人教版高中物理新教材同步讲义必修第二册 第8章 3　动能和动能定理（含解析）

3　动能和动能定理

[学习目标]　1.掌握动能的表达式和单位，知道动能是标量.2.能运用牛顿第二定律与运动学公式推导出动能定理，理解动能定理的物理意义.3.能运用动能定理解决简单的问题．

一、动能的表达式

1．表达式：Ek＝mv2.

2．单位：与功的单位相同，国际单位为焦耳，符号为J.

3．标矢性：动能是标量，只有大小，没有方向．

二、动能定理

1．内容：力在一个过程中对物体做的功，等于物体在这个过程中动能的变化．

2．表达式：W＝mv22－mv12.如果物体受到几个力的共同作用，W即为合力做的功，它等于各个力做功的代数和．

3．动能定理既适用于恒力做功的情况，也适用于变力做功的情况；既适用于直线运动，也适用于曲线运动．

1．判断下列说法的正误．

(1)某物体的速度加倍，它的动能也加倍．(　×　)

(2)两质量相同的物体，动能相同，速度一定相同．(　×　)

(3)合外力做功不等于零，物体的动能一定变化．(　√　)

(4)物体的速度发生变化，合外力做功一定不等于零．(　×　)

(5)物体的动能增加，合外力做正功．(　√　)

2．在高h＝6 m的某一高度处，有一质量m＝1 kg的物体自由落下，物体落地时的速度大小为10 m/s，则物体在下落过程中克服阻力做的功为______J．(g取10 m/s2)

答案　10

一、动能和动能定理

导学探究

如图所示，光滑水平面上的物体在水平恒力F的作用下向前运动了一段距离l，速度由v1增加到v2.试推导出力F对物体做功的表达式．

答案　W＝Fl＝F·＝F·＝mv22－mv12.

知识深化

1．动能概念的理解

(1)动能的表达式Ek＝mv2.

(2)动能是标量，没有负值．

(3)动能是状态量，与物体的运动状态相对应．

(4)动能具有相对性，选取不同的参考系，物体的速度大小不同，动能也不同，一般以地面为参考系．

2．动能定理

(1)在一个过程中合外力对物体做的功或者外力对物体做的总功等于物体在这个过程中动能的变化．

(2)W与ΔEk的关系：合外力做功是物体动能变化的原因．

①合外力对物体做正功，即W>0，ΔEk>0，表明物体的动能增大；

②合外力对物体做负功，即W<0，ΔEk<0，表明物体的动能减小；

如果合外力对物体做功，物体动能发生变化，速度一定发生变化；而速度变化动能不一定变化，比如做匀速圆周运动的物体所受合外力不做功．

③如果合外力对物体不做功，则动能不变．

(3)物体动能的改变可由合外力做功来度量．

例1　(多选)对动能的理解，下列说法正确的是(　　)

A．凡是运动的物体都具有动能

B．动能像重力势能一样有正负

C．质量一定的物体，动能变化时，速度一定变化，但速度变化时，动能不一定变化

D．动能不变的物体，一定处于平衡状态

答案　AC

解析　运动的物体都有动能，A正确；动能是标量，没有负值，B错误；质量一定的物体，动能变化，则速度的大小一定变化，所以速度一定变化，但速度变化时，如果只是方向改变而大小不变，则动能不变，比如做匀速圆周运动的物体，C正确；动能不变的物体，速度方向可能变化，故不一定处于平衡状态，D错误．

例2　下列关于运动物体的合外力做功与动能、速度变化的关系，正确的是(　　)

A．物体做变速运动，合外力一定不为零，动能一定变化

B．若合外力对物体做功为零，则合外力一定为零

C．物体所受的合外力做功，它的速度大小一定发生变化

D．物体的动能不变，所受的合外力必定为零

答案　C

解析　物体做变速运动时，合外力一定不为零，但合外力不为零时，做功可能为零，动能可能不变，A、B错误；物体所受的合外力做功，它的动能一定变化，速度大小也一定变化，C正确；物体的动能不变，所受合外力做功一定为零，但合外力不一定为零，D错误．

二、动能定理的简单应用

导学探究

如图所示，质量为m的物块从固定斜面顶端由静止滑下，已知斜面倾角为θ，物块与斜面之间的动摩擦因数为μ，斜面高为h，重力加速度为g.

