必修 第二册第七章 万有引力与宇宙航行3 万有引力理论的成就优秀同步达标检测题

这是一份必修 第二册第七章 万有引力与宇宙航行3 万有引力理论的成就优秀同步达标检测题，共10页。

一、“称量”地球的质量
1．思路：地球表面的物体，若不考虑地球自转的影响，物体的重力等于地球对物体的引力．
2．关系式：mg＝Geq \f(mm地,R2).
3．结果：m地＝eq \f(gR2,G)，只要知道g、R、G的值，就可计算出地球的质量．
4．推广：若知道某星球表面的重力加速度和星球半径，可计算出该星球的质量．
二、计算天体的质量
1．思路：质量为m的行星绕太阳做匀速圆周运动时，行星与太阳间的万有引力充当向心力．
2．关系式：eq \f(Gmm太,r2)＝meq \f(4π2,T2)r.
3．结论：m太＝eq \f(4π2r3,GT2)，只要知道引力常量G、行星绕太阳运动的周期T和轨道半径r就可以计算出太阳的质量．
4．推广：若已知卫星绕行星运动的周期和卫星与行星之间的距离，可计算出行星的质量．
三、发现未知天体
海王星的发现：英国剑桥大学的学生亚当斯和法国年轻的天文学家勒维耶根据天王星的观测资料，利用万有引力定律计算出天王星外“新”行星的轨道.1846年9月23日，德国的伽勒在勒维耶预言的位置附近发现了这颗行星——海王星．
四、预言哈雷彗星回归
英国天文学家哈雷预言哈雷彗星的回归周期约为76年．
1．判断下列说法的正误．
(1)地球表面的物体的重力一定等于地球对它的万有引力．( × )
(2)若知道某行星的自转周期和行星绕太阳做圆周运动的轨道半径，则可以求出太阳的质量．
( × )
(3)已知地球绕太阳转动的周期和轨道半径，可以求出地球的质量．( × )
(4)海王星的发现表明了万有引力理论在太阳系内的正确性．( √ )
(5)海王星的发现和哈雷彗星的“按时回归”确立了万有引力定律的地位．( √ )
2．已知引力常量G＝6.67×10－11 N·m2/kg2，地球表面的重力加速度g＝9.8 m/s2，地球半径R＝6.4×106 m，则可知地球的质量约为________．(结果保留一位有效数字)
答案 6×1024 kg
一、天体质量的计算
导学探究
1．卡文迪什在实验室测出了引力常量G的值，他称自己是“可以称量地球重量的人”．
(1)他“称量”的依据是什么？
(2)若已知地球表面重力加速度g，地球半径R，引力常量G，求地球的质量．
答案 (1)若忽略地球自转的影响，在地球表面上物体受到的重力等于地球对物体的万有引力，G值的确定使万有引力定律具有了实际的计算意义．
(2)由mg＝Geq \f(Mm,R2)得，M＝eq \f(gR2,G).
2．如果知道地球绕太阳的公转周期T，地球与太阳中心间距r，引力常量G，能求出太阳的质量吗？
答案 由eq \f(Gm地m太,r2)＝m地eq \f(4π2,T2)r知m太＝eq \f(4π2r3,GT2)，可以求出太阳的质量．
知识深化
计算中心天体质量的两种方法
1．重力加速度法
(1)已知中心天体的半径R和中心天体表面的重力加速度g，根据物体的重力近似等于中心天体对物体的引力，有mg＝Geq \f(Mm,R2)，解得中心天体质量为M＝eq \f(gR2,G).
(2)说明：g为天体表面的重力加速度．
未知星球表面的重力加速度通常这样给出：让小球做自由落体、平抛、竖直上抛等运动，从而计算出该星球表面的重力加速度．
2．“卫星”环绕法
(1)将天体的运动近似看成匀速圆周运动，其所需的向心力都来自万有引力，由eq \f(GMm,r2)＝meq \f(4π2,T2)r，可得M＝eq \f(4π2r3,GT2).
