第09讲 解三角形中的最值及范围问题（10类核心考点精讲精练）-备战2024年高考数学一轮复习（新教材新高考）

这是一份第09讲 解三角形中的最值及范围问题（10类核心考点精讲精练）-备战2024年高考数学一轮复习（新教材新高考），共58页。

（核心考点精讲精练）
命题规律及备考策略
【命题规律】本节内容是新高考卷的常考内容，设题稳定，难度较中等偏上，分值为10-12分
【备考策略】1会利用基本不等式和相关函数性质解决三角形中的最值及范围问题
2会利用正余弦定理及面积公式解决三角形的综合问题
【命题预测】本节内容一般给以大题来命题、考查正余弦定理和三角形面积公式在解三角形中的应用，同时也结合基本不等式和相关函数性质等知识点求解范围及最值，需重点复习。
知识讲解
解三角形最值及范围问题中常用到的关联知识点
1. 基本不等式
，当且仅当时取等号，其中叫做正数，的算术平均数，
叫做正数，的几何平均数，通常表达为：（积定和最小），应用条件：“一正，二定，三相等”
2. 辅助角公式及三角函数值域
形如，，其中，
对于，类函数，叫做振幅，决定函数的值域，值域为，有时也会结合其他函数的性质和单调性来求解最值及范围
3. 三角形中的边角关系
（1）构成三角形的条件是任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边
（2）在三角形中，大边对大角，小边对小角
（3）在三角形中,边角以及角的三角函数值存在等价关系:
即
注意：在锐角中，任意一个角的正弦大于另一个角的余弦，如。
事实上，由，即得。由此对任意锐角，总有。
考点一、面积类最值及范围问题
1．（2023·福建漳州·统考模拟预测）在平面四边形中，，，，.
(1)求；
(2)若为锐角三角形，求的面积的取值范围.

2．（2023·江苏南京·南京师大附中校考模拟预测）已知、、分别为的三个内角、、的对边长，，且．
(1)求角的值；
(2)求面积的取值范围．
1．（2023·全国·模拟预测）在锐角中，角，，所对的边分别为，，，已知．
(1)求的取值范围；
(2)若是边上的一点，且，，求面积的最大值．
2．（2023·湖北武汉·华中师大一附中校考模拟预测）已知中，角，，所对边分别为，，，若满足．
(1)求角的大小；
(2)若，求面积的取值范围．
考点二、周长类最值及范围问题
1．（2023·江西赣州·统考模拟预测）在锐角三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，，则的周长的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
2．（2023·云南·校联考模拟预测）的内角的对边分别为，且.
(1)求角；
(2)若，求周长的取值范围.
1．（2023·贵州贵阳·校联考模拟预测）记内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
(1)求C；
(2)若为锐角三角形，，求周长范围．
2．（2023·陕西咸阳·校考模拟预测）已知锐角中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，若.
(1)求；
(2)若，求周长的取值范围.
考点三、边长和差类最值及范围问题
1．（2023·安徽合肥·合肥市第七中学校考三模）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
(1)求角C；
(2)设BC的中点为D，且，求的取值范围．
2．（2023·辽宁·辽宁实验中学校考模拟预测）如图，在平面凸四边形ABCD中，，，，．
(1)若，求；
(2)求的取值范围．
1．（2023·山东菏泽·山东省鄄城县第一中学校考三模）已知在中，内角，，所对的边分别为，，，．
(1)若，求出的值；
(2)若为锐角三角形，，求边长的取值范围．
2．（2023·新疆阿勒泰·统考三模）在中，，为边上的中线且，则的取值范围是 ．
考点四、边长积商类最值及范围问题
1．（2023·广东广州·广州市培正中学校考模拟预测）（多选）在锐角中，角所对的边为，若，且，则的可能取值为（ ）
A．B．2C．D．
2．（2023·湖北恩施·校考模拟预测）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，的平分线BD交AC于点．
(1)从下面三个条件中任选一个作为已知条件，求的大小．
①；②；③．
(2)若，求的取值范围．
1．（2023·江苏·金陵中学校联考三模）已知，，其中，函数的最小正周期为.
(1)求函数的单调递增区间；
(2)在锐角中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且满足，求的取值范围.