(1)物块在下滑过程中受哪些力的作用？各个力做的功分别为多少？

(2)物块的动能怎样变化？物块到达斜面底端时的速度为多大？

答案　(1)受重力、支持力、摩擦力；重力做功为WG＝mgh，支持力做功为WN＝0，摩擦力做功为Wf＝－μmgcos θ·＝－μmg

(2)物块动能增大，由动能定理得WG＋WN＋Wf＝mv2－0，得物块到达斜面底端的速度v＝

知识深化

应用动能定理解题的一般步骤：

(1)选取研究对象(通常是单个物体)，明确它的运动过程．

(2)对研究对象进行受力分析，明确各力做功的情况，求出外力做功的代数和．

(3)明确物体在初、末状态的动能Ek1、Ek2.

(4)列出动能定理的方程W＝Ek2－Ek1，结合其他必要的辅助方程求解并验算．

例3　质量m＝6×103 kg的飞机，从静止开始沿平直的跑道匀加速滑行，当滑行距离l＝7.2×102 m时，达到起飞速度v＝60 m/s.求：

(1)起飞时飞机的动能是多少？

(2)若不计滑行过程中所受的阻力，则飞机受到的牵引力为多大？

(3)若滑行过程中受到的平均阻力大小为3.0×103 N，牵引力与第(2)问中求得的值相等，则要达到上述起飞速度，飞机的滑行距离应为多大？

答案　(1)1.08×107 J　(2)1.5×104 N　(3)9×102 m

解析　(1)飞机起飞时的动能Ek＝mv2

代入数值得Ek＝1.08×107 J.

(2)设飞机受到的牵引力为F，由题意知合外力为F，

由动能定理得Fl＝Ek－0，代入数值得F＝1.5×104 N.

(3)设飞机的滑行距离为l′，滑行过程中受到的平均阻力大小为Ff，飞机受到的合力为F－Ff.

由动能定理得(F－Ff)l′＝Ek－0

解得l′＝9×102 m.

针对训练1　(2022·榆林市第十中学高一期中)如图，斜面末端B点与水平面平滑相接，现将一质量m＝2 kg、可视为质点的物块在距水平地面高h＝0.5 m处的A点以一定初速度释放(速度方向沿斜面向下)，物块运动到水平面上距B点s＝1.6 m处的C点停下，已知斜面光滑，物块与水平面之间的动摩擦因数μ＝0.5，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，其他阻力忽略不计：(g＝10 m/s2)

(1)求物块到达B点时的速度大小；

(2)求物块在A点的动能；

(3)若赋予物块向左的水平初速度，使其从C点恰好到达A点，求水平初速度大小(结果可带根号)．

答案　(1)4 m/s　(2)6 J　(3) m/s

解析　(1)物块由B点到C点由动能定理可得

－μmgs＝0－mvB2

解得vB＝4 m/s；

(2)设斜面倾角为θ，物块由A点到B点由动能定理可得

mgh＝mvB2－EkA

解得EkA＝6 J；

(3)设初速度大小为v，从C点到A点由动能定理可得－μmgs－mgh＝－mv2

解得v＝ m/s.

针对训练2　(多选)如图所示，质量为m的物块在水平恒力F的推动下，从粗糙山坡底部的A处由静止运动至高为h的坡顶B处，并获得速度v，A、B之间的水平距离为x，重力加速度为g，则(　　)

A．物块克服重力所做的功是mgh

B．合外力对物块做的功是mv2

C．推力对物块做的功是mv2＋mgh

D．阻力对物块做的功是mv2＋mgh－Fx

答案　ABD

解析　物块上升的高度为h，则物块克服重力做的功为mgh，故A正确；物块初动能为零，末动能为mv2，根据动能定理知，合外力对物块做的功为mv2，故B正确；F为水平恒力，则推力F对物块做的功为Fx，故C错误；根据动能定理知Fx－mgh＋Wf＝mv2，解得阻力对物块做的功为Wf＝mv2＋mgh－Fx，故D正确．

考点一　对动能和动能定理的理解

1．(多选)关于质量一定的物体的速度和动能，下列说法中正确的是(　　)

A．物体的速度发生变化时，其动能一定发生变化

B．物体的速度保持不变时，其动能一定保持不变

C．物体的动能发生变化时，其速度一定发生变化

D．物体的动能保持不变时，其速度可能发生变化

答案　BCD

2．一物体的速度大小为v0时，其动能为Ek，当它的动能为2Ek时，其速度大小为(　　)

