2023-2024学年江苏省扬州市邗江区梅岭中学八年级（上）月考数学试卷（10月份）(含解析)

这是一份2023-2024学年江苏省扬州市邗江区梅岭中学八年级（上）月考数学试卷（10月份）(含解析)，共13页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．如图，四个图标分别是剑桥大学、北京理工大学、浙江大学和北京大学的校徽的重要组成部分，其中是轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
2．已知等腰三角形两边的长分别为3和7，则此等腰三角形的周长为（ ）
A．13B．17C．13或17D．13或10
3．如图，为了使一扇旧木门不变形，木工师傅在木门的背面加钉了一根木条，这样做使用的数学道理是（ ）
A．两点之间线段最短
B．三角形的稳定性
C．两点确定一条直线
D．长方形的四个角都是直角
4．如图，用直尺和圆规作射线OC，使它平分∠AOB，则△ODC≌△OEC的理由是（ ）
A．SSSB．SASC．AASD．HL
5．下列说法中，正确的是（ ）
A．三角形三条角平分线的交点到三边距离相等
B．两条边分别相等的两个直角三角形全等
C．两边及一角分别相等的两个三角形全等
D．等腰三角形的高线、中线及角平分线互相重合
6．如图所示，已知OA＝OB，OC＝OD，AD、BC相交于点E，则图中全等三角形共有（ ）
A．2对B．3对C．4对D．5对
7．如图，在△ABC中，∠A＝40°，AB＝AC，BE＝CD，BD＝CF，则∠EDF＝（ ）
A．50°B．60°C．70°D．80°
8．在学习完角平分线性质与角平分线逆定理后，我们只在三角形内部研究，如果延伸到三角形的外角会发什么变化呢？请同学们完成以下题目（ ）
A．50°B．55°C．45°D．40°
二、填空题（每空3分，共30分，将答案填在答题纸相应的位置上.）
9．已知△ABC≌△A'B'C'，∠A＝60°，∠B＝40°，则∠C′＝ ．
10．在直角三角形中，斜边长为10cm，则斜边上的中线长为 ．
11．如图，某人将一块正五边形玻璃打碎成四块，现要到玻璃店配一块完全一样的玻璃，那么最省事的方法是带 块．
12．如图，射线OC是∠AOB的角平分线，D是射线OC上一点，DP⊥OA于点P，DP＝5，若点Q是射线OB上一点，OQ＝4，则△ODQ的面积是 ．
13．如图，∠MON内有一点P，P点关于OM的轴对称点是G，P点关于ON的轴对称点是H，GH分别交OM、ON于A、B点，若∠MON＝32°，则∠GOH＝ ．
14．如图所示的网格是正方形网格，图形的各个顶点均为格点，则∠1+∠2＝ ．
15．如图，在△ACD中，∠CAD＝90°，AC＝4，AD＝6，AB∥CD，E是CD上一点，BE交AD于点F，若AB＝DE，则图中阴影部分的面积为 ．
16．如图，已知S△ABC＝24m2，AD平分∠BAC，且AD⊥BD于点D，则S△ADC m2．
17．已知一张三角形纸片ABC（如图甲），其中AB＝AC．将纸片沿过点B的直线折叠，使点C落到AB边上的E点处，折痕为BD（如图乙）．再将纸片沿过点E的直线折叠，点A恰好与点D重合，折痕为EF（如图丙）．原三角形纸片ABC中，∠ABC的大小为 °．
18．如图，在长方形ABCD中，AB＝6，AD＝8，E、F分别是BC、CD上的一点，EF⊥AE，将△ECF沿EF翻折得到ΔEC′F，连接AC′．若△AEC′是等腰三角形，且AE＝AC′，则BE＝ ．
三、解答题（共96分，把解答过程写在答题纸相对应的位置上.）
19．如图，△ABC的顶点A、B、C都在小正方形的顶点上，利用网格线按下列要求画图．
（1）画△A1B1C1，使它与△ABC关于直线l成轴对称；
（2）在直线l上找一点P，使点P到点A、B的距离之和最短；
（3）在直线l上找一点Q，使点Q到边AC、BC的距离相等．
20．如图，已知△ABC，∠B＝90°，AB＜BC，D为AC上一点，且到A、B两点的距离相等．
（1）用直尺和圆规作点D的位置（不写作法，保留作图痕迹）；（请用2B铅笔作图）
（2）连接BD，若∠A＝48°，则∠DBC的度数为 ．
21．如图，已知在四边形ABCD中，点E在AD上，∠BCE＝∠ACD，∠BAC＝∠D，BC＝CE．
（1）求证：AC＝CD．
（2）若AC＝AE，∠ACD＝86°，求∠DEC的度数．
22．如图，在△ABC中，AC＜AB＜BC．
（1）已知线段AB的垂直平分线与BC边交于点P，连接AP，求证：∠APC＝2∠B．
（2）以点B为圆心，线段AB的长为半径画弧，与BC边交于点Q，连接AQ．若∠AQC＝3∠B，求∠B的度数．
