,−1)，平面α的法向量n=(1,−1,−1)，
由于01≠1−1≠−1−1，则a与n不共线，则直线l与平面α不垂直，B错误；
对于C，n1⋅n2=6≠0，则平面α与平面β不垂直，C错误；
对于D，AB=(−1,1,1)，BC=(0,1,2)，
若n是平面ABC的法向量，则n⋅AB=−x+y+z=0n⋅BC=y+2z=0，必有则y+2z=0，D正确．
故选：ABC．
根据题意，由直线方向向量的定义可得A错误，由直线与平面垂直的判断方法可得B错误，由平面与平面垂直的判断方法可得C错误，由平面法向量的定义可得D正确，综合可得答案．
本题考查命题真假的判断，涉及空间向量的应用，属于基础题．
12.【答案】BC
【解析】解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，
对于A，F(1,1,12)，C1(0,1,1)，
FC1=(−1,0,12)，
所以平面ABCD的法向量AA1=(0,0,1)，
设直线FC1与底面ABCD所成的角为θ，
则sinθ=|AA1⋅FC1||AA1|⋅|FC1|=12 54= 55，
所以直线FC1与底面ABCD所成的角为arcsin 55，故A错误；
对于B，A(1,0,0)，B1(1,1,1)，E(0,0,12)，
AB1=(0,1,1)，AE=(−1,0,12)，
设平面AB1E的法向量n=(x,y,z)，
则n⋅AB1=y+z=0n⋅AE=−x+12z=0，取z=2，得n=(1,−2,2)，
设平面AB1E与底面ABCD夹角为α，
则csα=|AA1⋅n||AA1|⋅|n|=23，
所以平面AB1E与底面ABCD夹角的余弦值为23，故B正确；
对于C，FC1=(−1,0,12)，AE=(−1,0,12)，FE=(−1,−1,0)，
所以直线FC1与直线AE的距离为：
d=|FE|⋅ 1−(|FC1⋅FE||FC1|⋅|FE|)2= 2⋅ 1−(1 54⋅ 2)2= 305，故C正确；
对于D，因为FC1//AE，AE⊂平面AB1E，FC1⊄平面AB1E，
所以FC1//平面AB1E，又因为AF=(0,1,12)，平面AB1E的法向量n=(1,−2,2)，
所以直线FC1与平面AB1E的距离为：h=|AF⋅n||n|=1 9=13，故D错误．
故选：BC．
以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法分别求出直线FC1与底面ABCD所成的角、平面AB1E与底面ABCD夹角的余弦值、直线FC1与直线AE的距离、直线FC1与平面AB1E的距离，由此能求出结果．
本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
13.【答案】5x−3y+15=0
【解析】解：根据题意，要求直线经过点(0,5)，即该直线在y轴上的截距为5，
又由要求直线在两坐标轴上的截距之和为2，则其在x轴上截距为−3，
则要求直线的方程为x−3+y5=1，变形可得5x−3y+15=0；
故答案为：5x−3y+15=0．
根据题意，分析可得要求直线经过点(0,5)可得该直线在y轴上的截距为5，进而分析可得该直线在x轴上的截距为−3，由直线的截距式方程可得x−3+y5=1，变形为一般式方程，即可得答案．
本题考查直线的一般式方程，涉及截距的定义，属于基础题．
14.【答案】52
【解析】解：在正方体ABCD−A′B′C′D′，E，F分别是上底面A′C′和侧面CD′的中心，
则AE=AA′+A′E=AA′+12A′C′=AA′+12AC=AA′+12(AB+AD)，
AF=AD+DF=AD+12AB′=AD+12(AB+AA′)，
所以AE+AF=32AD+AB+32AA′，
则x+y=1+32=52．
