高中数学人教A版 (2019)必修 第二册8.6 空间直线、平面的垂直导学案及答案

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第二册8.6 空间直线、平面的垂直导学案及答案，共4页。


知识点 平面与平面垂直的性质定理
平面与平面垂直的其他性质与结论
(1)如果两个平面互相垂直，那么经过第一个平面内一点垂直于第二个平面的直线在第一个平面内．即α⊥β，A∈α，A∈b，b⊥β⇒b⊂α.
(2)如果两个平面互相垂直，那么与其中一个平面平行的平面垂直于另一个平面．即α⊥β，γ∥β⇒γ⊥α.
(3)如果两个平面互相垂直，那么其中一个平面的垂线平行于另一个平面或在另一个平面内．即α⊥β，b⊥β⇒b∥α或b⊂α.
(4)如果两个相交平面都垂直于第三个平面，那么它们的交线垂直于第三个平面，即α∩β＝l，α⊥γ，β⊥γ⇒l⊥γ.
(5)三个两两垂直的平面的交线也两两垂直，即α⊥β，α∩β＝l，β⊥γ，β∩γ＝m，γ⊥α，γ∩α＝n⇒l⊥m，m⊥n，l⊥n.
1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)如果两个平面垂直，那么一个平面内的直线一定垂直于另一个平面．( )
(2)如果两个平面垂直，那么经过第一个平面内一点垂直于第二个平面的直线在第一个平面内．( )
(3)平面α⊥平面β，平面β⊥平面γ，则平面α⊥平面γ.( )
答案 (1)× (2)√ (3)×
2．做一做
(1)在四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，已知平面AA1C1C⊥平面ABCD，且AB＝BC，AD＝CD，则BD与CC1( )
A．平行B．共面
C．垂直D．不垂直
(2)如图所示，平面α⊥平面β，α∩β＝l，点A∈平面α，AB⊥l，垂足为B，C∈平面β，若AB＝3，BC＝4，则AC＝________.
答案 (1)C (2)5
题型一 面面垂直性质的应用
例1 如图所示，P是四边形ABCD所在平面外的一点，四边形ABCD是∠DAB＝60°且边长为a的菱形．侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD.
(1)若G为AD边的中点，求证：BG⊥平面PAD；
(2)求证：AD⊥PB.
[证明] (1)如图，连接PG，BD，
∵四边形ABCD是菱形且∠DAB＝60°，
∴△ABD是正三角形，
∵G为AD的中点，∴BG⊥AD.
又平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD＝AD，BG⊂平面ABCD，
∴BG⊥平面PAD.
(2)由(1)可知BG⊥AD，由PAD为正三角形，G为AD的中点，
∴PG⊥AD.
又PG∩BG＝G，∴AD⊥平面PBG，∴AD⊥PB.
应用面面垂直证明线面垂直应注意的问题
(1)证明线面垂直，一种方法是利用线面垂直的判定定理，再一种方法是利用面面垂直的性质定理，本题已知面面垂直，故可考虑面面垂直的性质定理．利用面面垂直的性质定理，证明线面垂直的问题时，要注意以下三点：①两个平面垂直；②直线必须在其中一个平面内；③直线必须垂直于它们的交线．
(2)在应用线面平行、垂直的判定和性质定理证明有关问题时，在善于运用转化思想的同时，还应注意寻找线面平行、垂直所需的条件．
如图，在三棱锥V－ABC中，平面VAB⊥平面ABC，△VAB为等边三角形，AC⊥BC且AC＝BC＝eq \r(2)，O，M分别为AB，VA的中点．
(1)求证：VB∥平面MOC；
(2)求证：平面MOC⊥平面VAB；
(3)求三棱锥V－ABC的体积．
解 (1)证明：∵O，M分别为AB，VA的中点，
∴OM∥VB.
∵VB⊄平面MOC，OM⊂平面MOC，
∴VB∥平面MOC.
(2)证明：∵AC＝BC，O为AB的中点，∴OC⊥AB.
又平面VAB⊥平面ABC，且平面VAB∩平面ABC＝AB，OC⊂平面ABC，
∴OC⊥平面VAB.
∵OC⊂平面MOC，
∴平面MOC⊥平面VAB.
(3)在等腰直角△ACB中，AC＝BC＝eq \r(2)，
∴AB＝2，OC＝1，∴S△VAB＝eq \f(\r(3),4)AB2＝eq \r(3).
∵OC⊥平面VAB，
∴V三棱锥C－VAB＝eq \f(1,3)OC·S△VAB＝eq \f(1,3)×1×eq \r(3)＝eq \f(\r(3),3)，
∴V三棱锥V－ABC＝V三棱锥C－VAB＝eq \f(\r(3),3).
题型二 线面垂直与面面垂直的综合应用
例2 如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是∠DAB＝60°且边长为a的菱形，侧面PAD为正三角形，且其所在平面垂直于底面ABCD.
(1)求证：AD⊥PB；
(2)若E为BC边的中点，则能否在棱上找到一点F，使平面DEF⊥平面ABCD？并证明你的结论．
[解] (1)证明：设G为AD的中点，连接PG，BG，如图．
∵△PAD为正三角形，
∴PG⊥AD.
在菱形ABCD中，∠DAB＝60°，G为AD的中点，∴BG⊥AD.
又BG∩PG＝G，∴AD⊥平面PGB.