23．如图，在△ABC中，D是BC上一点，DE、DF分别是△ABD和△ACD的高，且DE＝DF．
（1）求证：AD平分∠BAC；
（2）若AB+AC＝10，S△ABC＝15，求DE长．
24．如图，在等边△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点O，且OD∥AB，OE∥AC．
（1）试判定△ODE的形状，并说明你的理由；
（2）若BC＝10，求△ODE的周长．
25．根据全等图形的定义，我们把能够完全重合（即四个内角、四条边分别对应相等）的四边形叫做全等四边形．请借助三角形全等的知识，解决有关四边形全等的问题．如图，已知，四边形ABCD和四边形A'B'C'D'中，AB＝A'B'，BC＝B'C'，∠B＝∠B'，∠C＝∠C'，现在只需补充一个条件，就可得四边形ABCD≌四边形A'B'C'D'．下列四个条件：①∠A＝∠A'；②∠D＝∠D'；③AD＝A'D'；④CD＝C'D'．
（1）其中，符合要求的条件是 .（直接写出编号）
（2）选择（1）中的一个条件，证明四边形ABCD≌四边形A'B'C'D'．
26．如图，已知锐角△ABC中，CD、BE分别是AB、AC边上的高，M、N分别是线段BC、DE的中点．
（1）求证：MN⊥DE；
（2）若∠ABC＝70°，∠ACB＝50°，连结DM、ME，求∠DME的度数．
27．（1）【问题发现】如图1，△ABC与△CDE 中，∠B＝∠E＝∠ACD＝90°，AC＝CD，B、C、E三点在同一直线上，AB＝3，ED＝4，则BE＝ ．
（2）【问题提出】如图2，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BC＝4，过点C作CD⊥AC，且CD＝AC，求△BCD的面积．
（3）【问题解决】如图3，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，BC＝a．将边AB绕点B顺时针旋转90°得到线段BD，连接CD．直接写出△BCD的面积．（用含a的代数式表示）
​
28．如图，在△ABC中，AB＝AC，D为线段BC延长线上（不与B、C重合）一动点，在AD的右侧射线BC的上方作△ADE，使得AD＝AE，∠DAE＝∠BAC，连接CE．
（1）找出图中的一对全等三角形，并证明你的结论；
（2）延长EC交AB的延长线于点F，若∠F＝45°，
①利用（1）中的结论求出∠DCE的度数；
②当△ABD是等腰三角形时，直接写出∠ADB的度数；
（3）当D在线段BC上时，若线段BC＝3，△ABC面积为9，则四边形ADCE周长的最小值是 ．
​
参考答案
一、选择题（每题3分，共计24分，把正确答案填在答题纸相应的位置上。）
1．如图，四个图标分别是剑桥大学、北京理工大学、浙江大学和北京大学的校徽的重要组成部分，其中是轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据轴对称图形的概念判断即可．
解：A、不是轴对称图形；
B、不是轴对称图形；
C、不是轴对称图形；
D、是轴对称图形；
故选：D．
【点评】本题考查的是轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2．已知等腰三角形两边的长分别为3和7，则此等腰三角形的周长为（ ）
A．13B．17C．13或17D．13或10
【分析】等腰三角形两边的长为3和7，具体哪条是底边，哪条是腰没有明确说明，因此要分两种情况讨论．
解：①当腰是3，底边是7时，不满足三角形的三边关系，因此舍去．
②当底边是3，腰长是7时，能构成三角形，则其周长＝3+7+7＝17．
故选：B．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系，解题时注意：若没有明确腰和底边，则一定要分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形，这是解题的关键．
3．如图，为了使一扇旧木门不变形，木工师傅在木门的背面加钉了一根木条，这样做使用的数学道理是（ ）
A．两点之间线段最短
B．三角形的稳定性
C．两点确定一条直线
D．长方形的四个角都是直角
【分析】用木条固定矩形门框，即是分割为两个三角形，故可用三角形的稳定性解释．
解：加上木条后矩形门框分割为两个三角形，
而三角形具有稳定性．
故选：B．
