人教版 (2019)必修 第二册第六章 圆周运动1 圆周运动优秀练习题

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[学习目标] 1.掌握线速度的定义式，知道圆周运动线速度大小、方向的特点，知道什么是匀速圆周运动.2.掌握角速度的定义式和单位，知道角速度与线速度的关系.3.知道周期、转速的概念．掌握描述圆周运动的各物理量之间的关系．
一、线速度
1．定义：物体做圆周运动，在一段很短的时间Δt内，通过的弧长为Δs，则Δs与Δt的比值叫作线速度的大小，公式：v＝eq \f(Δs,Δt).
2．意义：描述做圆周运动的物体运动的快慢．
3．方向：物体做圆周运动时该点的切线方向．
4．匀速圆周运动
(1)定义：物体沿着圆周运动，并且线速度的大小处处相等，这种运动叫作匀速圆周运动．
(2)性质：匀速圆周运动的线速度方向是在时刻变化的，所以它是一种变速运动，这里的“匀速”是指速率不变．
二、角速度
1．定义：连接物体与圆心的半径转过的角Δθ与所用时间Δt之比叫作角速度，公式：ω＝eq \f(Δθ,Δt).
2．意义：描述做圆周运动的物体绕圆心转动的快慢．
3．单位：弧度每秒，符号是rad/s，在运算中角速度的单位可以写为s－1.
4．匀速圆周运动是角速度不变的圆周运动．
三、周期
1．周期T：做匀速圆周运动的物体，运动一周所用的时间．单位：秒(s)．
2．转速n：物体转动的圈数与所用时间之比．单位：转每秒(r/s)或转每分(r/min)．
3．周期和转速的关系：T＝eq \f(1,n)(n的单位为r/s时)．
四、线速度与角速度的关系
1．在圆周运动中，线速度的大小等于角速度的大小与半径的乘积．
2．公式：v＝ωr.
1．判断下列说法的正误．
(1)做匀速圆周运动的物体，相同时间内位移相同．( × )
(2)做匀速圆周运动的物体，其线速度不变．( × )
(3)匀速圆周运动是一种匀速运动．( × )
(4)做匀速圆周运动的物体，其角速度不变．( √ )
(5)做匀速圆周运动的物体，周期越大，角速度越小．( √ )
2．做匀速圆周运动的物体，10 s内沿半径为20 m的圆周运动了100 m，试求物体做匀速圆周运动时：
(1)线速度的大小；
(2)角速度的大小；
(3)周期．
答案 (1)10 m/s (2)0.5 rad/s (3)4π s
解析 (1)根据线速度的定义式可得
v＝eq \f(Δs,Δt)＝eq \f(100,10) m/s＝10 m/s；
(2)根据v＝ωr可得，ω＝eq \f(v,r)＝eq \f(10,20) rad/s＝0.5 rad/s；
(3)T＝eq \f(2π,ω)＝eq \f(2π,0.5) s＝4π s.
一、描述圆周运动的物理量
导学探究
如图所示，月球绕地球运动，地球绕太阳运动，这两个运动都可看成圆周运动，怎样比较这两个圆周运动的快慢？请看下面地球和月球的“对话”．
地球说：你怎么走得这么慢？我绕太阳运动1 s要走29.79 km，你绕我运动1 s才走1.02 km.
月球说：不能这样说吧！你一年才绕太阳转一圈，我27.3天就能绕你转一圈，到底谁转得慢？
请问：地球说得对，还是月球说得对？
答案 地球和月球的说法都是片面的，它们选择描述匀速圆周运动快慢的标准不同．严格来说地球绕太阳运动的线速度比月球绕地球运动的线速度大，而月球绕地球运动的角速度比地球绕太阳运动的角速度大．
知识深化
1．对匀速圆周运动的理解
(1)匀速圆周运动是曲线运动，其速度方向沿着圆周上各点的切线方向，所以速度的方向时刻在变化．
(2)“匀速”的含义：速度的大小不变，即速率不变．
(3)运动性质：匀速圆周运动是一种变速运动，做匀速圆周运动的物体所受合外力不为零．
2．描述圆周运动的物理量
例1 (多选)(2022·巫山县官渡中学高一月考)对于做匀速圆周运动的物体，下列理解正确的是( )
A．匀速圆周运动是线速度不变的运动
B．匀速圆周运动是角速度不变的运动
C．匀速圆周运动的匀速是指速率不变
D．匀速圆周运动一定是变速运动
答案 BCD
解析 线速度有方向，匀速圆周运动的线速度方向时刻在变化，故A错误；匀速圆周运动的角速度恒定不变，故B正确；匀速圆周运动的线速度大小即速率不变，故C正确；匀速圆周的速度方向时刻在变化，即速度时刻在变化，一定是变速运动，故D正确．
例2 一汽车发动机的曲轴每分钟转2 400周，求：
(1)曲轴转动的周期与角速度的大小；
(2)距转轴r＝0.2 m的点的线速度大小．
答案 (1)0.025 s 80π rad/s (2)16π m/s
解析 (1)由于曲轴每秒转eq \f(2 400,60)＝40(周)，即n＝40 r/s，则周期T＝eq \f(1,n)＝0.025 s；由ω＝2πn可知，曲轴转动的角速度大小ω＝80π rad/s.
