第02讲 等差数列及其前n项和（8类核心考点精讲精练）-备战2024年高考数学一轮复习（新教材新高考）

这是一份第02讲 等差数列及其前n项和（8类核心考点精讲精练）-备战2024年高考数学一轮复习（新教材新高考），共58页。试卷主要包含了 4年真题考点分布， 命题规律及备考策略，1的等差数列，且直线的斜率为0等内容，欢迎下载使用。
2024高考数学一轮复习
第02讲 等差数列及其前n项和
（核心考点精讲精练）

1. 4年真题考点分布
4年考情
考题示例
考点分析
关联考点
2023年新I卷，第7题,5分
由递推关系证明数列是等差数列
等差数列前n项和的性质
充分条件与必要条件的判定
2023年新I卷，第20题,12分
等差数列通项公式的基本量计算利用等差数列的性质计算
等差数列前n项和的基本量计算
无
2023年新Ⅱ卷，第18题,12分
利用定义求等差数列通项公式
等差数列通项公式的基本量计算求等差数列前n项和
分组 (并项)-奇偶项求和
2022年新I卷，第17题,10分
利用等差数列通项公式求数列中的项
利用与关系求通项或项
累乘法求数列通项
裂项相消法求和
2022年新Ⅱ卷，第3题,5分
等差数列通项公式的基本量计算
数学新文化
已知斜率求参数
2022年新Ⅱ卷，第17题,10分
等差数列通项公式的基本量计算
等比数列通项公式的基本量计算
数列不等式能成立(有解) 问题
2021年新I卷，第17题,10分
利用定义求等差数列通项公式
求等差数列前n项和
由递推数列研究数列的有关性质
分组 (并项)-奇偶项求和
2021年新Ⅱ卷，第17题,10分
等差数列通项公式的基本量计算
求等差数列前n项和
解不含参数的一元二次不等式
2020年新I卷，第14题,5分
求等差数列前n项和
无
2020年新Ⅱ卷，第15题,5分
求等差数列前n项和
无

2. 命题规律及备考策略
【命题规律】本节内容是新高考卷的必考内容，设题稳定，难度中等，分值为5-12分
【备考策略】1.理解等差数列的概念
2掌握等差数列的通项公式与前n项和公式
3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系并能用等差数列的有关知识解决相应的问题
4.理解等差数列与一次函数的关系及等差数列通项公式与前n项和的关系
5.熟练掌握等差数列通项公式与前n项和的性质
【命题预测】本节内容是新高考卷的必考内容，一般给出数列为等差数列，或通过构造为等差数列，求通项公式及前n项和。需综合复习

















知识讲解
1. 等差数列的定义
从第二项开始，后一项与前一项的差为同一个常数，这个数列是等差数列，这个常数是等差数列的公差，用表示
2. 数学表达式

3. 通项公式
，，，
4. 等差数列通项公式与函数关系

令，，等差数列为一次函数
5. 等差中项
若，，三个数成等差数列，则，其中叫做，的等差中项
6. 等差数列通项公式的性质
（1）若，或
（2）若，为等差数列，则，仍为等差数列
7. 等差数列前n项和
或
8. 等差数列前n项和与函数关系

令，，
等差数列前项和公式是无常数项的二次函数
9. 等差数列前n项和的性质
（1） ，，……仍成等差数列
（2） 为等差数列
推导过程：（一次函数）为等差数列
（3）
（4）
10. 证明数列为等差数列的方法
（1）（为常数）为等差数列
（2）通项公式：（一次函数），前项和：（无常数项的二次函数）
（3）若，则，，三个数成等差数列