2．（2023·湖南长沙·长郡中学校联考模拟预测）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
(1)求A的值；
(2)若是锐角三角形，求的取值范围．
考点五、中线及高线类最值及范围问题
1．（2023·河南开封·开封高中校考模拟预测）在锐角中，，，则中线的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·贵州毕节·统考一模）已知的内角，，的对边分别为，，．若．
(1)求角；
(2)若，求边上的高的取值范围．
1．（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨市第六中学校校考一模）在锐角中，设边所对的角分别为，且．
(1)求角的取值范围；
(2)若，求中边上的高的取值范围．
2．（2023·全国·模拟预测）在锐角三角形中，，．
(1)求．
(2)求边上的高的取值范围．
3．（2023·重庆·校联考三模）在锐角三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知．
(1)求角C的大小；
(2)若，边AB的中点为D，求中线CD长的取值范围．
4．（2023·安徽·合肥一中校联考模拟预测）记的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知．
(1)求A；
(2)若，求边中线的取值范围．
考点六、外接圆及内切圆半径类最值及范围问题
1．（2023·河北·校联考二模）在中，角的对边分别为，已知，且.
(1)求的外接圆半径；
(2)求内切圆半径的取值范围.
2．（2023·山东烟台·统考二模）已知内角A，B，C的对边分别是a，b，c，．
(1)求角B的大小；
(2)若为钝角三角形，且，求外接圆半径的取值范围．
1．（2023·广东茂名·茂名市第一中学校考三模）如图，平面四边形中，，，．的内角的对边分别为，且满足．
(1)判断四边形是否有外接圆？若有，求其半径；若无，说明理由；
(2)求内切圆半径的取值范围．
2．（2023·江苏扬州·江苏省高邮中学校考模拟预测）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，且．
(1)求的外接圆半径R；
(2)求内切圆半径r的取值范围．
考点七、角度类最值及范围问题
1．（2023·海南海口·校考模拟预测）在中，角、、所对的边长分别为，若成等比数列，则角的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
1．（2023春·上海宝山·高一校考期中）如果的三边、、满足，则角的取值范围为 ．
考点八、正余弦类最值及范围问题
1．（2023·甘肃武威·统考一模）在中，，则的范围是（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·四川·成都市锦江区嘉祥外国语高级中学校考三模）已知分别为锐角ABC内角的对边，．
(1)证明：；
(2)求的取值范围．
3．（2023·辽宁沈阳·沈阳二中校考三模）在中，三个内角A，B，C的对应边分别为a，b，c，.
(1)证明：；
(2)求的取值范围.
4．（2023·安徽宿州·统考一模）在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且.
(1)求角A的大小；
(2)求的取值范围.
5．（2023·陕西榆林·统考三模）已知分别为的内角所对的边，，且．
(1)求；
(2)求的取值范围．
1．（2023·广东·统考一模）在中，角的对边分别为，已知.
(1)求角的大小；
(2)求的取值范围.
2．（2023·广东广州·广州六中校考三模）记的内角的对边分别为，已知为钝角，.
(1)若，求；
(2)求的取值范围.
3．（2023·江苏镇江·江苏省镇江第一中学校考模拟预测）已知的三个角所对的边分别为，，.
(1)若，，，求；
(2)若为锐角三角形，且三个角依次成等差数列，求的取值范围.
4．（2023·浙江金华·统考模拟预测）在锐角中，内角的对边分别为，已知.
(1)证明：；
(2)求的取值范围.
考点九、向量类最值及范围问题
1．（2023·河南新乡·新乡市第一中学校考模拟预测）在中，，，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·安徽安庆·安庆市第二中学校考二模）已知点为锐角的外接圆上任意一点，，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
3．（2023·浙江金华·模拟预测）在中，角A，B，C所对应的边为a，b，c．已知的面积，其外接圆半径，且．
(1)求；
(2)若A为钝角，P为外接圆上的一点，求的取值范围．
A
1．（2023·湖北武汉·华中师大一附中校考模拟预测）周长为4的，若分别是的对边，且，则的取值范围为 ．
2．（2023·江苏盐城·统考三模）在中，，，，则的取值范围是 .
3．（2023·安徽黄山·统考三模）记的内角的对边分别为，已知，.
(1)求角的大小和边的取值范围；
(2)如图，若是的外心，求的最大值.
考点十、参数类最值及范围问题
1．（2023·陕西榆林·统考一模）的内角所对的边分别为，若，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·全国·模拟预测）已知在中，角所对的边分别为，且.
(1)求的值；
(2)若，且，求实数的取值范围.
1．（2023·河北张家口·统考二模）在锐角中，角所对的边分别为，若.
(1)求；
(2)若不等式恒成立，求实数的取值范围.
2．（2023·山西大同·统考模拟预测）记锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
(1)证明：；
(2)若AD是BC边上的高，且，求的取值范围．
【基础过关】
一、单选题
1．（2022·上海黄浦·统考模拟预测）已知锐角，其外接圆半径为，，边上的高的取值范围为（ ）.