(2)距转轴r＝0.2 m的点的线速度大小v＝eq \f(2πr,T)＝16π m/s.
二、描述圆周运动的物理量之间的关系
1．线速度与角速度的关系式：v＝ωr.
(1)当v一定时，ω与r成反比；
(2)当ω一定时，v与r成正比．
2．线速度与周期、转速的关系式：v＝eq \f(2πr,T)＝2πrn.
3．角速度与周期、转速的关系式：ω＝eq \f(2π,T)＝2πn.
例3 (多选)质点做匀速圆周运动时，下列说法正确的是( )
A．因为v＝ωr，所以线速度大小v与轨道半径r成正比
B．因为ω＝eq \f(v,r)，所以角速度ω与轨道半径r成反比
C．因为ω＝2πn，所以角速度ω与转速n成正比
D．因为ω＝eq \f(2π,T)，所以角速度ω与周期T成反比
答案 CD
解析 当ω一定时，线速度大小v才与轨道半径r成正比，所以A错误；当v一定时，角速度ω才与轨道半径r成反比，所以B错误；在用转速或周期表示角速度时，角速度与转速成正比，与周期成反比，所以C、D正确．
例4 (多选)A、B两个质点分别做匀速圆周运动，在相同的时间内它们通过的路程之比为sA∶sB＝2∶3，转过的角度之比为ΔθA∶ΔθB＝3∶2，则下列说法正确的是( )
A．它们的运动半径之比rA∶rB＝2∶3
B．它们的运动半径之比rA∶rB＝4∶9
C．它们的周期之比TA∶TB＝2∶3
D．它们的转速之比nA∶nB＝2∶3
答案 BC
解析 A、B两个质点在相同的时间内通过的路程之比为2∶3，即通过的弧长之比为2∶3，所以vA∶vB＝2∶3，在相同的时间内转过的角度之比为ΔθA∶ΔθB＝3∶2，根据ω＝eq \f(Δθ,Δt)得ωA∶ωB＝3∶2，又v＝ωr，所以rA∶rB＝4∶9，选项A错误，B正确；根据T＝eq \f(2π,ω)知，TA∶TB＝ωB∶ωA＝2∶3，选项C正确；转速是单位时间内物体转过的圈数，即n＝eq \f(1,T)，所以nA∶nB＝TB∶TA＝3∶2，选项D错误．
例5 (2022·浙江桐庐分水高级中学高二期中)图甲是一款感应垃圾桶．手或垃圾靠近其感应区，桶盖会自动绕O点水平打开，如图乙所示．桶盖打开过程中其上A、B两点的角速度分别为ωA、ωB，线速度分别为vA、vB，则( )
A．ωA＞ωB B．ωA＜ωB C．vA＞vB D．vA＜vB
答案 D
解析 桶盖上的A、B两点同时绕着O点转动，则角速度相等，即ωA＝ωB；根据v＝ωr，又有rB>rA，则vB>vA，故A、B、C错误，D正确．
考点一 描述圆周运动的物理量
1.(2021·沭阳县修远中学高一月考)如图所示，在圆规匀速转动画圆的过程中( )
A．笔尖的速率不变
B．笔尖做的是匀速运动
C．任意相等时间内笔尖通过的位移相同
D．相同时间内笔尖转过的角度不同
答案 A
解析 由线速度的定义知，匀速圆周运动的线速度大小不变，也就是速率不变，但速度的方向时刻改变，故A正确，B错误；做匀速圆周运动的物体在任意相等时间内通过的位移大小相等，但位移还要考虑方向，C错误；相同时间内笔尖转过的角度相同，D错误．
2．(2022·朝阳市高一月考)从圆周运动的角度分析机械钟表，下列说法正确的是( )
A．秒针转动的周期最长
B．时针转动的角速度最小
C．秒针转动的角速度最小
D．分针的角速度为eq \f(π,30) rad/s
答案 B
解析 秒针、分针、时针转动的周期分别为T秒＝60 s，T分＝1 h＝3 600 s，T时＝12 h＝12×