【点评】本题考查三角形稳定性的实际应用．三角形的稳定性在实际生活中有着广泛的应用，如钢架桥、房屋架梁等，因此要使一些图形具有稳定的结构，往往通过连接辅助线转化为三角形而获得．
4．如图，用直尺和圆规作射线OC，使它平分∠AOB，则△ODC≌△OEC的理由是（ ）
A．SSSB．SASC．AASD．HL
【分析】根据SSS证明三角形全等即可．
解：由作图可知，OE＝OD，DC＝EC，
在△ODC与△OEC中
，
∴△ODC≌△OEC（SSS），
故选：A．
【点评】此题考查全等三角形的判定，关键是根据三角形全等的判定方法解答．
5．下列说法中，正确的是（ ）
A．三角形三条角平分线的交点到三边距离相等
B．两条边分别相等的两个直角三角形全等
C．两边及一角分别相等的两个三角形全等
D．等腰三角形的高线、中线及角平分线互相重合
【分析】由角平分线的性质，全等三角形的判定方法．即可判断．
解：A、三角形三条角平分线的交点到三边距离相等，正确，故A符合题意；
B、两条边分别相等的两个直角三角形不一定全等，故B不符合题意；
C、两边及一角分别相等的两个三角形不一定全等，故C不符合题意；
D、等腰三角形的底边的高线、中线及顶角平分线互相重合，故D不符合题意．
故选：A．
【点评】本题考查角平分线的性质，全等三角形的判定，关键是熟练掌握以上知识点．
6．如图所示，已知OA＝OB，OC＝OD，AD、BC相交于点E，则图中全等三角形共有（ ）
A．2对B．3对C．4对D．5对
【分析】从已知条件入手，结合全等的判定方法，通过分析推理，一一进行验证，做到由易到难，不重不漏．
解：在△AOD和△BOC中，
∴△AOD≌△BOC（SAS）；
∴∠A＝∠B，
∵OA＝OB，OC＝OD，
∴AC＝BD，
在△CAE和△DBE中，
∴△CAE≌△DBE（AAS）；
∴AE＝BE，
在△AOE和△BOE中，
∴△AOE≌△BOE（SSS）；
在△OCE和△ODE中，
∴△OCE≌△ODE（SSS）．
故选：C．
【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键．
7．如图，在△ABC中，∠A＝40°，AB＝AC，BE＝CD，BD＝CF，则∠EDF＝（ ）
A．50°B．60°C．70°D．80°
【分析】由题中条件可得△BDE≌△CFD，即∠BDE＝∠CFD，∠EDF可由180°与∠BDE、∠CDF的差表示，进而求解即可．
解：∵AB＝AC，∠A＝40°，
∴∠B＝∠C＝70°，
∵BD＝CF，BE＝CD
∴△BDE≌△CFD，
∴∠BDE＝∠CFD，
∠EDF＝180°﹣（∠BDE+∠CDF）
＝180°﹣（∠CFD+∠CDF）
＝180°﹣（180°﹣∠C）
＝∠C
＝70°，
故选：C．
【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和定理及全等三角形的判定及性质问题，能够熟练掌握．
8．在学习完角平分线性质与角平分线逆定理后，我们只在三角形内部研究，如果延伸到三角形的外角会发什么变化呢？请同学们完成以下题目（ ）
A．50°B．55°C．45°D．40°
【分析】过点P作PE⊥MN于点E，PF⊥MK于点F，PQ⊥NK于点Q，根据角平分线的性质定理证得PE＝PQ＝PF，从而判定MP平分∠NMK，再根据∠NPK的度数求出∠EPF的度数，再根据四边形的内角和定理求出∠NMK的度数即可解决．
解：过点P作PE⊥MN于点E，PF⊥MK于点F，PQ⊥NK于点Q，
∵点P为△NMK两外角角平分线的交点，
∴PE＝PQ＝PF，
∴MP平分∠NMK，
∵PE⊥MN于点E，PQ⊥NK于点Q，
∴∠PEN＝∠PQN＝90°，
∵PN平分∠ENK，
∴∠ENP＝∠QNP，
∴∠EPN＝∠QPN，
同理，∠FPK＝∠QPK，
∴∠NPK＝∠EPF，
∵∠NPK＝50°，
∴∠EPF＝100°，
∵PE⊥MN于点E，PF⊥MK于点F，
∴∠PEN＝∠PFK＝90°，
∴∠NMK＝80°，
∴∠PMK＝∠NMK＝40°．
故选：D．
【点评】本题考查了角平分线的判定和性质定理，解题的关键是掌握定理并灵活运用．
二、填空题（每空3分，共30分，将答案填在答题纸相应的位置上.）
9．已知△ABC≌△A'B'C'，∠A＝60°，∠B＝40°，则∠C′＝ 80° ．
【分析】直接利用全等三角形的性质得出对应角相等进而得出答案．
解：∵△ABC≌△A'B'C'，
∴∠A＝∠A′＝60°，∠B＝∠B′＝40°，
∴∠C′＝180°﹣60°﹣40°＝80°．
故答案为：80°．
【点评】此题主要考查了全等三角形的性质，正确得出对应角是解题关键．
10．在直角三角形中，斜边长为10cm，则斜边上的中线长为 5cm ．