A.  B．2v0  C.v0  D.

答案　C

解析　设物体的质量为m，则其动能Ek＝mv02，当动能为2Ek时有，2Ek＝mv′2，解得v′＝v0，故C正确，A、B、D错误．

3．(多选)一质量为0.3 kg的弹性小球，在光滑的水平面上以大小为6 m/s的速度垂直撞到墙上，碰撞后小球沿相反方向运动，反弹后的速度大小与碰撞前速度的大小相同，则碰撞前后小球速度变化量的大小Δv和碰撞过程中墙对小球做功的大小W为(　　)

A．Δv＝0   B．Δv＝12 m/s

C．W＝0   D．W＝10.8 J

答案　BC

解析　由于碰撞前后小球速度大小相等、方向相反，所以Δv＝v－(－v0)＝12 m/s，根据动能定理得W＝ΔEk＝mv2－mv02＝0.故选B、C.

4．(多选)甲、乙两个质量相同的物体，用大小相等的力F分别拉着它们在水平面上从静止开始运动相同的距离s.如图所示，甲在光滑面上，乙在粗糙面上，则下列关于力F对甲、乙两物体做的功和甲、乙两物体获得的动能的说法中正确的是(　　)

A．力F对甲物体做功多

B．力F对甲、乙两个物体做的功一样多

C．甲物体获得的动能比乙大

D．甲、乙两个物体获得的动能相同

答案　BC

解析　由W＝Flcos α＝F·s可知，两种情况下力F对甲、乙两个物体做的功一样多，A错误，B正确；根据动能定理，对甲有Fs＝Ek1，对乙有Fs－Ffs＝Ek2，可知Ek1>Ek2，C正确，D错误．

考点二　动能定理的简单应用

5．人骑自行车下坡，坡长l＝500 m，坡高h＝8 m，人和车总质量为100 kg，下坡时初速度为4 m/s，人不踏车的情况下，到达坡底时车速为10 m/s，g取10 m/s2，则下坡过程中阻力所做的功为(　　)

A．－400 J   B．－3 800 J

C．－50 000 J   D．－4 200 J

答案　B

解析　下坡过程中运用动能定理得mgh＋Wf＝mv2－mv02，解得Wf＝－3 800 J，故选B.

6．一个人站在阳台上，从阳台边缘以相同的速率v0分别把三个质量相同的球竖直上抛、竖直下抛、水平抛出，不计空气阻力，则三球落地时的动能(　　)

A．上抛球最大   B．下抛球最大

C．平抛球最大   D．一样大

答案　D

解析　设阳台离地面的高度为h，根据动能定理得mgh＝Ek－mv02，三个小球质量相同，初速度相同，高度相同，所以三球落地时动能相同，D正确．

7．光滑水平面上有一物体，在水平恒力F作用下由静止开始运动，经过时间t1速度达到v，再经过时间t2，速度由v增大到2v，在t1和t2两段时间内，外力F对物体做功之比为(　　)

A．1∶2  B．1∶3  C．3∶1  D．1∶4

答案　B

解析　根据动能定理得，第一段过程：W1＝mv2；第二段过程：W2＝m(2v)2－mv2＝mv2，解得：W1∶W2＝1∶3，B正确．

8.(多选)如图，A、B质量相等，它们与地面间的动摩擦因数也相等，且FA＝FB，如果A、B由静止开始沿水平面运动相同的距离，那么(　　)

A．FA对A做的功与FB对B做的功相同

B．FA对A做功的平均功率大于FB对B做功的平均功率

C．到终点时物体A获得的动能大于物体B获得的动能

D．到终点时物体A获得的动能小于物体B获得的动能

答案　ABC

解析　根据W＝Fscos θ，因两个力的大小相等，与水平方向的夹角相等，位移相等，则做功的大小相等，故A正确；

根据牛顿第二定律可知A的加速度大于B的加速度，根据x＝at2可知A的运动时间小于B的运动时间，根据P＝可知FA对A做功的平均功率大于FB对B做功的平均功率，故B正确；

根据v2＝2ax可知到终点时物体A的速度大于物体B，两物体质量相同，故物体A获得的动能大于物体B获得的动能，故C正确，D错误．

9.(2021·姜堰中学高一期中)如图所示，某人把一个质量m＝0.2 kg的小球从h＝7.2 m高处以60°角斜向上抛出，初速度v0＝5 m/s，不计空气阻力，重力加速度g＝10 m/s2.则(　　)

