天津市静海区第一中学2023-2024学年高二上学期10月月考数学试卷(含答案)

这是一份天津市静海区第一中学2023-2024学年高二上学期10月月考数学试卷(含答案)，共9页。试卷主要包含了选择题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1、在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点的坐标为( )
A.B.C.D.
2、直线，，则“”是“”的( )条件
A.必要不充分B.充分不必要C.充要D.既不充分也不必要
3、若直线l的一个方向向量为，则它的倾斜角为( )
A.B.C.D.
4、如图，空间四边形中，，，，点M是的中点，点N在上，且，设，则x，y，z的值为( )
A.B.C.D.
5、已知空间内三点，，，则点A到直线的距离是( )
A.B.1C.D.
6、点到直线的距离最大时，其最大值以及此时的直线l方程分别为( )
A.；B.；
C.；D.；
二、填空题
7、若经过两点，的直线l的倾斜角为锐角，则实数m的取值范围是________.
8、设x，，向量，，，且，则________.
9、如图，三棱柱中，底面边长和侧棱长都等于1，，求异面直线与所成角的余弦值________.
10、已知直线和以，为端点的线段相交，则实数k的取值范围为________.
11、下面命题中正确的有________.
①直线的斜率为；
②直线与垂直的充要条件是斜率满足；
③截距相等的直线都可以用方程表示；
④若，则四点P，A，B，C必共面；
⑤为直角三角形的充要条件是；
⑥若，，为空间的一个基底，则，，构成空间的另一基底；
⑦在空间中，直线的方向向量，平面的一个法向量，若，则.
三、双空题
12、若直线与平行，则实数a的值为________；与间的距离为________.
四、解答题
13、根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程.已知直线，.
（1）经过点且与直线平行的直线；
（2）经过点且与直线垂直的直线；
（3）经过直线与的交点，且与坐标原点O距离为1的直线；
（4）一入射光线经过点，被直线反射，反射光线经过点，求反射光线所在直线方程.
14、如图，平面，，，，，，.
（1）求证：平面；
（2）求点F到平面的距离；
（3）求直线与平面所成角的正弦值.
15、如图，正三棱柱的所有棱长都为2，D为的中点.
（1）求与所成角的余弦值；
（2）求证：平面；
（3）求平面与平面的夹角的余弦值.
16、已知直线，.
（1）证明直线l过定点A，并求出点A的坐标；
（2）在（1）的条件下，若直线过点A，且在y轴上的截距是在x轴上的截距的，求直线的方程；
（3）若直线l不经过第二象限，求a的取值范围；
（4）在（1）的条件下，若直线l交x轴负半轴于点M，交y轴负半轴于点N，求的最小值并求出此时直线l的方程.
17、如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，点M为的中点.
（1）求平面与平面夹角的正弦值；
（2）在线段上是否存在一点N，使直线与平面所成的角正弦值为，若存在求出的长，若不存在说明理由.
参考答案
1、答案：D
解析：点关于平面的对称点的坐标为，
所以点关于平面的对称点的坐标为.
故选：D.
2、答案：B
解析：直线，，
当时,有，解得或.
所以）“”时“”成立，“”时“”不一定成立，
则“”是“”的充分不必要条件.
故选：B.
3、答案：D
解析：因为直线l的一个方向向量为，
所以直线l的斜率，
所以直线l的倾斜角为.
故选：D.
4、答案：C
解析：依题意
，
所以，，.
故选：C.
5、答案：A
解析：空间内三点，，，
所以，，，，
由，
所以，
所以点A到直线的距离.
故选：A.
6、答案：C
解析：将直线l的方程整理得：，
因为，有成立，
所以只能，解得，即直线l过定点；
若要到直线l的距离最大，只需，
此时直线l是图中直线，
此时点到直线l的最大距离为线段的长度，
即，
又直线的斜率为，
故此时直线l的方程为：，即.
故选：C.
7、答案：
解析：因为直线l的倾斜角为锐角，
所以其斜率，故.
故答案为：.
8、答案：3
解析：因为，，，且，，
所以，解得，
所以，得.
故答案为：3.
9、答案：
解析：设，，，
则，，，
则，
，
所以，
，
因为
，
所以，
所以异面直线与所成角的余弦值为.
故答案为：.
10、答案：
解析：变形为，恒过点，
画图如下，则，，
则要想直线和以，为端点的线段相交，
则或，
即或.
故答案为：.