3 600 s＝43 200 s，可知秒针转动的周期最短，A错误；秒针、分针、时针转动的角速度分别为ω秒＝eq \f(2π,T秒)＝eq \f(π,30) rad/s，ω分＝eq \f(2π,T分)＝eq \f(π,1 800) rad/s，ω时＝eq \f(2π,T时)＝eq \f(π,21 600) rad/s，
可知时针转动的角速度最小，秒针转动的角速度最大，B正确，C、D错误．
3．火车以60 m/s的速率驶过一段圆弧弯道，某乘客发现放在水平桌面上的指南针在10 s内匀速转过了10°.在此10 s时间内，火车( )
A．运动位移为600 m
B．加速度为零
C．角速度约为1 rad/s
D．转弯半径约为3.4 km
答案 D
解析 由Δs＝vΔt知，弧长Δs＝600 m是路程而不是位移，A错误；火车在弯道内做曲线运动，加速度不为零，B错误；由10 s内匀速转过10°知，角速度ω＝eq \f(Δθ,Δt)＝eq \f(\f(10°,360°)×2π,10) rad/s＝
eq \f(π,180) rad/s≈0.017 rad/s，C错误；由v＝rω知，r＝eq \f(v,ω)＝eq \f(60,\f(π,180)) m≈3.4 km，D正确．
考点二 描述圆周运动各物理量之间的关系
4．甲沿着半径为R的圆周跑道匀速率跑步，乙沿着半径为2R的圆周跑道匀速率跑步，在相同的时间内，甲、乙各自跑了一圈，他们的角速度和线速度的大小分别为ω1、ω2和v1、v2，则( )
A．ω1>ω2，v1>v2 B．ω1<ω2，v1C．ω1＝ω2，v1答案 C
解析 由于甲、乙在相同时间内各自跑了一圈，v1＝eq \f(2πR,t)，v2＝eq \f(4πR,t)，v15．关于做匀速圆周运动的物体的线速度、角速度、周期的关系，下列说法正确的是( )
A．线速度大的角速度一定大
B．线速度大的周期一定小
C．角速度大的半径一定小
D．角速度大的周期一定小
答案 D
解析 由v＝ωr知ω＝eq \f(v,r)，角速度与线速度、半径两个因素有关，线速度大的角速度不一定大，选项A错误；同理，角速度大的半径不一定小，选项C错误；由T＝eq \f(2πr,v)知，周期与半径、线速度两个因素有关，线速度大的周期不一定小，选项B错误；由T＝eq \f(2π,ω)可知，ω越大，T越小，选项D正确．
6.风能是一种绿色能源．如图所示，叶片在风力推动下转动，带动发电机发电，M、N为同一个叶片上的两点，下列判断正确的是( )
A．M点的线速度小于N点的线速度
B．M点的角速度小于N点的角速度
C．M点的转速大于N点的转速
D．M点的周期大于N点的周期
答案 A
解析 M、N两点转动的角速度相等，转速相等，则周期相等，根据v＝rω知，M点转动的半径小，则M点的线速度小于N点的线速度，故A正确，B、C、D错误．
7.如图所示为“南昌之星”摩天轮，它的转盘直径为153米，转一圈的时间大约是30分钟．乘客乘坐观光时，其线速度大约为( )
A．5.0 m/s B．1.0 m/s
C．0.50 m/s D．0.27 m/s
答案 D
解析 半径R＝eq \f(153,2) m，周期T＝30 min＝1 800 s，根据匀速圆周运动各物理量间的关系可得v＝ωR＝eq \f(2π,T)R，代入数据得v≈0.27 m/s，故选D.
