2024内江六中高三上学期第一次月考理科数学试题含解析

这是一份2024内江六中高三上学期第一次月考理科数学试题含解析，共5页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题，选做题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题（本大题共12小题，共60分）
1. 在复平面内，复数对应的点位于（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
【答案】D
【解析】
【分析】对复数进行化简，根据复数的几何意义即可.
【详解】
对应的点为，在第四象限，
故选：
2. 已知，，则“，”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】根据给定条件，利用充分条件、必要条件的定义判断作答.
【详解】由，，，，得，于是，
由，，取，满足，显然“，”不成立，
所以“，”是“”的充分不必要条件.
故选：A
3. 已知数列是等差数列，为数列的前项和，，，则（ ）
A. 10B. 15C. 20D. 30
【答案】D
【解析】
【分析】利用等差数列性质“若则”和等差数列前项和公式计算可得答案.
【详解】因为，，
所以
，
可得，
则
故选：D.
4. 执行如图所示的程序框图，将输出的看成输入的的函数，得到函数，若，则（ ）

A. B. C. 或D. 1
【答案】B
【解析】
【分析】根据程序框图得到函数解析式，再根据函数解析式求出，再分类讨论，结合函数解析式计算可得.
【详解】由程序框图可得，则，
若，即时，，解得（舍去）；
若，即时，，解得
故选：B
5. 函数的图象大致为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据函数的奇偶性，结合导数的性质判断其单调性进行判断即可.
【详解】函数的定义域为，关于原点对称，且，
所以函数为奇函数，排除A，B；
当时，函数，则，
当时，函数单调递增，
当时，，函数单调递减，排除D．
故选：C
6. 若直线：平分圆：的面积，则的最小值为（ ）．
A. 8B. C. 4D. 6
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意可知：直线：过圆心，进而可得，再利用基本不等式运算求解.
【详解】由题意可知：圆：的圆心为，
若直线：平分圆：的面积，
则直线：过圆心，
可得，即，
则，
当且仅当，即时，等号成立，
所以的最小值为8.
故选：A.
7. 为了提高命题质量，命题组指派5名教师对数学卷的选择题，填空题和解答题这3种题进行改编，则每种题型至少至少指派1名教师的不同分派方法种数为（ ）
A. 144B. 120C. 150D. 180
【答案】C
【解析】
【分析】将5名老师分为和的两种情况，计算得到答案.
【详解】5名老师分为的情况时：共有；
5名老师分为的情况时：共有，
故共有种不同分派方法.
故选：C.
8. 设实数x，y满足，则的取值范围为（ ）
A. B.
C. D. 前三个答案都不对
【答案】B
【解析】
【分析】利用三角换元，结合辅助角公式即可得解.
【详解】因为x，y满足，
令，
则，其中，且为锐角，
易知，则，
于是的取值范围是．
故选：B.
9. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点的直线分别交双曲线的左、右两支于A，B两点，且，若，则双曲线离心率为（ ）
A. B. C. D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】根据给定条件，利用双曲线的定义、余弦定理求解作答.
【详解】令，则，

在中，，由余弦定理得，
即，解得，于是，
在中，令双曲线半焦距为，由余弦定理得：，解得，
所以双曲线离心率.
故选：A
10. 函数，若有个零点，则的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由可得出或，数形结合可知直线与函数的图象有两个交点，从而可知直线与函数有两个零点，结合图形可得出实数的取值范围.
【详解】由，可得，
解得或，如下图所示：

由图可知，直线与函数的图象有两个交点，
又因为函数有四个零点，故直线与函数有两个零点，且，
所以，且，
因此，实数的取值范围是.
故选：D.
11. 设正方体的棱长为1，点E是棱的中点，点M在正方体的表面上运动，则下列命题：

①如果，则点M的轨迹所围成图形的面积为；
②如果∥平面，则点M的轨迹所围成图形的周长为；
③如果∥平面，则点M的轨迹所围成图形的周长为；
④如果，则点M的轨迹所围成图形的面积为．
其中正确的命题个数为（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】由正方体性质得面，根据线面垂直的判定定理、性质定理证面，确定轨迹图形判断①；若分别为中点，连接，根据线面平行、面面平行的判定证面面，确定轨迹图形判断②；若分别为的中点，连接，同②方式证面面，确定轨迹图形判断③；若分别是的中点，并依次连接，先证面面，结合①得面，确定轨迹图形判断④.
【详解】由面，而面，则，又，
又，面，则面，
由面，则，同理，
，面，则面，
所以垂直于面所有直线，且面，
若，则在边长为的正△的边上，
故轨迹图形面积为，①对；

