第03讲 三角函数的图象与性质（5类核心考点精讲精练）-备战2024年高考数学一轮复习（新教材新高考）

这是一份第03讲 三角函数的图象与性质（5类核心考点精讲精练）-备战2024年高考数学一轮复习（新教材新高考），共60页。试卷主要包含了 4年真题考点分布， 命题规律及备考策略等内容，欢迎下载使用。
2024高考数学一轮复习
第03讲 三角函数的图象与性质
（核心考点精讲精练）

1. 4年真题考点分布
4年考情
考题示例
考点分析
关联考点
2023年新I卷，第15题,5分
余弦函数图象的应用
根据函数零点的个数求参数范围
2023年新I卷，第17题,12分
用和、差角的正弦公式化简、求值
正弦定理解三角形
三角形面积公式及其应用
2022年新I卷，第6题,5分
由正 (余)弦函数的性质确定图象 (解析式)
无
2022年新Ⅱ卷，第9题,5分
求正弦(型)函数的对称轴及对称中心
利用正弦函数的对称性求参数
求sinx型三角函数的单调性
求在曲线上一点处的切线方程(斜率)
2021年新I卷，第4题,5分
求sinx型三角函数的单调性
无
2020年新I卷，第10题,5分
由图象确定正(余)弦型函数解析式
无
2020年新Ⅱ卷，第11题,5分
由图象确定正(余)弦型函数解析式
无

2. 命题规律及备考策略
【命题规律】本节内容是新高考卷的必考内容，设题稳定，难度较低或中等，分值为5分
【备考策略】1能用五点作图法作出正弦、余弦和正切函数图象，并掌握图象及性质
2能用五点作图法作出正弦型、余弦型和正切型函数图象，并掌握图象及性质
3理解中的意义，理解的变化对图象的影响，并能求出参数及函数解析式
【命题预测】本节内容是新高考卷的必考内容，一般会综合考查三角函数的图象与性质的综合应用，需加强复习备考




知识讲解
1. 三角函数的图象与性质




图象



定义域



值域



最值
当时，；当
时，．
当时，
；当
时，．
既无最大值也无最小值
周期性



奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
单调性
在
上是增函数；
在
上是减函数．
在上是增函数；
在上是减函数．
在
上是增函数．
对称性
对称中心
对称轴
对称中心
对称轴
对称中心
无对称轴
2. 三角函数型函数的图象和性质
（1） 正弦型函数、余弦型函数性质
，
振幅，决定函数的值域，值域为
决定函数的周期，
叫做相位，其中叫做初相
（2） 正切型函数性质
的周期公式为：
（3） 会用五代作图法及整体代换思想解决三角函数型函数的图象及性质

考点一、正弦（型）函数的图象及性质

1．（天津·高考真题）函数为增函数的区间是（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据三角函数单调性的求法求得正确答案.
【详解】，
，，，
令可的的递增区间为.
故选：C
2．（上海·高考真题）函数的最小正周期为
【答案】
【分析】化简即得解.
【详解】解：由题得，
所以函数的最小正周期为.
故答案为：
3．（全国·高考真题）关于函数有下述四个结论：
①f(x)是偶函数        ②f(x)在区间（,）单调递增
③f(x)在有4个零点    ④f(x)的最大值为2
其中所有正确结论的编号是
A．①②④ B．②④ C．①④ D．①③
【答案】C
【分析】化简函数，研究它的性质从而得出正确答案．
【详解】为偶函数，故①正确．当时，，它在区间单调递减，故②错误．当时，，它有两个零点：；当时，，它有一个零点：，故在有个零点：，故③错误．当时，；当时，，又为偶函数，的最大值为，故④正确．综上所述，①④    正确，故选C．
【点睛】画出函数的图象，由图象可得①④正确，故选C．

4．（天津·高考真题）已知函数（为常数，）在
处取得最小值，则函数是（    ）
A．奇函数且它的图象关于点对称 B．奇函数且它的图象关于点对称
C．偶函数且它的图象关于点对称 D．偶函数且它的图象关于点对称
【答案】A
【分析】由题意先求出的最简形式，即可得到函数，再根据三角函数性质对选项逐一判断
【详解】，其中，
若在处取得最小值，则，
所以即，
所以，
所以，
可得函数是奇函数，且图象关于点对称．
故选：A
5．（2023·全国·统考高考真题）已知函数在区间单调递增，直线和为函数的图像的两条相邻对称轴，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据题意分别求出其周期，再根据其最小值求出初相，代入即可得到答案.
【详解】因为在区间单调递增，
所以，且，则，，
当时，取得最小值，则，，
则，，不妨取，则，
则，
故选：D.
6．（2022·全国·统考高考真题）（多选）已知函数的图像关于点中心对称，则（    ）
A．在区间单调递减
B．在区间有两个极值点
C．直线是曲线的对称轴
D．直线是曲线的切线
【答案】AD
【分析】根据三角函数的性质逐个判断各选项，即可解出．
【详解】由题意得：，所以，，
即，
又，所以时，，故．
对A，当时，，由正弦函数图象知在上是单调递减；
对B，当时，，由正弦函数图象知只有1个极值点，由，解得，即为函数的唯一极值点；
对C，当时，，，直线不是对称轴；
对D，由得：，
解得或,
从而得：或,
所以函数在点处的切线斜率为，
切线方程为：即．
故选：AD．


