重庆市第一中学2023-2024学年高三数学上学期10月月考试题（Word版附解析）

这是一份重庆市第一中学2023-2024学年高三数学上学期10月月考试题（Word版附解析），共20页。试卷主要包含了 考试结束后，将答题卡交回，8% D， 已知函数等内容，欢迎下载使用。

数学试题卷
注意事项：
1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号码填写在答题卡上.
2. 作答时，务必将答案写在答题卡上. 写在本试卷及草稿纸上无效.
3. 考试结束后，将答题卡交回.
一、单项选择题 (本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1. 已知集合M={0，2}，则下列集合是集合M 的子集的是
A.xy|x+y=2x-y=-2 B.xy|y=x-2+2-x
C.y∈R|y=x-1+1-x D.x∈R|y=x-1+1-x
2. 已知命题p: ∃x>0,使得xln(x+1)>0,则￢p为
A. ∃x₀>0, 使得 xln(x+1)≤0 B. ∀x>0, 总有xln(x+1)≤0
C. ∀x≤0, 总有xln(x+1)>0 D.∃x₀≤0, 使得xln(x+1)>0
3. 已知正实数满足, 则的最小值为
A. 9 B. 8 C. 3 D. 83
4. 随着社会的发展，城市环境污染问题日益严重，某企业在生产中为倡导绿色环保的理念，购入污水过滤系统对污水进行过滤处理，已知在过滤过程中污水中的剩余污染物数量 W(mg/L)与时间t(h)的关系为 W=W₀e-rt,其中 W₀为初始污染物的数量，r为常数. 若在某次过滤过程中，前3个小时过滤掉了污染物的20%，则经过9小时后剩余的污染物是初始状态的
A. 24% B. 76% C. 48.8% D. 51.2%
5. 已知数列的首项为1, D是△ABC 边 BC 所在直线上一点,且 CA+3an+1AD- an+1-2AB=0,则数列的通项公式为
A. 3n-2 B.3ⁿ⁺¹-2 C.5×-3n-1-14 D.5×-3n-14
6. 在△ABC中,角A, B, C的对边分别为a, b, c, S为△ABC 的面积,且满足2 acsC =ccsB+bcsC,43S=a2+c2-b2,则角A=
A. 30° B. 45° C. 60° D. 90°
7. 已知函数. fx=x+1³+1,正项等比数列满足 a₁₀₁₂=e⁻¹, 则 =
A、2023 B.20232 C. 2022 D.4046
8. 已知定义在R上的奇函数满足,且当时,.若函数有5个零点, 则实数的取值范围是
A.-e-1∪-e5 B.-e3-e7
C.-e3-e7∪1e∪e5 D.-e-1∪e7e3∪-e5
二、多项选择题 (本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的. 全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分)
9. 已知复数 z=2+i,z₁=x+yixy∈R(i为虚数单位)，为z的共轭复数，则下列结论正确的是
A. 的虚部为-i B. z对应的点在第一象限
C.|z||z|=1 D. 若 |z-z₁|≤1,则在复平面内z₁对应的点形成的图形的面积为π
10. 国庆节期间，某商场搞促销活动，商场准备了两个装有卡片的盒子，甲盒子中有4张红色卡片、2张绿色卡片，乙盒子中有5张红色卡片、3张绿色卡片(这14张卡片球除颜色外，大小、形状完全相同). 顾客购物满500元即可参加抽奖，其规则如下：顾客先从甲盒子中随机取出1张卡片放入乙盒子，再从乙盒子中随机取出1张卡片，记“在甲盒子中取出的卡片是红色卡片”为事件N₁， “在甲盒子中取出的卡片是绿色卡片”为事件N₂， “从乙盒子中取出的卡片是红色卡片”为事件M，若事件M 发生，则该顾客中奖，否则不中奖. 则有
A. N₁ 与 N₂ 是互斥事件 B.PN1M=23
C.PM=1727 D. N₂ 与 M相互独立
11.如图(a),边长为2的正方形 AP₁P₂P₃中,B,C分别是P₁P₂,P₂P₃的中点,AP₂交BC于D,现沿AB,AC及BC把这个正方形折成一个四面体,如图(b),使P₁,P₂,P₃三点重合，重合后的点记为P，则有
A. 平面PAD⊥平面PBC B. 四面体 P-ABC 的体积为
C. 点P到平面ABC的距离为 13 D. 四面体 P-ABC 的外接球的体积为 6π
12. 已知函数图象上的点均满足 ,对∀x∈(1, +∞)有fax≥x³-3x成立，则
A.fx=e3x-3ex B. fx的极值点为(0, -2)
C.a>1e D.lnπ>πe
三、填空题 (本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13. 已知向量a与b的夹角为30°,且 |a|=1,|b|=3,则 |3a-2b|=
14. 已知实数x不为零，则 x²+1x-1⁶的展开式中x²项的系数为 .
