高中物理人教版 (2019)必修 第二册3 向心加速度优秀课后测评

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一、匀速圆周运动的加速度方向
1．向心加速度：物体做匀速圆周运动时的加速度总指向圆心，这个加速度叫作向心加速度．
2．向心加速度的作用：向心加速度的方向总是与速度方向垂直，故向心加速度只改变速度的方向，不改变速度的大小．
3．物体做匀速圆周运动时，向心加速度始终指向圆心，方向在时刻变化，所以匀速圆周运动是变加速曲线运动．
二、匀速圆周运动的加速度大小
1．向心加速度公式
an＝eq \f(v2,r)或an＝ω2r.
2．向心加速度的公式既适用于匀速圆周运动，也适用于非匀速圆周运动．
1．判断下列说法的正误．
(1)做匀速圆周运动的物体的加速度一定不为0.( √ )
(2)做匀速圆周运动的物体加速度始终不变．( × )
(3)匀速圆周运动是匀变速运动．( × )
(4)匀速圆周运动的向心加速度的方向时刻指向圆心，大小不变．( √ )
(5)根据an＝eq \f(v2,r)知向心加速度an与半径r成反比．( × )
(6)根据an＝ω2r知向心加速度an与半径r成正比．( × )
2．在长0.2 m的细绳的一端系一小球，绳的另一端固定在光滑水平桌面上，使小球以大小为0.6 m/s的线速度在桌面上做匀速圆周运动，则小球运动的角速度大小为______，向心加速度大小为______．
答案 3 rad/s 1.8 m/s2
解析 角速度大小ω＝eq \f(v,r)＝eq \f(0.6,0.2) rad/s＝3 rad/s，
小球运动的向心加速度大小an＝eq \f(v2,r)＝eq \f(0.62,0.2) m/s2＝1.8 m/s2.
一、对向心加速度的理解
导学探究
如图甲所示，地球绕太阳做匀速圆周运动(近似的)；如图乙所示，光滑水平桌面上一个小球在细线的牵引下绕桌面上的图钉做匀速圆周运动．
(1)分析地球和小球的受力情况，说明地球和小球的加速度方向；
(2)地球和小球加速度的作用是什么？
(3)地球和小球的加速度方向变化吗？匀速圆周运动是一种什么性质的运动呢？
答案 (1)地球只受到太阳引力作用，方向指向圆心，加速度方向指向圆心．小球受到重力、支持力、拉力作用，合力指向圆心，故加速度的方向指向圆心．
(2)由于加速度的方向指向圆心，故加速度只改变速度的方向，不改变速度的大小．
(3)由于地球和小球的加速度总是沿半径指向圆心，故加速度方向是变化的．匀速圆周运动是一种变加速曲线运动．
知识深化
对向心加速度及其方向的理解
1．向心加速度的方向：总指向圆心，方向时刻改变．
2．向心加速度的作用：向心加速度的方向总是与速度方向垂直，故向心加速度只改变速度的方向，不改变速度的大小．
3．圆周运动的性质：由于向心加速度方向时刻发生变化，所以圆周运动都是变加速曲线运动．
4．变速圆周运动的加速度并不指向圆心，该加速度有两个分量：一是向心加速度，二是切向加速度．向心加速度改变速度方向，切向加速度改变速度大小．
例1 (多选)下列关于向心加速度的说法正确的是( )
A．向心加速度的方向始终与速度方向垂直
B．向心加速度只改变线速度的方向，不改变线速度的大小
C．物体做圆周运动时的加速度方向始终指向圆心
D．物体做匀速圆周运动时的加速度方向始终指向圆心
答案 ABD
解析 向心加速度的方向沿半径指向圆心，速度方向则沿圆周的切线方向，向心加速度的方向始终与速度方向垂直．向心加速度只改变线速度的方向，不改变线速度的大小．物体做匀速圆周运动时，只有向心加速度，加速度方向始终指向圆心；物体做变速圆周运动时，加速度的方向并不指向圆心．故A、B、D正确，C错误．
二、向心加速度的大小
1．向心加速度公式
(1)an＝eq \f(v2,r)＝ω2r.
(2)由于v＝ωr，所以向心加速度也可以写成an＝ωv.