考点一、等差数列项、公差及通项公式的求解

1．（山东·高考真题）是首项，公差的等差数列，如果，则序号n等于（    ）
A．667 B．668 C．669 D．670
【答案】C
【分析】先求得等差数列的通项公式，再利用列方程，解之即可求得序号n的值.
【详解】等差数列首项，公差，则
由，可得
故选：C
2．（海南·高考真题）已知是等差数列，其前5项和．则其公差 ．
【答案】/
【分析】由是等差数列，结合已知条件列方程组即可求得.
【详解】因为是等差数列，且，则，①
又，，②，由①②两式解得，.
所以公差
故答案为：
3．（重庆·高考真题）在数列中，若，，则该数列的通项 .
【答案】
【分析】根据条件先判断数列类型，然后利用定义求解数列通项公式.
【详解】因为，所以，所以是等差数列且公差，又，
所以，所以，
故答案为.
【点睛】本题考查等差数列的判断及通项求解，难度较易.常见的等差数列的判断方法有两种：定义法、等差中项法.
4．（北京·高考真题）设是等差数列，且，，则的通项公式为 ．
【答案】
【分析】先根据条件列关于公差的方程，求出公差后，代入等差数列通项公式即可.
【详解】设等差数列的公差为，
【点睛】在解决等差、等比数列的运算问题时，有两个处理思路，一是利用基本量，将多元问题简化为首项与公差（公比）问题，虽有一定量的运算，但思路简洁，目标明确：二是利用等差、等比数列的性质，性质是两种数列基本规律的深刻体现，是解决等差、等比数列问题既快捷又方便的工具，应有意识地去应用.


1．（2023·福建福州·福建省福州第一中学校考模拟预测）已知为等差数列，，则（    ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【分析】利用基本量法可求公差和首项，从而可求.
【详解】设等差数列的公差为，则，
故，故，
故选：A.
2．（2023·湖北襄阳·襄阳四中校考模拟预测）已知数列为等差数列，且满足，，则的值为（    ）
A．2033 B．2123 C．123 D．0
【答案】D
【分析】根据是等差数列，先求出公差，然后由等差数列的通项公式即可求出结果.
【详解】设等差数列的公差为，则，
所以，
故选：D.
3．（2022·四川成都·统考三模）在等差数列中，已知，，则数列的公差为（    ）
A． B．0 C．1 D．2
【答案】D
【分析】设公差为，依题意根据等差数列的通项公式得到方程组，解得即可；
【详解】解：设公差为，由，，
所以，解得 ；
故选：D
4．（2022·宁夏石嘴山·石嘴山市第三中学校考模拟预测）已知为等差数列，首项，公差，若，则（    ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【分析】首先求出通项公式，再代入得到方程，解得即可；
【详解】解：因为首项，公差，所以，
因为，所以，解得
故选：D

考点二、等差中项的应用


1．（2023·辽宁大连模拟预测）等差数列，，，的第四项等于（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】先根据已知求出x的值，再求出等差数列的第四项得解.
【详解】由题得.
所以等差数列的前三项为0,3,6,公差为3，
所以等差数列的第四项为9.
故选：B
【点睛】本题主要考查等差中项的应用，考查等差数列的通项的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.

1．（2023·全国·模拟预测）已知等差数列中，与的等差中项为8，且，则（    ）
A．6 B．9 C．12 D．18
【答案】C
【分析】设等差数列的公差为，则由已知可得，得，结合求出公差，从而可求出.
【详解】由已知得，所以，即，又，
故数列的公差，所以，
故选：C．

考点三、等差数列的性质

1．（北京·高考真题）在等差数列中，已知，那么等于（    ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】A
【分析】设首项为，公差为，由已知有，所以可得的值．
【详解】解：为等差数列，设首项为，公差为，
由已知有，，
即．
故选：A．
2．（2023·福建漳州·统考模拟预测）已知等差数列的前项和为，，则（    ）
A．66 B．72 C．132 D．144
【答案】A
【分析】根据等差数列的性质，结合求和公式即可求解.
【详解】，
故选：A
3．（江西·高考真题）设数列{an}，{bn}都是等差数列，若a1＋b1＝7，a3＋b3＝21，则a5＋b5＝ ．
【答案】35
【详解】因为{an}，{bn}都是等差数列,所以也成等差数列，根据等差数列的性质，a1＋b1＝7，a3＋b3＝21, a5＋b5成等差数列，因而a5＋b5＝.
4．（2022·吉林·东北师大附中校考模拟预测）已知等差数列中，为其前项和，，，则（    ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】C
【分析】先通过求出，再利用等差数列的性质计算即可.
【详解】由已知，
又数列为等差数列，由等差数列的性质，
，
，
故选：C.

