高中物理人教版 (2019)必修 第二册4 机械能守恒定律优秀同步达标检测题

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一、追寻守恒量
伽利略曾研究过小球在斜面上的运动，如图所示．
将小球由斜面A上某位置由静止释放，如果空气阻力和摩擦力小到可以忽略，小球在斜面B上速度变为0(即到达最高点)时的高度与它出发时的高度相同，不会更高一点，也不会更低一点．这说明某种“东西”在小球运动的过程中是不变的．
二、动能与势能的相互转化
1．重力势能与动能的转化
只有重力做功时，若重力对物体做正功，则物体的重力势能减少，动能增加，物体的重力势能转化为动能；若重力对物体做负功，则物体的重力势能增加，动能减少，物体的动能转化为重力势能．
2．弹性势能与动能的转化
只有弹簧弹力做功时，若弹力对物体做正功，则弹簧的弹性势能减少，物体的动能增加，弹簧的弹性势能转化为物体的动能；若弹力对物体做负功，则弹簧的弹性势能增加，物体的动能减少，物体的动能转化为弹簧的弹性势能．
3．机械能：重力势能、弹性势能与动能统称为机械能．
三、机械能守恒定律
1．内容：在只有重力或弹力做功的物体系统内，动能与势能可以互相转化，而总的机械能保持不变．
2．表达式：eq \f(1,2)mv22＋mgh2＝eq \f(1,2)mv12＋mgh1或Ek2＋Ep2＝Ek1＋Ep1.
3．应用机械能守恒定律解决问题只需考虑运动的初状态和末状态，不必考虑两个状态间过程的细节，即可以简化计算．
1．判断下列说法的正误．
(1)通过重力做功，动能和重力势能可以相互转化．( √ )
(2)机械能守恒时，物体一定只受重力和弹力作用．( × )
(3)合力做功为零，物体的机械能一定保持不变．( × )
(4)只有重力做功时，物体的机械能一定守恒．( √ )
2.如图所示，桌面高为h，质量为m的小球从离桌面高为H处自由落下，不计空气阻力，重力加速度为g，以桌面所在水平面为参考平面，则小球落到地面前瞬间的机械能为________．
答案 mgH
一、对机械能守恒定律的理解和判断
导学探究
如图所示，质量为m的物体沿光滑曲面滑下的过程中，下落到高度为h1的A处时速度为v1，下落到高度为h2的B处时速度为v2，重力加速度为g，不计空气阻力，选择地面为参考平面．
(1)从A至B的过程中，物体受到哪些力？它们做功情况如何？
(2)求物体在A、B处的机械能EA、EB；
(3)比较物体在A、B处的机械能的大小．
答案 (1)从A至B的过程中，物体受到重力、支持力作用．重力做正功，支持力不做功．
(2)EA＝mgh1＋eq \f(1,2)mv12
EB＝mgh2＋eq \f(1,2)mv22
(3)由动能定理得：WG＝eq \f(1,2)mv22－eq \f(1,2)mv12
又WG＝mgh1－mgh2
联立以上两式可得：eq \f(1,2)mv22＋mgh2＝eq \f(1,2)mv12＋mgh1
即EB＝EA.
