山东省泰安市宁阳县第四中学2024届高三数学上学期10月月考试卷（Word版附解析）

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一、单选题（每题5分，共40分）
1. 设集合， ， ，则
A. {2}B. {2，3}C. {-1，2，3}D. {1，2，3，4}
【答案】D
【解析】
【分析】先求，再求．
【详解】因为，
所以.
故选D．
【点睛】集合的运算问题，一般要先研究集合中元素的构成，能化简的要先化简，同时注意数形结合，即借助数轴、坐标系、韦恩图等进行运算．
2. 函数定义域是（ ）
A. [1，2]B. [1，2)
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由函数的定义域可知，被开方数大于或等于0，真数大于0，列不等式组，求解即可.
【详解】由题意得解得
故选：C
【点睛】本题考查了函数的定义域，考查了运算求解能力，属于基础题目.
3. 已知函数是定义在区间上的函数，且在该区间上单调递增，则满足的x的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由已知有，即可求取值范围.
【详解】因为函数是定义在区间上的增函数，满足，
所以，解得.
故选：D
4. 曲线在点处的切线方程为
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由题意利用导函数研究函数的切线方程即可.
【详解】由题意可得：，则曲线的斜率为，
切线方程为：，即.
本题选择A选项.
【点睛】导数运算及切线的理解应注意的问题
一是利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆．
二是直线与曲线公共点的个数不是切线的本质，直线与曲线只有一个公共点，直线不一定是曲线的切线，同样，直线是曲线的切线，则直线与曲线可能有两个或两个以上的公共点．
三是复合函数求导的关键是分清函数的结构形式．由外向内逐层求导，其导数为两层导数之积.
5. 若函数在上单调递增，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用导数，通过构造法，结合余弦函数的性质、反比例函数的性质进行求解即可.
【详解】，因为函数在上单调递增，
所以当时，恒成立，
因为，所以，于是有，
设，因为函数在是单调递增函数，所以，
因此当时，恒成立，只需，
故选：D
6. 在某种新型材料的研制中，实验人员获得了下列一组实验数据，现准备用下列四个函数近似地表示这些数据的规律，其中最接近的一个是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由表中的数据分析得出，自变量基本上是等速增加，相应的函数值增加的速度越来越快，结合基本初等函数的图象与性质，利用排除法即可得出正确的答案
【详解】由题中表格可知函数在上是增函数，且y的变化随x的增大而增大得越来越快，分析选项可知B符合，故选B．
【点睛】本题考查了函数模型的选择与应用问题，解题时应掌握各种基本初等函数，如一次函数，二次函数，指数函数，对数函数的图象与性质，是基础题．
7. 定义在R上的奇函数f(x)满足f(x＋2)＝－f(x)，且在[0，1]上是减函数，则有（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
利用，得到，再利用奇偶性和单调性判断即可.
【详解】，
则，
奇函数在上为减函数，
在上为减函数，
，
，
即.
故选：C.
【点睛】本题主要考查了利用奇偶性和单调性比较大小的问题.属于较易题.
8. 函数的图象可能是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】判断的奇偶性，以及在上的函数值的符号，结合选项得出答案．
【详解】解：∵的定义域为，关于原点对称，
又∵，即函数是奇函数，
∴的图象关于原点对称，排除A、D，
当时，，，∴，排除B，
故选C．
【点睛】本题考查了函数图象的判断，一般从奇偶性，单调性，特殊点等方面判断，属于中档题．
二、多选题（每题5分，共20分）
9. 函数的导函数的图象如图所示，给出下列命题，以下正确的命题（ ）
A. 是函数的极值点
B. 是函数的最小值点
C. 在区间上单调递增
D. 在处切线的斜率小于零
【答案】AC
【解析】
【分析】根据导函数的图象判断出的单调性、极值点、最值点、切线的斜率，由此判断出命题错误的选项.
【详解】根据导函数图象可知当x∈（﹣∞,﹣3）时，，在时，，
∴函数y＝f（x）在（﹣∞,﹣3）上单调递减，在上单调递增，故C正确；
则﹣3是函数y＝f（x）的极小值点，故A正确；
∵在上单调递增，∴﹣1不是函数y＝f（x）的最小值点，故B不正确；
∵函数y＝f（x）在x＝0处的导数大于0，∴切线的斜率大于零，故D不正确；
故选：AC
10. 下列四个函数中，最小值为2的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】AD
【解析】
【分析】
由基本不等式的适用条件和取等号的条件，逐项判断即可得解.
