人教版九年级上册数学同步作业含详细解答 22.2 二次函数与一元二次方程A组（中考模拟及真题演练)

这是一份人教版九年级上册数学同步作业含详细解答 22.2 二次函数与一元二次方程A组（中考模拟及真题演练)，共55页。
（2019模拟及中考真题演练）
1．（2019朝阳区模拟）在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=x2+ eq \r(7) x+1的图象如图所示，则方程x2+ eq \r(7) x+1=0的根的情况是（ ）
A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根
C．没有实数根D．无法判断
解：二次函数y=x2+ eq \r(7) x+1的图象如图所示，图象与x轴有两个交点，
则方程x2+ eq \r(7) x+1=0的根的情况是：有两个不相等的实数根．
答案B．
2．（2019邵阳模拟）二次函数y=﹣x2+bx+c的图象如图所示，下列几个结论：
①对称轴为直线x=2；
②当y≤0时，x＜0或x＞4；
③函数解析式为y=﹣x2+4x；
④当x≤0时，y随x的增大而增大．其中正确的结论有（ ）
A．①②③④B．①②③C．②③④D．①③④
解：由图象得抛物线的对称轴为直线x=2，所以①正确；
当y≤0时，x≤0或y≥4，所以②错误；
抛物线经过点（0，0），（4，0），（2，4），
所以抛物线解析式为y=ax（x﹣4），
把（2，4）代入得a•2（2﹣4）=4，解得a=﹣1，
则抛物线解析式为y=﹣x（x﹣4），即y=﹣x2+4x，所以③正确；
当x≤0时，y随x的增大而增大，所以④正确．
答案D．
3．（2019桂平市一模）如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴一个交点为（﹣2，0），对称轴为直线x=1，则y＜0时x的范围是（ ）
A．x＞4或x＜﹣2B．﹣2＜x＜4C．﹣2＜x＜3D．0＜x＜3
解：∵y=ax2+bx+c的对称轴为直线x=1，与x轴的一个交点为（﹣2，0），
∴抛物线与x轴的另一个交点为（4，0），
∴y＜0时x的范围是﹣2＜x＜4，
答案B．
4．（2019河东区二模）若二次函数y=ax2+bx+c的x与y的部分对应值如下表：
则下列说法错误的是（ ）
A．二次函数图象与x轴交点有两个
B．x≥2时y随x的增大而增大
C．二次函数图象与x轴交点横坐标一个在﹣1～0之间，另一个在2～3之间
D．对称轴为直线x=1.5
解：A、由图表数据可知x=1时，y的值最，所以，抛物线开口向上．所以该抛物线与x轴有两个交点．故本选项正确；
B、根据图表知，当x≥2时y随x的增大而增大．故本选项正确；
C、抛物线的开方方向向上，抛物线与y轴的交点坐标是（0，﹣ eq \f(5,4) ），对称轴是x=1，所以二次函数图象与x轴交点横坐标一个在﹣1～0之间，另一个在2～3之间．故本选项正确；
D、因为x=0和x=2时的函数值相等，则抛物线的对称轴为直线x=1．故本选项错误；
答案D．
5．（2019资中县一模）抛物线y=ax2+bx+c与x轴的公共点是（﹣1，0），（3，0），则关于x的方程ax2+bx+c=0的两个根是 ．
解：∵抛物线y=ax2+bx+c与x轴的公共点是（﹣1，0），（3，0），
∴关于x的方程ax2+bx+c=0的两个根是x1=﹣1，x2=3，
故答案为：x1=﹣1，x2=3．
6．如图，抛物线y=ax2与直线y=bx+c的两个交点坐标分别为A（﹣2，4），B（1，1），则方程ax2=bx+c的解是 ．
解：∵抛物线y=ax2与直线y=bx+c的两个交点坐标分别为A（﹣2，4），B（1，1），
∴方程组的解为，，
即关于x的方程ax2﹣bx﹣c=0的解为x1=﹣2，x2=1．
所以方程ax2=bx+c的解是x1=﹣2，x2=1
故答案为x1=﹣2，x2=1．
7．已知：二次函数y=ax2+bx+c图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表格所示，那么它的图象与x轴的另一个交点坐标是 ．