知识深化
1．对机械能守恒条件的理解
(1)只有重力做功，只发生动能和重力势能的相互转化．
(2)只有系统内弹力做功，只发生动能和弹性势能的相互转化．
(3)只有重力和系统内弹力做功，只发生动能、弹性势能、重力势能的相互转化．
(4)除受重力和弹力外，其他力也做功，但其他力做功的代数和始终为零．
注意：机械能守恒的物体所受合外力不一定为零．
2．判断机械能守恒的方法
(1)做功分析法(常用于单个物体)
(2)能量分析法(常用于多个物体组成的系统)
(3)机械能的定义法
机械能等于动能与势能之和，若一个过程中动能不变，势能变化，则机械能不守恒，如匀速上升的物体机械能增加．
例1 如图所示，下列关于机械能是否守恒的判断正确的是( )
A．甲图中，物体A将弹簧压缩的过程中，A机械能守恒
B．乙图中，A置于光滑水平面上，物体B沿光滑斜面下滑，物体B机械能守恒
C．丙图中，不计任何阻力和滑轮质量时A加速下落、B加速上升过程中，A、B系统机械能守恒
D．丁图中，系在橡皮条一端的小球向下摆动时，小球的机械能守恒
答案 C
解析 若不计空气阻力，题图甲中只有重力和弹力做功，物体A和弹簧组成的系统机械能守恒，但物体A机械能不守恒，选项A错误；题图乙中物体B除受重力外，还受弹力，弹力对B做负功，机械能不守恒，但A、B组成的系统机械能守恒，选项B错误；题图丙中绳子张力对A做负功，对B做正功，代数和为零，A、B系统机械能守恒，选项C正确；题图丁中小球的重力势能转化为小球的动能和橡皮条的弹性势能，小球的机械能不守恒，选项D错误．
针对训练 (多选)如图所示，下列关于机械能是否守恒的判断正确的是( )
A．甲图中，火箭升空的过程中，若匀速升空机械能守恒，若加速升空机械能不守恒
B．乙图中物体匀速运动，机械能守恒
C．丙图中小球做匀速圆周运动，机械能守恒
D．丁图中，轻弹簧将A、B两小车弹开，两小车组成的系统机械能不守恒，两小车和弹簧组成的系统机械能守恒
答案 CD
解析 题图甲中，无论火箭匀速上升还是加速上升，都有推力对火箭做正功，火箭的机械能增加，故A错误；题图乙中，物体匀速上升，动能不变，重力势能增加，则机械能增加，故B错误；题图丙中，小球做匀速圆周运动，细线的拉力不做功，机械能守恒，故C正确；题图丁中，弹簧的弹力对两小车做功，弹簧的弹性势能转化为两小车的动能则两小车组成的系统机械能增加，而两小车和弹簧组成的系统机械能守恒．故D正确．
二、机械能守恒定律的应用
1．机械能守恒定律的不同表达式
2.应用机械能守恒定律解题的一般步骤
(1)根据题意选取研究对象；
(2)明确研究对象的运动过程，分析研究对象在此过程中的受力情况，弄清各力做功的情况，判断机械能是否守恒．
(3)恰当地选取参考平面，确定研究对象在此过程中的初状态和末状态的机械能．
(4)根据机械能守恒定律的不同表达式列方程并求解．
例2 (2021·南平八中高一月考)如图所示，质量m＝60 kg的运动员以6 m/s的速度从高h＝8 m的滑雪场A点沿斜坡自由滑下，以最低点B所在平面为参考平面，g＝10 m/s2，一切阻力可忽略不计．求：
(1)运动员在A点时的机械能；
(2)运动员到达最低点B时的速度大小；
(3)运动员继续沿斜坡向上运动能到达的最大高度．
答案 (1) 5 880 J (2)14 m/s (3)9.8 m
解析 (1)运动员在A点时的机械能
E＝Ek＋Ep＝eq \f(1,2)mv2＋mgh＝5 880 J；
(2)运动员从A运动到B的过程，根据机械能守恒定律得
E＝eq \f(1,2)mvB2
解得vB＝14 m/s；
(3)运动员从A运动到斜坡上最高点的过程，由机械能守恒定律得E＝mghm
解得hm＝9.8 m.
例3 如图所示，水平轻弹簧一端与墙相连处于自由伸长状态，质量为4 kg的木块沿光滑的水平面以5 m/s的速度开始运动并挤压弹簧，求：
(1)弹簧的最大弹性势能；
(2)木块被弹回速度增大到3 m/s时弹簧的弹性势能．
答案 (1)50 J (2)32 J
解析 (1)对弹簧和木块组成的系统由机械能守恒定律有Epm＝eq \f(1,2)mv02＝eq \f(1,2)×4×52 J＝50 J.
(2)对弹簧和木块组成的系统由机械能守恒定律有eq \f(1,2)mv02＝eq \f(1,2)mv12＋Ep1
则Ep1＝eq \f(1,2)mv02－eq \f(1,2)mv12＝32 J.