(3)由于ω＝eq \f(2π,T)＝2πf，所以向心加速度也可以写成an＝eq \f(4π2,T2)r＝4π2f2r.
2．向心加速度与半径的关系(如图所示)
3．向心加速度公式不仅适用于匀速圆周运动，也适用于非匀速圆周运动，v为某位置的线速度，且无论物体做的是匀速圆周运动还是非匀速圆周运动，其向心加速度的方向都指向圆心．
例2 (多选)(2021·天水市高一期中)对于匀速圆周运动的物体，下列说法正确的是( )
A．由an＝eq \f(v2,r)知，向心加速度an与半径r成反比
B．由an＝eq \f(4π2,T2)r知，向心加速度an与半径r成正比
C．由ω＝eq \f(2π,T)知，角速度ω与周期T成反比
D．由an＝ω2r知，当角速度ω一定时，向心加速度an与半径r成正比
答案 CD
解析 由an＝eq \f(v2,r)知，线速度不变时，向心加速度an与半径r成反比，选项A错误；由an＝eq \f(4π2,T2)r知，周期不变时，向心加速度an与半径r成正比，选项B错误；由ω＝eq \f(2π,T)知，角速度ω与周期T成反比，选项C正确；由an＝ω2r知，当角速度ω一定时，向心加速度an与半径r成正比，选项D正确．
例3 (多选)如图所示，皮带传动装置中，右边两轮连在一起共轴转动，图中三轮半径分别为r1＝3r，r2＝2r，r3＝4r；A、B、C三点为三个轮边缘上的点，向心加速度大小分别为a1、a2、a3，皮带不打滑，则下列比例关系正确的是( )
A.eq \f(a1,a2)＝eq \f(3,2) B.eq \f(a1,a2)＝eq \f(2,3) C.eq \f(a2,a3)＝2 D.eq \f(a2,a3)＝eq \f(1,2)
答案 BD
解析 由于皮带不打滑，故v1＝v2，由an＝eq \f(v2,r)可得eq \f(a1,a2)＝eq \f(r2,r1)＝eq \f(2,3)，A错误，B正确；由于右边两轮共轴转动，故ω2＝ω3，由an＝rω2可得eq \f(a2,a3)＝eq \f(r2,r3)＝eq \f(1,2)，C错误，D正确．
三、圆周运动的动力学问题分析
例4 长为L的细线，下端拴一质量为m的小球，上端固定，让小球在水平面内做匀速圆周运动，如图所示，细线与竖直方向成θ角时，求：(重力加速度为g)
(1)细线上的拉力大小；
(2)小球运动的线速度的大小和角速度的大小．
答案 (1)eq \f(mg,cs θ) (2)eq \r(gLsin θtan θ) eq \r(\f(g,Lcs θ))
解析 (1)小球受重力及细线的拉力的作用，如图所示，
由平衡条件可知，竖直方向：
FTcs θ＝mg，
故拉力FT＝eq \f(mg,cs θ).
(2)小球做匀速圆周运动的半径r＝Lsin θ，向心力Fn＝FTsin θ＝mgtan θ，又Fn＝meq \f(v2,r)，
故小球的线速度大小v＝eq \r(gLsin θtan θ).
由Fn＝mrω2
联立解得ω＝eq \r(\f(g,Lcs θ)).
分析匀速圆周运动问题的基本步骤
1．明确研究对象，对研究对象进行受力分析，画出受力示意图．
2．确定物体做圆周运动的轨道平面、圆心、半径．
3．找出向心力的来源，利用平行四边形定则或正交分解法，计算出沿半径方向的合力F合．
4．利用牛顿第二定律列方程F合＝Fn＝mω2r＝meq \f(v2,r)＝meq \f(4π2,T2)r.