∵PB⊂平面PGB，∴AD⊥PB.
(2)当F为PC的中点时，满足平面DEF⊥平面ABCD.
证明如下：
在△PBC中，FE∥PB.
在菱形ABCD中，GB∥DE.
又FE⊂平面DEF，DE⊂平面DEF，EF∩DE＝E，
PB⊂平面PGB，GB⊂平面PGB，PB∩GB＝B，
∴平面DEF∥平面PGB.
由(1)得PG⊥平面ABCD，而PG⊂平面PGB，
∴平面PGB⊥平面ABCD，
∴平面DEF⊥平面ABCD.
(1)空间中的垂直关系有线线垂直、线面垂直、面面垂直，这三种关系不是孤立的，而是相互关联的．它们之间的转化关系如下：
eq \x(线线垂直)eq \(,\s\up17(判定定理),\s\d15(线面垂直定义))eq \x(线面垂直)eq \(,\s\up17(判定定理),\s\d15(性质定理))eq \x(面面垂直)
(2)空间问题化成平面问题是解决立体几何问题的一个基本原则，解题时，要抓住几何图形自身的特点，如等腰(边)三角形的三线合一、中位线定理、菱形的对角线互相垂直等．还可以通过解三角形，产生一些题目所需要的条件，对于一些较复杂的问题，注意应用转化思想解决问题．
如图，A，B，C，D为空间四点，在△ABC中，AB＝2，AC＝BC＝eq \r(2)，等边三角形ADB以AB为轴转动．
(1)当平面ADB⊥平面ABC时，求CD；
(2)当△ADB转动时，是否总有AB⊥CD？证明你的结论．
解 (1)如图，取AB的中点E，连接DE，CE，因为△ADB是等边三角形，所以DE⊥AB.
当平面ADB⊥平面ABC时，
因为平面ADB∩平面ABC＝AB，
所以DE⊥平面ABC，又CE⊂平面ABC，
所以DE⊥CE.
由已知可得DE＝eq \r(3)，EC＝1.
在Rt△DEC中，CD＝eq \r(DE2＋EC2)＝2.
(2)当△ADB以AB为轴转动时，总有AB⊥CD.
证明：①当D在平面ABC内时，
因为AC＝BC，AD＝BD，
所以C，D都在线段AB的垂直平分线上，即AB⊥CD.
②当D不在平面ABC内时，
由(1)知AB⊥DE.
又因为AC＝BC，所以AB⊥CE.
又因为DE，CE为相交直线，
所以AB⊥平面CDE.
由CD⊂平面CDE，得AB⊥CD.
综上所述，总有AB⊥CD.
1．若α⊥β，α∩β＝l，点P∈α，P∉l，则下列命题中正确的为( )
①过点P垂直于l的平面垂直于β；
②过点P垂直于l的直线垂直于β；
③过点P垂直于α的直线平行于β；
④过点P垂直于β的直线在α内．
A．①③B．②④
C．①②④D．①③④
答案 D
解析 当过点P垂直于l的直线不在α内时，l与β不垂直，故②不正确；①③④正确．
2．已知直线m，n和平面α，β，若α⊥β，α∩β＝m，n⊂α，要使n⊥β，则应增加的条件是( )
A．m∥nB．n⊥m
C．n∥αD．n⊥α
答案 B
解析 根据平面与平面垂直的性质定理判断．已知直线m，n和平面α，β，若α⊥β，α∩β＝m，n⊂α，应增加条件n⊥m，才能使n⊥β.
3．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，将△ABD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，构成几何体A－BCD，则在几何体A－BCD中，下列结论正确的是( )
A．平面ABD⊥平面ABCB．平面ADC⊥平面BDC
C．平面ABC⊥平面BDCD．平面ADC⊥平面ABC
答案 D
解析 由已知得BA⊥AD，CD⊥BD，又平面ABD⊥平面BCD，∴CD⊥平面ABD，从而CD⊥AB，故AB⊥平面ADC.又AB⊂平面ABC，∴平面ABC⊥平面ADC.
4．如图，在三棱锥P－ABC内，侧面PAC⊥底面ABC，且∠PAC＝90°，PA＝1，AB＝2，则PB＝________.
答案 eq \r(5)
解析 因为侧面PAC⊥底面ABC，交线为AC，∠PAC＝90°(即PA⊥AC)，所以PA⊥平面ABC，所以PA⊥AB，所以PB＝eq \r(PA2＋AB2)＝eq \r(1＋4)＝eq \r(5).
5．如图所示，在三棱锥P－ABC中，E，F分别为AC，BC边的中点．
(1)求证：EF∥平面PAB；
(2)若平面PAC⊥平面ABC，且PA＝PC，∠ABC＝90°.求证：平面PEF⊥平面PBC.
证明 (1)∵E，F分别为AC，BC边的中点，∴EF∥AB.
又EF⊄平面PAB，AB⊂平面PAB，∴EF∥平面PAB.
(2)∵PA＝PC，E为AC的中点，∴PE⊥AC.
又平面PAC⊥平面ABC, PE⊂平面PAC，
∴PE⊥平面ABC，∴PE⊥BC.
又F为BC的中点，∴EF∥AB.
∵∠ABC＝90°，∴AB⊥BC，∴BC⊥EF.
∵EF∩PE＝E，∴BC⊥平面PEF.
∵BC⊂平面PBC，∴平面PEF⊥平面PBC.