1．（全国·高考真题）函数的最小正周期是(    )
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先根据三角函数的辅角公式将函数化简为的形式，再由可得到答案．
【详解】(其中)，
．
故选：C．
2．（安徽·高考真题）已知函数，的图象与直线的两个相邻交点的距离等于，则的单调递增区间是
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】，由题设的周期为，∴，由得，，故选C.
3．（2021·全国·统考高考真题）下列区间中，函数单调递增的区间是（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】解不等式，利用赋值法可得出结论.
【详解】因为函数的单调递增区间为，
对于函数，由，
解得，
取，可得函数的一个单调递增区间为，
则，，A选项满足条件，B不满足条件；
取，可得函数的一个单调递增区间为，
且，，CD选项均不满足条件.
故选：A.
【点睛】方法点睛：求较为复杂的三角函数的单调区间时，首先化简成形式，再求的单调区间，只需把看作一个整体代入的相应单调区间内即可，注意要先把化为正数．
4．（2023·辽宁·朝阳市第一高级中学校联考三模）（多选）关于函数，下列说法正确的是（    ）
A．函数在上最大值为 B．函数的图象关于点对称
C．函数在上单调递增 D．函数的最小正周期为
【答案】BD
【分析】根据给定条件，利用正弦函数的图象性质，逐项分析判断作答.
【详解】对于A，当时，，，最大值为2，A错误；
对于B，因为，则函数的图象关于点对称，B正确；
对于C，当时，，函数在上不单调，则在上不单调，C错误；
对于D，函数的最小正周期，D正确.
故选：BD.
5．（2023·广东佛山·校考模拟预测）（多选）已知函数的初相为，则下列结论正确的是（    ）
A．的图象关于直线对称
B．函数的一个单调递减区间为
C．若把函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，则为偶函数
D．若函数在区间上的值域为
【答案】AB
【分析】根据已知条件求出函数的解析式，然后计算的值即可判断A项；利用整体思想及正弦函数的单调性求函数的单调递减区间即可判断B项；由三角函数图象的平移变换法求出函数的解析式即可判断C项；由x范围求得的范围，进而求得在区间上的值域即可判断D项．
【详解】由题意知，所以．
对于选项A，，所以的图象关于直线对称，故A项正确；
对于选项B，由，，得，，
则当时，函数的一个单调递减区间为，故B项正确；
对于选项C，的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，
所以为奇函数，故C项错误；
对于选项D，因为，所以，
所以，
所以，
即：在区间上的值域为，故D项错误．
故选：AB.
6．（2020·全国·统考高考真题）关于函数f（x）=有如下四个命题：
①f（x）的图象关于y轴对称．
②f（x）的图象关于原点对称．
③f（x）的图象关于直线x=对称．
④f（x）的最小值为2．
其中所有真命题的序号是 ．
【答案】②③
【分析】利用特殊值法可判断命题①的正误；利用函数奇偶性的定义可判断命题②的正误；利用对称性的定义可判断命题③的正误；取可判断命题④的正误.综合可得出结论.
【详解】对于命题①，，，则，
所以，函数的图象不关于轴对称，命题①错误；
对于命题②，函数的定义域为，定义域关于原点对称，
，
所以，函数的图象关于原点对称，命题②正确；
对于命题③，，
，则，
所以，函数的图象关于直线对称，命题③正确；
对于命题④，当时，，则，
命题④错误.
故答案为：②③.
【点睛】本题考查正弦型函数的奇偶性、对称性以及最值的求解，考查推理能力与计算能力，属于中等题.

考点二、余弦函数（型）的图象及性质

1．（2023·天津·统考高考真题）已知函数的一条对称轴为直线，一个周期为4，则的解析式可能为（    ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】由题意分别考查函数的最小正周期和函数在处的函数值，排除不合题意的选项即可确定满足题意的函数解析式.
【详解】由函数的解析式考查函数的最小周期性：
A选项中，B选项中，
C选项中，D选项中，
排除选项CD，
对于A选项，当时，函数值，故是函数的一个对称中心，排除选项A，
对于B选项，当时，函数值，故是函数的一条对称轴，
故选：B.
2．（2022·北京·统考高考真题）已知函数，则（    ）
A．在上单调递减 B．在上单调递增
C．在上单调递减 D．在上单调递增
【答案】C
【分析】化简得出，利用余弦型函数的单调性逐项判断可得出合适的选项.
【详解】因为.
对于A选项，当时，，则在上单调递增，A错；
对于B选项，当时，，则在上不单调，B错；
对于C选项，当时，，则在上单调递减，C对；
对于D选项，当时，，则在上不单调，D错.
故选：C.
3．（2021·北京·统考高考真题）函数是
A．奇函数，且最大值为2 B．偶函数，且最大值为2
C．奇函数，且最大值为 D．偶函数，且最大值为
【答案】D
【分析】由函数奇偶性的定义结合三角函数的性质可判断奇偶性；利用二倍角公式结合二次函数的性质可判断最大值.
【详解】由题意，，所以该函数为偶函数，
又，
所以当时，取最大值.
故选：D.
4．（2022·全国·统考高考真题）记函数的最小正周期为T，若，为的零点，则的最小值为 ．
【答案】
【分析】首先表示出，根据求出，再根据为函数的零点，即可求出的取值，从而得解；
【详解】解： 因为，（，）
所以最小正周期，因为，
又，所以，即，
又为的零点，所以，解得，
因为，所以当时；
故答案为：