解：∵抛物线y=ax2+bx+c经过（0，3）、（2，3）两点，
∴对称轴x= eq \f(0+2,2) =1；
点（﹣1，0）关于对称轴对称点为（3，0），
因此它的图象与x轴的另一个交点坐标是（3，0）．
故答案为：（3，0）．
8．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）中，函数值y与自变量x的部分对应值如下表：
则关于x的一元二次方程ax2+bx+c=﹣2的根是 ．
解：∵x=﹣3，x=﹣1的函数值都是﹣5，相等，
∴二次函数的对称轴为直线x=﹣2，
∵x=﹣4时，y=﹣2，
∴x=0时，y=﹣2，
∴方程ax2+bx+c=﹣2的解是x1=﹣4，x2=0．
故答案为：x1=﹣4，x2=0．
9．抛物线y=3x2﹣6x+a与x轴只有一个公共点，则a的值为 ．
解：∵抛物线y=3x2﹣6x+a与x轴只有一个公共点，
∴△=36﹣12a=0，
解得：a=3，
故答案为：3
10．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=﹣x2+4x与x轴交于点A，点M是x轴上方抛数线上任意一点，过点M作MP⊥x轴于点P，以MP为对角线作矩形MNPQ，连结NQ，则对角线NQ的取值范围为 ．
解：∵y=﹣x2+4x=﹣（x﹣2）2+4，
∴MP的最大值是4，
∵以MP为对角线作矩形MNPQ，
∴NQ=MP，
∵点M是x轴上方抛数线上任意一点，MP⊥x轴于点P，
∴0＜MP≤4，
∴0＜NQ≤4，
故答案为：0＜NQ≤4．
11．已知抛物线y=3x2﹣4x+c的顶点在x轴上方，则c应满足的条件 ．
解：抛物线y=3x2﹣4x+c的开口向上，
其顶点的纵坐标为： eq \f(4ac－b2,4a)
= eq \f(4×3c－(－4)2,4×3)
= eq \f(3c－4,3)
由于抛物线的顶点在x轴上方，
所以 eq \f(3c－4,3) ＞0
解得：c＞ eq \f(4,3)
故答案为：c＞ eq \f(4,3)
12．二次函数y=x2+mx+m﹣2的图象与x轴有 个交点．
解：y=x2+mx+m﹣2=0，
b2﹣4ac=m2﹣4（m﹣2）=m2﹣4m+8=（m﹣2）2+4，
∵（m﹣2）2≥0，
∴（m﹣2）2+4＞0，
∴二次函数y=x2+mx+m﹣2的图象与x轴有2个交点．
故答案为：2．
13．若函数y=ax2+2x﹣1的图象与x轴有公共点，则实数a的取值范围 ．
解：∵函数y=ax2+2x﹣1的图象与x轴有公共点，
∴△=4+4a≥0，
解得：a≥﹣1，
故答案为：a≥﹣1
14．若抛物线y=﹣x2﹣2x+m与x轴没有交点，则m的取值范围是 ．
解：∵抛物线y=﹣x2﹣2x+m与x轴没有交点，
∴△=（﹣2）2﹣4×（﹣1）×m＜0，
解得：m＜﹣1，
故答案为：m＜﹣1．
15．已知二次函数y=﹣x2+2x+m的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程﹣x2+2x+m=0的解为 ．
解：根据图象可知，二次函数y=﹣x2+2x+m的部分图象经过点（4，0），所以该点适合方程y=﹣x2+2x+m，代入，得
﹣42+2×4+m=0
解得m=8 ①
把①代入一元二次方程﹣x2+2x+m=0，得
﹣x2+2x+8=0，②
解②得
x1=4，x2=﹣2，
故答案为x1=4，x2=﹣2．
16．如图，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴正半轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，对称轴为直线x=2，且OA=OC，则下列结论：
①abc＞0；②9a+3b+c＜0；③c＞﹣1；
④关于x的方程ax2+bx+c=0（a≠0）有一个根为﹣ eq \f(1,a)
其中正确的结论个数有 （填序号）