(2)这种方法只能求中心天体质量，不能求环绕星体质量．
例1 (多选)一卫星绕地球做匀速圆周运动，其轨道半径为r，卫星绕地球做匀速圆周运动的周期为T，已知地球的半径为R，地球表面的重力加速度为g，引力常量为G，则地球的质量可表示为( )
A.eq \f(4π2r3,GT2) B.eq \f(4π2R3,GT2) C.eq \f(gR2,G) D.eq \f(gr2,G)
答案 AC
解析 根据Geq \f(Mm,r2)＝meq \f(4π2,T2)r得，M＝eq \f(4π2r3,GT2)，选项A正确，B错误；在地球的表面附近有mg＝Geq \f(Mm,R2)，则M＝eq \f(gR2,G)，选项C正确，D错误．
例2 (2021·齐齐哈尔市第八中学高二开学考试)“天问一号”是中国首个火星探测器，其名称来源于我国著名爱国主义诗人屈原的长诗《天问》.2021年2月我国首次火星探测任务“天问一号”探测器实施近火捕获制动，成功实现环绕火星运动，成为我国第一颗人造火星卫星．在“天问一号”环绕火星做匀速圆周运动时，周期为T，轨道半径为r，已知火星的半径为R，引力常量为G，不考虑火星的自转．求：
(1)“天问一号”环绕火星运动的线速度的大小v；
(2)火星的质量M；
(3)火星表面的重力加速度g的大小．
答案 (1)eq \f(2πr,T) (2)eq \f(4π2r3,GT2) (3)eq \f(4π2r3,T2R2)
解析 (1)由题意可得v＝eq \f(2πr,T)
(2)设“天问一号”的质量为m，由万有引力提供向心力有Geq \f(mM,r2)＝meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,T)))2r
得M＝eq \f(4π2r3,GT2)
(3)忽略火星自转，火星表面质量为m′的物体所受引力等于重力m′g＝eq \f(Gm′M,R2)
得g＝eq \f(4π2r3,T2R2).
二、天体密度的计算
若天体的半径为R，则天体的密度ρ＝eq \f(M,\f(4,3)πR3)
(1)将M＝eq \f(gR2,G)代入上式得ρ＝eq \f(3g,4πGR).
(2)将M＝eq \f(4π2r3,GT2)代入上式得ρ＝eq \f(3πr3,GT2R3).
(3)当卫星环绕天体表面运动时，其轨道半径r等于天体半径R，则ρ＝eq \f(3π,GT2).
例3 假设在半径为R的某天体上发射一颗该天体的卫星，已知引力常量为G，忽略该天体自转．
(1)若卫星距该天体表面的高度为h，测得卫星在该处做圆周运动的周期为T1，则该天体的密度是多少？
(2)若卫星贴近该天体的表面做匀速圆周运动的周期为T2，则该天体的密度是多少？
答案 (1)eq \f(3πR＋h3,GT12R3) (2)eq \f(3π,GT22)
解析 设卫星的质量为m，天体的质量为M.
(1)卫星距天体表面的高度为h时，
Geq \f(Mm,R＋h2)＝meq \f(4π2,T12)(R＋h)，则有M＝eq \f(4π2R＋h3,GT12)
天体的体积为V＝eq \f(4,3)πR3
故该天体的密度为ρ＝eq \f(M,V)＝eq \f(4π2R＋h3,GT12·\f(4,3)πR3)＝eq \f(3πR＋h3,GT12R3)
(2)卫星贴近天体表面运动时有Geq \f(Mm,R2)＝meq \f(4π2,T22)R，则有M＝eq \f(4π2R3,GT22)
故ρ＝eq \f(M,V)＝eq \f(4π2R3,GT22·\f(4,3)πR3)＝eq \f(3π,GT22).
例4 (多选)(2021·东北师大附中高一月考)已知月球半径为R，地心与月球中心之间的距离为r，月球绕地球公转周期为T1，嫦娥四号探测器绕月球表面的运行周期为T2，引力常量为G，由以上条件可知( )
A．地球质量为eq \f(4π2r3,GT12) B．月球质量为eq \f(4π2r3,GT12)
C．地球的密度为eq \f(3π,GT12) D．月球的密度为eq \f(3π,GT22)
答案 AD
解析 月球绕地球公转，由万有引力提供向心力得Geq \f(Mm,r2)＝meq \f(4π2,T12)r，解得地球的质量M＝eq \f(4π2r3,GT12)，A正确，B错误；地球的半径未知，所以无法求解地球的密度，C错误；探测器绕月球表面运行，由万有引力提供向心力得Geq \f(mm0,R2)＝m0eq \f(4π2,T22)R，解得月球的质量m＝eq \f(4π2R3,GT22)，则月球的密度ρ＝eq \f(m,V)＝eq \f(\f(4π2R3,GT22),\f(4,3)πR3)＝eq \f(3π,GT22)，D正确．
考点一 天体质量的计算
1．若测出月球表面的重力加速度g、月球的半径R和月球绕地球的转动周期T，已知引力常量为G，则关于月球质量m月的表达式正确的是( )
A．m月＝eq \f(gR2,G) B．m月＝eq \f(gR2,T)
C．m月＝eq \f(4π2R3,GT) D．m月＝eq \f(T2R3,4π2G)
答案 A
2．2021年4月，我国空间站的“天和”核心舱成功发射并入轨运行．若核心舱绕地球的运行可视为匀速圆周运动，已知引力常量，由下列物理量能计算出地球质量的是( )
A．核心舱的质量和地球半径
B．核心舱的质量和绕地球运行周期
C．核心舱绕地球运行的角速度和半径
D．核心舱绕地球运行的周期和距地高度
答案 C
解析 核心舱做圆周运动的向心力由地球的万有引力提供，由Geq \f(Mm,r2)＝meq \f(v2,r)＝mω2r＝meq \f(4π2,T2)r可得M＝eq \f(v2r,G)＝eq \f(ω2r3,G)＝eq \f(4π2r3,GT2)，可知已知核心舱的质量和地球半径、已知核心舱的质量和绕地球运行周期以及已知核心舱绕地球运行的周期和距地高度，都不能计算出地球的质量；若已知核心舱绕地球运行的角速度和半径可计算出地球的质量．故选C.