【详解】对于A，当时，，
，当即时，等号成立，
所以的最小值为2，故A正确；
对于B，当时，，故B错误；
对于C，，
当且时，等号成立，但，
所以的最小值不为2，故C错误；
对于D，，当且仅当即时，等号成立，
所以的最小值为2，故D正确.
故选：AD.
【点睛】本题考查了基本不等式的应用，考查了运算求解能力，属于基础题.
11. 设函数，对于任意的，下列命题正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据指数运算法则可知A正确，利用反例可知B错误；根据指数函数单调性可知C正确；结合基本不等式可确定D正确.
【详解】对于A，，A正确；
对于B，令，，则，，，
，B错误；
对于C，为定义在上的增函数，，C正确；
对于D，，
，D正确.
故选：ACD.
12. 已知函数的定义域是，且，当时，，，则下列说法正确的是（ ）
A.
B. 函数在上是减函数
C.
D. 不等式的解集为
【答案】ABD
【解析】
【分析】利用赋值法求得，判断A；根据函数的单调性定义结合抽象函数的性质，可判断函数的单调性，判断B;利用，可求得C中式子的值，判断C；求出，将转化为，即可解不等式组求出其解集，判断D.
【详解】对于A，令 ，得，所以，故A正确；
对于B，令，得，所以，
任取，且，则，
因，所以，所以，
所以在上是减函数，故B正确；
对于C，
，故C错误；
对于D，因为，且，所以，
所以，
所以等价于，
又在上是减函数，且，所以 ，
解得，故D正确,
故选:ABD．
三、填空题（每题5分，共20分）
13. 已知函数f(x)的定义域为(a，b)，若“∃x0∈(a，b)，f(x0)＋f(－x0)≠0”是假命题，则f(a＋b)＝________.
【答案】0
【解析】
【分析】由题意转化条件为“∀x∈(a，b)，f(x)＋f(－x)＝0”是真命题，结合偶函数的性质即可得解.
【详解】若“∃x0∈(a，b)，f(x0)＋f(－x0)≠0”是假命题，
则“∀x∈(a，b)，f(x)＋f(－x)＝0”是真命题，即∀x∈(a，b)，f(－x)＝－f(x)，
则函数f(x)是奇函数，则a＋b＝0，所以f(a＋b)＝f(0)＝0.
【点睛】本题考查了函数奇偶性及特称命题真假性的应用，考查了逻辑推理能力，属于基础题.
14. 已知幂函数在上是增函数，则实数________．
【答案】0
【解析】
【分析】利用幂函数的性质直接求解．
【详解】因为是幂函数，所以，得或．
当时，在上是增函数，符合条件；
当时，在上是减函数，不符合条件．
故答案为
【点睛】本题考查幂函数的概念和性质，属于基础题．
15. 设，若函数，有大于零的极值点，则a的取值范围是_____．
【答案】
【解析】
【分析】先对函数进行求导，令导函数等于0，原函数有大于0的极值故导函数有大于零的根．
【详解】∵，∴．
由题意知有大于0的实根，由，得，
∵，∴，∴．
故答案为︰．
16. 已知函数若是单调函数，则实数的取值范围是_________；若存在实数，使函数有三个零点，则实数的取值范围是________.
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】根据分段函数在定义域上单调递增，即可得到且，再数形结合法求出实数的取值范围，函数有三个零点等价于函数与的图象有三个交点，数形结合即可得解；
【详解】解：因为函数在定义域内是单调递增函数，
所以函数为单调递增函数，
所以且，
在同一坐标系下作出函数与的图象，由图可知，实数的取值范围为.
函数有三个零点等价于函数与的图象有三个交点，
在同一坐标系下作出函数与的图象，
由图可知，当在轴的左方时，存在实数，使得两函数图象有三个交点，
所以要使函数有三个零点，实数的取值范围为.
故答案为：；
【点睛】本题考查分段函数性质的应用，考查数形结合思想，属于中档题.
四、解答题（17题10分，其余每题12分，共70分）
17. 设p：实数x满足x2－4ax＋3a2<0，a∈R；q：实数x满足x2－x－6≤0或x2＋2x－8>0.若a<0且p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围.
【答案】(－∞，－4]∪
【解析】
【分析】根据一元二次不等式解法，求得p：A＝(3a，a)，q：B＝(－∞，－4)∪[－2，＋∞)，又由p是q的充分不必要条件，得到A是B的真子集，列出关于的不等式，即可求解.
【详解】由题意，命题p，得x2－4ax＋3a2 =(x－3a)(x－a)<0，
当a<0时，3a由题意，命题q：得x2－x－6≤0或x2＋2x－8>0，则－2≤x≤3或x<－4或x>2，
即x<－4或x≥－2.