解：由图象开口向下，可知a＜0，
与y轴的交点在x轴的下方，可知c＜0，
又对称轴方程为x=2，所以﹣ eq \f(b,2a) ＞0，所以b＞0，
∴abc＞0，故①正确；
由图象可知当x=3时，y＞0，
∴9a+3b+c＞0，故②错误；
由图象可知OA＜1，
∵OA=OC，
∴OC＜1，即﹣c＜1，
∴c＞﹣1，故③正确；
假设方程的一个根为x=﹣ eq \f(1,a) ，把x=﹣ eq \f(1,a) 代入方程可得 eq \f(1,a) ﹣ eq \f(b,a) +c=0，
整理可得ac﹣b+1=0，
两边同时乘c可得ac2﹣bc+c=0，
即方程有一个根为x=﹣c，
由②可知﹣c=OA，而当x=OA是方程的根，
∴x=﹣c是方程的根，即假设成立，故④正确；
综上可知正确的结论有三个：①③④．
故答案为：①③④．
17．（2019东明县一模）如图，二次函数y=﹣ eq \f(1,2) x2+bx+c的图象经过A（2，0），B（0，﹣6）两点
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）设该二次函数的对称轴与x轴交于点C，连接BA，BC，求△ABC的面积．
解：（1）把A（2，0）、B（0，﹣6）代入y=﹣ eq \f(1,2) x2+bx+c，
得：解得，
∴这个二次函数的解析式为y=﹣ eq \f(1,2) x2+4x﹣6．
（2）∵该抛物线对称轴为直线x=﹣=4，
∴点C的坐标为（4，0），
∴AC=OC﹣OA=4﹣2=2，
∴S△ABC= eq \f(1,2) ×AC×OB= eq \f(1,2) ×2×6=6．
18．（2019云南中考）已知二次函数y=﹣ eq \f(3,16) x2+bx+c的图象经过A（0，3），B（﹣4，﹣ eq \f(9,2)）两点．
（1）求b，c的值．
（2）二次函数y=﹣ eq \f(3,16) x2+bx+c的图象与x轴是否有公共点，求公共点的坐标；若没有，请说明情况．
解：（1）把A（0，3），B（﹣4，﹣ eq \f(9,2)）分别代入y=﹣ eq \f(3,16) x2+bx+c，得
解得；
（2）由（1）可得，该抛物线解析式为：y=﹣ eq \f(3,16) x2+ eq \f(9,8)x+3．
△=（ eq \f(9,8)）2﹣4×（﹣ eq \f(3,16) ）×3= eq \f(225,64) ＞0，
所以二次函数y=﹣ eq \f(3,16) x2+bx+c的图象与x轴有公共点．
∵﹣ eq \f(3,16) x2+ eq \f(9,8)x+3=0的解为：x1=﹣2，x2=8
∴公共点的坐标是（﹣2，0）或（8，0）．
19．（2019南京中考）已知二次函数y=2（x﹣1）（x﹣m﹣3）（m为常数）．
（1）求证：不论m为何值，该函数的图象与x轴总有公共点；
（2）当m取什么值时，该函数的图象与y轴的交点在x轴的上方？
（1）证明：当y=0时，2（x﹣1）（x﹣m﹣3）=0，
解得：x1=1，x2=m+3．
当m+3=1，即m=﹣2时，方程有两个相等的实数根；
当m+3≠1，即m≠﹣2时，方程有两个不相等的实数根．
∴不论m为何值，该函数的图象与x轴总有公共点；
（2）解：当x=0时，y=2（x﹣1）（x﹣m﹣3）=2m+6，
∴该函数的图象与y轴交点的纵坐标为2m+6，
∴当2m+6＞0，即m＞﹣3时，该函数的图象与y轴的交点在x轴的上方．
20．（2019长丰县二模）如图，抛物线y=﹣ eq \f(1,2) x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，已知点A（﹣1，0），点C（0，2）
（1）求抛物线的函数解析式；
（2）若D是抛物线位于第一象限上的动点，求△BCD面积的最大值及此时点D的坐标．
解：（1）将A，C代入得：，
解得：，
则抛物线的函数解析式为y=﹣ eq \f(1,2) x2+ eq \f(3,2) x+2；
（2）连接OD，则有B（4，0），设D（m，﹣ eq \f(1,2) m2+ eq \f(3,2) m+2），