5．解方程求出待求物理量．
思考：从上面角速度大小的结果中我们可以看出做圆锥摆的小球的角速度ω与哪个因素有关？
答案 与圆心到绳上绳上端的高度有关．
针对训练 如图所示，竖直固定的锥形漏斗内壁是光滑的，内壁上有两个质量相等的小球A和B，在各自不同的水平面内做匀速圆周运动．下列关于A、B两球做圆周运动时的线速度(vA、vB)、角速度(ωA、ωB)、加速度(aA、aB)和对内壁的压力(FNA、FNB)的关系式正确的是( )
A．vA>vB B．ωA>ωB
C．aA>aB D．FNA>FNB
答案 A
解析 对小球受力分析如图所示，可得FN＝eq \f(mg,sin θ)，Fn＝eq \f(mg,tan θ)，由于两个小球的质量相同，并且都是在水平面内做匀速圆周运动，即θ相同，所以两个小球的向心力大小和受到的支持力大小都相等，所以有FNA＝FNB，aA＝aB，故C、D错误；向心力大小相等，由Fn＝meq \f(v2,r)可知，半径大的，线速度大，所以vA>vB，故A正确；由Fn＝mrω2可知，半径大的，角速度小，所以ωA<ωB，故B错误．
考点一 对向心加速度的理解
1．对于做匀速圆周运动的物体，下列说法正确的是( )
A．做匀速圆周运动的物体的加速度恒定
B．做匀速圆周运动的物体所受合外力恒定
C．做匀速圆周运动的物体处于平衡状态
D．做匀速圆周运动的物体的加速度始终指向圆心
答案 D
解析 做匀速圆周运动的物体的加速度大小不变，方向时刻改变，即合外力的大小不变，方向始终指向圆心，有加速度，故不是平衡状态，故A、B、C错误，D正确．
2．关于向心加速度，下列说法正确的是( )
A．向心加速度是描述物体速率变化快慢的物理量
B．匀速圆周运动的向心加速度恒定不变
C．向心加速度是描述物体运动方向变化快慢的物理量
D．向心加速度随着轨道半径的增大而减小
答案 C
解析 向心加速度与速度垂直，是描述物体运动方向变化快慢的物理量，故A错误，C正确；匀速圆周运动的向心加速度大小不变、方向时刻改变，是变化的，故B错误；根据an＝ω2r，角速度一定时，轨道半径越大，向心加速度越大，故D错误．
考点二 向心加速度的计算
3．甲、乙两个物体都做匀速圆周运动，转动半径之比为9∶4，转动周期之比为3∶4，则它们的向心加速度大小之比为( )
A．1∶4 B．4∶1 C．4∶9 D．9∶4
答案 B
解析 设甲、乙两个物体的转动半径分别为r1、r2，周期分别为T1、T2，根据题意eq \f(r1,r2)＝eq \f(9,4)，eq \f(T1,T2)＝eq \f(3,4)，由an＝eq \f(4π2,T2)r得：eq \f(a1,a2)＝eq \f(r1,r2)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(T2,T1)))2＝eq \f(9,4)×(eq \f(4,3))2＝eq \f(4,1)，故选B.
4.如图所示，一球体绕轴O1O2以角速度ω匀速旋转，A、B为球体表面上两点，下列说法正确的是( )
A．A、B两点具有相同的角速度
B．A、B两点具有相同的线速度
C．A、B两点的向心加速度的方向都指向球心
D．A、B两点的向心加速度大小之比为2∶1
答案 A
解析 A、B为球体表面上两点，因此，A、B两点的角速度与球体绕轴O1O2旋转的角速度相同，A正确；如图所示，A以P为圆心做匀速圆周运动，B以Q为圆心做匀速圆周运动，因此，A、B两点的向心加速度方向分别指向P、Q，C错误；设球的半径为R，则A运动的半径rA＝Rsin 60°，B运动的半径rB＝Rsin 30°，eq \f(vA,vB)＝eq \f(ωrA,ωrB)＝eq \f(sin 60°,sin 30°)＝eq \r(3)，B错误；eq \f(aA,aB)＝eq \f(ω2rA,ω2rB)＝eq \r(3)，D错误．
5.(2021·湖州市高一期末)山东舰是我国首艘自主建造的国产航母．如图为山东舰进行“180°回转测试”，以较为稳定的航行姿态，最终在海面上画了一个直径约为1 000米左右的浪圈．将山东舰的运动近似看作匀速圆周运动，浪圈近似看作其运动轨迹，忽略山东舰的大小和形状，设其航速约为20节(1节＝1.852 km/h)．下列关于山东舰回转测试的物理量中，根据上述信息不能近似求得的是( )
A．周期T B．角速度ω
C．向心加速度an的大小 D．向心力Fn的大小
答案 D
解析 山东舰做匀速圆周运动的直径d≈1 000 m，线速度v＝eq \f(20×1.852,3.6) m/s≈10 m/s，
根据T＝eq \f(2πr,v)＝eq \f(πd,v)可得，周期T≈314 s，根据ω＝eq \f(v,r)＝eq \f(2v,d)可得，角速度ω≈0.02 rad/s
根据an＝eq \f(v2,r)＝eq \f(2v2,d)可得，向心加速度大小an≈0.2 m/s2.因未知山东舰的质量，故无法得出向心力Fn的大小，故选D.