故答案为：52．
根据题设条件及空间向量的线性运算，即可得出AE+AF=32AD+AB+32AA′，从而得出结论．
本题考查空间向量的线性运算，属基础题．
15.【答案】 2
【解析】解：∵PA=AB=BC=2，∴PB=2 2，PC=2 3，
∵∠PAC=∠PBC=90°，且M为PC的中点，
∴AM=BM= 3，
∴△AMB的面积为12×AB× AM2−(AB2)2=12×2× 3−1= 2，
设点P到平面MAB的距离为d，则VP−AMB=13d⋅S△AMB=13×d× 2= 23d，
又Vp−AMB=12VP−ABC=12×13×2×12×2×2=23，
∴ 23d=23，解得d= 2．
∴点P到平面MAB的距离为 2．
故答案为： 2．
求出AM=BM= 3后，根据等体积法可得点面距．
本题考查了点，线，面间的距离计算，属中档题．
16.【答案】(1− 22,12)
【解析】解：由题意可得，三角形ABC的面积为S=12⋅AB⋅OC=1，
由于直线y=ax+b(a>0)与x轴的交点为M(−ba,0)，由−ba≤0可得点M在射线OA上．
设直线和BC的交点为N，则由y=ax+bx+y=1，可得点N的坐标为(1−ba+1,a+ba+1)，
①若点M和点A重合，则点N为线段BC的中点，则−ba=−1，且a+ba+1=12，解得a=b=13，
②若点M在点O和点A之间，则点N在点B和点C之间，由题意可得三角形NMB的面积等于12，即12⋅MB⋅yN=12，
即12⋅(1+ba)⋅a+ba+1=12，解得a=b21−2b>0，故b<12，
③若点M在点A的左侧，则−ba<−1，b>a，设直线y=ax+b和AC的交点为P，
则由y=ax+by=x+1求得点P的坐标为(1−ba−1,a−ba−1)，
此时，NP= (1−ba+1−1−ba−1)2+(a+ba+1−a−ba−1)2= [−2(1−b)(a+1)(a−1)]2+[2a(b−1)(a+1)(a−1)]2
= 4(1+a2)(1−b)2(a+1)2(a−1)2=2|1−b||(a+1)(a−1)| 1+a2，
此时，点C(0,1)到直线y=ax+b的距离等于|0−1+b| 1+a2，
由题意可得，三角形CPN的面积等于12，即12⋅2|1−b||(a+1)(a−1)| 1+a2⋅|0−1+b| 1+a2=12，
化简可得2(1−b)2=|a2−1|．
由于此时0两边开方可得 2(1−b)= 1−a2<1，则1−b<1 2，即b>1− 22，
综合以上可得，b=13可以，且b<12，且b>1− 22，即b的取值范围是(1− 22,12)，
故答案为：(1− 22,12)．
先求得直线y=ax+b(a>0)与x轴的交点为M(−ba,0)，由−ba≤0可得点M在射线OA上．求出直线和BC的交点N的坐标，利用面积公式、点到直线以及两点之间的距离公式再分三种情况分别讨论：①若点M和点A重合，求得b=13；②若点M在点O和点A之间，求得b<12；③若点M在点A的左侧，求得b>1− 22，综合起来可得结论．
本题主要考查确定直线的要素，点到直线和两点之间的距离公式以及三角形的面积公式的应用，还考查运算能力和综合分析能力，分类讨论思想，属于难题．
17.【答案】解：(Ⅰ)由题意可得B(1,1,0)，E1(1,14,1)，D(0,0,0)，F1(0,34,1)，
故BE1=(1,14,1)−(1,1,0)=(0,−34,1)，DF1=(0,34,1)−(0,0,0)=(0,34,1)-----------------------(5分)
(Ⅱ)由(Ⅰ)可知BE1=(0,−34,1)，DF1=(0,34,1)，
∴|BE1|= 02+(−34)2+12=54，|DF1|= 02+(34)2+12=54，
BE1⋅DF1=0×0+(−34×34)+1×1=716，