3．(2021·绍兴市诸暨中学高一期中)2019年1月3日，我国探月工程“嫦娥四号”探测器成功着陆月球背面的预选着陆区．在着陆之前，“嫦娥四号”探测器在距月球表面高度约为262 km的圆形停泊轨道上，绕月飞行一周的时间约为8 000 s，已知月球半径约为1 738 km，引力常量G＝6.67×10－11 N·m2/kg2，由此可计算出月球的质量约为( )
A．7.4×1022 kg B．6×1024 kg
C．6.4×1023 kg D．2×1030 kg
答案 A
解析 根据Geq \f(Mm,R＋h2)＝meq \f(4π2,T2)(R＋h)，解得M＝eq \f(4π2R＋h3,GT2)，代入数据解得M≈7.4×1022 kg，故选A.
4．已知金星和地球的半径分别为R1、R2，金星和地球表面的重力加速度分别为g1、g2，则金星与地球的质量之比为( )
A.eq \f(g1R12,g2R22) B.eq \f(g1R22,g2R12) C.eq \f(g2R12,g1R22) D.eq \f(g2R22,g1R12)
答案 A
解析 根据星球表面物体的重力近似等于物体受到的万有引力有mg＝Geq \f(Mm,R2)，得M＝eq \f(gR2,G)，故eq \f(M金,M地)＝eq \f(g1R12,g2R22)，故选A.
5．(2022·松原市模拟)2021年2月，我国首个火星探测器“天问一号”实现了对火星的环绕．若“天问一号”绕火星做匀速圆周运动的线速度大小为v，周期为T，引力常量为G，则火星的质量为( )
A.eq \f(v3T,2πG) B.eq \f(v2T2,2πG) C.eq \f(vT3,2πG) D.eq \f(v3T,4πG)
答案 A
解析 “天问一号”绕火星做匀速圆周运动的线速度大小为v，周期为T，则有T＝eq \f(2πr,v)，根据万有引力提供向心力有Geq \f(Mm,r2)＝meq \f(v2,r)，联立解得火星的质量M＝eq \f(v3T,2πG)，故选A.
考点二 天体密度的计算
6．地球表面的重力加速度为g，地球半径为R，引力常量为G，可估算地球的平均密度为( )
A.eq \f(3g,4πRG) B.eq \f(3g,4πR2G) C.eq \f(g,RG) D.eq \f(g,RG2)
答案 A
解析 忽略地球自转的影响，对处于地球表面的物体，有mg＝Geq \f(Mm,R2)，则M＝eq \f(gR2,G)，又V＝eq \f(4,3)πR3，可得地球的平均密度ρ＝eq \f(M,V)＝eq \f(3g,4πRG)，故选A.
7．(2020·全国卷Ⅱ)若一均匀球形星体的密度为ρ，引力常量为G，则在该星体表面附近沿圆轨道绕其运动的卫星的周期是( )
A.eq \r(\f(3π,Gρ)) B.eq \r(\f(4π,Gρ)) C.eq \r(\f(1,3πGρ)) D.eq \r(\f(1,4πGρ))
答案 A
解析 根据卫星受到的万有引力提供其做圆周运动的向心力可得Geq \f(Mm,R2)＝m(eq \f(2π,T))2R，球形星体质量可表示为：M＝ρ·eq \f(4,3)πR3，由以上两式可得：T＝eq \r(\f(3π,Gρ))，故选A.