5．（2021·全国·统考高考真题）已知函数的部分图像如图所示，则满足条件的最小正整数x为 ．

【答案】2
【分析】先根据图象求出函数的解析式，再求出的值，然后求解三角不等式可得最小正整数或验证数值可得.
【详解】由图可知，即，所以；
由五点法可得，即；
所以.
因为，；
所以由可得或；
因为，所以，
方法一：结合图形可知，最小正整数应该满足，即，
解得，令，可得，
可得的最小正整数为2.
方法二：结合图形可知，最小正整数应该满足，又，符合题意，可得的最小正整数为2.
故答案为：2.
【点睛】关键点睛：根据图象求解函数的解析式是本题求解的关键，根据周期求解，根据特殊点求解.
6．（2019·全国·高考真题）函数的最小值为 ．
【答案】.
【分析】本题首先应用诱导公式，转化得到二倍角的余弦，进一步应用二倍角的余弦公式，得到关于的二次函数，从而得解.
【详解】，
，当时，，
故函数的最小值为．
【点睛】解答本题的过程中，部分考生易忽视的限制，而简单应用二次函数的性质，出现运算错误．
7．（2023·江苏南京·南京师大附中校考模拟预测）已知函数在上单调，且的图象关于点对称，则（    ）
A．的最小正周期为
B．
C．将的图象向右平移个单位长度后对应的函数为偶函数
D．函数在上有且仅有一个零点
【答案】ACD
【分析】根据函数的单调性和对称性列式求出，再根据最小正周期公式可判断A；根据解析式计算可判断B；利用图象变换和余弦函数的奇偶性可判断C，利用余弦函数的图象可判断D.
【详解】因为函数在上单调，
所以的最小正周期满足，即，所以.
因为的图象关于点对称，
所以，，得，，
由，得，因为，所以，.
所以.
对于A，的最小正周期为，故A正确；
对于B，，
，
所以，故B不正确；
对于C，将的图象向右平移个单位长度后对应的函数为为偶函数，故C正确；
对于D，，令，得，
令，由，得，
作出函数与直线的图象如图：
  
由图可知，函数与直线的图象有且只有一个交点，
所以函数在上有且仅有一个零点，故D正确.
故选：ACD


1．（全国·高考真题）已知函数，则
A．的最小正周期为，最大值为
B．的最小正周期为，最大值为
C．的最小正周期为，最大值为
D．的最小正周期为，最大值为
【答案】B
【分析】首先利用余弦的倍角公式，对函数解析式进行化简，将解析式化简为，之后应用余弦型函数的性质得到相关的量，从而得到正确选项.
【详解】根据题意有，
所以函数的最小正周期为，
且最大值为，故选B.
【点睛】该题考查的是有关化简三角函数解析式，并且通过余弦型函数的相关性质得到函数的性质，在解题的过程中，要注意应用余弦倍角公式将式子降次升角，得到最简结果.
2．（全国·高考真题）函数的最小值为（    ）
A．2 B．0 C． D．6
【答案】B
【分析】设，则，结合二次函数性质求其最小值即可.
【详解】因为，设，则，由二次函数性质可得当上单调递减，所以当，取最小值，最小值为0，故当时，函数取最小值，最小值为0，
故选：B.
3．（2023·全国·模拟预测）（多选）已知函数，若是的一个极大值点，与此极大值点相邻的一个零点为，则下列结论正确的是（    ）
A．在区间上单调递减
B．将的图象向右平移个单位长度可得的图象
C．在区间上的值域为
D．的图象关于直线对称
【答案】BC
【分析】先根据题意求出，再利用极大值点和的范围求出，得到的解析式，利用余弦函数的单调性即可判断A的正误；利用三角函数图象的平移变换法则即可判断B的正误；利用余弦函数的图象与性质求出在区间上的值域，即可判断C的正误；求出的值，即可判断D的正误．
【详解】选项A：由题知，，∴，则，
又是的一个极大值点，∴，，
即，，
∵，∴，∴，
当时，，
∴函数在区间上先增后减，故A错误；
选项B：将的图象向右平移个单位长度可得的图象，故B正确；
选项C：当时，，
∴在区间上的值域为，故C正确；
选项D：，
则的图象不关于直线对称，故D错误．
故选：BC.
4．（2023·安徽铜陵·统考三模）（多选）若函数的图象关于直线对称，则（    ）
A．
B．点是曲线的一个对称中心
C．在上单调递增
D．直线是曲线的一条切线
【答案】BCD
【分析】由题意利用对称轴即可求解判断A；代入验证法即可判断B；根据的范围，求解的范围，结合余弦函数的性质即可判断C；利用导数的几何意义判断选项D.
【详解】因为函数的图象关于直线对称，
所以，即，又，所以，A选项错误；
，因为，
所以点是曲线的一个对称中心，B选项正确；
，当时，，
由余弦函数的性质知当时，单调递增，
所以函数在上单调递增，C选项正确；
设切点为，由可得切线斜率，
若直线与曲线相切，则，
解得，则切点坐标为，此时切线为，
故直线是曲线的一条切线，选项D正确．
故答案为：BCD
5．（2023·江苏无锡·辅仁高中校考模拟预测）（多选）已知函数，则下列判断正确的是（    ）
A．若，则的最小值为
B．若将的图象向右平移个单位得到奇函数，则的最小值为
C．若在单调递减，则
D．若在上只有1个零点，则
【答案】ABC
【分析】由可得关于对称，所以，求出可判断A；由三角函数的平移变换求出，因为奇函数，所以求出可判断B；求出的单调减区间可判断C；取，取在的零点可判断D.
【详解】对于A，由可得关于对称，
所以，可得：，
因为，所以的最小值为，故A正确；
对于B，将的图象向右平移个单位得到，因为为奇函数，
所以，则，所以的最小值为，故B正确；
对于C，函数的单调减区间为：
，则，
令，，则，故C正确；
对于D，若在上只有1个零点，则，
取，令，则，
则，时，无零点，故D不正确.
故选：ABC.