例4 (多选)如图，一根轻弹簧下端固定，竖立在水平面上．其上方A位置有一小球，小球从静止开始下落到B位置接触弹簧的上端，在C位置小球所受弹力大小等于重力，在D位置小球速度减小到零．不计空气阻力，则小球( )
A．下落至C处速度最大
B．由A至D的过程中机械能守恒
C．由B至D的过程中，动能先增大后减小
D．由A运动到D时，重力势能的减少量等于弹簧弹性势能的增加量
答案 ACD
解析 小球从B至C过程，重力大于弹力，合力向下，小球做加速运动，小球从C至D过程，重力小于弹力，合力向上，小球做减速运动，所以小球由B至D的过程中，动能先增大后减小，在C点动能最大，速度最大，故A、C正确；由A至B下落过程中小球只受重力，其机械能守恒，从B至D过程，小球和弹簧组成的系统机械能守恒，但小球的机械能不守恒，故B错误；在D位置小球速度减小到零，小球的动能为零，则从A运动到D时，小球重力势能的减少量等于弹簧弹性势能的增加量，故D正确．
考点一 机械能守恒定律的理解与判断
1．在下列情况中，机械能守恒的是( )
A．飘落的树叶
B．沿着斜面匀速下滑的物体
C．被起重机匀加速吊起的物体
D．离弦的箭在空中飞行(不计空气阻力)
答案 D
解析 树叶在飘落过程中，空气阻力做负功，机械能减少，故A错误；沿着斜面匀速下滑的物体，摩擦力做功，故机械能不守恒，故B错误；物体被起重机匀加速吊起时拉力对物体做功，故物体的机械能不守恒，故C错误；离弦的箭在空中飞行且不计空气阻力，只有重力做功，机械能守恒，故D正确．
2．关于机械能守恒的叙述，下列说法正确的是( )
A．做匀速圆周运动的物体，机械能一定守恒
B．物体所受的合力不等于零，机械能可能守恒
C．物体做匀速直线运动，机械能一定守恒
D．物体所受合力做功为零，机械能一定守恒
答案 B
解析 若物体在竖直平面内做匀速圆周运动，动能不变，重力势能变化，机械能不守恒，故A错误；物体所受的合力不等于零，它的机械能可能守恒，例如物体做自由落体运动，故B正确；物体在竖直方向做匀速直线运动时，动能不变，重力势能变化，机械能不守恒，故C错误；物体所受合力做功为零，它的动能不变，重力势能可能变化，机械能不一定守恒，故D错误．
3．(多选)如图所示，下列判断正确的是( )
A．甲图中，从滑梯上加速下滑的小朋友机械能不守恒
B．乙图中，在匀速转动的摩天轮中的游客机械能守恒
C．丙图中，在光滑的水平面上，小球和弹簧组成的系统机械能守恒
D．丁图中，若空气阻力不可忽略，A、B组成的系统机械能守恒(不计绳绳与轮间的摩擦和滑轮质量)
答案 AC
解析 题图甲中，从滑梯上加速下滑的小朋友，摩擦力对其做负功，则其机械能不守恒，故A正确；题图乙中，在匀速转动的摩天轮中的游客，动能不变，但是重力势能在变化，所以他们的机械能不守恒，故B错误；题图丙中，在光滑的水平面上，只有弹簧弹力对小球做功，故小球和弹簧组成的系统机械能守恒，故C正确；题图丁中，不计细绳与滑轮间的摩擦和滑轮质量时，绳子张力对A做负功，对B做正功，代数和为零，空气阻力对A、B均做负功所以A、B组成的系统机械能减少，故D错误．
4.(多选)如图所示，一轻弹簧一端固定于O点，另一端系一重物，将重物从与悬点O在同一水平面且弹簧保持原长的A点无初速度释放，让它自由摆下，不计空气阻力，在重物由A点摆到最低点的过程中( )
A．重物的机械能减少
B．重物与弹簧组成的系统的机械能不变
C．重物与弹簧组成的系统的机械能增加
D．重物与弹簧组成的系统的机械能减少
答案 AB
解析 重物自由摆下的过程中，弹簧拉力对重物做负功，重物的机械能减少，选项A正确；对重物与弹簧组成的系统而言，除重力、弹力外，无其他外力做功，故系统的机械能守恒，选项B正确，C、D错误．
考点二 机械能守恒定律的应用
5.如图所示，质量为1 kg的小物块从倾角为30°、长为2 m的光滑固定斜面顶端由静止开始下滑，若选初始位置为零势能点，重力加速度g取10 m/s2，则它滑到斜面中点时具有的机械能和动能分别是( )
A．5 J,5 J B．10 J,15 J
C．0,5 J D．0,10 J
答案 C
解析 物块的机械能等于物块动能和重力势能的总和，选初始位置为零势能点，则物块在初始位置的机械能E＝0，在运动的过程中只有重力做功，机械能守恒，所以物块滑到斜面中点时的机械能为0，故有－mg×eq \f(1,2)Lsin 30°＋eq \f(mv2,2)＝0，所以动能是5 J，选项C正确．
6.如图，在地面上以初速度v0抛出质量为m的物体，抛出后物体落在比地面低h的海平面上，重力加速度为g，若以地面为参考平面，且不计空气阻力，则( )
A．物体在海平面上的重力势能为mgh
B．重力对物体做的功为－mgh
C．物体在海平面上的动能为eq \f(1,2)mv02＋mgh
D．物体在海平面上的机械能为eq \f(1,2)mv02＋mgh
答案 C