所以cs=BE1⋅DF1|BE1|⋅|DF1|=71654×54=725，
故BE ​1与DF1所成的角的余弦值为725-------------------------(13分)
【解析】(Ⅰ)由题意可得点得B，E1，D，F1的坐标，由向量的坐标运算可得BE1，DF1的坐标；
(Ⅱ)由(Ⅰ)所得的BE1，与DF1的坐标，由夹角公式可得这两个向量夹角的余弦值，进而可得所求．
本题考查异面直线所成的角，涉及向量的坐标运算，属中档题．
18.【答案】解：(Ⅰ)直线l1：x+(1+m)y−2=0和直线l2：mx+2y+4=0平行，
则1×2=m(1+m)，解得m=−2或m=1，
当m=1时，两直线不重合符合题意，
当m=−2时，两直线重合，不符合题意，舍去，
故m=1；
(Ⅱ)由题意可知，直线l2的斜率一定存在，l1的斜率可能不存在，
当l1的斜率不存在时，3=a−2，即a=5，此时k2=0，满足l1⊥l2，
当l1的斜率不存在时，k1=3−aa−2−3=3−aa−5，k2=a−2−3−1−2=a−5−3，
∵l1⊥l2，
∴k1⋅k2=−1，即3−aa−5⋅(a−5−3)=−1，解得a=0，
综上所述，a的值为0或5．
【解析】(Ⅰ)根据已知条件，结合直线平行的性质，即可求解；
(Ⅱ)根据已知条件，结合直线垂直的性质，并分类讨论，即可求解．
本题主要考查直线平行、垂直的性质，属于基础题．
19.【答案】证明：(Ⅰ)直线l：kx−y+4k+2=0，即k(x+4)+(−y+2)=0，
令x+4=0−y+2=0，解得x=−4y=2，即直线l过定点(−4,2)，该定点位于第二象限，
故直线l恒过第二象限；
(Ⅱ)直线l交x轴的负半轴于点A，交y轴的正半轴于点B，
则可设直线l为xm+yn=1(m<0,n>0)，
由(Ⅰ)可知，直线l过定点(−4,2)，
则−4m+2n=1，
−4m+2n≥2 −4m⋅2n=2 −8mn，即1≥−32mn，
故−mn≥32，当且仅当−4m=2n=12，即m=−8，n=4时，等号成立，
所以△AOB的面积S=12(−m)n≥16，此时直线l的方程为x−8+y4=1，即x−2y+8=0．
【解析】(Ⅰ)求出直线所过定点，即可求解；
(Ⅱ)设出直线l的方程，再结合直线l过定点(−4,2)，以及基本不等式的公式，即可求解．
本题主要考查直线的一般式方程与直线的性质，属于基础题．
20.【答案】解：(1)设与x+y−1=0平行的直线为x+y+C=0，(C≠−1)，
∴|3+3−1| 2=|3+3+C| 2，
∴5=|6+C|，
∴C=−11，即边AD所在的直线方程为x+y−11=0，
与3x−y+4=0平行的直线方程为3x−y+D=0，(D≠4)，
∴|9−3+4| 10=|9−3+D| 10，
∴10=|6+D|，
∴D=−16，此时直线BC边所在的直线方程为3x−y−16=0，
故斜截式方程分别为：y=3x−16，y=−x+11；
(2)联立x+y−1=03x−y+4=0，可得x=−34，y=74，即A(−34,74)，
联立x+y−1=03x−y−16=0，可得x=174，y=−134，即B(174,−134)，
所以|AB|=5 2，
又AB与CD的距离d=|−1+11| 2=5 2，
故▱ABCD的面积S=5 2×5 2=50．
【解析】(1)由已知结合直线平行的条件可先设出直线方程，结合对角线相交的性质及点到直线的距离公式可求；
(2)联立直线可求A，B的坐标，进而可求|AB|，然后结合平行线间的距离公式及平行四边形的面积公式可求．
本题主要考查了直线平行条件的应用，直线的交点坐标的求解，两平行线间的距离公式的应用，属于中档题．
21.【答案】解：(Ⅰ)∵AE⊥平面ABCD，AB，AD在平面ABCD内，
∴AE⊥AB，AE⊥AD，又AD⊥AB，
