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2023-2024学年浙江省温州市龙湾区部分学校九年级（上）联考数学试卷（10月份）（含解析）
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这是一份2023-2024学年浙江省温州市龙湾区部分学校九年级（上）联考数学试卷（10月份）（含解析），共13页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．下列各式中，y是关于x的二次函数的是（ ）
A．y＝2xB．y＝x+2C．D．y＝x2
2．一个布袋里装有6个球，分别是1个红球，2个白球，3个黑球，它们除颜色外都相同，从中任意摸出1个球，则下列事件中，发生可能性最大的是（ ）
A．摸出的是红球B．摸出的是白球
C．摸出的是黑球D．摸出的是绿球
3．若将抛物线y＝﹣5x2向右平移2个单位，得到的新抛物线的表达式为（ ）
A．y＝﹣5（x﹣2）2B．y＝﹣5（x+2）2
C．y＝﹣5x2﹣2D．y＝﹣5x2+2
4．实验小组做“任意抛掷一枚图钉”的重复试验，多次实验后获得如表数据：
由此可以估计任意抛掷一次图钉钉尖朝上的概率约为（ ）
A．0.50B．0.40C．0.38D．0.37
5．剪纸是我国民间艺术，入选“人类非物质文化遗产”，如图剪纸图案是一个中心对称图形，将其绕中心旋转一定角度后，依然与原图形重合，这个角度不可以是（ ）
A．60°B．90°C．120°D．180°
6．二次函数y＝ax2+bx+c图象上部分点的坐标满足如表：
则该函数图象的与y轴的交点坐标为（ ）
A．（0，﹣2）B．（0，﹣3）C．（0，2）D．（0，3）
7．若一个三角形的三边长为6，8，10，则这个三角形外接圆的半径是（ ）
A．3B．4C．5D．6
8．如图二次函数y＝ax2﹣2ax+c（a＜0）图象与x轴交于A，B两点（点A在x轴的负半轴），与y轴交于一点C，过C作CD⊥y轴交图象于点D，连结AC，OD，若AC∥DO，则点B的横坐标为（ ）
A．2B．3C．4D．5
9．如图，直角坐标系中A（0，4），B（4，4），C（6，2），经过A，B，C三点的圆，圆心为M，若线段DM＝4，则点D与⊙M的位置关系为（ ）
A．点D在⊙M上B．点D在⊙M外C．点D在⊙M内D．无法确定
10．已知二次函数y＝2x2+bx﹣1，当自变量x满足0≤x≤m时，﹣3≤y≤5，则m的值为（ ）
A．1B．3C．5D．1或3
二、填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分）
11．抛物线y＝﹣（x﹣1）2+2的顶点坐标是 ．
12．小球在如图所示的地板上自由滚动，并随机地停留在某块方砖上，每一块方砖除颜色外完全相同，它最终停留在黑色方砖上的概率是 ．
13．若抛物线y＝x2+bx+1的顶点在x轴上，则b＝ ．
14．如图，以矩形ABCD的边AB为直径作⊙O交另一边CD于点F，E，已知AB＝10，EF＝6，那么AD＝ ．
15．某超市购进一批单价为7元的生活用品，如果按每件10元出售，那么每天可销售20件．经调查发现，这种生活用品的销售单价每提高1元，其销售量相应减少4件，那么将销售价定为 元时，才能使每天所获销售利润最大．
16．图1是一个瓷碗，图2是其截面图，碗体DEC呈抛物线状（碗体厚度不计），碗口宽CD＝12cm，此时面汤最大深度EG＝8cm．
（1）当面汤的深度ET为4cm时，汤面的直径PQ长为 ；
（2）如图3，把瓷碗绕点B缓缓倾斜倒出部分面汤，当∠ABM＝45°时停止，此时碗中液面宽度CH＝ ．
三、解答题（本题有7小题，共66分．解答需写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程）
17．已知二次函数y＝﹣x2+bx+c经过点A（3，0）与B（0，3）．
（1）求b，c的值．
（2）求该二次函数图象的顶点坐标．
18．已知一个不透明的袋子中装有4个只有颜色不同的球，其中1个白球，3个红球．
（1）求从袋中随机摸出一个球是红球的概率．
（2）从袋中随机摸出一个球，记录颜色后放回，摇匀，再随机摸出一个球，请用树状图或列表法求两次摸出的球恰好颜色不同的概率．
（3）若在原袋子中再放入m个白球和m个红球，搅拌均匀后，使得随机从袋中摸出1个球，颜色是白色的概率为，求m的值．
19．如图所给的方格纸中，每个小正方形边长都是1，△ABC是格点三角形（顶点在方格顶点上的三角形叫做格点三角形）．
（1）在图1中画出将△ABC以点A为旋转中心，逆时针旋转90°得到的图形．
（2）在图2中画出△DEF，使△DEF与△ABC全等，且顶点A，B，C，D，E，F在同一个圆上．
20．已知二次函数y＝﹣x2+6x﹣5．
（1）当x取何值时，y＝0．
（2）当y≥0时，请直接在横线上写出x的取值范围为 ．
（3）当1≤x≤4时，求函数的最大值和最小值．
21．如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB垂足为E，连结AC，AD．
（1）求证：∠C＝∠D．
（2）若弦CD＝6，AC＝5，求⊙O的半径．
22．根据素材回答问题：
23．已知如图1，二次函数y＝x2﹣4x﹣5与x轴交于点A，C两点，且点A在点C的左侧，与y轴交于点B，连结AB．
（1）求点A、B的坐标；
（2）如图2，将点A向下平移n个单位得到D，将D向左平移m个单位得D1，将D1向左平移2m个单位得D2，若D1与D2均在抛物线上，求m，n的值；
（3）如图3，点P是x轴下方，抛物线对称轴右侧图象上的一点，连结PB，过P作PQ∥AB，与抛物线另一个交点为Q，M，N为AB上两点，且PM∥y轴，QN∥y轴．
①当△BPM为直角三角形时，求点P的坐标；
②是否存在点P使得PB与QN相互平分，若存在，求PQ的长，若不存在，说明理由．
参考答案
一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个正确选项，不选、多选、错选均不给分）
1．下列各式中，y是关于x的二次函数的是（ ）
A．y＝2xB．y＝x+2C．D．y＝x2
【分析】根据形如y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）的函数是二次函数，判断即可．
解：A、y＝2x是一次函数，故此选项不符合题意；
B、y＝x+2是一次函数，故此选项不符合题意；
C、y＝是反比例函数，故此选项不符合题意；
D、y＝x2是二次函数，故此选项符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了二次函数的定义，熟练掌握二次函数的一般形式是解题的关键．
2．一个布袋里装有6个球，分别是1个红球，2个白球，3个黑球，它们除颜色外都相同，从中任意摸出1个球，则下列事件中，发生可能性最大的是（ ）
A．摸出的是红球B．摸出的是白球
C．摸出的是黑球D．摸出的是绿球
【分析】个数最多的就是可能性最大的．
解：因为黑球最多，
所以被摸到的可能性最大．
故选：C．
【点评】本题主要考查可能性大小的比较：只要总情况数目相同，谁包含的情况数目多，谁的可能性就大；反之也成立；若包含的情况相同，那么它们的可能性就相等．
3．若将抛物线y＝﹣5x2向右平移2个单位，得到的新抛物线的表达式为（ ）