考点三 匀速圆周运动的动力学问题
6.如图所示，质量相等的A、B两物体紧贴在匀速转动的圆筒的竖直内壁上，随圆筒一起做匀速圆周运动，则下列关系正确的是( )
A．线速度vA＝vB
B．角速度ωA>ωB
C．它们受到合力FA合>FB合
D．它们受到的摩擦力FfA>FfB
答案 C
解析 A、B共轴运动，两者角速度相等，选项B错误；根据v＝ωr可知，选项A错误；由F合＝mrω2可知，选项C正确；在竖直方向，它们所受的静摩擦力等于重力，由于二者质量相等，重力相等，所以它们受到的摩擦力相等，选项D错误．
7.质量为m的飞机以恒定速率v在空中水平盘旋，如图所示，其做匀速圆周运动的半径为R，重力加速度为g，则此时空气对飞机的作用力大小为( )
A．meq \f(v2,R) B．mg
C．meq \r(g2＋\f(v4,R2)) D．meq \r(g2－\f(v4,R2))
答案 C
解析 作出飞机的受力分析图，如图所示．根据牛顿第二定律有F合＝meq \f(v2,R)，由平行四边形定则得空气对飞机的作用力F＝eq \r(mg2＋F合2)＝meq \r(g2＋\f(v4,R2))，故C正确，A、B、D错误．
8．(多选)(2021·福州高级中学高一期末)如图所示，光滑的圆锥漏斗的内壁，有个质量为m的小球，它紧贴漏斗在水平面上做半径为r的匀速圆周运动．已知漏斗壁的倾角为θ，重力加速度为g，下列说法正确的是( )
A．小球做匀速圆周运动的线速度为eq \r(grtan θ)
B．小球做匀速圆周运动的线速度为eq \r(grsin θ)
C．漏斗壁对小球的弹力为mgcs θ
D．漏斗壁对小球的弹力为eq \f(mg,cs θ)
答案 AD
解析 对小球进行受力分析，合力沿水平方向，得F向＝mgtan θ＝meq \f(v2,r)
解得v＝eq \r(grtan θ)，A正确，B错误；根据几何知识得cs θ＝eq \f(mg,FN)，解得FN＝eq \f(mg,cs θ)，C错误，D正确．
9．(多选)(2021·滁州市高一下期中联考)如图所示，杂技表演“飞车走壁”的演员骑着摩托车飞驶在光滑的圆锥形筒壁上，筒的轴线垂直于水平面，圆锥筒固定不动，演员和摩托车的总质量为m，先后在A、B两处紧贴着内壁分别在图中虚线所示的水平面内做匀速圆周运动，则下列说法正确的是( )
A．A处的线速度大小大于B处的线速度大小
B．A处的角速度小于B处的角速度
C．A处对筒的压力大于B处对筒的压力
D．A处的向心力大于B处的向心力
答案 AB
10.(多选)(2021·长沙市明达中学高二开学考试)有一种叫“飞椅”的游乐项目．如图所示，长为L的钢绳一端系着座椅，另一端固定在半径为r的水平转盘边缘．转盘可绕穿过其中心的竖直轴转动．当转盘以角速度ω匀速转动时，钢绳与转轴在同一竖直平面内，与竖直方向的夹角为θ.不计钢绳的重力．重力加速度g.下列说法正确的是( )
A．钢绳的拉力大小为eq \f(mω2r＋Lsin θ,sin θ)
B．钢绳的拉力大小为eq \f(mg,cs θ)
C．如果角速度足够大，可以使钢绳成水平拉直
D．两个体重不同的人，摆开的夹角θ一样大
答案 ABD
解析 对座椅受力分析，且对F正交分解，如图所示
竖直方向Fcs θ＝mg，解得F＝eq \f(mg,cs θ)，水平方向Fsin θ＝mω2(r＋Lsin θ)则F＝eq \f(mω2r＋Lsin θ,sin θ)，A、B正确；因钢绳拉力的竖直分量等于人和座椅的重力，则即使角速度足够大，也不可以使钢绳成水平拉直，C错误；根据F＝eq \f(mg,cs θ)＝eq \f(mω2r＋Lsin θ,sin θ)，两边可消掉m，即两个体重不同的人，摆开的夹角θ一样大，D正确．
11.如图所示，有一质量为m的小球在光滑的半球形碗内做匀速圆周运动，轨道平面在水平面内．已知小球与半球形碗的球心O的连线跟竖直方向的夹角为θ，半球形碗的半径为R，重力加速度为g，求小球做匀速圆周运动的线速度大小及碗壁对小球的弹力大小．
答案 eq \r(gRsin θtan θ) eq \f(mg,cs θ)
解析 对小球受力分析如图所示，
设小球做匀速圆周运动的线速度大小为v，半径为r，碗壁对小球的弹力大小为FN.