8．若月球绕地球的运动可近似看作匀速圆周运动，并且已知月球绕地球运动的轨道半径r、绕地球运动的周期T，引力常量为G，由此可以知道( )
A．月球的质量m＝eq \f(π2r3,GT2)
B．地球的质量M＝eq \f(4π2r3,GT2)
C．月球的平均密度ρ＝eq \f(3π,GT2)
D．地球的平均密度ρ′＝eq \f(3π,GT2)
答案 B
解析 根据万有引力提供向心力有Geq \f(mM,r2)＝meq \f(4π2r,T2)，可得地球的质量M＝eq \f(4π2r3,GT2)，只能求出中心天体的质量，故A错误，B正确；由于不清楚月球和地球的半径大小，所以无法求出它们的平均密度，故C、D错误．
9．为研究太阳系内行星的运动，需要知道太阳的质量，已知地球半径为R，地球质量为m，太阳与地球中心间距为r，地球表面的重力加速度为g，地球绕太阳公转的周期为T.则太阳的质量为(忽略地球自转)( )
A.eq \f(4π2r3,T2R2g) B.eq \f(T2R2g,4π2mr3) C.eq \f(4π2mgr2,R3T2) D.eq \f(4π2mr3,T2R2g)
答案 D
解析 由万有引力定律和向心力公式得eq \f(GMm,r2)＝eq \f(m4π2,T2)r，假设地球表面有一个质量为m′的物体，忽略地球自转，根据地球表面的物体受到的万有引力等于重力，有eq \f(Gmm′,R2)＝m′g.联立两式得M＝eq \f(4π2mr3,T2R2g)，故选D.
10．设在地球上和在某未知天体上，以相同的初速度竖直上抛一物体，物体上升的最大高度比为k(均不计阻力)，且已知地球和该天体的半径比也为k，则地球质量与该天体的质量比为( )
A．1 B．k C．k2 D.eq \f(1,k)
答案 B
解析 在地球和天体的表面附近，物体的重力近似等于物体受到的万有引力，故mg＝Geq \f(Mm,R2)，竖直上抛时上升的最大高度H＝eq \f(v02,2g)，联立解得M＝eq \f(v02R2,2HG)，则M地∶M天＝(eq \f(R地,R天))2·eq \f(H天,H地)＝k，故选B.
11．若地球质量为月球质量的81倍，地球表面重力加速度为月球表面重力加速度的6倍．则地球和月球的密度之比为( )
A.eq \f(2,27) B.eq \f(2\r(6),27) C.eq \f(2\r(6),9) D.eq \f(2\r(6),3)
答案 D
解析 根据Geq \f(Mm,R2)＝mg，解得R＝eq \r(\f(GM,g))，可得eq \f(R地,R月)＝eq \r(\f(M地,M月)·\f(g月,g地))＝eq \r(81×\f(1,6))＝eq \f(9,\r(6))
ρ＝eq \f(M,V)＝eq \f(3M,4πR3)＝eq \f(3g,4πGR)，可得eq \f(ρ地,ρ月)＝eq \f(g地,g月)·eq \f(R月,R地)＝6×eq \f(\r(6),9)＝eq \f(2\r(6),3)，故选D.
12．若宇航员登上月球后，在月球表面做了一个实验：将一片羽毛和一个铁锤从同一高度由静止同时释放，二者几乎同时落地．若羽毛和铁锤是从高度为h处下落，经时间t落到月球表面．已知引力常量为G，月球的半径为R.求：(不考虑月球自转的影响)
(1)月球表面的自由落体加速度大小g月；
(2)月球的质量M；
(3)月球的平均密度ρ.
答案 (1)eq \f(2h,t2) (2)eq \f(2hR2,Gt2) (3)eq \f(3h,2πRGt2)
解析 (1)月球表面附近的物体做自由落体运动，
则h＝eq \f(1,2)g月t2，
解得g月＝eq \f(2h,t2).
(2)因不考虑月球自转的影响，则有Geq \f(Mm,R2)＝mg月，
月球的质量M＝eq \f(g月R2,G)＝eq \f(2hR2,Gt2).
(3)月球的平均密度ρ＝eq \f(M,V)＝eq \f(\f(2hR2,Gt2),\f(4,3)πR3)＝eq \f(3h,2πRGt2).
13．2018年2月，我国500 m口径球面射电望远镜(天眼)发现毫秒脉冲星“J0318＋0253”，其自转周期T＝5.19 ms.假设星体为质量均匀分布的球体，已知引力常量为6.67×10－11 N·m2/
kg2.以周期T稳定自转的星体的密度最小值约为( )
A．5×109 kg/m3 B．5×1012 kg/m3
C．5×1015 kg/m3 D．5×1018 kg/m3
答案 C
解析 脉冲星自转，边缘物体m恰对星体无压力时万有引力提供向心力，此时Geq \f(Mm,r2)＝mreq \f(4π2,T2)，
又知M＝ρ·eq \f(4,3)πr3
整理得密度ρ＝eq \f(3π,GT2)
＝eq \f(3×3.14,6.67×10－11×5.19×10－32) kg/m3
≈5×1015 kg/m3，故选C.