A．y＝﹣5（x﹣2）2B．y＝﹣5（x+2）2
C．y＝﹣5x2﹣2D．y＝﹣5x2+2
【分析】根据图象平移规律，可得答案．
解：将抛物线y＝﹣5x2向右平移2个单位，得到的新抛物线的表达式为y＝﹣5（x﹣2）2，
故选：A．
【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，利用平移规律：左加右减，上加下减是解题关键．
4．实验小组做“任意抛掷一枚图钉”的重复试验，多次实验后获得如表数据：
由此可以估计任意抛掷一次图钉钉尖朝上的概率约为（ ）
A．0.50B．0.40C．0.38D．0.37
【分析】观察表格的数据求出每次试验得到的频率可以得到图钉钉尖朝上的频率，然后用频率估计概率即可求解．
解：表中图钉钉尖朝上的频率分别为＝0.5，＝0.3，＝0.38，＝0.4，
图钉钉尖朝上频率逐渐稳定在0.4左右，
估计任意抛掷一枚图钉，图钉钉尖朝上的概率约为0.4．
故选：B．
【点评】此题主要考查了利用频率估计概率，首先通过实验得到事件的频率，然后用频率估计概率即可解决问题．
5．剪纸是我国民间艺术，入选“人类非物质文化遗产”，如图剪纸图案是一个中心对称图形，将其绕中心旋转一定角度后，依然与原图形重合，这个角度不可以是（ ）
A．60°B．90°C．120°D．180°
【分析】利用旋转变换的性质判断即可．
解：由图形知，该图形是旋转对称图形，
则旋转60°，120°，180°都可以与自身重合，
故选：B．
【点评】本题主要考查了旋转对称图形的特征，仔细观察图形求出旋转角是120°的整数倍是解题的关键．
6．二次函数y＝ax2+bx+c图象上部分点的坐标满足如表：
则该函数图象的与y轴的交点坐标为（ ）
A．（0，﹣2）B．（0，﹣3）C．（0，2）D．（0，3）
【分析】根据表格中的数据和二次函数的性质，可以得到该函数的对称轴，再根据表格中的数据可以得到点（0，m）与点（﹣3，﹣2）关于对称轴对称，从而可以得到m＝﹣2，本题得以解决．
解：由表格可知，
当x＝﹣2时和x＝﹣1时对应的函数值相等，
∴二次函数y＝ax2+bx+c的对称轴是直线x＝＝﹣，
∴点（0，m）与点（﹣3，﹣2）关于对称轴对称，
∴m＝﹣2，
∴该函数图象的与y轴的交点坐标为（0，﹣2），
故选：A．
【点评】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
7．若一个三角形的三边长为6，8，10，则这个三角形外接圆的半径是（ ）
A．3B．4C．5D．6
【分析】由勾股定理的逆定理证明三角形是直角三角形，由直角三角形的圆心为斜边中点，半径等于斜边的一半即可得出结果．
解：∵62+82＝102，
∴这个三角形是直角三角形，10是斜边长，
∵直角三角形的外接圆的圆心是斜边的中点，
∴三角形外接圆的半径＝斜边的一半＝×10＝5，
故选：C．
【点评】本题考查了三角形的外接圆、勾股定理的逆定理；熟练掌握勾股定理的逆定理，熟记直角三角形的圆心为斜边中点，半径等于斜边的一半是解决问题的关键．
8．如图二次函数y＝ax2﹣2ax+c（a＜0）图象与x轴交于A，B两点（点A在x轴的负半轴），与y轴交于一点C，过C作CD⊥y轴交图象于点D，连结AC，OD，若AC∥DO，则点B的横坐标为（ ）
A．2B．3C．4D．5
【分析】易得四边形AODC为平行四边形，则AO＝CD，求得抛物线的对称轴为直线x＝1，利用抛物线的对称性可得AO＝CD＝2，设点A的横坐标为x1，点B的横坐标为x2，于是x1＝﹣2，再根据根与系数的关系可得，求出x2即可．
解：∵CD⊥y轴，AO⊥y轴，
∴∠OCD＝∠AOC＝90°，
∴CD∥AO，
又∵AC∥DO，
∴四边形AODC为平行四边形，
∴AO＝CD，
∵二次函数y＝ax2﹣2ax+c的对称轴为直线x＝＝1，
根据抛物线的对称性可知，点A关于直线x＝1的对称点为点D，
∴点D的横坐标为2，即CD＝2，
∴AO＝CD＝2，
设点A的横坐标为x1，点B的横坐标为x2，
∴x1＝﹣2，
∵，
∴﹣2+x2＝2，
解得：x2＝4，
∴点B的横坐标为4．
故选：C．
【点评】本题主要考查平行四边形的判定与性质、二次函数的图象与性质、抛物线与x轴的交点坐标，利用平行四边形的性质和抛物线的对称性得出点A的横坐标是解题关键．
9．如图，直角坐标系中A（0，4），B（4，4），C（6，2），经过A，B，C三点的圆，圆心为M，若线段DM＝4，则点D与⊙M的位置关系为（ ）
A．点D在⊙M上B．点D在⊙M外C．点D在⊙M内D．无法确定
【分析】连接BC，作AB和BC的垂直平分线，交点为（2，0），则圆心M的坐标为（2，0），然后求出⊙M的半径，比较即可解答．
解：如图：
连接BC，作AB和BC的垂直平分线，交点为（2，0），
∴圆心M的坐标为（2，0），
∵A（0，4），
∴AM＝＝2，
∵线段DM＝4，
∴DM＜半径AM，
∴点D在⊙M内，
故选：C．
【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心，坐标与图形的性质，点与圆的位置关系，确定圆心的位置是解题的关键．
10．已知二次函数y＝2x2+bx﹣1，当自变量x满足0≤x≤m时，﹣3≤y≤5，则m的值为（ ）
A．1B．3C．5D．1或3
【分析】由解析式得到抛物线开口向上，对称轴为直线x＝﹣，最小值为，x＝0得y＝﹣1，根据题意对称轴在0﹣m之间，故，解得b＝﹣4，即可得出二次函数y＝2x2﹣4x﹣1，代入y＝5即可求得m的值．
解：∵y＝2x2+bx﹣1，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝﹣，最小值为，
在y＝2x2+bx﹣1中，令x＝0得y＝﹣1，
∵0≤x≤m时，﹣3≤y≤5，
∴，
解得b2＝16，
∵﹣＞0，
∴b＜0，
∴b＝﹣4，
∴二次函数y＝2x2﹣4x﹣1，
把y＝5代入得5＝2x2﹣4x﹣1，即2x2﹣4x﹣6＝0，
解得x＝3或﹣2（﹣2舍去），
∴m的值为3，
故选：B．
【点评】本题考查了二次函数图象上点坐标的特征，二次函数与一元二次方程的关系等知识，解题的关键是掌握二次函数图象的性质．
二、填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分）
11．抛物线y＝﹣（x﹣1）2+2的顶点坐标是 （1，2） ．
【分析】直接利用顶点式的特点可求顶点坐标．
解：∵y＝﹣（x﹣1）2+2是抛物线的顶点式，
∴顶点坐标为（1，2）．
故答案为：（1，2）．
【点评】此题考查二次函数的性质，掌握顶点式得性质是解决问题的关键．
12．小球在如图所示的地板上自由滚动，并随机地停留在某块方砖上，每一块方砖除颜色外完全相同，它最终停留在黑色方砖上的概率是 ．
【分析】根据几何概率的求法：最终停留在黑色的方砖上的概率就是黑色区域的面积与总面积的比值．
解：观察这个图可知：黑色区域（4块）的面积占总面积（9块）的，
则它最终停留在黑色方砖上的概率是；
故答案为：．
【点评】本题考查几何概率的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表示所求事件（A）；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件（A）发生的概率．
13．若抛物线y＝x2+bx+1的顶点在x轴上，则b＝ ±2 ．