∵S四边形OCDB﹣S△OCD﹣S△OBD= eq \f(1,2) ×2m+ eq \f(1,2) ×4（﹣ eq \f(1,2) m2+ eq \f(3,2) m+2）=﹣m2+4m+4，
∴S△BCD=S四边形OCDB﹣S△OBC=﹣m2+4m+4﹣ eq \f(1,2) ×4×2=﹣m2+4m=﹣（m﹣2）2+4，
当m=2时，S△BCD取得最大值4，
此时yD=﹣ eq \f(1,2) ×4+ eq \f(3,2) ×2+2=3，即D（2，3）．
21．在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+2的图象与x轴交于A（﹣4，0），B （1，0）两点，与y轴交于点C．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）连接AC、BC，判断△ABC的形状，并证明；
（3）若点P为二次函数对称轴上点，求出使△PBC周长最小时，点P的坐标．
解：（1）抛物线的解析式为y=a（x+4）（x﹣1），
即y=ax2+3ax﹣4a，
∴﹣4a=2，解得a=﹣ eq \f(1,2) ，
∴抛物线解析式为y=﹣ eq \f(1,2) x2﹣ eq \f(3,2) x+2；
（2）△ABC为直角三角形．理由如下：
当x=0时，y=﹣ eq \f(1,2) x2﹣ eq \f(3,2) x+2=2，则C（0，2），
∵A（﹣4，0），B （1，0），
∴AC2=42+22，BC2=12+22，AB2=52=25，
∴AC2+BC2=AB2，
∴△ABC为直角三角形，∠ACB=90°；
（3）抛物线的对称轴为直线x=﹣ eq \f(3,2) ，
连接AC交直线x=﹣ eq \f(3,2) 于P点，如图，
∵PA=PB，
∴PB+PC=PA+PC=AC，
∴此时PB+PC的值最小，△PBC周长最小，
设直线AC的解析式为y=kx+m，
把A（﹣4，0），C（0，2）代入得，解得，
∴直线AC的解析式为y= eq \f(1,2) x+2，
当x=﹣ eq \f(3,2) 时，y= eq \f(1,2) x+2= eq \f(5,4) ，则P（﹣ eq \f(3,2) ， eq \f(5,4) ）
∴当P点坐标为（﹣ eq \f(3,2) ， eq \f(5,4) ）时，△PBC周长最小．
22．（2019阜阳模拟）如图所示，二次函数y=﹣2x2+4x+m的图象与x轴的一个交点为A（3，0），另一个交点为B．且与y轴交于点C．
（1）求m的值及点B的坐标；
（2）求△ABC的面积；
（3）该二次函数图象上有一点D（x，y），使S△ABD=S△ABC，请求出D点的坐标．
解：（1）∵函数过A（3，0），
∴﹣18+12+m=0，
∴m=6，
∴该函数解析式为：y=﹣2x2+4x+6，
∴当﹣2x2+4x+6=0时，x1=﹣1，x2=3，
∴点B的坐标为（﹣1，0）；
（2）当x=0时，y=6，
则C点坐标为（0，6），
∴S△ABC= eq \f(4×6,2) =12；
（3）∵S△ABD=S△ABC=12，
∴S△ABD= eq \f(4×|h|,2) =12，
∴|h|=6，
①当h=6时：﹣2x2+4x+6=6，
解得：x1=0，x2=2
∴D点坐标为（0，6）或（2，6）；
②当h=﹣6时：﹣2x2+4x+6=﹣6，
解得：x1=1+ eq \r(7) ，x2=1﹣ eq \r(7)
∴D点坐标为（1+ eq \r(7) ，﹣6）、（1﹣ eq \r(7) ，﹣6）；
∴D点坐标为（2，6）、（1+ eq \r(7) ，﹣6）、（1﹣ eq \r(7) ，﹣6）．x
…
﹣1
0
1
2
3
…
y
…
eq \f(7,4)
－ eq \f(5,4)
－ eq \f(9,4)
－ eq \f(5,4)
eq \f(7,4)
…
x
…
﹣1
0
1
2
…
y
…
0
3
4
3
…
x
…
﹣5
﹣4
﹣3
﹣2
﹣1
…
y
…
3
﹣2
﹣5
﹣6
﹣5
…