考点三、正切函数（型）的图象及性质

1．（2001·上海·高考真题）函数的最小正周期为 ．
【答案】
【分析】利用二倍角公式化简后，由正切函数的性质可得.
【详解】因为，即，所以
所以
于是
易知，所求函数的最小值周期.
故答案为：
2．（2023·河南·开封高中校考模拟预测）已知函数，则下列说法正确的是（    ）
A．为奇函数 B．在区间上单调递增
C．图象的一个对称中心为 D．的最小正周期为π
【答案】C
【分析】根据正切函数的定义域、对称中心、周期、单调性逐项判断即可得解.
【详解】因为，所以，解得，
即函数的定义域不关于原点对称，所以不是奇函数，故A错误；
当时，，此时无意义，故在区间上单调递增不正确，故B错误；
当时，，正切函数无意义，故为函数的一个对称中心，故C正确；
因为，故是函数的一个周期，故D错误.
故选：C
3．（2023·辽宁朝阳·朝阳市第一高级中学校考模拟预测）（多选）下列函数中，以为最小正周期，且在区间上单调递增的是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】BD
【分析】根据的最小正周期可判断A；根据，确定，结合正弦函数单调性可判断B；根据时，，结合余弦函数单调性可判断C；数形结合，结合正切型函数图像和性质可判断D.
【详解】对于选项A，函数的最小正周期为，故选项A错误：
对于选项B，函数 的最小正周期为，
当，，
因为在上单调递增，所以在上单调递增，B正确；
对于C，函数最小正周期为，
当时，，因为在上单调道减，
所以在上单调递减，故选项C错误
对于选项D，作出函数的大致图像如图：

函数的最小正周期为，且在区间上单调递增，故选项D正确
故选：BD


1．（2023·广东·统考模拟预测）（多选）已知函数，则（    ）
A．函数的最小正周期为π
B．函数的图像关于点中心对称
C．函数在定义域上单调递增
D．若，则
【答案】BD
【分析】根据函数的最小正周期公式判断A选项，求的对称中心判断B选项，特殊值法判断C选项，求函数值域判断D选项.
【详解】的最小正周期为,A选项错误;
的对称中心，令,,对称中心为，当是对称中心,B选项正确;
,函数在定义域上不是单调递增,C选项错误;
当,则,可得,D选项正确;.
故选：BD.
2．（2023·广东佛山·华南师大附中南海实验高中校考模拟预测）（多选）已知函数，则下列说法正确的是（    ）
A． B．的图象的对称中心是
C．函数的零点是 D．在上单调递增
【答案】BCD
【分析】结合正弦函数与正切函数的性质分析A、B、C，利用导数判断函数的单调性，即可说明D.
【详解】因为，又的最小正周期为，的最小正周期为，
所以的最小正周期为，
所以，故A错误；
因为的对称中心为，的对称中心为，
所以的图象的对称中心是，故B正确；
因为的零点为，的零点心为，
所以函数的零点是，故C正确；
函数的定义域为，
所以，因为，且，
所以，所以在上单调递增，故D正确；
故选：BCD
考点四、求三角函数图象的解析式

1．（全国·高考真题）如图是函数的图象，那么（    ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由、在函数的图象结合五点作图法可得答案.
【详解】因为在函数的图象上，所以，，
所以，此时，，
又点在函数的图象上，所以，
由五点作图得该点是“五点”中的第五个点，所以，
.
故选：C.
2．（天津·高考真题）函数，，的部分图象如图所示，则函数表达式为（    ）

A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据图像的最值求出，由周期求出，可得，再代入特殊点求出，化简即得所求.
【详解】由图像知，，，解得，
因为函数过点，所以，
，即，
解得，因为，所以，
.
故选：A
【点睛】本题考查根据图像求正弦型函数的解析式，三角函数诱导公式，属于基础题.
3．（2023·湖南长沙·长沙市实验中学校考三模）（多选）已知函数（，），若函数的部分图象如图所示，则关于函数下列结论正确的是（　  　）
  
A．函数的图象关于直线对称
B．函数的图象关于点对称
C．函数在区间上单调递增
D．函数的图象可由函数的图象向左平移个单位长度得到
【答案】AC
【分析】根据函数图象，求解参数，代入的表达式中，利用正弦型函数的图象及性质，依次判断各项正误.
【详解】由题意结合函数图象可得，解得，
故，
由，所以，
又，所以，
所以，，
对于A，因为，
所以函数的图象关于直线对称，故A正确；
对于B，因为，
所以点不是函数的图象的对称中心，故B错误；
对于C，由，得，
所以函数在区间上单调递增，故C正确；
对于D，将函数的图象向左平移个单位长度，
得，故D错误.
故选：AC.
4．（2023·全国·统考高考真题）已知函数，如图A，B是直线与曲线的两个交点，若，则 ．
  
【答案】
【分析】设，依题可得，，结合的解可得，，从而得到的值，再根据以及，即可得，进而求得．
【详解】设，由可得，
由可知，或，，由图可知，
，即，．
因为，所以，即，．
所以，
所以或，
又因为，所以，．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查根据图象求出以及函数的表达式，从而解出，熟练掌握三角函数的有关性质，以及特殊角的三角函数值是解题关键．


1．（福建·高考真题）函数的部分图象如图，则（    ）

A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】先利用图象中的1和3，求得函数的周期，求得，最后根据时取最大值1，求得，即可得解．
【详解】解：根据函数的图象可得：函数的周期为，
∴，
当时取最大值1，即，
又，所以，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了由的部分图象确定其解析式，考查了五点作图的应用和图象观察能力，属于基本知识的考查．属于基础题.
2．（2023·河北衡水·衡水市第二中学校考三模）函数的部分图象如图所示，则（    ）
  
A．－2 B．－1 C．0 D．
【答案】C
【分析】根据图象及“五点法”求函数解析式.
【详解】由图可知，且过点，代入解析式可知，
即．
因为，所以，
所以，
所以．
故答案为：C
3（四川·高考真题）下列函数中，图象的一部分如图所示的是（    ）

A． B．
B． C． D．
【答案】D
【分析】根据题意，设，利用函数图象求得，得出函数解析式，再利用诱导公式判断选项即可.
【详解】由题意，设，
由图象知：，
所以，
所以，
因为点在图象上，
所以，
则，
解得，
所以函数为，
即，
故选：D
4．（辽宁·高考真题）已知函数，的部分图像如下图，则= .