【分析】由顶点在x轴上，可知抛物线与x轴有一个交点，利用一元二次方程根的判别式可得到关于b的方程，可求得b的值．
解：
∵抛物线y＝x2+bx+1的顶点在x轴上，
∴抛物线与x轴有一个交点，
∴方程x2+bx+1＝0有两个相等的实数根，
∴Δ＝0，即b2﹣4＝0，解得b＝±2，
故答案为：±2．
【点评】本题主要考查二次函数的性质，掌握函数图象与x轴的交点个数与一元二次方程的关系是解题的关键．
14．如图，以矩形ABCD的边AB为直径作⊙O交另一边CD于点F，E，已知AB＝10，EF＝6，那么AD＝ 4 ．
【分析】过点O作OM⊥CD于点M，连接OE，根据矩形的性质推出∠OBC＝∠C＝90°，AD＝BC，则四边形OBCM是矩形，根据矩形的性质得出OM＝BC＝AD，根据垂径定理求出ME＝3，根据勾股定理求解即可．
解：如图，过点O作OM⊥CD于点M，连接OE，
∴∠OMC＝90°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠OBC＝∠C＝90°，AD＝BC，
∴四边形OBCM是矩形，
∴OM＝BC＝AD，
∵OM⊥EF，EF＝6，
∴ME＝EF＝3，
∵OE＝AB＝5，
∴OM＝＝4，
∴AD＝4，
故答案为：4．
【点评】此题考查了垂径定理、矩形的性质，熟记垂径定理及矩形的性质是解题的关键．
15．某超市购进一批单价为7元的生活用品，如果按每件10元出售，那么每天可销售20件．经调查发现，这种生活用品的销售单价每提高1元，其销售量相应减少4件，那么将销售价定为 11 元时，才能使每天所获销售利润最大．
【分析】根据题意列出二次函数关系式，根据二次函数的性质即可得到结论．
解：设销售单价定为x元（x≥10），每天所获利润为y元，
则y＝[20﹣4（x﹣10）]•（x﹣7）
＝﹣4x2+88x﹣420
＝﹣4（x﹣11）2+64，
所以将销售定价定为11元时，才能使每天所获销售利润最大．
故答案为：11．
【点评】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的函数关系式，利用二次函数的性质解答．
16．图1是一个瓷碗，图2是其截面图，碗体DEC呈抛物线状（碗体厚度不计），碗口宽CD＝12cm，此时面汤最大深度EG＝8cm．
（1）当面汤的深度ET为4cm时，汤面的直径PQ长为 6 ；
（2）如图3，把瓷碗绕点B缓缓倾斜倒出部分面汤，当∠ABM＝45°时停止，此时碗中液面宽度CH＝ ．
【分析】（1）设点E的坐标为：（0，c），则抛物线的表达式为：y＝ax2+c，则点C的坐标为：（6，8+c），点Q（x，4+c），再用待定系数法即可求解；
（2）确定直线CH的表达式为：y＝x﹣6+8+c＝x+2+c，求出x1+x2＝，x1x2＝﹣9，进而求解．
解：（1）以F为原点，直线AB为x轴，直线EF为y轴，建立平面直角坐标系，如图：
设点E的坐标为：（0，c），则抛物线的表达式为：y＝ax2+c，
则点C的坐标为：（6，8+c），点Q（x，4+c），
将点C、Q的坐标代入抛物线表达式得：
，解得：，
即抛物线的表达式为：y＝x2+c①，
PQ＝2xQ＝6，
故答案为：6；
（2）将瓷碗绕点B缓缓倾斜倒出部分面汤，当∠ABK＝45°时停止，所以旋转前CH与水平方向的夹角为45°，
设直线CH的解析式为y＝x+b，
将点C的坐标代入上式的：直线CH的表达式为：y＝x﹣6+8+c＝x+2+c②，
联立①②并整理得：2x2﹣9x﹣18＝0，
则x1+x2＝，x1x2＝﹣9，
则（x1﹣x2）2＝（x1+x2）2﹣4x1x2＝，
则|x1﹣x2|＝，
由CH的表达式知，其和x轴的夹角为45°，
则CH＝|x1﹣x2|＝，
故答案为：．
【点评】本题考查了二次函数，一次函数以及直角三角形在实际生活中的应用，建立合适的直角坐标系和待定系数法求解析式是解题的关键．
三、解答题（本题有7小题，共66分．解答需写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程）
17．已知二次函数y＝﹣x2+bx+c经过点A（3，0）与B（0，3）．
（1）求b，c的值．
（2）求该二次函数图象的顶点坐标．
【分析】（1）将两点坐标代入二次函数解析式得到关于b与c的方程组，求出方程组的解即可得到b与c的值；
（2）二次函数解析式化为顶点形式，即可求出顶点坐标．
解：（1）将（3，0），（0，3）代入二次函数解析式得：，
解得：；
（2）二次函数解析式为y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
则顶点坐标为（1，4）．
【点评】此题考查了待定系数法求二次函数解析式，以及二次函数的性质，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．
18．已知一个不透明的袋子中装有4个只有颜色不同的球，其中1个白球，3个红球．
（1）求从袋中随机摸出一个球是红球的概率．
（2）从袋中随机摸出一个球，记录颜色后放回，摇匀，再随机摸出一个球，请用树状图或列表法求两次摸出的球恰好颜色不同的概率．
（3）若在原袋子中再放入m个白球和m个红球，搅拌均匀后，使得随机从袋中摸出1个球，颜色是白色的概率为，求m的值．
【分析】（1）直接利用概率公式计算可得；
（2）先列表得出所有等可能结果，再从中找到符合条件的结果数，继而利用概率公式求解可得；
（3）根据已知列出关于m的方程，解之可得．
解：（1）∵袋中共有4个小球，其中红球有3个，
∴从袋中随机摸出一个球是红球的概率为；
表知共有49种等可能结果，其中两次摸出的球恰好颜色不同的有20种结果，
∴两次摸出的球恰好颜色不同的概率为；
（2）列表如下：
由表知共有16种等可能结果，其中两次摸出的球恰好颜色不同的有6种结果，
∴两次摸出的球恰好颜色不同的概率为＝；
（3）根据题意，得：
＝，
解得m＝3；
∴m的值为3．
【点评】此题考查了概率公式的应用．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
19．如图所给的方格纸中，每个小正方形边长都是1，△ABC是格点三角形（顶点在方格顶点上的三角形叫做格点三角形）．
（1）在图1中画出将△ABC以点A为旋转中心，逆时针旋转90°得到的图形．
（2）在图2中画出△DEF，使△DEF与△ABC全等，且顶点A，B，C，D，E，F在同一个圆上．
【分析】（1）根据旋转的性质作图即可．
（2）取格点O，使OA＝OB＝OC，延长AO至点D，延长BO至点E，延长CO至点F，连接DE，DF，EF即可．
解：（1）如图，△AB'C'即为所求．
（2）如图，△DEF即为所求（答案不唯一）．
【点评】本题考查作图﹣旋转变换、全等三角形的判定、点与圆的位置关系，熟练掌握旋转的性质、全等三角形的判定、点与圆的位置关系是解答本题的关键．
20．已知二次函数y＝﹣x2+6x﹣5．
（1）当x取何值时，y＝0．
（2）当y≥0时，请直接在横线上写出x的取值范围为 1≤x≤5 ．
（3）当1≤x≤4时，求函数的最大值和最小值．
【分析】（1）依据题意，令y＝0，进而计算可以得解；
（2）依据题意，结合（1）所得，由当y≥0时，对应图象不在x轴下方部分对应的自变量即为所求；
（3）依据题意，y＝﹣x2+6x﹣5＝﹣（x﹣3）2+4，再结合1≤x≤4，进而计算可以得解．
解：（1）由题意，令﹣x2+6x﹣5＝0，
∴x＝1 或 x＝5．