11、答案：④⑥
解析：对于①，当时，直线的斜率不存在，故①错误；
对于②，若直线与垂直，
则或一条直线斜率不存在另一条直线斜率为0，故②错误；
对于③，当直线过原点时，直线方程不能用截距式表示，故③错误；
对于④，若，则，
即，即，
所以，，共面，
又，，有公共始点P，
所以P，A，B，C四点共面，故④正确；
对于⑤，当的直角为角B时，，故⑤错误；
对于⑥，若，，为空间的一个基底，则，，不共面，
设，，共面，
则存在唯一实数对，使得，
即，
所以，方程组无解，
所以，，不共面，
所以，，构成空间的另一基底，故⑥正确；
对于⑦，由题意可得或，故⑦错误.
故答案为：④⑥.
12、答案：①-1
②或
解析：因为直线与平行，
所以，解得或，
经检验，当时，两直线重合，
所以，
故，，
所以与间的距离为.
故答案为：-1；.
13、答案：答案：（1）
（2）
（3）或
（4）
解析：（1）设所求直线的方程为，
则有，解得，
所以所求直线方程为.
（2）设所求直线方程为，
则有，解得，
所以所求直线方程为.
（3）联立，解得，
即直线与的交点为，
当所求直线的斜率不存在时，所求直线方程为，符合题意，
当所求直线的斜率存在时，设直线方程为，
即，则，解得，
所以直线方程为，
综上所述，所求直线方程为或.
（4）设点关于直线的对称点为，
则，解得，
即，
则直线的方程为，即，
即反射光线所在直线方程为.
14、答案：答案：（1）证明见解析
（2）
（3）
解析：（1）因为，平面，平面，
所以平面，
因为，平面，平面，
所以平面，
又，，平面，
所以平面平面，
又平面，
所以平面.
（2）如图，以点A为原点建立空间直角坐标系，
则，，，，
故，，，
设平面的法向量为，
则有，可取，
所以点F到平面的距离为.
（3），则，
则，
所以直线与平面所成角的正弦值为.
15、答案：答案：（1）
（2）证明见解析
（3）
解析：（1）在正三棱柱中，可得为等边三角形，
取的中点O，的中点E，连接，，则，
因为平面平面，且平面平面，
所以平面，又因为平面，所以，
以O为坐标原点，以，，所在的直线分别为x，y，z轴，
建立空间直角坐标系，如图所示，因为，
可得，，，，
所以，，
设异面直线与所成角为，
可得，
所以与所成角的余弦值为.
（2）证明：设，连接，，，
因为为正方形，所以，
在直角中，可得，
在直角中，可得，
所以，又因为F是的中点，所以，
因为，且，平面，所以平面.
（3）由（1）中的空间直角坐标系，
因为正三棱柱的所有棱长都为2，
又由（2）知，平面，所以为平面的一个法向量，
因为，，可得，
由，，
设平面的一个法向量为，
则，
取，可得，，所以，
设平面与平面的夹角，
则，
所以平面与平面的夹角的余弦值为.
16、答案：答案：（1）
（2）
（3）
（4）最小值为4；直线l的方程为
解析：（1）由直线，可化为，
由方程组，解得，，所以直线l恒过定点.
（2）由（1）知，直线l恒过定点，
因为直线过点A，且在y轴上的截距是在x轴上的截距的，
设所求直线的方程为，
将点代入直线方程，可得，可得，
所以所求直线的方程为，即.
（3）由（1）知，直线l恒过定点，可得直线l的斜率为，
因为，要使得直线l不经过第二象限，则满足，
可得，解得，即实数a的取值范围.
（4）因为直线，
由直线l交x轴负半轴于点M，交y轴负半轴于点N，
如图所示，设，且，可得，
过点A作轴，点A作轴，则，，
在直角中，可得，
在直角中，可得，
所以，
当时，取得最小值，最小值为4，
此时直线l的倾斜角为，所以斜率为，
所以直线l的方程为，即.
17、答案：（1）
（2）存在，
解析：（1）如图，取的中点O，连接，，
因为，所以，
因为平面平面，平面平面，
平面，所以平面，
因为，，所以，，
所以四边形为平行四边形，所以，
又因，所以，
如图，以点O为原点建立空间直角坐标系，，
则，，，，
故，，
设平面的法向量为，
则有，可取，
因为平面，
所以即为平面的一条法向量，
则，
所以平面与平面夹角的正弦值为.
（2）假设存在，设，，
，，
则，
，
设平面的法向量为，
则有，
令，则，，
所以，，，
因为直线与平面所成的角正弦值为，
所以，
解得或（舍去），
所以存在，.