【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答即可．
解：∵直角三角形斜边长为10cm，
∴斜边上的中线长为5cm．
故答案为：5cm．
【点评】本题考查的是直角三角形的性质，掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．
11．如图，某人将一块正五边形玻璃打碎成四块，现要到玻璃店配一块完全一样的玻璃，那么最省事的方法是带 ① 块．
【分析】类似全等三角形的判定，只要带去的玻璃能够测量正五边形的内角的度数与正五边形的边长就可以，然后对各块玻璃进行分析即可得解．
解：带①去，能够测量出此正五边形的内角的度数，以及边长，所以可以配一块完全一样的玻璃，
带②③去，只能够测量出正五边形的内角的度数，不能够量出边长的长度，所以不可以配一块完全一样的玻璃；
带④去，既不能测量出正五边形的内角的度数，也不能够量出边长的长度，所以不可以配一块完全一样的玻璃．
所以最省事的方法是带①去．
故答案为①．
【点评】本题考查了全等三角形的应用拓广，根据正五边形的定义每个角都相等，每条边都相等，所以只要知道一个角、一条边即可作出能够完全重合的正五边形．
12．如图，射线OC是∠AOB的角平分线，D是射线OC上一点，DP⊥OA于点P，DP＝5，若点Q是射线OB上一点，OQ＝4，则△ODQ的面积是 10 ．
【分析】作DH⊥OB于点H，根据角平分线的性质得到DH＝DP＝5，根据三角形的面积公式计算，得到答案．
解：作DH⊥OB于点H，
∵OC是∠AOB的角平分线，DP⊥OA，DH⊥OB，
∴DH＝DP＝5，
∴△ODQ的面积＝OQ•DH＝4×5＝10，
故答案为：10．
【点评】本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
13．如图，∠MON内有一点P，P点关于OM的轴对称点是G，P点关于ON的轴对称点是H，GH分别交OM、ON于A、B点，若∠MON＝32°，则∠GOH＝ 64° ．
【分析】连接OP，根据轴对称的性质可得∠GOM＝∠MOP，∠PON＝∠NOH，然后求出∠GOH＝2∠MON，代入数据计算即可得解．
解：如图，连接OP，
∵P点关于OM的轴对称点是G，P点关于ON的轴对称点是H，
∴∠GOM＝∠MOP，∠PON＝∠NOH，
∴∠GOH＝∠GOM+∠MOP+∠PON+∠NOH＝2∠MON，
∵∠MON＝32°，
∴∠GOH＝2×32°＝64°．
故答案为：64°．
【点评】本题考查了轴对称的性质，熟记性质并确定出相等的角是解题的关键．
14．如图所示的网格是正方形网格，图形的各个顶点均为格点，则∠1+∠2＝ 45° ．
【分析】直接利用网格得出对应角∠1＝∠3，进而得出答案．
解：如图所示：在△ABC和△EDC中，
，
∴△ABC≌△EDC（SAS），
∴∠1＝∠3，
则∠1+∠2＝∠2+∠3＝45°．
故答案为：45°．
【点评】此题主要考查了全等图形，正确借助网格分析是解题关键．
15．如图，在△ACD中，∠CAD＝90°，AC＝4，AD＝6，AB∥CD，E是CD上一点，BE交AD于点F，若AB＝DE，则图中阴影部分的面积为 12 ．
【分析】先由AB∥CD，证明∠B＝∠FED，∠FAB＝∠D，即可根据全等三角形的判定定理“ASA”证明△ABF≌△DEF，再由S阴影＝S四边形ACEF+S△ABF＝S四边形ACEF+S△DEF＝S△ACD，求出图中阴影部分的面积即可．
解：∵AB∥CD，
∴∠B＝∠FED，∠FAB＝∠D，
在△ABF和△DEF中，
，
∴△ABF≌△DEF（ASA），
∴S△ABF＝S△DEF，
∵∠CAD＝90°，AC＝4，AD＝6，
∴S阴影＝S四边形ACEF+S△ABF＝S四边形ACEF+S△DEF＝S△ACD＝×4×6＝12，
∴图中阴影部分的面积为12，
故答案为：12．
【点评】此题重点考查平行线的性质、全等三角形的判定与性质、根据转化思想求图形的面积等知识与方法，证明△ABF≌△DEF是解题的关键．
16．如图，已知S△ABC＝24m2，AD平分∠BAC，且AD⊥BD于点D，则S△ADC 12 m2．
【分析】延长BD交AC于点E，则可知△ABE为等腰三角形，则S△ABD＝S△ADE，S△BDC＝S△CDE，可得出S△ADC＝S△ABC．
解：如图，延长BD交AC于点E，
∵AD平分∠BAE，AD⊥BD，
∴∠BAD＝∠EAD，∠ADB＝∠ADE，
在△ABD和△AED中，
，
∴△ABD≌△AED（ASA），