8．(2022·罗平县第二中学月考)小红同学在体验糕点制作“裱花”环节时，她在绕中心匀速转动的圆盘上放置一块直径8英寸(20 cm)的蛋糕，在蛋糕边缘每隔4 s均匀“点”一次奶油，蛋糕转动一周正好均匀“点”上15点奶油．下列说法正确的是( )
A．圆盘转动的转速为2π r/min
B．圆盘转动的角速度大小为eq \f(π,30) rad/s
C．蛋糕边缘的线速度大小为eq \f(π,3) m/s
D．蛋糕边缘的奶油半个周期内的平均速度为0
答案 B
解析 由题意可知，圆盘转动的周期为T＝15×4 s＝60 s＝1 min，则圆盘转动的转速为1 r/min，A错误；圆盘转动的角速度为ω＝eq \f(2π,T)＝eq \f(2π,60) rad/s＝eq \f(π,30) rad/s，B正确；蛋糕边缘的线速度大小为v＝rω＝0.1×eq \f(π,30) m/s＝eq \f(π,300) m/s，C错误；蛋糕边缘的奶油半个周期内的平均速度约为eq \x\t(v)＝eq \f(2r,\f(T,2))＝eq \f(0.2,30) m/s＝eq \f(1,150) m/s，故D错误．
9．(2021·泰州市高一期中)甲、乙两物体都做匀速圆周运动，甲的转动半径为乙的一半，当甲转过60°时，乙在这段时间内正好转过45°，则甲、乙两物体的线速度大小之比为( )
A．1∶4 B．4∶9
C．2∶3 D．9∶16
答案 C
解析 当甲转过60°时，乙在这段时间内正好转过45°，由角速度的定义式ω＝eq \f(Δθ,Δt)有：eq \f(ω1,ω2)＝eq \f(60°,45°)＝eq \f(4,3)，甲的转动半径为乙的一半，根据线速度与角速度的关系式v＝rω可得：eq \f(v1,v2)＝eq \f(ω1r1,ω2r2)＝eq \f(4,3)×eq \f(1,2)＝eq \f(2,3)，故选项C正确，A、B、D错误．
10．钟表的时针和分针做匀速圆周运动时( )
A．分针的角速度是时针的12倍
B．分针的角速度是时针的60倍
C.如果分针的长度是时针的1.5倍，则分针端点的线速度大小是时针端点线速度大小的24倍
D.如果分针的长度是时针的1.5倍，则分针端点的线速度大小是时针端点线速度大小的1.5倍
答案 A
解析 分针转动的周期T1＝60分钟＝1小时，时针转动的周期为T2＝12小时，由ω＝eq \f(2π,T)可知，分针的角速度是时针的12倍，故A正确，B错误；如果分针的长度是时针的1.5倍，由v＝rω知分针端点的线速度与时针端点线速度大小之比为：(1.5×12)∶(1×1)＝18∶1，故C、D错误．
11．(2022·南通市高一期末)如图所示为旋转脱水拖把，拖把杆内有一段长度为25 cm的螺杆通过拖把杆下段与拖把头接在一起，螺杆的螺距(相邻螺纹之间的距离)d＝5 cm，拖把头的半径为10 cm，拖把杆上段相对螺杆向下运动时拖把头就会旋转，把拖把头上的水甩出去. 某次脱水时，拖把杆上段1 s内匀速下压了25 cm，该过程中拖把头匀速转动，则( )
A．拖把杆向下运动的速度为0.1π m/s
B．拖把头边缘的线速度为π m/s
C．拖把头转动的角速度为5π rad/s
D．拖把头的转速为1 r/s
答案 B
解析 拖把杆向下运动的速度v2＝eq \f(l,t)＝0.25 m/s，故A错误；拖把杆上段1 s内匀速下压了25 cm，则螺杆转动5圈，即拖把头的转速为n＝5 r/s，则拖把头转动的角速度ω＝2πn＝10π rad/s
拖把头边缘的线速度v1＝ωR＝π m/s，故B正确，C、D错误．
12．(2021·嘉兴市高一期中)如图为车牌自动识别系统的直杆道闸，离地面高为1 m的细直杆可绕O在竖直面内匀速转动．汽车从自动识别线ab处到达直杆处的时间为3.3 s，自动识别系统的反应时间为0.3 s；汽车可看成高1.6 m的长方体，其左侧面底边在aa′直线上，且O到汽车左侧面的距离为0.6 m，要使汽车安全通过道闸，直杆转动的角速度至少为( )
A.eq \f(π,4) rad/s B.eq \f(3π,4) rad/s C.eq \f(π,6) rad/s D.eq \f(π,12) rad/s
答案 D
解析 由题意可知，在汽车行驶至a′b′时，横杆上a′上方的点至少要抬高1.6 m－1 m＝0.6 m，即横杆至少转过eq \f(π,4)，所用时间为t＝3.3 s－0.3 s＝3 s，则角速度ω＝eq \f(θ,t)＝eq \f(π,12) rad/s，故选D.