【答案】
【分析】先求出周期，从而可得，代入函数值为0，结合已知的范围，可求得，最后由可得．
【详解】由题意，∴，
又，，而，∴，
，，
∴，
∴．
故答案为．
【点睛】本题考查正切函数的图象与性质，解题时必须掌握正切型函数的周期、零点等知识．本题属于基础题型．
5．（2023·广东·校联考模拟预测）（多选）如图是函数的部分图象，则下列结论正确的是（    ）
  
A．
B．
C．
D．
【答案】AD
【分析】由图象求出的解析式，再结合三角函数的诱导公式逐项分析即得.
【详解】设，
则的最小正周期为：，
所以，因为的最大值为，最小值为，
所以，所以，
因为，所以，
所以，故A正确，
，故B不正确；
，故D正确；
，故C不正确.
故选：AD.

考点五、三角函数图象及性质的综合应用

1．（2023·浙江·校联考模拟预测）已知函数的部分图象如图所示，其中，图中函数的图象与坐标轴的交点分别为，则下列代数式中为定值的是（    ）
  
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据图象，由求出，再由M，N点的坐标求出为定值.
【详解】由图象可得，，且，
所以，
令，则，所以，
则.
故选：D
2．（2023·湖南张家界·统考二模）（多选）已知函数，则下列说法正确的有（    ）
A．若，则
B．将的图象向左平移个单位长度后得到的图象关于轴对称
C．若在上有且仅有4个零点，则的取值范围为
D．是的导函数，令.则在上的值域为
【答案】ABC
【分析】利用正弦函数的最值和周期性可判断A，根据图象平移和奇偶性可判断B，根据正弦函数的零点可判断C，再根据导数运算公式和正弦函数的图象性质可判断D.
【详解】A选项，由，
故，必有一个最大值和一个最小值，
则为半个周期长度，正确；
B选项，由题意的图象关于y轴对称，正确；
C选项，，
在上有且仅在4个零点，
结合正弦函数的性质知：，
则，正确；
D选项，由题意，
则在时，，故值域为，错误.
故选：ABC.
3．（2023·浙江嘉兴·统考二模）（多选）已知函数，则（    ）
A．若的最小正周期为，则
B．若，则在上的最大值为
C．若在上单调递增，则
D．若的图象向右平移个单位，得到的函数为偶函数，则的最小值为
【答案】AC
【分析】根据正弦型三角函数的图象性质逐项判断即可.
【详解】对于A，若的最小正周期为，则，所以，故A正确；
对于B，若，则，当，则，所以，则在上的最大值为，故B不正确；
对于C，当，则，由于在上单调递增，所以，解得，故C正确；
对于D，的图象向右平移个单位得，因为其为偶函数，所以，
所以，又，则的最小值为，故D不正确.
故选：AC.
4．（2023·湖北·荆门市龙泉中学校联考模拟预测）（多选）已知函数在上有最大值，则（    ）
A．的取值范围为 B．在区间上有零点
C．在区间上单调递减 D．存在两个，使得
【答案】AC
【分析】结合正弦型函数图像和函数单调性、最值逐项分析.
【详解】A选项：有最大值，又因为，所以，
要使在上有最大值，则，所以的取值范围为；
B选项: ,因为，所以，无零点，即在区间上无零点，错误；
C选项: ,,,根据函数图像，单调递减，即在区间上单调递减，正确；
D选项：即，即，
因为当函数图像单调递增，单调递增，
与函数图像无交点；
当函数图像单调递减，单调递增，
与图像至多有一个交点，
故至多存在1个，使得，选项错误；
故选：AC


1．（2023·江苏扬州·扬州中学校考模拟预测）（多选）已知函数，其图像上相邻的两个最高点之间的距离为在上是单调函数，则下列说法不正确的是（    ）
A．的最大值为
B．在上的图像与直线没有交点
C．在上没有对称轴
D．在上有一个零点
【答案】BCD
【分析】根据已知得出，则，后根据余弦函数的图像和性质，即可逐一判断选项.
【详解】图像上相邻的两个最高点之间的距离为，
可得，，则，
因在上是单调函数，
则，
所以，，
则，
又，则，A正确；
因为函数周期为，
所以在上的图像与直线必有交点，B错；
因为，所以函数在半个周期内定有对称轴，C错；
因为，则，
，
当时，，
所以在上的图像都在轴下方，D错.
故选：BCD
2．（2023·福建龙岩·统考模拟预测）（多选）已知函数，则下列说法正确的是（    ）
A．的图象关于点对称
B．图象的一条对称轴是
C．，则的最小值为
D．若时，函数有两个零点，则实数的取值范围是
【答案】BC
【分析】由可判断A，B；，即，画出图象，求得的最小正周期可判断C；函数有两个零点，即与的图象有两个交点，结合图象可判断D.
【详解】，
故A不正确；B正确；
的图象如所示，

若，则，
由图可知，因为的最小正周期为，
所以，故C正确；
，
，
若时，函数有两个零点，即，
即与的图象有两个交点，
由图可知，，故D不正确.
故选：BC.