15. 在直角梯形 ABCD中, ∠A=∠D=90°,点P在边AD上(包含端点),A D=2AB=4DC=4,则
PB⋅PC的取值范围是 .
16. 计算: 43cs80 ∘+3tan10 ∘=
四、解答题 (共70分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17. (本小题满分10分)
已知函数 fx=23x3-12x2+1,f'x是fx的导函数，数列的前n项和为 Sₙ,且 Sₙ=f'n.
(1) 求数列的通项公式;
(2) 若 bn=csan+3π6,求 b1+b2+b3+⋯+b3n.
18. (本小题满分12分)
在如图所示的多面体 MNABCD中，四边形 ABCD 是边长为 2的正方形，其对角线的交点为Q, DM⊥平面ABCD, DM∥BN, DM=2BN=2 , 点P是棱DM 的中点.
(1) 求证: PQ⊥AC;
(2) 求直线 CN 和平面AMN所成角的正弦值.
19. (本小题满分12分)
已知函数fx=sinx2csx+6sinx.
(1) 当 0(2) 已知△ABC的内角A满足 fA2=6,点D 是边 BC的中点, AB=4,AD=3,求三角形ABC 的面积.
20. (本小题满分 12分)
为庆祝中国共产党成立101周年，喜迎党的二十大胜利召开，不断提升广大党员干部学习党的政治理论知识的自觉性，我市面对全体党员，举办了“喜迎二十大，强国复兴有我”党史知识竞赛. 比赛由初赛、复赛和决赛三个环节组成. 已知进入复赛的党员共有100000人，复赛总分 105分，所有选手的复赛成绩都不低于55分.经过复赛，有2280名党员进入了决赛，并最终评出了若干一等奖和52个特等奖.复赛成绩和决赛成绩都服从正态分布. 现从中随机选出100.名选手的复赛成绩，得到如图所示的频率分布直方图.
(1) 试根据频率分布直方图，求这 100名选手的平均成绩x；
(2) 若全体复赛选手的平均成绩刚好等于x，标准差为9.5，试确定由复赛进入决赛的分数线是多少?
(3) 甲在决赛中取得了99分的优异成绩，乙对甲说：“据可靠消息，此次决赛的平均成绩是75分，90分以上才能获得特等奖.”试用统计学的相关知识，分析乙所说消息的真实性.
参考数据:P(μ-σ≤ξ≤μ+σ)≈0.6826, P(μ-2σ≤ξ≤μ+2σ)≈0.9544, P(μ-3σ≤ξ≤μ+3σ)≈0.9974
21. (本小题满分12分)
已知函数,.
(1) 判断的单调性;
(2) 若, 求证:,其中e是自然对数的底数.
22. (本小题满分12分)
已知椭圆 G:y2a2+x2b2=1(a>b>0)的离心率是 33,两个焦点分别是F₁, F₂,过F₁作y轴的垂线交椭圆G于A，B两点，三角形AF₁F₂的面积是 233.
(1) 求椭圆G 的方程;
(2) 已知点Q 是抛物线 x²=4y上一点，过点Q作抛物线的切线交椭圆G于C，D两点，过点F₁作切线CD 的垂线交椭圆 G于M，N两点，令 s=|CD||MN|,当点 Q 在椭圆G内部运动时，试确定s是否有最小值?若有，求出该最小值；若没有，请说明理由.