1．（全国·高考真题）设等差数列的前项和为，若，则 .
【答案】24
【分析】根据等差数列的性质与前项和公式计算．
【详解】是等差数列，
∴，，
．
故答案为：24.
2．（江西·高考真题）已知等差数列，若，则 .
【答案】
【详解】根据等差数列的性质和题设条件，求得，结合，即可求解.
【解答】因为等差数列中，满足，
根据等差数列的性质可得，解得，
又由.
故答案为：.
3．（2023·全国·校联考二模）等差数列中，.则前13项和（    ）
A．133 B．130 C．125 D．120
【答案】B
【分析】根据等差数列下标和性质求出，再根据等差数列求和公式计算可得.
【详解】因为，又，
所以，所以.
故选：B
4．（2023·广西南宁·南宁二中校考模拟预测）在等差数列中，若，则 .
【答案】24
【分析】由等差中项的性质即可求解.
【详解】因为在等差数列中，有，所以由，
得，，又，所以.
故答案为：24

考点四、等差数列前n项和的求解

1．（2023·全国·统考高考真题）记为等差数列的前项和．若，则（    ）
A．25 B．22 C．20 D．15
【答案】C
【分析】方法一：根据题意直接求出等差数列的公差和首项，再根据前项和公式即可解出；
方法二：根据等差数列的性质求出等差数列的公差，再根据前项和公式的性质即可解出．
【详解】方法一：设等差数列的公差为，首项为，依题意可得，
，即,
又，解得：，
所以．
故选：C.
方法二：，，所以，，
从而，于是，
所以．
故选：C.
2．（2020·全国·统考高考真题）记为等差数列的前n项和．若，则 ．
【答案】
【分析】因为是等差数列，根据已知条件，求出公差，根据等差数列前项和，即可求得答案.
【详解】是等差数列，且，
设等差数列的公差
根据等差数列通项公式：
可得
即：
整理可得：
解得：
根据等差数列前项和公式：
可得：
.
故答案为：.
【点睛】本题主要考查了求等差数列的前项和，解题关键是掌握等差数列的前项和公式，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.
3．（2020·海南·高考真题）将数列{2n–1}与{3n–2}的公共项从小到大排列得到数列{an}，则{an}的前n项和为 ．
【答案】
【分析】首先判断出数列与项的特征，从而判断出两个数列公共项所构成新数列的首项以及公差，利用等差数列的求和公式求得结果.
【详解】因为数列是以1为首项，以2为公差的等差数列，
数列是以1首项，以3为公差的等差数列，
所以这两个数列的公共项所构成的新数列是以1为首项，以6为公差的等差数列，
所以的前项和为，
故答案为：.
【点睛】该题考查的是有关数列的问题，涉及到的知识点有两个等差数列的公共项构成新数列的特征，等差数列求和公式，属于简单题目.
4．（2021·全国·统考高考真题）记是公差不为0的等差数列的前n项和，若．
（1）求数列的通项公式；
（2）求使成立的n的最小值．
【答案】(1)；(2)7.
【分析】(1)由题意首先求得的值，然后结合题意求得数列的公差即可确定数列的通项公式；
(2)首先求得前n项和的表达式，然后求解二次不等式即可确定n的最小值.
【详解】(1)由等差数列的性质可得：，则：，
设等差数列的公差为，从而有：，
，
从而：，由于公差不为零，故：，
数列的通项公式为：.
(2)由数列的通项公式可得：，则：，
则不等式即：，整理可得：，
解得：或，又为正整数，故的最小值为.
【点睛】等差数列基本量的求解是等差数列中的一类基本问题，解决这类问题的关键在于熟练掌握等差数列的有关公式并能灵活运用.
5．（2023·全国·统考高考真题）记为等差数列的前项和，已知．
(1)求的通项公式；
(2)求数列的前项和．
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）根据题意列式求解，进而可得结果；
（2）先求，讨论的符号去绝对值，结合运算求解.
【详解】（1）设等差数列的公差为，
由题意可得，即，解得，
所以，
（2）因为，
令，解得，且，
当时，则，可得；
当时，则，可得
；
综上所述：.