设p：A＝(3a，a)，q：B＝(－∞，－4)∪[－2，＋∞)，
又由p是q的充分不必要条件，可知A是B的真子集，
∴a≤－4或3a≥－2，即a≤－4或，
又∵a<0，∴a≤－4或－≤a<0，
即实数a的取值范围为(－∞，－4]∪.
【点睛】本题主要考查了一元二次不等式的解法，以及利用充分不必要条件求解参数问题，其中解答中利用一元二次不等式的解法，求得集合命题中实数的取值范围是解答的关键，同时注意充分不必要条件的转化及应用，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
18. 已知函数．
（1）试用单调性定义判断在上的单调性；
（2）求函数在上的最值．
【答案】（1）答案见详解；
（2）最小值为，最大值为.
【解析】
【分析】（1）根据函数单调性的定义进行判断；
（2）利用单调性求最值.
【小问1详解】
任取，且，
则
因为，且，所以，，，
所以，所以，
所以，即.
所以在上单调递减.
【小问2详解】
由（1）知在上单调递减，
所以，
.
所以函数在上的最小值为，最大值为.
19. 已知．
（1）若，求的值域；
（2）若在上单调递减，求a的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据二次函数的性质及对数函数的性质，即可求解；
（2）根据复合函数单调性结合条件可得，进而即得.
【小问1详解】
若，则，
因为，当且仅当时，等号成立，
可知的定义域为，
且在定义域内单调递减，可得，
所以的值域为.
【小问2详解】
因为在定义域内单调递减，
由题意可知：在上单调递增，且在上恒成立，
可得，解得，
所以a的取值范围.
20. “活水围网”养鱼技术具有养殖密度高、经济效益好的特点.研究表明：“活水围网”养鱼时，某种鱼在一定条件下，每尾鱼的平均生长速度（单位：千克/年）是养殖密度（单位：尾/立方米）的函数.当不超过4尾/立方米时，的值为2千克/年；当时，是的一次函数；当达到20尾/立方米时，因缺氧等原因，的值为0千克/年.
（1）当时，求函数关于的函数表达式；
（2）当养殖密度为多大时，鱼的年生长量（单位：千克/立方米）可以达到最大？并求出最大值.
【答案】（1）
（2）当x＝10时，鱼的年生长量可以达到最大，最大值为12.5.
【解析】
【分析】（1）根据题意得建立分段函数模型求解即可；
（2）分段求得函数的最值，比较可得答案.
【小问1详解】
依题意，当时，；
当时，是关于x的一次函数，假设，
则，解得，
所以.
【小问2详解】
当时，；
当时，，
当时，取得最大值.
因为，所以当x＝10时，鱼的年生长量可以达到最大，最大值为12.5.
21. 已知函数在处有极值.
（1）求的值；
（2）求函数在上的最大值与最小值.
【答案】（1），；（2）最大值为，最小值为
【解析】
【分析】
（1）对函数求导，根据函数在处取极值得出，再由极值为，得出，构造一个关于的二元一次方程组，便可解出的值；
（2）由（1）可知，求出，利用导数研究函数在上的单调性，比较极值和端点值的大小，即可得出在上的最大值与最小值.
【详解】解：（1）由题可知，，的定义域为，
，
由于在处有极值，
则，即，
解得：，，
（2）由（1）可知，其定义域是，
，
令，而，解得，
由，得；由，得，
则在区间上，，，的变化情况表如下：
可得，
，，
由于，则，
所以，
函数在区间上的最大值为，最小值为.
【点睛】本题考查已知极值求参数值和函数在闭区间内的最值问题，考查利用导函数研究函数在给定闭区间内的单调性，以及通过比较极值和端点值确定函数在闭区间内的最值，考查运算能力.
22. 已知函数
（1）讨论的单调性；
（2）当时，证明
【答案】（1）当，在上单调递增，当时，在上单调递增，在上单调递减；
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）首先求导得到，再分类讨论求解即可.
（2）首先将题意等价于只需证，令，再证即可.
【小问1详解】
，
①若，则，在上单调递增；
②若，则当时，，当 时，，
故在上单调递增，在上单调递减．
【小问2详解】
因为，所以只需证.
当时，由（1）知，在上单调递增，在上单调递减，
所以.
记，
则，
所以当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
所以．
综上，当时，，
即，即证：.
x
1.992
3
4
5.15
6.126
y
1517
4.0418
7.5
12
18.01
1
2
0
单调递减
单调递增