（2）由题意，结合（1）所得，由当y≥0时，对应图象不在x轴下方部分对应的自变量即为所求，
∴1≤x≤5．
故答案为：1≤x≤5．
（3）由y＝﹣x2+6x﹣5得：y＝﹣（x﹣3）2+4，
∴当x＝3时，y最大值为4．
∴当1≤x≤4时，函数的最大值为4，最小值为0．
【点评】本题主要考查二次函数的性质，将二次函数的一般式配方成顶点式是了解二次函数性质的关键．
21．如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB垂足为E，连结AC，AD．
（1）求证：∠C＝∠D．
（2）若弦CD＝6，AC＝5，求⊙O的半径．
【分析】（1）根据垂径定理得出CE＝DE，根据线段垂直平分线的判定定理推出AC＝AD，根据等腰三角形的性质即可得解；
（2）根据垂径定理求出CE＝3，根据勾股定理求出AE＝4，连结OC，设半径为r，根据勾股定理得出r2＝（4﹣r）2+32，据此求解即可．
【解答】（1）证明：∵AB是直径，AB⊥CD，
∴CE＝DE，
∴AC＝AD，
∴∠C＝∠D；
（2）解：∵AB⊥DC，CD＝6，
∴CE＝CD＝3，
在Rt△ACE中，AC＝5，
∴AE＝＝4，
连结OC，设半径为r，
在Rt△OCE中，OC2＝OE2+CE2，
∴r2＝（4﹣r）2+32，
∴，
即⊙O的半径为．
【点评】此题考查了垂径定理、勾股定理，熟记垂径定理、勾股定理是解题的关键．
22．根据素材回答问题：
【分析】根据矩形的面积公式列出函数解析式，根据二次函数的性质即可得到结论．
解：任务1：如图2，由题意知：EF＝16m，FG＝14m，矩形OEFG面积为224m2，
224﹣16＝208（m2），
答：花圃的面积为208m2；
任务2：由图3，设EF＝x，花圃面积为y，
由题意得：y＝10x+8（12﹣x）+40+80+32＝2x+248，
当x＝12时，y有最大值为272m2；
由图4，设EF＝x，花圃面积为y，
则FG＝22﹣x，
由题意得：y＝x（22﹣x）+40+80+32，
配方得，y＝﹣（x﹣11）2+273，
当x＝11时，y有最大值为273m2，
所以：图4方案的最大面积更大，为273m2；
项目反思：由图5，设GF＝2xm，花圃面积为ym2，则FE＝（22﹣2x）m，
由题意得：y＝x（22﹣2x）++40+80+32，
则 ；
∴图5方案最大面积更大．
【点评】本题考查了二次函数的应用，正确的求出函数解析式是解题的关键．
23．已知如图1，二次函数y＝x2﹣4x﹣5与x轴交于点A，C两点，且点A在点C的左侧，与y轴交于点B，连结AB．
（1）求点A、B的坐标；
（2）如图2，将点A向下平移n个单位得到D，将D向左平移m个单位得D1，将D1向左平移2m个单位得D2，若D1与D2均在抛物线上，求m，n的值；
（3）如图3，点P是x轴下方，抛物线对称轴右侧图象上的一点，连结PB，过P作PQ∥AB，与抛物线另一个交点为Q，M，N为AB上两点，且PM∥y轴，QN∥y轴．
①当△BPM为直角三角形时，求点P的坐标；
②是否存在点P使得PB与QN相互平分，若存在，求PQ的长，若不存在，说明理由．
【分析】（1）对于y＝x2﹣4x﹣5，当x＝0时，y＝﹣5，令y＝x2﹣4x﹣5＝0，则x＝5或﹣1，即可求解；
（2）由题意得：点D的坐标为：（5，﹣n），点D1（5﹣m，﹣n），点D2（5﹣3m，﹣n），则2＝（5﹣m+5﹣3m），进而求解；
（3）①当∠BPM＝90°时，则BP＝MP，即可求解；当∠MBP＝90°时，同理可解；
②证明N是BM的中点，得到xM﹣xN＝t＝xP﹣xQ＝yP﹣yQ，即可求解．
解：（1）对于y＝x2﹣4x﹣5，当x＝0时，y＝﹣5，
令y＝x2﹣4x﹣5＝0，则x＝5或﹣1，
即：A（5，0），B（0，﹣5）；
（2）由题意抛物线对称轴为x＝2，
则点D的坐标为：（5，﹣n），点D1（5﹣m，﹣n），点D2（5﹣3m，﹣n），
则2＝（5﹣m+5﹣3m），
解得：m＝，
则D2的横坐标为：，
当x＝时，代入y＝x2﹣4x﹣5＝，
∴n＝；
（3）①由点A、B的坐标得，直线AB的表达式为y＝x﹣5，
设点P的横坐标为t，则M（t，t﹣5），P（t，t2﹣4t﹣5），
∴PM＝﹣t2+5t，
当∠BPM＝90°时，则BP＝MP，
∴t＝﹣t2+5t，
∴t＝4，
则点P（4，﹣5）；
当∠MBP＝90°时，
则2t＝MP，
∴2t＝﹣t2+5t，
∴t＝3，
即点P（3，﹣80），
综上，点P的坐标为：（4，﹣5）或（3，﹣80）；
②存在，理由：
∵PB 与 QN相互平分，
则四边形NBQP为平行四边形，
则BN＝PQ，
∵AB∥PQ，MP∥NQ，
∴四边形PQNM是平行四边形，
∴PQ＝MN，
∴BN＝MN，
∴N是BM的中点，
设点M的横坐标为t，
∴点N，Q的横坐标均为t，则xM﹣xN＝t＝xP﹣xQ，
∴P（t，t2﹣4t﹣5），Q（ t，），
∵AB与x轴夹角为45°，
∴PQ与x轴夹角为45°，
则xM﹣xN＝t＝xP﹣xQ＝yP﹣yQ，PQ＝×t，
∴yP﹣t＝yQ，
即t2﹣4t﹣5﹣t＝，
解得：t＝，
则PQ＝t＝．
【点评】本题为二次函数综合题，主要考查二次函数解析式的求法及其性质、与x轴的交点和图象的几何变换等，综合性较强，有一定难度，计算量不小，要求学生有一定的分析推理能力．
重复实验次数
100
500
1000
5000
…
钉尖朝上次数
50
150
380
2000
…
x
…
﹣3
﹣2
﹣1
0
1
2
…
y
…
﹣2
﹣3
﹣3
m
0
3
…
素材1
如图1，空地上有两条互相垂直的小路OP，OQ，中间有一正方形ABCD水池，已知水池的边长为4米，AB//OQ，AD//OP，且AB与OQ的距离为10米，AD与OP的距离为8米．
素材2
现利用两条小路，再购置30米长的栅栏（图中的细实线）在空地上围出一个花圃，要求围起来的栅栏与小路相互平行（或垂直），靠小路和水池的都不需要栅栏，接口损耗忽略不计．
任务1
任务2
小明同学按如图2的设计，若EF＝16米，求出花圃的面积（不包含水池的面积）．
若按如图3、如图4设计方案，通过计算说明哪种方案的最大面积更大．
项目反思
如果栅栏不一定与墙面垂直（或平行），你还能设计出比以上方案面积更大的花圃吗？某学习小组在探究的过程中，设计了方案如图5，你认为图5的最大面积与以上方案比较，哪个更大，请通过计算说明．
重复实验次数
100
500
1000
5000
…
钉尖朝上次数
50
150
380
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…
x
…
﹣3
﹣2
﹣1
0
1
2
…
y
…
﹣2
﹣3
﹣3
m
0
3
…
白
红
红
红
白
（白，白）
（红，白）
（红，白）
（红，白）
红
（白，红）
（红，红）
（红，红）
（红，红）
红
（白，红）
（红，红）
（红，红）
（红，红）
红
（白，红）
（红，红）
（红，红）
（红，红）
素材1
如图1，空地上有两条互相垂直的小路OP，OQ，中间有一正方形ABCD水池，已知水池的边长为4米，AB//OQ，AD//OP，且AB与OQ的距离为10米，AD与OP的距离为8米．
素材2
现利用两条小路，再购置30米长的栅栏（图中的细实线）在空地上围出一个花圃，要求围起来的栅栏与小路相互平行（或垂直），靠小路和水池的都不需要栅栏，接口损耗忽略不计．
任务1
任务2
小明同学按如图2的设计，若EF＝16米，求出花圃的面积（不包含水池的面积）．