A．B．C．D．
二、填空题
2．（2023·青海西宁·统考一模）在锐角中，角所对的边分别为，若，则的取值范围为 ．
三、解答题
3．（2022·山东烟台·统考三模）在中，角，，的对边分别为，，，且.
(1)求角；
(2)若，求的取值范围.
4．（2023·湖南长沙·雅礼中学校考模拟预测）已知锐角三角形ABC中角A，B，C所对的边分别为a，b，c，.
(1)求B；
(2)若，求c的取值范围.
5．（2023·甘肃张掖·统考模拟预测）已知锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且．
(1)求角C的大小；
(2)若，求c的取值范围．
6．（2023·广东汕头·统考三模）在锐角中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
(1)求证：；
(2)若的角平分线交BC于，且，求面积的取值范围．
7．（2023·甘肃兰州·校考模拟预测）若△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足.
(1)求角A；
(2)若，求△ABC周长的取值范围.
8．（2023·全国·模拟预测）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
(1)求角A的大小．
(2)若，求的周长的取值范围．
9．（2023·河北秦皇岛·秦皇岛一中校考二模）已知内角所对的边长分别为.
(1)求；
(2)若为锐角三角形，且，求面积的取值范围.
10．（2023·广东佛山·统考二模）已知为锐角三角形，且．
(1)若，求；
(2)已知点在边上，且，求的取值范围．
【能力提升】
1．（2023·广东广州·广州市培正中学校考模拟预测）在锐角中，角所对的边分别为，且.
(1)求角的大小；
(2)若边，边的中点为，求中线长的取值范围.
2．（2023·河北·模拟预测）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.
(1)求A；
(2)已知的外接圆半径为4，若有最大值，求实数的取值范围.
3．（2023·湖北咸宁·校考模拟预测）在中，角所对的边分别为，满足，.
(1)证明：外接圆的半径为；
(2)若恒成立，求实数的取值范围.
4．（2023·湖南·校联考模拟预测）已知的内角A，B，C所对的边a，b，c成等比数列.
(1)若，的面积为2，求的周长；
(2)求的取值范围.
5．（2023·重庆·统考模拟预测）在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，满足．
(1)证明：；
(2)求的取值范围．
6．（2023·浙江·校联考模拟预测）在中，角的对边分别为且，
(1)求；
(2)求边上中线长的取值范围．
7．（2023·浙江·校联考模拟预测）记锐角内角的对边分别为.已知.
(1)求；
(2)若，求的取值范围.
8．（2023·安徽滁州·安徽省定远中学校考一模）已知在中，角，，的对边分别是，，，面积为，且_____．
在①，②；③这三个条件中任选一个，补充在上面的问题中，并根据这个条件解决下面的问题．
(1)求；
(2)若，点是边的中点，求线段长的取值范围．
9．（2023·广东佛山·校联考模拟预测）记锐角的内角、、的对边分别为、、，已知．
(1)求；
(2)已知的角平分线交于点，求的取值范围．
10．（2023·甘肃张掖·高台县第一中学校考模拟预测）已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．
(1)若，求证：△ABC是等边三角形；
(2)若△ABC为锐角三角形，求的取值范围.
11．（2023·河南郑州·统考模拟预测）在锐角中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，．
(1)求角B的大小；
(2)求的取值范围．
12．（2023·山东泰安·校考模拟预测）在锐角中，内角所对的边分别为，满足，且．
(1)求证：；
(2)已知是的平分线，若，求线段长度的取值范围．
【真题感知】
一、单选题
1．（四川·高考真题）在ABC中，．则的取值范围是（ ）
A．（0，]B．[，）C．（0，]D．[，）
二、双空题
2．（北京·高考真题）若的面积为,且∠C为钝角，则∠B= ；的取值范围是 .
三、解答题
3．（全国·高考真题）设锐角三角形的内角，，的对边分别为
（1）求B的大小；
（2）求 的取值范围.
4．（全国·统考高考真题）的内角的对边分别为，已知．
（1）求；
（2）若为锐角三角形，且，求面积的取值范围．
5．（江西·高考真题）在中，角所对的边分别为，已知．
（1）求角的大小；
（2）若，求的取值范围．
6．（浙江·统考高考真题）在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
（I）求角B的大小；
（II）求csA+csB+csC的取值范围．
基本不等式的推论
重要不等式
（和定积最大）
当且仅当时取等号
当且仅当时取等号