若分别为中点，连接，
由正方体的性质易得，，
所以共面，且为平行四边形，故面即为面，
由面，面，则面，
同理可得面，，面，
所以面面，要使∥平面，则在△边上，
所以轨迹长为，②错；

若分别为的中点，连接，显然，
所以共面，即面，
由，面，面，则面，
又，同理可得面，，面，
所以面面，故面内任意直线都与面平行，
要使∥平面，则在四边形的边上运动，
此时轨迹长为，③对；

若分别是的中点，并依次连接，
易知为正六边形，显然，，
由面，面，则面，同理可得面，
，面，所以面面，
由面，则面，故垂直于面所有直线，
要使，则在边长为的正六边形边上运动，
所以轨迹图形面积为，④对；

故选：C
12. 已知函数是奇函数的导函数，且满足时，，则不等式的解集为（ ）
A B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据已知条件构造函数，求导后可判断当时，函数单调递减，再由，可得当时，，再由为奇函数，得时，，从而可求得不等式的解集.
【详解】令函数，则，即当时，函数单调递减，
因为，所以当时，，当时，.
因为当时，，当时，，所以当时，.
又，，所以当时，；
又为奇函数，所以当时，，
所以不等式可化为或，解得，
所以不等式的解集为，
故选：D.
【点睛】关键点点睛：此题考查导数的应用，考查利用导数解决函数单调性问题，解题的关键是根据题意构造函数，然后求导后可判断函数的单调性，从而利用函数的单调性解不等式，考查数学转化思想，属于较难题.
二、填空题（本大题共4小题，共20分）
13. 展开式中的系数是__________.
【答案】
【解析】
【分析】根据通项公式可求出结果.
【详解】，
的通项公式为，，
所以展开式中的系数是.
故答案为：.
14. 已知向量，，且，则__________.
【答案】
【解析】
【分析】由，得到，然后由求解.
【详解】解：因为，
所以，
所以，
所以.
故答案为：
15. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，双曲线上一点A关于原点O对称的点为B，且满足，，则该双曲线的渐近线方程为______．
【答案】
【解析】
【分析】根据垂直关系以及双曲线的对称性可得四边形为矩形，即可结合双曲线的定义求解，进而可求.
【详解】由可得，
由于关于原点对称，,关于原点对称，
所以四边形为矩形，故，
由于又，
所以，因此，
故，进而可得，
所以渐近线方程为：
故答案为：

16. 如图，在直角梯形中，，将沿翻折成，使二面角为，则三棱锥外接球的表面积为__________.

【答案】
【解析】
【分析】外接球的球心为，半径为为中点，为中点，由二面角的定义可得为二面角的平面角，所以有，作于，由题意可求得，进而可得，即可得答案.
【详解】解：如图，设外接球的球心为，半径为为中点，为中点，
因为，所以，∥，
又因为，，
所以，
所以,,
所以，，
所以为二面角的平面角，
所以，
作于，
因为，，，
所以平面，
又因为平面，
所以 ，
又因为，,
则平面，所以∥，
则有，
即，

由题意可求得：，
设，
由题上式可得：，
求得：，从而求得：，
故三棱锥外接球的表面积为.
故答案为：
三、解答题（本大题共5小题，共60分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 在中，是，B，所对应的分边别为，，，且满足.
（1）求；
（2）若，的面积为，求的周长.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由正弦定理化边为角，结合正弦的二倍角公式变形可得；
（2）由面积公式求得，再由余弦定理求出，从而可得周长．
【小问1详解】
因为，
所以由正弦定理得，
因为，所以，则，
因为，所以，
又因为，所以；
【小问2详解】
因为，所以，
又由余弦定理得， ，所以，
则，
所以的周长为：．
18. 如图，在直三棱柱中，，是的中点，.

（1）求证：若为中点，求证：平面；
（2）点为中点时，求二面角余弦值.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）根据线面平行的判定定理证得平面.
（2）建立空间直角坐标系，利用向量法求得二面角余弦值.
【小问1详解】
由于是的中点，是的中点，
所以，所以四边形是平行四边形，
所以，由于平面，平面，
所以平面.
【小问2详解】
以为原点建立如图所示空间直角坐标系，
由于，所以，
平面的法向量为.
设平面的法向量为，
所以，令可得，故.
设二面角为，由图可知为锐角，
.