∴BD＝DE，
∴S△ABD＝S△ADE，S△BDC＝S△CDE，
∴S△ABD+S△BDC＝S△ADE+S△CDE＝S△ADC，
∴S△ADC＝S△ABC＝×24＝12（m2），
故答案为：12；
【点评】本题主要考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，由BD＝DE得到S△ABD＝S△ADE，S△BDC＝S△CDE是解题的关键．
17．已知一张三角形纸片ABC（如图甲），其中AB＝AC．将纸片沿过点B的直线折叠，使点C落到AB边上的E点处，折痕为BD（如图乙）．再将纸片沿过点E的直线折叠，点A恰好与点D重合，折痕为EF（如图丙）．原三角形纸片ABC中，∠ABC的大小为 72 °．
【分析】设∠A＝x，根据翻折不变性可知∠A＝∠EDA＝x，∠C＝∠BED＝∠A+∠EDA＝2x，利用三角形内角和定理构建方程即可解决问题．
解：设∠A＝x，根据翻折不变性可知∠A＝∠EDA＝x，∠C＝∠BED＝∠A+∠EDA＝2x，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C＝2x，
∵∠A+∠ABC+∠C＝180°，
∴5x＝180°，
∴x＝36°，
∴∠ABC＝72°
故答案为72
【点评】本题考查翻折变换、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是学会用方程的思想思考问题，属于中考常考题型．
18．如图，在长方形ABCD中，AB＝6，AD＝8，E、F分别是BC、CD上的一点，EF⊥AE，将△ECF沿EF翻折得到ΔEC′F，连接AC′．若△AEC′是等腰三角形，且AE＝AC′，则BE＝ ．
【分析】作AH⊥EC′，设BE＝x，则EC＝4﹣x，由翻折得：EC′＝EC＝4﹣x，由∠AEF＝90°，EF平方∠CEC′可证得∠AEB＝∠AEH，则△ABE≌△AHE，所以BE＝HE＝x，由三线合一得EC′＝2EH，即4﹣x＝2x，解方程即可．
解：设BE＝x，则EC＝8﹣x，
由翻折得：EC′＝EC＝8﹣x，
如图，作AH⊥EC，
∵EF⊥AE，
∴∠AEF＝∠AEC′+∠FEC′＝90°，
∴∠BEA+∠FEC＝90°，
∵△ECF沿EF翻折得△EC′F，
∴∠FEC′＝∠FEC，
∴∠AEB＝∠AEH，
在△ABE与△AHE中，
，
∴△ABE≌△AHE（AAS），
∴BE＝HE＝x，
∵AE＝AC′，
∴EC′＝2EH，
即8﹣x＝2x，
解得x＝．
故答案为：．
【点评】本题考查了矩形的性质、等腰三角形的性质、勾股定理等知识点，涉及到方程思想和分类讨论思想．当AE＝AC′时如何列方程，有一定难度．
三、解答题（共96分，把解答过程写在答题纸相对应的位置上.）
19．如图，△ABC的顶点A、B、C都在小正方形的顶点上，利用网格线按下列要求画图．
（1）画△A1B1C1，使它与△ABC关于直线l成轴对称；
（2）在直线l上找一点P，使点P到点A、B的距离之和最短；
（3）在直线l上找一点Q，使点Q到边AC、BC的距离相等．
【分析】（1）分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可．
（2）连接A1B交直线l于点P，点P即为所求作．
（3）∠ACB的角平分线与直线l的交点Q即为所求作．
解：（1）如图，△A1B1C1即为所求作．
（2）如图，点P即为所求作．
（3）如图，点Q即为所求作．
【点评】本题考查作图﹣轴对称变换，角平分线的性质，轴对称﹣最短问题等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
20．如图，已知△ABC，∠B＝90°，AB＜BC，D为AC上一点，且到A、B两点的距离相等．
（1）用直尺和圆规作点D的位置（不写作法，保留作图痕迹）；（请用2B铅笔作图）
（2）连接BD，若∠A＝48°，则∠DBC的度数为 42° ．
【分析】（1）作线段AC的垂直平分线，此直线与线段AC的交点即为D点；
（2）先根据AD＝BD求出∠DBA＝∠A＝48°，再由直角三角形的性质得出∠ABC的度数，进而可得出∠DBC．
解：（1）如图，点D为所求作的点．
（2）∵由（1）作法可知AD＝BD，
∴∠DBA＝∠A＝48°，
又∵∠B＝90°，
∴∠ABD+∠DBC＝90°，
∴∠CBD＝90°﹣∠DBA，
即∠CBD＝90°﹣48°＝42°．
故答案为：42°．
【点评】本题考查的是作图﹣基本作图，熟知线段垂直平分线的作法及性质是解答此题的关键．