∴以A为坐标原点，分别以AB，AD，AE所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，如图，

则B(1,0,0)，C(1,2,0)，D(0,1,0)，E(0,0,2)，
依题意，BD=(−1,0,0)，BE=(−1,0,2)，CE=(−1,−2,2)，
设n=(x,y,z)是平面BDE的法向量，
则n⋅BD=−x+y=0n⋅BE=−x+2z=0，令z=1，得n=(2,2,1)，
∴cs=CE⋅n|CE|⋅|n|=−49．
∴直线CE与平面BDE所成角的正弦值为49．
(Ⅱ)设CF=h，(h>0)，则F(1,2,h)，BF=(0,2,h)，
设m=(a,b,c)为平面BDF的法向量，
则m⋅BD=−a+b=0m⋅BF=2b+hc=0，令a=1，得m=(1,1,−2h)，
∵二面角E−BD−F的余弦值为13，
∴|cs|=|m⋅n||m|⋅|n|=|4−2h|3× 2+4h2=13，
解得h=87，经检验，符合题意，
∴线段CF的长为87．
【解析】(Ⅰ)以A为坐标原点，分别以AB，AD，AE所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线CE与平面BDE所成角的正弦值；
(Ⅱ)利用向量法能求出线段CF的长．
本题考查线面角、二面角等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
22.【答案】(1)证明：取AC的中点O，连接BO，OD．
∵△ABC是等边三角形，∴OB⊥AC，
△ABD与△CBD中，AB=BC，∠ABD=∠CBD，BD=BD，
∴△ABD≌△CBD，∴AD=CD，
∵△ACD是直角三角形，
∴AC是斜边，∴∠ADC=90°，
∴DO=12AC，
∴DO2+BO2=AB2=BD2，
∴∠BOD=90°，
∴OB⊥OD，
又DO∩AC=O，DO⊂平面ACD，AC⊂平面ACD，
∴OB⊥平面ACD，
又OB⊂平面ABC，
∴平面ACD⊥平面ABC．
(2)解：∵△ABC是正三角形，所以AB=CB，
又∵∠ABD=∠CBD，AB=BD，
∴△ABD≌△CBD，∴AD=CD，即△ACD为等腰直角三角形，
取AC中点，连接DO，BO，
则DO⊥AC，
又∵平面ACD⊥平面ABC且交于AC，DO⊂平面ABC，
∴DO⊥平面ABC，∴DO⊥AC，DO⊥BO，
又∵△ABC是正三角形，∴BO⊥AC，
设点D，B到平面ACE的距离分别为hD，hB.则hDhB=DEBE，
∵平面AEC把四面体ABCD分成体积相等的两部分，
∴13S△ACE⋅hD13S△ACE⋅hB=hDhB=DEBE=1．
∴点E是BD的中点．
建立如图所示的空间直角坐标系．
不妨取AB=2，
则O(0,0,0)，A(1,0,0)，C(−1,0,0)，D(0,0,1)，B(0, 3,0)，E(0, 32,12)，
AD=(−1,0,1)，AE=(−1, 32,12)，AC=(−2,0,0)，
设平面ADE的法向量为m=(x,y,z)，
则m⋅AD=0m⋅AE=0，即−x+z=0−x+ 32y+12z=0，可得m=(3, 3,3)，
同理可得，平面ACE的一个法向量为n=(0,1,− 3)，
∴cs=m⋅n|m||n|=−2 3 21×2=− 77，
由图可知，二面角D−AE−C的平面角为锐角，
∴二面角D−AE−C的平面角的余弦值为 77．
【解析】本题考查了面面垂直的证明，利用空间向量求二面角，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
(1)可得OB⊥AC，OB⊥OD，可证OB⊥平面ACD，即可得证；
(2)建立空间直角坐标系，不妨取AB=2，利用空间向量进行求解即可．