1．（2023·黑龙江大庆·统考二模）在公差不为零的等差数列中，为其前n项和，若，则 ．
【答案】
【分析】设等差数列的公差为d，利用等差数列的通项公式和前n项和公式将已知条件转化为的方程，即可求解．
【详解】设等差数列的公差为d，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
故答案为：4．
2．（2023·江苏无锡·江苏省天一中学校考模拟预测）若等差数列前项和为，且，，数列的前10项的和为 .
【答案】
【分析】由题意可得，解方程求出，即可求出，再由等差数列的前项和公式求解即可.
【详解】设等差数列的首项为，公差为，
则，解得，
故，
所以，
所以数列的前10项的和为.
故答案为：.
3．（2023·湖南·校联考二模）记为等差数列的前项和，，．
(1)求数列的通项公式；
(2)求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）设等差数列的首项和公差分别为、，依题意得到方程组，解得、，即可得解；
（2）由（1）可得，根据等差数列求和公式计算可得.
【详解】（1）设等差数列的首项和公差分别为、，
由题意可知，
化简得，解得，
所以．
（2）由（1）知：当时，；当时，，
所以


．
4．（2023·海南省直辖县级单位·嘉积中学校考模拟预测）已知在等差数列中，，.
(1)求数列的通项公式；
(2)设是数列的前项和，求.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）设等差数列的公差为，由已知条件可得出关于、的方程组，解出这两个量的值，即可求出数列的通项公式；
（2）化简数列的表达式，利用等差数列的求和公式可求得的值.
【详解】（1）解：设等差数列的公差为，则，解得，
所以，.
（2）解：.
因此，.
5．（2023·云南昭通·统考模拟预测）设是公差不为0的等差数列的前项和，若，.
(1)求数列的通项公式；
(2)求使的的最大值.
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）根据已知条件求得，进而求得.
（2）先求得，然后由进行化简，从而求得的最大值.
【详解】（1）设等差数列的公差为，
则，
由于，故解得，
所以.
（2），
由得，
解得，
由于，所以的最大值是.

考点五、等差数列前n项和的性质

1．（全国·高考真题）已知等差数列的前项之和为，前项和为，则它的前项的和为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】等差数列中也成等差数列，据此可解答﹒
【详解】由于等差数列中也成等差数列，即成等差数列，∴﹒
故选：C．
2．（2023·福建厦门·统考模拟预测）等差数列的前项和为，，则（    ）
A．9 B． C．12 D．
【答案】A
【分析】根据等差数列前项和的性质可得，，成等差数列，从而可列方程可求出结果.
【详解】由已知，，，即3，，成等差数列，
所以，所以，
故选：A．
3．（2023·辽宁大连·校联考二模）设是等差数列的前项和，若，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由等差数列的性质可知、、、成等差数列，根据题意可将都用表示，可求得结果.
【详解】由等差数列的性质可知、、、成等差数列，
∵，即，，
∴，，∴，，
∴.
故选：A.
4．（2022·青海海东·校考模拟预测）已知等差数列的前n项和为，若，，则（    ）
A．－10 B．－20 C．－120 D．－110
【答案】C
【分析】利用数列的运算性质与等差数列的前n项和的公式计算即可.
【详解】，
，则.
故选：C
5．（2022·河南新乡·统考一模）设等差数列，的前项和分别为，，若，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用等差中项求解即可.
【详解】因为，为等差数列，
所以，，所以，
故选：D
6．（2022·全国·模拟预测）设等差数列与等差数列的前n项和分别为，.若对于任意的正整数n都有，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先设，，由，直接计算即可.
【详解】设，，.则，，所以.
故选：B.