21．如图，已知在四边形ABCD中，点E在AD上，∠BCE＝∠ACD，∠BAC＝∠D，BC＝CE．
（1）求证：AC＝CD．
（2）若AC＝AE，∠ACD＝86°，求∠DEC的度数．
【分析】（1）根据角的和差可得到∠ACB＝∠DCE，利用AAS证明△ABC≌△DEC，即可证得结论；
（2）根据∠ACD＝86°，AC＝CD，得到∠CAD＝∠D＝47°，根据等腰三角形的性质得到∠ACE＝∠AEC＝66.5°，由平角的定义得到∠DEC＝180°﹣∠AEC＝113.5°．
【解答】（1）证明：∵∠BCE＝∠ACD，
∴∠ACB+∠ACE＝∠DCE+∠ACE，
∴∠ACB＝∠DCE，
在△ABC和△DEC中，
，
∴△ABC≌△DEC（AAS），
∴AC＝CD；
（2）解：∵∠ACD＝86°，AC＝CD，
∴∠CAD＝∠D＝47°，
∵AE＝AC，
∴∠ACE＝∠AEC＝66.5°，
∴∠DEC＝180°﹣∠AEC＝113.5°．
【点评】本题主要考查全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键，即SSS、SAS、ASA、AAS和HL．
22．如图，在△ABC中，AC＜AB＜BC．
（1）已知线段AB的垂直平分线与BC边交于点P，连接AP，求证：∠APC＝2∠B．
（2）以点B为圆心，线段AB的长为半径画弧，与BC边交于点Q，连接AQ．若∠AQC＝3∠B，求∠B的度数．
【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质可知PA＝PB，根据等腰三角形的性质可得∠B＝∠BAP，根据三角形的外角性质即可证得APC＝2∠B；
（2）根据题意可知BA＝BQ，根据等腰三角形的性质可得∠BAQ＝∠BQA，再根据三角形的内角和公式即可解答．
解：（1）证明：∵线段AB的垂直平分线与BC边交于点P，
∴PA＝PB，
∴∠B＝∠BAP，
∵∠APC＝∠B+∠BAP，
∴∠APC＝2∠B；
（2）根据题意可知BA＝BQ，
∴∠BAQ＝∠BQA，
∵∠AQC＝3∠B，∠AQC＝∠B+∠BAQ，
∴∠BQA＝2∠B，
∵∠BAQ+∠BQA+∠B＝180°，
∴5∠B＝180°，
∴∠B＝36°．
【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质、垂直平分线的性质以及三角形的外角性质，难度适中．
23．如图，在△ABC中，D是BC上一点，DE、DF分别是△ABD和△ACD的高，且DE＝DF．
（1）求证：AD平分∠BAC；
（2）若AB+AC＝10，S△ABC＝15，求DE长．
【分析】（1）证Rt△ADE≌Rt△ADF（HL），得∠DAE＝∠DAF，即可得出结论；
（2）由三角形面积公式得AB•DE+AC•DF＝（AB+AC）•DE＝15，即可得出结论．
【解答】（1）证明：∵DE、DF分别是△ABD和△ACD的高，
∴DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠AED＝∠AFD＝90°，
在Rt△ADE和Rt△ADF中，
，
∴Rt△ADE≌Rt△ADF（HL），
∴∠DAE＝∠DAF，
∴AD平分∠BAC；
（2）解：∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴S△ABC＝S△ABD+S△ACD＝15，
即AB•DE+AC•DF＝（AB+AC）•DE＝15，
∵AB+AC＝10，
∴×10•DE＝15，
∴DE＝3，
即DE的长为3．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质以及三角形面积等知识，证明三角形全等是解题的关键．
24．如图，在等边△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点O，且OD∥AB，OE∥AC．
（1）试判定△ODE的形状，并说明你的理由；
（2）若BC＝10，求△ODE的周长．
【分析】（1）证明∠ABC＝∠ACB＝60°；证明∠ODE＝∠ABC＝60°，∠OED＝∠ACB＝60°，即可解决问题．
（2）证明BD＝OD；同理可证CE＝OE；即可解决问题．
解：（1）△ODE是等边三角形；理由如下：
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝∠ACB＝60°；
∵OD∥AB，OE∥AC，
∴∠ODE＝∠ABC＝60°，∠OED＝∠ACB＝60°，
∴△ODE为等边三角形．