3．（2023·河北张家口·统考一模）（多选）已知函数，则下列结论正确的有（    ）
A．为偶函数
B．的最小值为
C．在区间上单调递增
D．方程在区间内的所有根的和为
【答案】ACD
【分析】运用函数奇偶性定义可判断A项，研究函数的周期性并画出图象可判断B项、C项，（也可运用整体法研究函数单调性可判断C项）运用对称性可判断D项.
【详解】对于A项，的定义域为，，故A项正确；
对于B项，由得：，
所以，
又因为，
所以函数是以为周期的周期函数，
所以，，
即，
故函数的图象如图所示．

则，
所以函数的最小值为，故B项错误；
对于C项，方法1：如图，当时，函数在上单调递增，故C项正确；
方法2：当时，，
所以，
所以函数在上单调递增，故C项正确；
对于D项，如上图可知，方程在区间有四个根，且，
所以，故D项正确．
故选：ACD．
4．（2023·辽宁辽阳·统考二模）已知函数，，且的最小值是．若关于x的方程在上有2023个零点，则的最小值是
【答案】
【分析】先由条件可求得解析式，再求得的零点，结合正弦函数的图象及性质可得结果.
【详解】由题意化简可得，则，即，
解得．
由，得，则或，
解得或，

结合图象可知：的相邻两个零点之间的距离是或．
要使最小，则m，n都是的解，则．
故答案为：



【基础过关】
一、单选题
1．（2023·湖南·校联考二模）函数的图象的一条对称轴方程是，则的最小正值为（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先化简，然后利用对称轴写出，即可求出答案
【详解】，
因为图象的一条对称轴方程是，
，解得，
故当时，取得最小正值．
故选：D
2．（2023·全国·模拟预测）已知函数，则使得和都单调递增的一个区间是（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用复合函数的单调性，判断各选项是否正确.
【详解】当从增加到时，从0递减到，从递增到1，
所以从递减到，从递减到，A错误；
当从增加到时，从递减到，从1递减到，
所以从递增到，从递减到，B错误；
当从增加到时，从递减到，从递减到，
所以从递增到，从递减到，C错误；
当从增加到时，从-1递增到，从递减到0，
所以从递增到，从递增到，D正确；
故选：D
3．（2023·重庆·统考模拟预测）已知函数，若对于任意实数x，都有，则的最小值为（    ）
A．2 B． C．4 D．8
【答案】C
【分析】根据给定条件，可得函数图象的对称中心，再利用正弦函数的性质列式求解作答.
【详解】因为对于任意实数x，都有，则有函数图象关于点对称，
因此，解得，而，
所以当时，取得最小值4.
故选：C
4．（2023·吉林·吉林省实验校考模拟预测）已知，则的大小关系是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据给定条件，构造函数、，，利用导数探讨单调性比较大小作答.
【详解】令函数，则恒成立，故函数在上单调递增，
所以当时，，则，于是，即；
当时，，则，所以，
而，于是，即；
综上：.
故选：C

二、填空题
5．（2023·上海松江·校考模拟预测）已知函数的对称中心为，若函数的图象与函数的图象共有6个交点，分别为，，…，，则 .
【答案】6
【分析】根据给定条件，结合函数图象的对称性，确定6个交点的关系即可求解作答.
【详解】显然函数的图象关于点成中心对称，
依题意，函数的图象与函数的图象的交点关于点成中心对称，
于是，所以.
故答案为：6
6．（2023·河南开封·校考模拟预测）已知函数的图象关于点对称，那么的最小值为 ．
【答案】
【分析】代入余弦函数的零点满足的公式判断即可.
【详解】的图象关于点对称，，即，令，可得的最小值为．
故答案为：
7．（2023·河南·襄城高中校联考三模）已知函数（）在区间上单调递减，且为偶函数，则 ．
【答案】
【分析】根据是正弦函数的单调递减区间的子集推出，根据为偶函数推出，，二者结合可得.
【详解】当时，，由在区间上单调递减，
得，解得,
因为，所以．
因为为偶函数，
所以，，
解得，，又，所以．
故答案为：.
8．（2023·广东佛山·校联考模拟预测）已知函数在区间上存在最大值，则实数的取值范围为 ．
【答案】
【分析】化简，得，转化为在区间上存在最小值，根据余弦函数的性质可得结果.
【详解】，
因为在区间上存在最大值，所以在区间上存在最小值，
由，得，
所以，即.
故答案为：
9．（2023·安徽阜阳·安徽省临泉第一中学校考三模）已知函数具有下列三个性质：①图象关于对称；②在区间上单调递减；③最小正周期为，则满足条件的一个函数 .
【答案】（答案不唯一）.
【分析】根据三角函数的性质一一分析的取值或范围即可.
【详解】由③可得，由①可得，
再由②可知时，，
则，，故为奇数时符合条件，
不妨令，则，A=1，此时.
故答案为：.
10．（2023·四川成都·成都市锦江区嘉祥外国语高级中学校考三模）已知函数的两个相邻的零点之差的绝对值为，且是的最小正零点，则 .
【答案】1
【分析】根据函数两个相邻的零点之差的绝对值求出周期和，再根据的最小正零点求出，即可求出的值．
【详解】令函数，得，
所以函数两个相邻的零点之差的绝对值为，即，解得，
又因为是的最小正零点，所以，
即，所以，，解得，，
又，所以，即，
所以．
故答案为：．

【能力提升】
一、单选题
1．（2023·四川遂宁·射洪中学校考模拟预测）已知（为常数），若在上单调，且，则的值可以是（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据在上单调，可得，再由求得的一条对称轴和一个对称中心，进而求得，再求的值.
【详解】对于函数，，
因为在上单调，
所以，即.
又，
所以为的一条对称轴，
且即为的一个对称中心，
因为，
所以和是同一周期内相邻的对称轴和对称中心，
则，即，
所以，
所以，
又为的一个对称中心，
则，，
则，，
当时，.
故选：A.