A．人对球做的功为2.5 J

B．从抛出到落地过程中重力对小球所做的功为1.44 J

C．小球落地时速度的大小为12 m/s

D．小球到达最高点的动能为0

答案　A

解析　人对球做的功全部转化为球的动能，即有Ek＝mv02＝×0.2×52 J＝2.5 J，小球在运动过程中只有重力做功，重力对小球所做的功为WG＝mgh＝0.2×10×7.2 J＝14.4 J，A正确，B错误；小球整个运动过程中，由动能定理可得mgh＝mv2－mv02，代入数据解得v＝13 m/s，C错误；因为小球在最高点时，水平方向还有速度，故其动能不为0，D错误．

10．(2022·贵州高二学业考试)如图所示，质量m＝1 kg的物块在水平向右的拉力作用下，由静止开始沿水平地面向右运动了x＝5 m，在此过程中拉力对物块做功W＝18 J．已知物块与水平地面间的动摩擦因数μ＝0.2，取g＝10 m/s2.求：

(1)物块所受滑动摩擦力的大小；

(2)该运动过程中物块克服摩擦力所做的功；

(3)物块位移为5 m时的速度大小．

答案　(1)2 N　(2)10 J　(3)4 m/s

解析　(1)摩擦力Ff＝μmg＝2 N；

(2)该运动过程中物块克服摩擦力所做的功

W克f＝Ffx

代入数值解得W克f＝10 J；

(3)物块由静止到位移为5 m的过程根据动能定理有

W－W克f＝mv2

解得位移为5 m时的速度大小v＝4 m/s.

11．将质量为m的物体，以初速度v0竖直向上抛出．已知抛出过程中阻力大小恒为重力大小的，重力加速度为g.求：

(1)物体上升的最大高度；

(2)物体落回抛出点时的速度大小．

答案　(1)　(2)v0

解析　(1)上升过程，由动能定理得：

－mgh－Ffh＝0－mv02

Ff＝mg

联立得h＝；

(2)对物体上抛又落回抛出点的全过程，由动能定理得：

－2Ffh＝mv2－mv02

得v＝v0.

12.如图所示，物体在距斜面底端5 m处由静止开始下滑，然后滑上与斜面平滑连接的水平面，若物体与斜面及水平面间的动摩擦因数均为0.4，斜面倾角为37°，求物体能在水平面上滑行的距离．(sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)

答案　3.5 m

解析　对物体在斜面上和水平面上分别受力分析如图所示

方法一　分过程列方程：设物体滑到斜面底端时的速度为v，物体下滑阶段

FN1＝mgcos 37°，故Ff1＝μFN1＝μmgcos 37°

由动能定理得：

mgsin 37°·l1－μmgcos 37°·l1＝mv2－0

设物体在水平面上滑行的距离为l2，摩擦力Ff2＝μFN2＝μmg

由动能定理得：－μmgl2＝0－mv2

联立以上各式可得l2＝3.5 m.

方法二　对全过程由动能定理列方程：

mgl1sin 37°－μmgcos 37°·l1－μmgl2＝0

解得：l2＝3.5 m.

13.如图所示，一质量为m＝10 kg的物体，由光滑圆弧轨道上端从静止开始下滑，到达底端后沿水平面向右滑动1 m距离后停止．已知圆弧底端与水平面平滑连接，圆弧轨道半径R＝0.8 m，取g＝10 m/s2，求：

(1)物体滑至圆弧底端时的速度大小；

(2)物体滑至圆弧底端时对轨道的压力大小；

(3)物体沿水平面滑动过程中克服摩擦力做的功．答案　(1)4 m/s　(2)300 N　(3)80 J

解析　(1)设物体滑至圆弧底端时速度大小为v，由动能定理可知mgR＝mv2

得v＝＝4 m/s；

(2)设物体滑至圆弧底端时受到轨道的支持力大小为FN，根据牛顿第二定律得FN－mg＝m，故FN＝mg＋m＝300 N

根据牛顿第三定律得FN′＝FN，所以物体对轨道的压力大小为300 N；

(3)设物体沿水平面滑动过程中摩擦力做的功为Wf，根据动能定理可知Wf＝0－mv2＝－80 J

所以物体沿水平面滑动过程中克服摩擦力做的功为80 J.