（2）∵OB平分∠ABC，OD∥AB，
∴∠ABO＝∠DOB，∠ABO＝∠DBO，
∴∠DOB＝∠DBO，
∴BD＝OD；同理可证CE＝OE；
∴△ODE的周长＝BC＝10．
【点评】该题主要考查了等边三角形的判定及其性质的应用问题；解题的关键是灵活运用平行线的性质、等边三角形的性质来分析、判断、解答．
25．根据全等图形的定义，我们把能够完全重合（即四个内角、四条边分别对应相等）的四边形叫做全等四边形．请借助三角形全等的知识，解决有关四边形全等的问题．如图，已知，四边形ABCD和四边形A'B'C'D'中，AB＝A'B'，BC＝B'C'，∠B＝∠B'，∠C＝∠C'，现在只需补充一个条件，就可得四边形ABCD≌四边形A'B'C'D'．下列四个条件：①∠A＝∠A'；②∠D＝∠D'；③AD＝A'D'；④CD＝C'D'．
（1）其中，符合要求的条件是 ①②④ .（直接写出编号）
（2）选择（1）中的一个条件，证明四边形ABCD≌四边形A'B'C'D'．
【分析】（1）根据题意即可得到结论；
（2）连接AC、A′C′，根据全等三角形的判定和性质定理即可得到结论．
解：（1）符合要求的条件是①②④，
故答案为：①②④；
（2）选④，
证明：连接AC、A′C′，
在△ABC与△A′B′C′中，
，
∴△ABC≌△A′B′C′（SAS），
∴AC＝A′C′，∠ACB＝∠A′C′B′，
∵∠BCD＝∠B′C′D′，
∴∠BCD﹣∠ACB＝∠B′C′D′﹣∠A′C′B′，
∴∠ACD＝∠A′C′D′，
在△ACD和△A′C′D中，
，
∴△ACD≌△A′C′D′（SAS），
∴∠D＝∠D，∠DAC＝∠D′A′C′，DA＝D′A′，
∴∠BAC+∠DAC＝∠B′A′C′+∠D′A′C′，
即∠BAD＝∠B′A′D′，
∴四边形ABCD和四边形A′B′C′D′中，
AB＝A′B′，BC＝B′C′，AD＝A′D′，DC＝D′C′，
∠B＝∠B′，∠BCD＝∠B′C′D′，∠D＝∠D′，∠BAD＝∠B′A′D′，
∴四边形ABCD≌四边形A′B′C′D′．
【点评】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，关键是掌握判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．
26．如图，已知锐角△ABC中，CD、BE分别是AB、AC边上的高，M、N分别是线段BC、DE的中点．
（1）求证：MN⊥DE；
（2）若∠ABC＝70°，∠ACB＝50°，连结DM、ME，求∠DME的度数．
【分析】（1）连接DM，ME，根据直角三角形的性质得到DM＝BC，ME＝BC，得到DM＝ME，根据等腰直角三角形的性质证明；
（2）根据三角形内角和定理、等腰三角形性质、平角的定义求解即可；
【解答】（1）证明：如图，连接DM，ME，
∵CD、BE分别是AB、AC边上的高，M是BC的中点，
∴DM＝BC，ME＝BC，
∴DM＝ME，
又∵N为DE中点，
∴MN⊥DE；
（2）解：在△ABC中，∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A，
∵∠ABC＝70°，∠ACB＝50°，
∴180°﹣∠A＝120°，
∵DM＝ME＝BM＝MC，
∴∠BMD+∠CME＝（180°﹣2∠ABC）+（180°﹣2∠ACB）＝360°﹣2（∠ABC+∠ACB）＝120°，
∴∠DME＝180°﹣（∠BMD+∠CME）＝60°．
【点评】此题考查了直角三角形斜边上的中线、等腰三角形的判定与性质，熟记直角三角形斜边上的中线、等腰三角形的判定与性质是解题的关键．
27．（1）【问题发现】如图1，△ABC与△CDE 中，∠B＝∠E＝∠ACD＝90°，AC＝CD，B、C、E三点在同一直线上，AB＝3，ED＝4，则BE＝ 7 ．
（2）【问题提出】如图2，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BC＝4，过点C作CD⊥AC，且CD＝AC，求△BCD的面积．
（3）【问题解决】如图3，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，BC＝a．将边AB绕点B顺时针旋转90°得到线段BD，连接CD．直接写出△BCD的面积．（用含a的代数式表示）
​
【分析】（1）根据一线三直角证明三角形全等，得到AB＝CE，DE＝BC，依据BE＝BC+CE可得结果；
（2）根据（1）的结论可得DM＝BC＝4，依据面积公式计算即可；