1．（辽宁·高考真题）设等差数列的前项和为，若，，则（    ）
A．63 B．36 C．45 D．27
【答案】C
【分析】根据等差数列的前项和的性质，列式求解.
【详解】由等差数列的项和的性质可知，成等差数列，
即，，成等差数列，所以，所以.
即.
故选：C
2．（陕西·高考真题）等差数列的前项和为，若则等于
A．12 B．18 C．24 D．42
【答案】C
【分析】数列每2项构成的等差数列的公差为6，计算得到答案.
【详解】第一个2项和为2，第二个2项和为8，则每2项构成的等差数列的公差为6，
第三个2项和为14，则，
故选：C.
【点睛】本题考查了等差数列和的性质，意在考查学生的计算能力和应用能力.
3．（2023·海南·校考模拟预测）已知等差数列，的前项和分别为，，若，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据等差数列的前项和形式满足，再根据拼凑对应的形式，进而用表达求解即可.
【详解】即，又等差数列的前项和形式满足，
故.则，
故.
故选：A
4．（2022·重庆沙坪坝·重庆八中校考模拟预测）已知等差数列与等差数列的前项和分别为和，且，那么的值为（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】设等差数列、的公差分别为、,由题意利用等差数列的性质求出它们的首项、公差之间的关系,可得结论.
【详解】设等差数列的公差分别为和
,即
,即 ①
,即 ②
由①②解得

故选：C
5．（2022·江西·临川一中校联考模拟预测）已知数列和都是等差数列，且其前n项和分别为和，若，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由，直接代入值计算即可.
【详解】对于等差数列的前n项和满足，知道，故.
故选：B.

考点六、等差数列通项公式与前n项和的关系

1．（全国·高考真题）设等差数列的公差是d，如果它的前n项和，那么（    ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】C
【分析】由与的关系即可求得数列通项，由等差数列的定义可求得公差.
【详解】当时，，
当时，，
符合的情况，
故，所以，
，故公差.
故选：C
2．（2023·全国·统考高考真题）记为数列的前项和，设甲：为等差数列；乙：为等差数列，则（    ）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
【答案】C
【分析】利用充分条件、必要条件的定义及等差数列的定义，再结合数列前n项和与第n项的关系推理判断作答.，
【详解】方法1，甲：为等差数列，设其首项为，公差为，
则，
因此为等差数列，则甲是乙的充分条件；
反之，乙：为等差数列，即为常数，设为，
即，则，有，
两式相减得：，即，对也成立，
因此为等差数列，则甲是乙的必要条件，
所以甲是乙的充要条件，C正确.
方法2，甲：为等差数列，设数列的首项，公差为，即，
则，因此为等差数列，即甲是乙的充分条件；
反之，乙：为等差数列，即，
即，，
当时，上两式相减得：，当时，上式成立，
于是，又为常数，
因此为等差数列，则甲是乙的必要条件，
所以甲是乙的充要条件.
故选：C
3．（2023·重庆沙坪坝·重庆八中校考二模）已知各项均为正数的数列的前项和为，且为等差数列.
(1)求数列的通项公式；
(2)若为正整数，记集合的元素个数为，求数列的前50项和.
【答案】(1)
(2)2500

【分析】（1）由为等差数列，得到，且，再利用数列通项与前n项和 的关系求解；
（2）根据题意，由，得到，即，从而求解.
【详解】（1）解：为等差数列，
，且，
当时，，可得；
当时，，
则，
由，故，
所以是首项为1，公差均为1的等差数列，
故.
（2）由，即，即，
所以，
所以的前50项和为.