19. 下表为某班学生理科综合能力测试成绩（百分制）的频率分布表，已知在分数段内的学生人数为21.`
（1）求测试成绩在分数段内的人数；
（2）现欲从分数段内的学生中抽出2人参加物理兴趣小组，若其中至少有一名男生的概率为，求分数段内男生的人数；
（3）若在分数段内的女生为4人，现欲从分数段内的学生中抽出3人参加培优小组，为分配到此组的3名学生中男生的人数．求的分布列及期望
【答案】（1）6 （2）2
（3）分布列见解析，
【解析】
【分析】（1）利用在分数段内的学生数为21人求出高二年级某班学生总数，再利用频率和为1求出，两数相乘可得答案；
（2）设男生有人，根据抽出2人这2人都是男生的概率为，解得可得答案；
（3）求出在分数段内的学生人数及男生人数，可得的取值及对应的概率，可得分布列和期望.
【小问1详解】
某班学生共有人，
因为，所以，
所以测试成绩在分数段内的人数为人.
【小问2详解】
由（1）知在分数段内的学生有6人，设男生有人，
若抽出2人至少有一名男生的概率为，
则，解得，所以在分数段内男生有2人.
【小问3详解】
在分数段内的学生有人，所以男生有2人，
X的取值有，
，
，
，
X的分布列为
.
20. 已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于两点，点在第一象限，为坐标原点．
（1）设为抛物线上的动点，求的取值范围；
（2）记的面积为的面积为，求的最小值．
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）求出抛物线的焦点坐标，准线方程，设点，求出关于的函数关系，再利用二次函数性质求解作答.
（2）设出直线的方程，与抛物线方程联立，利用韦达定理、三角形面积公式结合均值不等式求解作答.
【小问1详解】
依题意，抛物线的焦点，准线方程，设，
则，
因此，
而，即有，则当，即时，，
当，即时，，
所以的取值范围是.
【小问2详解】
显然直线不垂直于轴，设直线的方程为，
由消去并整理得，显然，
设，，则，即，

令为点，于是的面积为，的面积为，
因此，当且仅当，即时取等号，
所以的最小值为.
21. 已知函数在处取得极小值.
（1）求实数的值；
（2）当时，证明：.
【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据函数极值点与极值，求导数代入计算，即可得的值；
（2）设，求，确定导函数的单调性与取值情况，即可得的取值情况，从而得结论.
【小问1详解】
，
由题意知，则，即，
由，知，即．
故，经检验符合题意；
【小问2详解】
由（1）得，设，
则．
设，则在上单调递增，
且，所以存在唯一，
使得，即．
当时，单调递减；当时，单调递增．
．
设，则，
当时，单调递减，所以，所以，
故当时，．
【点睛】方法点睛：证明函数不等式的常用的方法：
（1）构造差函数法：构造差函数，求导，判断函数单调性，从而得函数最值，让最值与比较大小即可得答案；
（2）分离函数法：确定中间函数，利用导数分别证明，，即可证明结论；
（3）放缩法：利用不等式对所证不等式进行放缩，证明放缩后的不等式成立，即可得结论.
四、选做题（总分10分，只需要从中选择1个题目完成）
22. 在直角坐标系中，直线经过点，倾斜角为，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为.
（1）求直线的参数方程和曲线C的直角坐标方程；
（2）设直线与曲线C相交于A，B两点，弦AB的中点为N，求的值.
【答案】（1）的参数方程为（为参数），的直角坐标方程为
（2）
【解析】
【分析】（1）根据直线过点及倾斜角即可写出参数方程，根据极坐标与直角坐标的转化公式写出曲线C的直角坐标方程；
（2）将直线参数方程代入圆的方程，得到关于参数t的一元二次方程，根据根与系数的关系及参数的几何意义求解即可.
【小问1详解】
的参数方程为，即（为参数），
因为曲线的极坐标方程为，即，
所以化简得，
所以的直角坐标方程为；
【小问2详解】
将的参数方程代入的直角坐标方程，得，
整理，得，
此时，
设两点对应的参数分别为，，则，，
所以，异号，，
所以.
23. 已知函数，．
（1）当时，求不等式的解集；
（2）若对任意，都有成立，求a的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）分类讨论去绝对值符号解不等式即可；
（2）利用三角不等式化简条件式得，解不等式即可.
小问1详解】
当时，，
∴，即为，
当时，，解得；
当时，，恒成立；
当时，，解得．
综上，不等式的解集是．
【小问2详解】
对任意实数x都成立，即恒成立，
∵，
∴，
当，则，
当，则，无解；
综上，解得，分数段
频率
0.1
0.15
0.2
0.2
0.15
0.1
*
0
1
2