（3）根据一线三直角得到三角形全等，DM＝BC＝4，依据三角形面积公式计算得到即可．
解：（1）在Rt△ABC和Rt△CED中，
，
∴△ABC≌△CED（AAS），
∴BC＝DE，AB＝CE，
∴BE＝BC+CE＝DE+AB＝4+3＝7，
故答案为：7．
（2）如图2，作DM⊥BC交BC的延长线于点M．
由（1）可知，△ABC≌△CMD（AAS），
∴DM＝BC＝4，
∴S△BCD＝＝＝8．
（3）如图3，作AN⊥CB于N点，作DM⊥CB交CB延长线于点M．
由（1）可得△ANB≌△BMD（AAS），
∴NB＝DM，
∵AC＝AB，AN⊥BC，
∴NB＝BC＝，
∴DM＝，
S△BCD＝×BC×DM＝＝．
【点评】本题考查了三角形全等的判定，熟练掌握一线三直角全等模型是解答本题的关键．
28．如图，在△ABC中，AB＝AC，D为线段BC延长线上（不与B、C重合）一动点，在AD的右侧射线BC的上方作△ADE，使得AD＝AE，∠DAE＝∠BAC，连接CE．
（1）找出图中的一对全等三角形，并证明你的结论；
（2）延长EC交AB的延长线于点F，若∠F＝45°，
①利用（1）中的结论求出∠DCE的度数；
②当△ABD是等腰三角形时，直接写出∠ADB的度数；
（3）当D在线段BC上时，若线段BC＝3，△ABC面积为9，则四边形ADCE周长的最小值是 15 ．
​
【分析】（1）由∠DAE＝∠BAC，可得∠EAC＝∠DAB，即可证明△ABD≌△ACE（SAS）；
（2）①设∠DCE＝x°＝∠BCF，可得∠ABD＝∠F+∠BCF＝（x+45）°，即得∠ACB＝∠ABD＝（x+45）°，∠ACE＝∠ABD＝（x+45）°，根据∠ACB+∠ACE+∠DCE＝180°，有（x+45）°+（x+45）°+x°＝180°，故∠DCE＝30°；
②∠ABD＝∠F+∠BCF＝45°+30°＝75°，分两种情况：当AD＝BD时，∠ADB＝180°﹣∠BAD﹣∠ABD＝30°，当AB＝BD时，∠ADB＝∠BAD＝（180°﹣∠ABD）＝52.5°；
（3）可证△ABD≌△ACE（SAS），得BD＝CE，即得CD+CE＝CD+BD＝BC＝3，知四边形ADCE周长最小时，AD+AE最小，而AD＝AE，可得当AD最小时，四边形ADCE周长最小时，此时AD⊥BC，根据BC＝3，△ABC面积为9，得AD＝6，从而可知四边形ADCE最小周长为AD+AE+CD+CE＝15．
解：（1）△ABD≌△ACE，理由如下：
∵∠DAE＝∠BAC，
∴∠DAE+∠DAC＝∠BAC+∠DAC，即∠EAC＝∠DAB，
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS）；
（2）①如图：
设∠DCE＝x°＝∠BCF，
∵∠F＝45°，
∴∠ABD＝∠F+∠BCF＝（x+45）°，
∵AB＝AC，
∴∠ACB＝∠ABD＝（x+45）°，
由（1）知△ABD≌△ACE，
∴∠ACE＝∠ABD＝（x+45）°，
∵∠ACB+∠ACE+∠DCE＝180°，
∴（x+45）°+（x+45）°+x°＝180°，
解得x＝30，
∴∠DCE＝30°；
②由①知，∠ABD＝∠F+∠BCF＝45°+30°＝75°，
当AD＝BD时，如图：
∴∠BAD＝∠ABD＝75°，
∴∠ADB＝180°﹣∠BAD﹣∠ABD＝30°，
当AB＝BD时，如图：
∴∠ADB＝∠BAD＝（180°﹣∠ABD）＝52.5°，
∴当△ABD是等腰三角形时，∠ADB的度数为30°或52.5°；
（3）如图：
同（1）可证△ABD≌△ACE（SAS），
∴BD＝CE，
∴CD+CE＝CD+BD＝BC＝3，
∴四边形ADCE周长最小时，AD+AE最小，
∵AD＝AE，
∴当AD最小时，四边形ADCE周长最小时，此时AD⊥BC，
∵BC＝3，△ABC面积为9，
∴AD＝6，
∴四边形ADCE最小周长为AD+AE+CD+CE＝6+6+3＝15，
故答案为：15．
【点评】本题考查四边形综合应用，涉及全等三角形判定与性质，等腰三角形性质及应用，四边形周长最小值等知识，解题的关键是掌握全等三角形判定定理，证明△ABD≌△ACE．
知识回顾
知识延伸
已知点O为∠ABC与∠ACB的角平分线交点，
通过证明OD＝OE＝OF
可得点O在∠A的角平分线上．
已知点P为△NMK两外角角平分线的交点，
若∠NPK＝50°，则∠PMK＝（ ）
知识回顾
知识延伸
已知点O为∠ABC与∠ACB的角平分线交点，
通过证明OD＝OE＝OF
可得点O在∠A的角平分线上．
已知点P为△NMK两外角角平分线的交点，
若∠NPK＝50°，则∠PMK＝（ ）