若按如图3、如图4设计方案，通过计算说明哪种方案的最大面积更大．
项目反思
如果栅栏不一定与墙面垂直（或平行），你还能设计出比以上方案面积更大的花圃吗？某学习小组在探究的过程中，设计了方案如图5，你认为图5的最大面积与以上方案比较，哪个更大，请通过计算说明．
1．下列各式中，y是关于x的二次函数的是（ ）
A．y＝2xB．y＝x+2C．D．y＝x2
2．一个布袋里装有6个球，分别是1个红球，2个白球，3个黑球，它们除颜色外都相同，从中任意摸出1个球，则下列事件中，发生可能性最大的是（ ）
A．摸出的是红球B．摸出的是白球
C．摸出的是黑球D．摸出的是绿球
3．若将抛物线y＝﹣5x2向右平移2个单位，得到的新抛物线的表达式为（ ）
A．y＝﹣5（x﹣2）2B．y＝﹣5（x+2）2
C．y＝﹣5x2﹣2D．y＝﹣5x2+2
4．实验小组做“任意抛掷一枚图钉”的重复试验，多次实验后获得如表数据：
由此可以估计任意抛掷一次图钉钉尖朝上的概率约为（ ）
A．0.50B．0.40C．0.38D．0.37
5．剪纸是我国民间艺术，入选“人类非物质文化遗产”，如图剪纸图案是一个中心对称图形，将其绕中心旋转一定角度后，依然与原图形重合，这个角度不可以是（ ）
A．60°B．90°C．120°D．180°
6．二次函数y＝ax2+bx+c图象上部分点的坐标满足如表：
则该函数图象的与y轴的交点坐标为（ ）
A．（0，﹣2）B．（0，﹣3）C．（0，2）D．（0，3）
7．若一个三角形的三边长为6，8，10，则这个三角形外接圆的半径是（ ）
A．3B．4C．5D．6
8．如图二次函数y＝ax2﹣2ax+c（a＜0）图象与x轴交于A，B两点（点A在x轴的负半轴），与y轴交于一点C，过C作CD⊥y轴交图象于点D，连结AC，OD，若AC∥DO，则点B的横坐标为（ ）
A．2B．3C．4D．5
9．如图，直角坐标系中A（0，4），B（4，4），C（6，2），经过A，B，C三点的圆，圆心为M，若线段DM＝4，则点D与⊙M的位置关系为（ ）
A．点D在⊙M上B．点D在⊙M外C．点D在⊙M内D．无法确定
10．已知二次函数y＝2x2+bx﹣1，当自变量x满足0≤x≤m时，﹣3≤y≤5，则m的值为（ ）
A．1B．3C．5D．1或3
二、填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分）
11．抛物线y＝﹣（x﹣1）2+2的顶点坐标是 ．
12．小球在如图所示的地板上自由滚动，并随机地停留在某块方砖上，每一块方砖除颜色外完全相同，它最终停留在黑色方砖上的概率是 ．
13．若抛物线y＝x2+bx+1的顶点在x轴上，则b＝ ．
14．如图，以矩形ABCD的边AB为直径作⊙O交另一边CD于点F，E，已知AB＝10，EF＝6，那么AD＝ ．
15．某超市购进一批单价为7元的生活用品，如果按每件10元出售，那么每天可销售20件．经调查发现，这种生活用品的销售单价每提高1元，其销售量相应减少4件，那么将销售价定为 元时，才能使每天所获销售利润最大．
16．图1是一个瓷碗，图2是其截面图，碗体DEC呈抛物线状（碗体厚度不计），碗口宽CD＝12cm，此时面汤最大深度EG＝8cm．
（1）当面汤的深度ET为4cm时，汤面的直径PQ长为 ；
（2）如图3，把瓷碗绕点B缓缓倾斜倒出部分面汤，当∠ABM＝45°时停止，此时碗中液面宽度CH＝ ．
三、解答题（本题有7小题，共66分．解答需写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程）
17．已知二次函数y＝﹣x2+bx+c经过点A（3，0）与B（0，3）．
（1）求b，c的值．
（2）求该二次函数图象的顶点坐标．
18．已知一个不透明的袋子中装有4个只有颜色不同的球，其中1个白球，3个红球．
（1）求从袋中随机摸出一个球是红球的概率．
（2）从袋中随机摸出一个球，记录颜色后放回，摇匀，再随机摸出一个球，请用树状图或列表法求两次摸出的球恰好颜色不同的概率．
（3）若在原袋子中再放入m个白球和m个红球，搅拌均匀后，使得随机从袋中摸出1个球，颜色是白色的概率为，求m的值．
19．如图所给的方格纸中，每个小正方形边长都是1，△ABC是格点三角形（顶点在方格顶点上的三角形叫做格点三角形）．
（1）在图1中画出将△ABC以点A为旋转中心，逆时针旋转90°得到的图形．
（2）在图2中画出△DEF，使△DEF与△ABC全等，且顶点A，B，C，D，E，F在同一个圆上．
20．已知二次函数y＝﹣x2+6x﹣5．
（1）当x取何值时，y＝0．
（2）当y≥0时，请直接在横线上写出x的取值范围为 ．
（3）当1≤x≤4时，求函数的最大值和最小值．
21．如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB垂足为E，连结AC，AD．
（1）求证：∠C＝∠D．
（2）若弦CD＝6，AC＝5，求⊙O的半径．
22．根据素材回答问题：
23．已知如图1，二次函数y＝x2﹣4x﹣5与x轴交于点A，C两点，且点A在点C的左侧，与y轴交于点B，连结AB．
（1）求点A、B的坐标；
（2）如图2，将点A向下平移n个单位得到D，将D向左平移m个单位得D1，将D1向左平移2m个单位得D2，若D1与D2均在抛物线上，求m，n的值；
（3）如图3，点P是x轴下方，抛物线对称轴右侧图象上的一点，连结PB，过P作PQ∥AB，与抛物线另一个交点为Q，M，N为AB上两点，且PM∥y轴，QN∥y轴．
①当△BPM为直角三角形时，求点P的坐标；
②是否存在点P使得PB与QN相互平分，若存在，求PQ的长，若不存在，说明理由．
参考答案
一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个正确选项，不选、多选、错选均不给分）
1．下列各式中，y是关于x的二次函数的是（ ）
A．y＝2xB．y＝x+2C．D．y＝x2
【分析】根据形如y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）的函数是二次函数，判断即可．
解：A、y＝2x是一次函数，故此选项不符合题意；
B、y＝x+2是一次函数，故此选项不符合题意；
C、y＝是反比例函数，故此选项不符合题意；
D、y＝x2是二次函数，故此选项符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了二次函数的定义，熟练掌握二次函数的一般形式是解题的关键．
2．一个布袋里装有6个球，分别是1个红球，2个白球，3个黑球，它们除颜色外都相同，从中任意摸出1个球，则下列事件中，发生可能性最大的是（ ）
A．摸出的是红球B．摸出的是白球
C．摸出的是黑球D．摸出的是绿球
【分析】个数最多的就是可能性最大的．
解：因为黑球最多，
所以被摸到的可能性最大．
故选：C．
【点评】本题主要考查可能性大小的比较：只要总情况数目相同，谁包含的情况数目多，谁的可能性就大；反之也成立；若包含的情况相同，那么它们的可能性就相等．
3．若将抛物线y＝﹣5x2向右平移2个单位，得到的新抛物线的表达式为（ ）
A．y＝﹣5（x﹣2）2B．y＝﹣5（x+2）2
C．y＝﹣5x2﹣2D．y＝﹣5x2+2
【分析】根据图象平移规律，可得答案．
解：将抛物线y＝﹣5x2向右平移2个单位，得到的新抛物线的表达式为y＝﹣5（x﹣2）2，
故选：A．