解析 以地面为参考平面，海平面低于地面的高度为h，所以物体在海平面上的重力势能为－mgh，故A错误；重力做功与路径无关，与初、末位置的高度差有关，抛出点与海平面的高度差为h，并且重力做正功，所以整个过程重力对物体做功为mgh，故B错误；由动能定理得mgh＝Ek2－eq \f(1,2)mv02，则物体在海平面上的动能为Ek2＝eq \f(1,2)mv02＋mgh，故C正确；根据机械能守恒定律知，物体在海平面上的机械能等于抛出时的机械能，为E＝eq \f(1,2)mv02，故D错误．
7.如图所示，一个轻质弹簧固定在水平地面上，O为弹簧原长时上端的位置，一个质量为m的物体从O点正上方的A点由静止释放落到弹簧上，物体压缩弹簧到最低点B后向上运动，则下列说法中正确的是( )
A．物体落到O点后，立即做减速运动
B．物体从O点运动到B点，动能一直减小
C．物体在B点时加速度为零
D．若不计空气阻力，在整个过程中，物体与弹簧组成的系统机械能守恒
答案 D
解析 物体开始接触弹簧时，弹簧的弹力小于重力，其合力向下，向下做加速度逐渐减小的加速运动，运动到某个位置时，合力为零，加速度为零，速度最大，然后弹簧的弹力大于重力，合力方向向上，向下做加速度逐渐增大的减速运动，A、B错误；物体在B点所受合力向上，加速度不为零，C错误；在整个过程中，只有重力和弹簧弹力做功，物体与弹簧组成的系统机械能守恒，D正确．
8．以相同大小的初速度v0将物体从同一水平面分别竖直上抛、斜上抛、沿光滑斜面(足够长)上滑，如图所示，三种情况达到的最大高度分别为h1、h2和h3，不计空气阻力，则( )
A．h1＝h2＞h3 B．h1＝h2＜h3
C．h1＝h3＜h2 D．h1＝h3＞h2
答案 D
解析 竖直上抛的物体和沿光滑斜面运动的物体，上升到最高点时，速度均为0，由机械能守恒定律得mgh＝eq \f(1,2)mv02，所以h＝eq \f(v02,2g)；斜上抛的物体在最高点速度不为零，设为v1，则mgh2＝eq \f(1,2)mv02－eq \f(1,2)mv12，所以h2＜h1＝h3，D正确．
9.如图是为了检验某种防护罩承受冲击力的装置的一部分，M是半径为R＝1.0 m、固定于竖直平面内的四分之一光滑圆弧轨道，轨道上端切线水平，M的下端相切处放置竖直向上的弹簧枪，可发射速度不同的质量m＝0.01 kg的小钢球(可视为质点)，假设某次发射的小钢球沿轨道内侧恰好能经过M的上端点水平飞出，g取10 m/s2，弹簧枪的长度不计，则发射该小钢球前，弹簧的弹性势能为( )
A．0.10 J B．0.15 J
C．0.20 J D．0.25 J
答案 B
解析 设小钢球在M轨道最高点的速度为v，在最高点，由题意可得mg＝meq \f(v2,R)，从发射前到最高点，由机械能守恒定律有弹簧的弹性势能Ep＝mgR＋eq \f(1,2)mv2＝0.15 J，选项B正确．
10.如图所示，光滑的曲面与光滑的水平面平滑相连，一轻弹簧右端固定，质量为m的小球从高度为h处由静止下滑，重力加速度为g，弹簧始终在弹性限度内，则( )
A．小球与弹簧刚接触时，速度大小为eq \r(2gh)
B．小球与弹簧接触的过程中，小球机械能守恒
C．小球压缩弹簧至最短时，弹簧的弹性势能为eq \f(1,2)mgh
D．小球在压缩弹簧的过程中，小球的加速度保持不变
答案 A
解析 小球在曲面上滑下过程中，根据机械能守恒定律得mgh＝eq \f(1,2)mv2，得v＝eq \r(2gh)，即小球与弹簧刚接触时，速度大小为eq \r(2gh)，故A正确．小球与弹簧接触的过程中，弹簧的弹力对小球做功，则小球机械能不守恒，故B错误．对整个过程，根据系统的机械能守恒可知，小球压缩弹簧至最短时，弹簧的弹性势能为mgh，故C错误．小球在压缩弹簧的过程中，弹簧弹力增大，则小球的加速度增大，故D错误．
11.(2021·福建泉州五中高一期中)某省青少年高尔夫球锦标赛于某地举行．如图所示，假设运动员在发球区A处通过挥杆击球，使质量为m的球以初速度v0沿如图轨迹落到球道上的B点，击球点与B处高度差为H，取A处所在平面为参考平面，不考虑空气阻力，重力加速度为g，求
(1)球在上升过程中其动能与重力势能相等的位置距离A位置的竖直高度；
(2)球落在球道B处时的机械能和落地速度大小．
答案 (1)eq \f(v02,4g) (2)eq \f(1,2)mv02 eq \r(2gH＋v02)
解析 (1)球在上升过程中机械能守恒，设距离A位置的竖直高度为h时，球的动能与重力势能相等，即Ek＝Ep＝mgh
由机械能守恒定律可得eq \f(1,2)mv02＝Ek＋mgh
联立解得h＝eq \f(v02,4g)；
(2)整个过程机械能守恒，所以球在B处时的机械能等于初始A位置处的机械能，即
E＝eq \f(1,2)mv02
从A到B由机械能守恒定律得
eq \f(1,2)mv02＝eq \f(1,2)mvB2－mgH
解得vB＝eq \r(2gH＋v02).