二、多选题
2．（2023·湖北武汉·华中师大一附中校考模拟预测）已知曲线关于轴对称，关于原点对称，设函数，则（    ）
A． B．
C．函数的最小正周期是 D．函数的值域是
【答案】CD
【分析】根据对称确定，代入得到函数解析式，A错误，取特殊值排除B，根据周期公式得到C正确，求值域得到D正确，得到答案.
【详解】关于轴对称，，
故关于原点对称，，，
故，
，
即，
对选项A：，错误；
对选项B：取，，，错误；
对选项C：，对于恒成立，正确；
对选项D：，对于恒成立，正确．
故选：CD．
3．（2023·山东德州·三模）函数的部分图象如图中实线所示，为函数与轴的交点，圆与的图象交于两点，且在轴上，则（    ）
  
A． B．圆的半径为
C．函数的图象关于点成中心对称 D．函数在上单调递增
【答案】AC
【分析】根据图象，求出的解析式，可判断ABC选项，对D选项，求出范围即可判断.
【详解】根据函数的图象以及圆的对称性,
可得两点关于圆心对称,
所以,于是,故A正确；
由及,得,
由于,所以,
所以,从而,故半径为,故B错误；
将代入得，所以是中心对称，故C正确；
当时，，即，此时为减函数，故D错误.
故选：AC
4．（2023·浙江温州·乐清市知临中学校考模拟预测）已知函数，则下列结论正确的是（    ）
A．函数的最小正周期是
B．函数的最大值为1，最小值为
C．函数的图像在区间上单调递减
D．函数的图像关于对称
【答案】AD
【分析】首先根据降幂公式化简，根据周期函数的定义即可判断A；设，求出的值域，即可判断B；由得出，根据复合函数的单调性，即可判断C；根据对称轴的定义，即可判断D．
【详解】，
对于A：设的周期为，
则,
所以，其中，解得，
所以最小值为，故A正确；
对于B：设，
则，
所以函数的最大值为1，最小值为，故B错误；
对于C：由B得当时，，且在上单调递减，
因为在上单调递减，在上单调递增，
所以在上单调递增，在上单调递减，故C错误；
对于D：由

，
，
所以，
所以关于直线对称，故D正确，
故选：AD．
5．（2023·安徽合肥·合肥一六八中学校考模拟预测）已知函数，则下列说法正确的有（    ）
A．若，则
B．将的图象向左平移个单位长度后得到的图象关于轴对称
C．函数的最小正周期为
D．若在上有且仅有3个零点，则的取值范围为
【答案】ABD
【分析】对A：必有一个最大值和一个最小值可求；对B：求出平移后函数解析式判断是否为偶函数；对C：化简后求周期；对D：求出的范围，数据正弦曲线的图象列出满足的不等式并求解.
【详解】由，故必有一个最大值和一个最小值，
则为半个周期长度，故正确；
由题意的图象关于轴对称，B正确；
的最小正周期为C错误.
，在上有且仅在3个零点，
结合正弦函数的性质知：，则，D正确；
故选：ABD
6．（2023·安徽安庆·安庆一中校考三模）函数（其中）的图像如图所示，则下列说法正确的是（    ）
  
A．函数的最小正周期是
B．
C．为了得到的图像，只需将的图像向左平移个单位长度
D．为了得到的图像，只需将的图像向左平移个单位长度
【答案】BD
【分析】根据函数图像结合三角函数性质，根据周期，初相判断A,B选项，根据平移判断C,D选项即可.

【详解】对A，由图可知，，最小正周期满足，所以，
所以函数的最小正周期是，故A错误；
对B，，即，将代入可得，得，又，所以，故B正确；
对C，由上述结论可知，为了得到
，应将函数向左平移个单位长度.故C
错误，D正确.

故选：BD.
7．（2023·广东深圳·校考二模）已知函数的图象关于直线对称，那么（    ）
A．函数为奇函数
B．函数在上单调递增
C．若，则的最小值为
D．函数的图象向右平移个单位长度得到的图象，则的最大值为
【答案】ACD
【分析】根据题意求得，得到，利用三角函数图象变换，以及三角函数的图象与性质，结合利用导数求得函数的单调性与最值，逐项判定，即可求解.
【详解】由函数的图象关于直线对称，
可得，所以，所以，
对于A中，由为奇函数，所以A正确；
对于B中，由，可得，
当时，即，函数单调递减；
当时，即，函数单调递增，
所以在上不是单调函数，所以B错误；
对于C中，若，
则和中，其中一个为最大值 ，另一个为最小值，
则的最小值为半个周期，即，所以C正确；
对于D中，把函数的图象向右平移个单位长度，
得到的图象，
则，
令，可得，则，
令，求得，当时，，单调递减；
当时，，单调递增；
当时，，单调递减，且，
可得，所以的最大值为，所以D正确.
故选：ACD.
8．（2023·重庆万州·重庆市万州第三中学校考模拟预测）已知函数的导函数的部分图象如图所示，其中点分别为的图象上的一个最低点和一个最高点，则（    ）
  