【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，利用平移规律：左加右减，上加下减是解题关键．
4．实验小组做“任意抛掷一枚图钉”的重复试验，多次实验后获得如表数据：
由此可以估计任意抛掷一次图钉钉尖朝上的概率约为（ ）
A．0.50B．0.40C．0.38D．0.37
【分析】观察表格的数据求出每次试验得到的频率可以得到图钉钉尖朝上的频率，然后用频率估计概率即可求解．
解：表中图钉钉尖朝上的频率分别为＝0.5，＝0.3，＝0.38，＝0.4，
图钉钉尖朝上频率逐渐稳定在0.4左右，
估计任意抛掷一枚图钉，图钉钉尖朝上的概率约为0.4．
故选：B．
【点评】此题主要考查了利用频率估计概率，首先通过实验得到事件的频率，然后用频率估计概率即可解决问题．
5．剪纸是我国民间艺术，入选“人类非物质文化遗产”，如图剪纸图案是一个中心对称图形，将其绕中心旋转一定角度后，依然与原图形重合，这个角度不可以是（ ）
A．60°B．90°C．120°D．180°
【分析】利用旋转变换的性质判断即可．
解：由图形知，该图形是旋转对称图形，
则旋转60°，120°，180°都可以与自身重合，
故选：B．
【点评】本题主要考查了旋转对称图形的特征，仔细观察图形求出旋转角是120°的整数倍是解题的关键．
6．二次函数y＝ax2+bx+c图象上部分点的坐标满足如表：
则该函数图象的与y轴的交点坐标为（ ）
A．（0，﹣2）B．（0，﹣3）C．（0，2）D．（0，3）
【分析】根据表格中的数据和二次函数的性质，可以得到该函数的对称轴，再根据表格中的数据可以得到点（0，m）与点（﹣3，﹣2）关于对称轴对称，从而可以得到m＝﹣2，本题得以解决．
解：由表格可知，
当x＝﹣2时和x＝﹣1时对应的函数值相等，
∴二次函数y＝ax2+bx+c的对称轴是直线x＝＝﹣，
∴点（0，m）与点（﹣3，﹣2）关于对称轴对称，
∴m＝﹣2，
∴该函数图象的与y轴的交点坐标为（0，﹣2），
故选：A．
【点评】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
7．若一个三角形的三边长为6，8，10，则这个三角形外接圆的半径是（ ）
A．3B．4C．5D．6
【分析】由勾股定理的逆定理证明三角形是直角三角形，由直角三角形的圆心为斜边中点，半径等于斜边的一半即可得出结果．
解：∵62+82＝102，
∴这个三角形是直角三角形，10是斜边长，
∵直角三角形的外接圆的圆心是斜边的中点，
∴三角形外接圆的半径＝斜边的一半＝×10＝5，
故选：C．
【点评】本题考查了三角形的外接圆、勾股定理的逆定理；熟练掌握勾股定理的逆定理，熟记直角三角形的圆心为斜边中点，半径等于斜边的一半是解决问题的关键．
8．如图二次函数y＝ax2﹣2ax+c（a＜0）图象与x轴交于A，B两点（点A在x轴的负半轴），与y轴交于一点C，过C作CD⊥y轴交图象于点D，连结AC，OD，若AC∥DO，则点B的横坐标为（ ）
A．2B．3C．4D．5
【分析】易得四边形AODC为平行四边形，则AO＝CD，求得抛物线的对称轴为直线x＝1，利用抛物线的对称性可得AO＝CD＝2，设点A的横坐标为x1，点B的横坐标为x2，于是x1＝﹣2，再根据根与系数的关系可得，求出x2即可．
解：∵CD⊥y轴，AO⊥y轴，
∴∠OCD＝∠AOC＝90°，
∴CD∥AO，
又∵AC∥DO，
∴四边形AODC为平行四边形，
∴AO＝CD，
∵二次函数y＝ax2﹣2ax+c的对称轴为直线x＝＝1，
根据抛物线的对称性可知，点A关于直线x＝1的对称点为点D，
∴点D的横坐标为2，即CD＝2，
∴AO＝CD＝2，
设点A的横坐标为x1，点B的横坐标为x2，
∴x1＝﹣2，
∵，
∴﹣2+x2＝2，
解得：x2＝4，
∴点B的横坐标为4．
故选：C．
【点评】本题主要考查平行四边形的判定与性质、二次函数的图象与性质、抛物线与x轴的交点坐标，利用平行四边形的性质和抛物线的对称性得出点A的横坐标是解题关键．
9．如图，直角坐标系中A（0，4），B（4，4），C（6，2），经过A，B，C三点的圆，圆心为M，若线段DM＝4，则点D与⊙M的位置关系为（ ）
A．点D在⊙M上B．点D在⊙M外C．点D在⊙M内D．无法确定
【分析】连接BC，作AB和BC的垂直平分线，交点为（2，0），则圆心M的坐标为（2，0），然后求出⊙M的半径，比较即可解答．
解：如图：
连接BC，作AB和BC的垂直平分线，交点为（2，0），
∴圆心M的坐标为（2，0），
∵A（0，4），
∴AM＝＝2，
∵线段DM＝4，
∴DM＜半径AM，
∴点D在⊙M内，
故选：C．
【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心，坐标与图形的性质，点与圆的位置关系，确定圆心的位置是解题的关键．
10．已知二次函数y＝2x2+bx﹣1，当自变量x满足0≤x≤m时，﹣3≤y≤5，则m的值为（ ）
A．1B．3C．5D．1或3
【分析】由解析式得到抛物线开口向上，对称轴为直线x＝﹣，最小值为，x＝0得y＝﹣1，根据题意对称轴在0﹣m之间，故，解得b＝﹣4，即可得出二次函数y＝2x2﹣4x﹣1，代入y＝5即可求得m的值．
解：∵y＝2x2+bx﹣1，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝﹣，最小值为，
在y＝2x2+bx﹣1中，令x＝0得y＝﹣1，
∵0≤x≤m时，﹣3≤y≤5，
∴，
解得b2＝16，
∵﹣＞0，
∴b＜0，
∴b＝﹣4，
∴二次函数y＝2x2﹣4x﹣1，
把y＝5代入得5＝2x2﹣4x﹣1，即2x2﹣4x﹣6＝0，
解得x＝3或﹣2（﹣2舍去），
∴m的值为3，
故选：B．
【点评】本题考查了二次函数图象上点坐标的特征，二次函数与一元二次方程的关系等知识，解题的关键是掌握二次函数图象的性质．
二、填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分）
11．抛物线y＝﹣（x﹣1）2+2的顶点坐标是 （1，2） ．
【分析】直接利用顶点式的特点可求顶点坐标．
解：∵y＝﹣（x﹣1）2+2是抛物线的顶点式，
∴顶点坐标为（1，2）．
故答案为：（1，2）．
【点评】此题考查二次函数的性质，掌握顶点式得性质是解决问题的关键．
12．小球在如图所示的地板上自由滚动，并随机地停留在某块方砖上，每一块方砖除颜色外完全相同，它最终停留在黑色方砖上的概率是 ．
【分析】根据几何概率的求法：最终停留在黑色的方砖上的概率就是黑色区域的面积与总面积的比值．
解：观察这个图可知：黑色区域（4块）的面积占总面积（9块）的，
则它最终停留在黑色方砖上的概率是；
故答案为：．
【点评】本题考查几何概率的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表示所求事件（A）；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件（A）发生的概率．
13．若抛物线y＝x2+bx+1的顶点在x轴上，则b＝ ±2 ．
【分析】由顶点在x轴上，可知抛物线与x轴有一个交点，利用一元二次方程根的判别式可得到关于b的方程，可求得b的值．
解：
∵抛物线y＝x2+bx+1的顶点在x轴上，
∴抛物线与x轴有一个交点，
∴方程x2+bx+1＝0有两个相等的实数根，