12.如图是一个设计“过山车”的试验装置的原理示意图，斜面AB与竖直面内的圆形轨道在B点平滑连接，斜面AB和圆形轨道都是光滑的，圆形轨道半径为R，一个质量为m的小车(可视为质点)在A点由静止释放沿斜面滑下，小车恰能通过圆形轨道的最高点C.已知重力加速度为g.求：
(1)A点距水平面的高度h；
(2)运动到B点时小车对圆形轨道压力的大小．
答案 (1)2.5R (2)6mg
解析 (1)小车恰能通过圆形轨道的最高点C，则有：mg＝eq \f(mvC2,R)
解得：vC＝eq \r(gR)
由A运动到C，根据机械能守恒定律得：
mg(h－2R)＝eq \f(1,2)mvC2
解得：h＝2.5R
(2)由A运动到B，根据机械能守恒定律得：
mgh＝eq \f(1,2)mvB2
解得：vB＝eq \r(5gR)
小车在B点，由牛顿第二定律得：FN－mg＝eq \f(mvB2,R)
解得：FN＝6mg
由牛顿第三定律可知，运动到B点时小车对圆形轨道的压力大小为6mg.
13．(2021·湖南高一期末)蹦极是一项非常刺激的运动．为了研究蹦极过程，可将人视为质点，人的运动沿竖直方向，人离开蹦极台时的初速度、弹性绳的质量、空气阻力均可忽略．某次蹦极时，人从蹦极台跳下，到a点时弹性绳恰好伸直，人继续下落，能到达的最低位置为b点，如图所示．已知人的质量m＝50 kg，弹性绳的弹力大小F＝kx，其中x为弹性绳的形变量，k＝200 N/m，弹性绳的原长l0＝10 m，整个过程中弹性绳的形变始终在弹性限度内．取重力加速度g＝10 m/s2.
(1)求人第一次到达a点时的速度大小v；
(2)求人的速度最大时，弹性绳的长度；
(3)已知弹性绳的形变量为x时，它的弹性势能Ep＝eq \f(1,2)kx2，求人的最大速度大小．
答案 (1)10eq \r(2) m/s (2)12.5 m (3)15 m/s
解析 (1)人由蹦极台第一次到达a点的运动过程中，根据机械能守恒定律有mgl0＝eq \f(1,2)mv2
解得v＝10eq \r(2) m/s
(2)人的速度最大时，重力等于弹力，即kx＝mg
解得x＝2.5 m
此时弹性绳的长度l＝l0＋x＝12.5 m
(3)设人的最大速度为vm，根据人和弹性绳组成的系统机械能守恒得mgl＝eq \f(1,2)kx2＋eq \f(1,2)mvm2
解得vm＝15 m/s.项目
表达式
物理意义
说明
从守恒的角度看
Ek1＋Ep1＝Ek2＋Ep2或E初＝E末
初状态的机械能等于末状态的机械能
必须先选零势能面
从转化角度看
Ek2－Ek1＝Ep1－Ep2或ΔEk＝－ΔEp
过程中动能的增加量等于势能的减少量
不必选零势能面
从转移角度看
EA2－EA1＝EB1－EB2或ΔEA＝－ΔEB
系统只有A、B两物体时，A增加的机械能等于B减少的机械能