2023年重庆一中高2024届10月月考
数学参考答案
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
【解析】
1．对于A和B，集合为点集，显然不是M的子集，故A，B错误；对C，{0}M，故C正确；对D，化简为｛1｝，不是M的子集，故D错误，故选C．
3．由条件知，当且仅当时取等号，故选C．
4．依题意，前3个小时过滤后剩余污染物数量为%，于是，解得，因此前9小时过滤后剩余污染物数量为，故选D．
5．因为，所以，因为三点共线，所以，所以，因为，所以是以3为首项，3为公比的等比数列，所以，所以，故选A．
6．由知，由
，则，故选D．
7．用倒序相加法：令①，则也有
②，由知函数关于对称，而，即，所以，则，故选A．
8．根据条件知函数关于原点和直线对称，故4为周期，做出函数的大致图象如图所示，易知直线过时，有3个交点；直线过时，有5个交点；直线过时，有3个交点；直线过时，有7个交点；在原点处的切线为直线，此时，有3个交点；结合图象知，故，故选D．
二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
【解析】
9．由题得，所以虚部为，所以选项A是错误的；对应的点在第一象限，选项B正确；，所以选项C是正确的；，则在复平面内对应的点的集合确定的图形是半径为1的圆及其内部，面积为，D选项正确，故选BCD．
10．从甲箱中摸一张卡片，红色卡片与绿色卡片不可能同时出现，所以与是互斥事件，故A正确；由题意知，，所以，故B错误；，所以
，故C正确；因为，故D错误，故选AC．
11．对于A，由已知可得，平面，则⊥平面，又平面，故平面平面，故A正确；对于B，易知两两垂直，则，故B正确；对于C，在中，，作，易证平面平面，则平面，故即为点到平面的距离，即，故C错误；对于D，因两两垂直，故三棱锥的外接球即是以为棱长的长方体的外接球，故球的半径为，则球的体积为，故D正确，故选ABD．
12．由条件知，令，则是奇函数且单调递增，所以有，即，则A正确；根据选项A知：，则当时，；当时，故是函数的极小值点，故B错误；
，令，则在上单调递增，在上单调递减，，故，故C错误；又在上单调递增，则，所以D正确，故选AD．
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
【解析】
13．．
14．二项展开式的通项公式为，令，即，，令，即，，所以的展开式中含项的系数为．
15．分别以所在直线为轴，A为坐标原点建立直角坐标系，则，设，则，所以
，则时有最小值，时有最大值，所以的取值范围是．
16．原式
．
四、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（本小题满分10分）
解：（1），所以．
当时，；当时，．
显然时也满足，故．………………………………………………（5分）
（2），
，，，
设，则，
．…………………………………………（10分）
18．（本小题满分12分）
（1）证明：因为，所以四点共面．
，，
又，，平面，平面，
，而，
．………………………………………………（4分）
（2）解：分别以，，为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，
则，，，．
……………………………………………（6分）
设平面的法向量为，因为，，
所以由得，，
不妨令，得，
又，………………………………………………（9分）
设直线和平面所成角为，则．
………………………………………………（12分）
19．（本小题满分12分）
解：
．………………………………………………（4分）
（1），，，，
故的值域是．
………………………………………………………………………（7分）
（2）由得，
，，
延长到点，使得，连接，易知是平行四边形．
在中，，，，
由余弦定理得，即，
，．…………………………………………（12分）
20．（本小题满分12分）
解：（1）由得，
所以． …………………（4分）
（2）由已知，复赛选手进入决赛的概率为0.0228，
又因为复赛成绩服从，而，
所以进入决赛的分数线为．
……………………………………………（8分）
（3）若乙所说消息为真，则决赛中获得特等奖的概率为，
由得，
，而，
所以甲获得99分是小概率事件，这几乎是不可能发生的．
根据统计学的相关原理，我们可以判断，乙所说的消息是不真实的．
………………………………………………（12分）
(注：答案不唯一，只要言之有理都可给分)
21．（本小题满分12分）
（1）解：函数的定义域为，，
当时，，当，；
故在上单调递减，在上单调递增．
…………………………………（4分）
（2）证明：令，则，
令，则，显然在上单调递增．
又，，故存在唯一的，使得．
从而在上单调递减，在上单调递增，
， ……………………………………………（8分）
又，两边取对数得，故，
，
故在上单调递增，所以，得证．
………………………………………（12分）
22．（本小题满分12分）
解：（1）由题意，，又，即；
，从而，，，
椭圆的方程为． ………………………………………………（4分）
（2）设，易得切线方程为，
联立得，
设，，由韦达定理得，，
所以．
………………………………………（7分）
易得直线的方程为，联立得，
设，，由韦达定理得，，
所以，
，……………………………………………（9分）
令，则，令，，
因为点，
在椭圆内，，即，解得，，
令，显然在上单调递减，
而，
，即，在上单调递减，
，故有最小值，
当点在原点处时，取最小值．……………………………………………（12分）题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
C
B
C
D
A
D
A
D
题号
9
10
11
12
答案
BCD
AC
ABD
AD
题号
13
14
15
16
答案
16
[−2，2]