∴Δ＝0，即b2﹣4＝0，解得b＝±2，
故答案为：±2．
【点评】本题主要考查二次函数的性质，掌握函数图象与x轴的交点个数与一元二次方程的关系是解题的关键．
14．如图，以矩形ABCD的边AB为直径作⊙O交另一边CD于点F，E，已知AB＝10，EF＝6，那么AD＝ 4 ．
【分析】过点O作OM⊥CD于点M，连接OE，根据矩形的性质推出∠OBC＝∠C＝90°，AD＝BC，则四边形OBCM是矩形，根据矩形的性质得出OM＝BC＝AD，根据垂径定理求出ME＝3，根据勾股定理求解即可．
解：如图，过点O作OM⊥CD于点M，连接OE，
∴∠OMC＝90°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠OBC＝∠C＝90°，AD＝BC，
∴四边形OBCM是矩形，
∴OM＝BC＝AD，
∵OM⊥EF，EF＝6，
∴ME＝EF＝3，
∵OE＝AB＝5，
∴OM＝＝4，
∴AD＝4，
故答案为：4．
【点评】此题考查了垂径定理、矩形的性质，熟记垂径定理及矩形的性质是解题的关键．
15．某超市购进一批单价为7元的生活用品，如果按每件10元出售，那么每天可销售20件．经调查发现，这种生活用品的销售单价每提高1元，其销售量相应减少4件，那么将销售价定为 11 元时，才能使每天所获销售利润最大．
【分析】根据题意列出二次函数关系式，根据二次函数的性质即可得到结论．
解：设销售单价定为x元（x≥10），每天所获利润为y元，
则y＝[20﹣4（x﹣10）]•（x﹣7）
＝﹣4x2+88x﹣420
＝﹣4（x﹣11）2+64，
所以将销售定价定为11元时，才能使每天所获销售利润最大．
故答案为：11．
【点评】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的函数关系式，利用二次函数的性质解答．
16．图1是一个瓷碗，图2是其截面图，碗体DEC呈抛物线状（碗体厚度不计），碗口宽CD＝12cm，此时面汤最大深度EG＝8cm．
（1）当面汤的深度ET为4cm时，汤面的直径PQ长为 6 ；
（2）如图3，把瓷碗绕点B缓缓倾斜倒出部分面汤，当∠ABM＝45°时停止，此时碗中液面宽度CH＝ ．
【分析】（1）设点E的坐标为：（0，c），则抛物线的表达式为：y＝ax2+c，则点C的坐标为：（6，8+c），点Q（x，4+c），再用待定系数法即可求解；
（2）确定直线CH的表达式为：y＝x﹣6+8+c＝x+2+c，求出x1+x2＝，x1x2＝﹣9，进而求解．
解：（1）以F为原点，直线AB为x轴，直线EF为y轴，建立平面直角坐标系，如图：
设点E的坐标为：（0，c），则抛物线的表达式为：y＝ax2+c，
则点C的坐标为：（6，8+c），点Q（x，4+c），
将点C、Q的坐标代入抛物线表达式得：
，解得：，
即抛物线的表达式为：y＝x2+c①，
PQ＝2xQ＝6，
故答案为：6；
（2）将瓷碗绕点B缓缓倾斜倒出部分面汤，当∠ABK＝45°时停止，所以旋转前CH与水平方向的夹角为45°，
设直线CH的解析式为y＝x+b，
将点C的坐标代入上式的：直线CH的表达式为：y＝x﹣6+8+c＝x+2+c②，
联立①②并整理得：2x2﹣9x﹣18＝0，
则x1+x2＝，x1x2＝﹣9，
则（x1﹣x2）2＝（x1+x2）2﹣4x1x2＝，
则|x1﹣x2|＝，
由CH的表达式知，其和x轴的夹角为45°，
则CH＝|x1﹣x2|＝，
故答案为：．
【点评】本题考查了二次函数，一次函数以及直角三角形在实际生活中的应用，建立合适的直角坐标系和待定系数法求解析式是解题的关键．
三、解答题（本题有7小题，共66分．解答需写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程）
17．已知二次函数y＝﹣x2+bx+c经过点A（3，0）与B（0，3）．
（1）求b，c的值．
（2）求该二次函数图象的顶点坐标．
【分析】（1）将两点坐标代入二次函数解析式得到关于b与c的方程组，求出方程组的解即可得到b与c的值；
（2）二次函数解析式化为顶点形式，即可求出顶点坐标．
解：（1）将（3，0），（0，3）代入二次函数解析式得：，
解得：；
（2）二次函数解析式为y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
则顶点坐标为（1，4）．
【点评】此题考查了待定系数法求二次函数解析式，以及二次函数的性质，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．
18．已知一个不透明的袋子中装有4个只有颜色不同的球，其中1个白球，3个红球．
（1）求从袋中随机摸出一个球是红球的概率．
（2）从袋中随机摸出一个球，记录颜色后放回，摇匀，再随机摸出一个球，请用树状图或列表法求两次摸出的球恰好颜色不同的概率．
（3）若在原袋子中再放入m个白球和m个红球，搅拌均匀后，使得随机从袋中摸出1个球，颜色是白色的概率为，求m的值．
【分析】（1）直接利用概率公式计算可得；
（2）先列表得出所有等可能结果，再从中找到符合条件的结果数，继而利用概率公式求解可得；
（3）根据已知列出关于m的方程，解之可得．
解：（1）∵袋中共有4个小球，其中红球有3个，
∴从袋中随机摸出一个球是红球的概率为；
表知共有49种等可能结果，其中两次摸出的球恰好颜色不同的有20种结果，
∴两次摸出的球恰好颜色不同的概率为；
（2）列表如下：
由表知共有16种等可能结果，其中两次摸出的球恰好颜色不同的有6种结果，
∴两次摸出的球恰好颜色不同的概率为＝；
（3）根据题意，得：
＝，
解得m＝3；
∴m的值为3．
【点评】此题考查了概率公式的应用．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
19．如图所给的方格纸中，每个小正方形边长都是1，△ABC是格点三角形（顶点在方格顶点上的三角形叫做格点三角形）．
（1）在图1中画出将△ABC以点A为旋转中心，逆时针旋转90°得到的图形．
（2）在图2中画出△DEF，使△DEF与△ABC全等，且顶点A，B，C，D，E，F在同一个圆上．
【分析】（1）根据旋转的性质作图即可．
（2）取格点O，使OA＝OB＝OC，延长AO至点D，延长BO至点E，延长CO至点F，连接DE，DF，EF即可．
解：（1）如图，△AB'C'即为所求．
（2）如图，△DEF即为所求（答案不唯一）．
【点评】本题考查作图﹣旋转变换、全等三角形的判定、点与圆的位置关系，熟练掌握旋转的性质、全等三角形的判定、点与圆的位置关系是解答本题的关键．
20．已知二次函数y＝﹣x2+6x﹣5．
（1）当x取何值时，y＝0．
（2）当y≥0时，请直接在横线上写出x的取值范围为 1≤x≤5 ．
（3）当1≤x≤4时，求函数的最大值和最小值．
【分析】（1）依据题意，令y＝0，进而计算可以得解；
（2）依据题意，结合（1）所得，由当y≥0时，对应图象不在x轴下方部分对应的自变量即为所求；
（3）依据题意，y＝﹣x2+6x﹣5＝﹣（x﹣3）2+4，再结合1≤x≤4，进而计算可以得解．
解：（1）由题意，令﹣x2+6x﹣5＝0，
∴x＝1 或 x＝5．
（2）由题意，结合（1）所得，由当y≥0时，对应图象不在x轴下方部分对应的自变量即为所求，
∴1≤x≤5．
故答案为：1≤x≤5．
（3）由y＝﹣x2+6x﹣5得：y＝﹣（x﹣3）2+4，
∴当x＝3时，y最大值为4．