A．
B．图象的对称轴为直线
C．图象的一个对称中心为点
D．将的图象向右平移个单位长度，再将所有点的纵坐标伸长为原来的2倍，即可得到的图象
【答案】BD
【分析】先求出导函数，结合图象求出和，然后分别利用函数的对称性，以及图象变换进行判断即可.
【详解】，
因为，所以，
因为分别为的图象上的一个最低点和一个最高点，所以 ，
所以，即，则，
依题意得，，即，，即，，
因为，所以，，
所以，故A不正确；
所以，由，，得，，
所以图象的对称轴为直线，，故B正确；
因为，所以点不是图象的一个对称中心，故C不正确；
将的图象向右平移个单位长度得到的图象，
再将所有点的纵坐标伸长为原来的2倍，即可得到的图象，故D正确.
故选：BD
9．（2023·山东潍坊·统考模拟预测）设函数其中，．若，，且相邻两个极值点之间的距离大于，，设，则（    ）
A． B．
C．在上单调递减 D．在上存在唯一极值点
【答案】BC
【分析】根据题意求得，由，求得，得到或，当时，求得，得到，进而得到，所以不符合题意，，求得，可判定A不正确；由时，求得，进而可判定B正确；求得，结合正弦型函数的性质，可判定C正确、D错误.
【详解】由函数，因为且，
可得，可得，所以
因为相邻两个极值点之间的距离大于，可得，解得，
所以，可得，可得或，
当时，，可得，
则，可得，即
因为，所以，所以，
可得，则，
因为，所以不符合题意，（舍去），所以，所以A不正确；
当时，可得，解得，
因为，所以，所以B正确；
由，可得，
所以，
其中，因为，可得，
又由，可得，
根据正弦函数的性质，可得在为单调递减函数，
所以在上为单调递减函数，所以C正确；
由，可得，
因为，可得且，
所以当时，即时，函数取得极大值；
当时，即时，函数取得极小值，
所以在上存在一个极大值点和一个极小值点，所以D不正确.
故选：BC.
10．（2023·湖南长沙·雅礼中学校考模拟预测）已知函数，则下列说法正确的是（    ）
A．是以为周期的函数
B．直线是曲线的对称轴
C．函数的最大值为，最小值为
D．若函数在区间上恰有2023个零点，则
【答案】ACD
【分析】根据周期函数定义判断A即可；根据函数对称轴定义判断B即可；由A知是以为周期的函数，所以根据求解在区间上的最大值即可判断选项C，利用在区间上的零点个数即可判断选项D.
【详解】对于A，因为，
所以是以为周期的函数，故A正确；
对于B，有，故B错误；
对于C，由A知只需考虑在区间上的最大值，
当时，令，
则，
易知在区间上单调递减，
所以的最大值为，最小值为；
当时，令，
则，
易知在区间上单调递增，
所以的最大值为，最小值为，
综合可知：函数的最大值为，最小值为，故C正确；
对于D，因为是以为周期的函数，
可以先研究函数在区间上的零点个数，易知，
当时，令，解得或1，
因为，则，
则在区间上无解，
在区间上仅有一解，
当时，令，解得或1，
因为，则，
则在区间上无解，
在区间上也无解，
综合可知：函数在区间上有两个零点，分别为和，
又因为是以为周期的函数，
所以若，则在区间上恰有个零点，
又已知函数在区间上恰有2023个零点，
所以，故D正确．
故选：ACD
【点睛】关键点睛：本题主要考查命题的真假判断，利用三角函数的图像和性质，进行分类讨论是解决本题的关键，属于中档题.

【真题感知】
一、单选题
1．（2021·全国·统考高考真题）下列函数中最小值为4的是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据二次函数的性质可判断选项不符合题意，再根据基本不等式“一正二定三相等”，即可得出不符合题意，符合题意．
【详解】对于A，，当且仅当时取等号，所以其最小值为，A不符合题意；
对于B，因为，，当且仅当时取等号，等号取不到，所以其最小值不为，B不符合题意；
对于C，因为函数定义域为，而，，当且仅当，即时取等号，所以其最小值为，C符合题意；
对于D，，函数定义域为，而且，如当，，D不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题解题关键是理解基本不等式的使用条件，明确“一正二定三相等”的意义，再结合有关函数的性质即可解出．
2．（2022·全国·统考高考真题）函数在区间的图象大致为（    ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】由函数的奇偶性结合指数函数、三角函数的性质逐项排除即可得解.
【详解】令，
则，
所以为奇函数，排除BD；
又当时，，所以，排除C.
故选：A.

3．（2023·天津·统考高考真题）函数的图象如下图所示，则的解析式可能为（    ）
    
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】由图知函数为偶函数，应用排除，先判断B中函数的奇偶性，再判断A、C中函数在上的函数符号排除选项，即得答案.
【详解】由图知：函数图象关于y轴对称，其为偶函数，且，
由且定义域为R，即B中函数为奇函数，排除；
当时、，即A、C中上函数值为正，排除；
故选：D

4．（2022·全国·统考高考真题）如图是下列四个函数中的某个函数在区间的大致图像，则该函数是（    ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由函数图像的特征结合函数的性质逐项排除即可得解.
【详解】设，则，故排除B;
设，当时，，
所以，故排除C;
设，则，故排除D.
故选：A.

5．（2022·天津·统考高考真题）已知，关于该函数有下列四个说法：
①的最小正周期为；
②在上单调递增；
③当时，的取值范围为；
④的图象可由的图象向左平移个单位长度得到．
以上四个说法中，正确的个数为（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据三角函数的图象与性质，以及变换法则即可判断各说法的真假．
【详解】因为，所以的最小正周期为，①不正确；
令，而在上递增，所以在上单调递增，②正确；因为，，所以，③不正确；
由于，所以的图象可由的图象向右平移个单位长度得到，④不正确．
故选：A．




6．（2022·全国·统考高考真题）设函数在区间恰有三个极值点、两个零点，则的取值范围是（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由的取值范围得到的取值范围，再结合正弦函数的性质得到不等式组，解得即可．
【详解】解：依题意可得，因为，所以，
要使函数在区间恰有三个极值点、两个零点，又，的图象如下所示：
  
则，解得，即．
故选：C．


二、填空题
7．（2022·全国·统考高考真题）记函数的最小正周期为T，若，为的零点，则的最小值为 ．
【答案】
【分析】首先表示出，根据求出，再根据为函数的零点，即可求出的取值，从而得解；
【详解】解： 因为，（，）
所以最小正周期，因为，
又，所以，即，
又为的零点，所以，解得，
因为，所以当时；
故答案为：

8．（2023·全国·统考高考真题）已知函数在区间有且仅有3个零点，则的取值范围是 ．
【答案】
【分析】令，得有3个根，从而结合余弦函数的图像性质即可得解.
【详解】因为，所以，
令，则有3个根，
令，则有3个根，其中，
结合余弦函数的图像性质可得，故，

故答案为：