第15章轴对称图形与等腰三角形章末复习教案（沪科版八年级数学上册）

章末复习

【知识与技能】

1.理解轴对称与轴对称图形的概念，掌握轴对称的性质.

2.掌握线段的垂直平分线、角的平分线的性质及应用.

3.理解等腰三角形的性质并能够简单应用.

4.理解等边三角形的性质并能够简单应用.

【过程与方法】

初步体会从对称的角度欣赏设计简单的轴对称图案.

【情感与态度】

数形结合的思想及方程的思想都应引起广泛的重视和应用.

【教学重点】

重点是掌握线段的垂直平分线、角的平分线的性质、等腰三角形的性质及应用.

【教学难点】

难点是轴对称图形以及关于某条直线成轴对称的概念，等腰三角形的性质应用.

一、知识框图，整体把握

【教学说明】引导学生回顾本章知识点，展示本章知识框图，使学生系统地了解本章知识及它们之间的关系.教学时，边回顾边建立知识框图.

二、典例精讲

1.关于“轴对称图形”与“轴对称”的认识

例1(1)下列几何图形中，①线段②角③直角三角形④半圆，其中一定是轴对称图形的有（C）

A.1个   B.2个   C.3个   D.4个

(2)图中，轴对称图形的个数是（A）

A.4个   B.3个   C.2个   D.1个

2.轴对称变换及用坐标表示轴对称

［关于坐标轴对称］

点P（x，y）关于x轴对称的点的坐标是（x，-y）

点P（x，y）关于y轴对称的点的坐标是（-x，y）

例2已知：△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示.

（1）把△ABC向下平移2个单位长度得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1；

（2）请画出△A1B1C1关于y轴对称的△A2B2C2，并写出A2的坐标.

【解】答案如图所示.

3.作一个图形关于某条直线的轴对称图形

（1）作出一些关键点或特殊点的对称点.

（2）按原图形的连接方式连接所得到的对称点，即得到原图形的轴对称图形

例3 如图，Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，BC=8，D为AB中点，P为BC上一动点，连接AP，DP，则AP+DP的最小值是  8  .

4.线段垂直平分线的性质

例4如图，在△ABC中，∠A=90°，BD为∠ABC的平分线，DE⊥BC，E是BC的中点，求∠C的度数.

【解】在△ABC中，BD平分∠ABC，

∴∠ABD=∠CBD，

∵DE⊥BC，而E是BC的中点，∴BE=CE，

∴BD=CD，

∴∠DBC=∠C，

∴∠ABD=∠CBD=∠C，

∵∠ABD+∠CBD+∠C=90°，

∴∠ABD=∠CBD=∠C=30°.

5.等腰三角形的特征和识别

例5 已知：如图，△ABC中，∠ACB为锐角且平分线交AB于点E，EF∥BC交AC于点F，交∠ACB的外角平分线于点G.试判断△EFC的形状，并说明你的理由.

【解】△EFC为等腰三角形，

证明：∵CE平分∠ACB，

∴∠BCE=∠ACE，

∵EF∥BC，

∴∠FEC=∠BCE，

∠FEC=∠ACE(等量代换)，

∴△EFC为等腰三角形

6.等边三角形的特征和识别

例6：如图，D，E，F分别是等边△ABC各边上的点，FE⊥BC，DF⊥AC，ED⊥AB，垂足分别为点E，F，D，求证：△DEF为等边三角形.

【解】∵△ABC为等边三角形，

∴∠A=∠B=∠C=60°，

∵DF⊥AC，

∴∠DFA=90°，

∴∠ADF=30°，

∵ED⊥AB，

∴∠BDE=90°，

∴∠FDE=180°-∠ADF-∠EDB=60°.

同理可得：∠DFE=60°，∠DEF=60°，

∴△DEF为等边三角形.

例7：如图，已知：在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，AB的垂直平分线交AB于点E，交BC于点F.求证：CF=2BF.

【解】如图，连接AF，

∵AB=AC，∠BAC=120°，

∴∠B=∠C=30°，

∵EF垂直平分AB，

∴BF=AF，

∴∠B=∠FAB=30°，

∴∠FAC=∠BAC-∠FAB=90°，

∴CF=2AF，

∴CF=2BF.

【教学说明】增加例题，巩固所学知识.

三、知识巩固，变式训练

1.以下图形有两条对称轴的是（   ）

A.正六边形      B.长方形

C.等腰三角形     D.圆

2.如图，在△ABC中，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD，则∠A为______.

3.等腰三角形的两边长分别为3cm，7cm，则它的周长为______cm.

4.如图，在△ABC中，DE是边AC的垂直平分线，若BC=8cm，AB=10cm，则△EBC的周长为______cm（学生可以合作讨论，互帮互学）

5.将一张长方形纸按如图所示的方式折叠，BC，BD为折痕，则∠CBD为（   ）

A.50°   B.90°   C.100°   D.110°

第5题图                       第6题图

6.如图所示，是三个村庄，现要修建一个自来水厂，使得自来水厂到三个村庄的距离相等，请你作出自来水厂的位置

7.如图，在直线上求作一点H，使点H到点A和点B的距离相等.

8.四边形ABCD是正方形，△PAD是等边三角形，求∠BPC的度数.

【参考答案】1.B  2.36°  3.17  4.18  5.B

6.提示：连接AB，AC，BC，再分别作线段AB，AC，BC的垂直平分线，它们的交点即为自来水厂的位置.

7.略.

8.解：①若P点在正方形ABCD外部，如图（1）所示，

∵△PAD为等边三角形，

∴PA=PD=AD，∠APD=∠PAD=∠PDA=60°，

∵四边形ABCD为正方形，

∴AB=AD=BC=CD，

∴PA=BA，则△PAB为等腰三角形，

∴∠PBA=∠APB.

又∵∠BAP=∠BAD+∠PAD=150°，

∴∠PBA=∠APB=15°，

同理可得∠CPD=15°，

∵∠BPC=∠APD-∠BPA-∠CPD，

∴∠BPC=30°.

②若点P在正方形ABCD内部，如图（2）所示，

∵△PAD为等边三角形

∴PA=PD=AD，∠APD=∠PAD=∠PDA=60°，

∵四边形ABCD为正方形，

∴AB=AD=BC=CD，∠BAD=∠ADC=∠DCB=∠CBA=90°，

∴∠BAP=30°，PA=BA，

∴△ABP为等腰三角形.

∴∠ABP=∠APB=75°，

∴∠PBC=15°.

同理可得：∠PCB=15°，

∴∠BPC=150°.

四、师生互动，课堂小结

1.关于轴对称的点，线段，图形的性质与作法.

2.角平分线的性质.

3.垂直平分线的性质.

4.等腰三角形的性质与应用.

5.等边三角形的性质与应用.

1.课本第149~150页A组复习题第4、5、6、7、8、9题.

2.完成练习册中相关复习课的练习.

本节设计了“知识框图，整体把握——典例精讲——知识巩固变式训练——师生互动，课堂小结”四个环节，使学生理解轴对称与轴对称图形的概念，掌握轴对称的性质；掌握线段的垂直平分线、角的平分线的性质及应用；理解等腰三角形的性质并能够简单应用；理解等边三角形的性质并能够简单应用，初步体会从对称的角度欣赏设计简单的轴对称图案，数形结合的思想及方程的思想都应引起广泛的重视和应用.