∴当1≤x≤4时，函数的最大值为4，最小值为0．
【点评】本题主要考查二次函数的性质，将二次函数的一般式配方成顶点式是了解二次函数性质的关键．
21．如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB垂足为E，连结AC，AD．
（1）求证：∠C＝∠D．
（2）若弦CD＝6，AC＝5，求⊙O的半径．
【分析】（1）根据垂径定理得出CE＝DE，根据线段垂直平分线的判定定理推出AC＝AD，根据等腰三角形的性质即可得解；
（2）根据垂径定理求出CE＝3，根据勾股定理求出AE＝4，连结OC，设半径为r，根据勾股定理得出r2＝（4﹣r）2+32，据此求解即可．
【解答】（1）证明：∵AB是直径，AB⊥CD，
∴CE＝DE，
∴AC＝AD，
∴∠C＝∠D；
（2）解：∵AB⊥DC，CD＝6，
∴CE＝CD＝3，
在Rt△ACE中，AC＝5，
∴AE＝＝4，
连结OC，设半径为r，
在Rt△OCE中，OC2＝OE2+CE2，
∴r2＝（4﹣r）2+32，
∴，
即⊙O的半径为．
【点评】此题考查了垂径定理、勾股定理，熟记垂径定理、勾股定理是解题的关键．
22．根据素材回答问题：
【分析】根据矩形的面积公式列出函数解析式，根据二次函数的性质即可得到结论．
解：任务1：如图2，由题意知：EF＝16m，FG＝14m，矩形OEFG面积为224m2，
224﹣16＝208（m2），
答：花圃的面积为208m2；
任务2：由图3，设EF＝x，花圃面积为y，
由题意得：y＝10x+8（12﹣x）+40+80+32＝2x+248，
当x＝12时，y有最大值为272m2；
由图4，设EF＝x，花圃面积为y，
则FG＝22﹣x，
由题意得：y＝x（22﹣x）+40+80+32，
配方得，y＝﹣（x﹣11）2+273，
当x＝11时，y有最大值为273m2，
所以：图4方案的最大面积更大，为273m2；
项目反思：由图5，设GF＝2xm，花圃面积为ym2，则FE＝（22﹣2x）m，
由题意得：y＝x（22﹣2x）++40+80+32，
则 ；
∴图5方案最大面积更大．
【点评】本题考查了二次函数的应用，正确的求出函数解析式是解题的关键．
23．已知如图1，二次函数y＝x2﹣4x﹣5与x轴交于点A，C两点，且点A在点C的左侧，与y轴交于点B，连结AB．
（1）求点A、B的坐标；
（2）如图2，将点A向下平移n个单位得到D，将D向左平移m个单位得D1，将D1向左平移2m个单位得D2，若D1与D2均在抛物线上，求m，n的值；
（3）如图3，点P是x轴下方，抛物线对称轴右侧图象上的一点，连结PB，过P作PQ∥AB，与抛物线另一个交点为Q，M，N为AB上两点，且PM∥y轴，QN∥y轴．
①当△BPM为直角三角形时，求点P的坐标；
②是否存在点P使得PB与QN相互平分，若存在，求PQ的长，若不存在，说明理由．
【分析】（1）对于y＝x2﹣4x﹣5，当x＝0时，y＝﹣5，令y＝x2﹣4x﹣5＝0，则x＝5或﹣1，即可求解；
（2）由题意得：点D的坐标为：（5，﹣n），点D1（5﹣m，﹣n），点D2（5﹣3m，﹣n），则2＝（5﹣m+5﹣3m），进而求解；
（3）①当∠BPM＝90°时，则BP＝MP，即可求解；当∠MBP＝90°时，同理可解；
②证明N是BM的中点，得到xM﹣xN＝t＝xP﹣xQ＝yP﹣yQ，即可求解．
解：（1）对于y＝x2﹣4x﹣5，当x＝0时，y＝﹣5，
令y＝x2﹣4x﹣5＝0，则x＝5或﹣1，
即：A（5，0），B（0，﹣5）；
（2）由题意抛物线对称轴为x＝2，
则点D的坐标为：（5，﹣n），点D1（5﹣m，﹣n），点D2（5﹣3m，﹣n），
则2＝（5﹣m+5﹣3m），
解得：m＝，
则D2的横坐标为：，
当x＝时，代入y＝x2﹣4x﹣5＝，
∴n＝；
（3）①由点A、B的坐标得，直线AB的表达式为y＝x﹣5，
设点P的横坐标为t，则M（t，t﹣5），P（t，t2﹣4t﹣5），
∴PM＝﹣t2+5t，
当∠BPM＝90°时，则BP＝MP，
∴t＝﹣t2+5t，
∴t＝4，
则点P（4，﹣5）；
当∠MBP＝90°时，
则2t＝MP，
∴2t＝﹣t2+5t，
∴t＝3，
即点P（3，﹣80），
综上，点P的坐标为：（4，﹣5）或（3，﹣80）；
②存在，理由：
∵PB 与 QN相互平分，
则四边形NBQP为平行四边形，
则BN＝PQ，
∵AB∥PQ，MP∥NQ，
∴四边形PQNM是平行四边形，
∴PQ＝MN，
∴BN＝MN，
∴N是BM的中点，
设点M的横坐标为t，
∴点N，Q的横坐标均为t，则xM﹣xN＝t＝xP﹣xQ，
∴P（t，t2﹣4t﹣5），Q（ t，），
∵AB与x轴夹角为45°，
∴PQ与x轴夹角为45°，
则xM﹣xN＝t＝xP﹣xQ＝yP﹣yQ，PQ＝×t，
∴yP﹣t＝yQ，
即t2﹣4t﹣5﹣t＝，
解得：t＝，
则PQ＝t＝．
【点评】本题为二次函数综合题，主要考查二次函数解析式的求法及其性质、与x轴的交点和图象的几何变换等，综合性较强，有一定难度，计算量不小，要求学生有一定的分析推理能力．
重复实验次数
100
500
1000
5000
…
钉尖朝上次数
50
150
380
2000
…
x
…
﹣3
﹣2
﹣1
0
1
2
…
y
…
﹣2
﹣3
﹣3
m
0
3
…
素材1
如图1，空地上有两条互相垂直的小路OP，OQ，中间有一正方形ABCD水池，已知水池的边长为4米，AB//OQ，AD//OP，且AB与OQ的距离为10米，AD与OP的距离为8米．
素材2
现利用两条小路，再购置30米长的栅栏（图中的细实线）在空地上围出一个花圃，要求围起来的栅栏与小路相互平行（或垂直），靠小路和水池的都不需要栅栏，接口损耗忽略不计．
任务1
任务2
小明同学按如图2的设计，若EF＝16米，求出花圃的面积（不包含水池的面积）．
若按如图3、如图4设计方案，通过计算说明哪种方案的最大面积更大．
项目反思
如果栅栏不一定与墙面垂直（或平行），你还能设计出比以上方案面积更大的花圃吗？某学习小组在探究的过程中，设计了方案如图5，你认为图5的最大面积与以上方案比较，哪个更大，请通过计算说明．
重复实验次数
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白
红
红
红
白
（白，白）
（红，白）
（红，白）
（红，白）
红
（白，红）
（红，红）
（红，红）
（红，红）
红
（白，红）
（红，红）
（红，红）
（红，红）
红
（白，红）
（红，红）
（红，红）
（红，红）
素材1
如图1，空地上有两条互相垂直的小路OP，OQ，中间有一正方形ABCD水池，已知水池的边长为4米，AB//OQ，AD//OP，且AB与OQ的距离为10米，AD与OP的距离为8米．
素材2
现利用两条小路，再购置30米长的栅栏（图中的细实线）在空地上围出一个花圃，要求围起来的栅栏与小路相互平行（或垂直），靠小路和水池的都不需要栅栏，接口损耗忽略不计．
任务1
任务2
小明同学按如图2的设计，若EF＝16米，求出花圃的面积（不包含水池的面积）．
若按如图3、如图4设计方案，通过计算说明哪种方案的最大面积更大．
项目反思
如果栅栏不一定与墙面垂直（或平行），你还能设计出比以上方案面积更大的花圃吗？某学习小组在探究的过程中，设计了方案如图5，你认为图5的最大面积与以上方案比较，哪个更大，请通过计算说明．
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