mgtan θ＝eq \f(mv2,r)
r＝Rsin θ
联立解得v＝eq \r(gRsin θtan θ)
又FNcs θ＝mg
得FN＝eq \f(mg,cs θ).
12.如图所示，质量为m的小球用细绳悬于P点，使小球在水平面内做匀速圆周运动，重力加速度为g.
(1)若悬挂小球的绳长为l，小球做匀速圆周运动的角速度为ω，绳对小球的拉力F有多大？
(2)若保持轨迹圆的圆心O到悬点P的距离h不变，改变绳长l，求小球做匀速圆周运动的角速度ω与绳长l的关系．
(3)若保持轨迹圆的圆心O到悬点P的距离h不变，改变绳长l，求绳对小球的拉力F与绳长l的关系．
答案 (1)mω2l (2)ω＝eq \r(\f(g,h))，与绳长l无关 (3)F＝eq \f(mgl,h)
解析 (1)小球在水平面内做匀速圆周运动，对小球受力分析，如图所示．
小球受重力和绳子的拉力，由二力的合力提供向心力，根据牛顿第二定律得：Fsin θ＝mω2·lsin θ
得F＝mω2l.
(2)保持轨迹圆的圆心O到悬点P的距离h不变，改变绳长l，根据牛顿第二定律得：mgtan θ＝mω2·htan θ
得ω＝eq \r(\f(g,h))，与绳长l无关．
(3)保持轨迹圆的圆心O到悬点P的距离h不变，结合(1)、(2)题结果得：F＝mω2l＝m(eq \r(\f(g,h)))2l＝eq \f(mgl,h).
13.(多选)如图所示，一根细线下端拴一个金属小球P，细线的上端固定在金属块Q上，Q放在带小孔的水平桌面上，小球在某一水平面内做匀速圆周运动(即圆锥摆)．现使小球在一个更高一些的水平面上做匀速圆周运动(图中未画出)，两次金属块Q都静止在桌面上，则后一种情况与原来相比较，下列说法正确的是( )
A．小球P运动的周期变大
B．小球P运动的线速度变大
C．Q受到桌面的静摩擦力变小
D．Q受到桌面的支持力不变
答案 BD
解析 设细线与竖直方向的夹角为θ，细线的长度为L.小球做匀速圆周运动时，由重力和细线的拉力的合力提供向心力，则有mgtan θ＝mω2Lsin θ，得角速度ω＝eq \r(\f(g,Lcs θ))，周期T＝eq \f(2π,ω)＝2πeq \r(\f(Lcs θ,g))，线速度v＝rω＝Lsin θ·eq \r(\f(g,Lcs θ))，小球在一个更高一些的水平面上做匀速圆周运动时，θ变大，sin θ变大，cs θ变小，周期T变小，线速度变大，选项B正确，A错误；Ff＝Fsin θ＝mgtan θ，θ变大，故Ff变大，选项C错误；金属块Q保持在桌面上静止，对金属块和小球整体(细线重力不计)研究，在竖直方向没有加速度，根据平衡条件可知，Q受到桌面的支持力等于Q与P的总重力，保持不变，选项D正确．