1．（2023·四川达州·统考二模）已知是数列前n项和，．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，记，分别为数列的前n项和与前n项积，求．
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）先求出，当时，求出，检验当时成立，即可求出通项公式；
（2）由（1）得出，可知为等比数列，根据等比数列前项和公式求出，再将数列每一项相乘，底数相同指数相加，指数为等差数列，根据等差数列前n项和公式，计算出指数，求出，即可求出．
【详解】（1）∵，
∴，
当时，，
∴，
当时，，
∴的通项公式为；
（2）∵，，
∴，
∴，
，
∴．
2．（2023·湖北武汉·统考模拟预测）已知是数列的前项和，，．
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前项和．
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）利用与的关系，结合累乘法即可求出数列的通项公式；
（2）分和利用等差数列的求和公式求解即可.
【详解】（1）由，则，
两式相减得：，
整理得：，
即时，，
所以时，，
又时，，得，也满足上式．
故．
（2）由（1）可知：．
记，设数列的前项和．
当时，；
当时，

综上：
3．（湖南·高考真题）已知数列的前项和.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和．
【答案】（1）;(2)
【详解】试题分析:(1)题目已知之间的关系,令,利用,即可求的的值,令,利用与前n项和之间的关系即可得到,令检验首项即可得到的通项公式.
(2)把(1)得到的通项公式代入可以得到是由等比数列,数列之和,才用分组求和法,首先利用等比数列前n项和公式求的等比数列的前n项和,再利用
对数列进行分组
即可求的数列的前n项和
(1)当时,;
当时,
检验首项符合,所以数列的通项公式为.
(2)由(1)可得,记数列的前项和为,
则


故数列的前项和为
考点：数列前项和 等差数列 等比数列 分组求和法

考点七、等差数列通项公式与前n项和的最值

1．（福建·高考真题）设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝－11，a4＋a6＝－6，则当Sn取最小值时，n等于(　　)
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】A
【详解】分析：条件已提供了首项，故用“a1，d”法，再转化为关于n的二次函数解得．
解答：解：设该数列的公差为d，则a4+a6=2a1+8d=2×（-11）+8d=-6，解得d=2，
所以Sn=-11n+
×2=n2-12n=(n-6)2-36，所以当n=6时，Sn取最小值．
故选A
点评：本题考查等差数列的通项公式以及前n项和公式的应用，考查二次函数最值的求法及计算能力．
2．（2023·陕西西安·校联考一模）设等差数列{}的前n项和为，若，则当取得最大值时，＝（    ）
A．8 B．9 C．10 D．11
【答案】C
【分析】根据条件，利用等差数列的性质可得出，，即可求解.
【详解】在等差数列{}中，由，得，
则，又，
∴，，则当取得最大值时，．
故选：C
3．（2023·四川自贡·统考三模）等差数列的前n项和为，公差为d，若，，则下列四个命题正确个数为（    ）①为的最小值  ②  ③，  ④为的最小值
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】根据等差数列的前n项和公式以及等差数列的性质，即可得，，从而确定，即可逐项判断得答案.
【详解】等差数列中，，则，故②正确；
又，所以，故，则，故③正确；
于是可得等差数列满足，其为递增数列，则，又，所以为的最小值，故①正确，④不正确；
则四个命题正确个数为.
故选：C.
4．（2023·河南郑州·统考模拟预测）在等差数列中，已知，且，则当取最大值时，（    ）
A．10 B．11 C．12或13 D．13
【答案】C
【分析】由结合等差数列的性质可得，再由，可求得结果.
【详解】因为在等差数列中，
所以
，
所以，
又因为，
所以可知等差数列为递减数列，且前12项为正，第13项以后均为负，
所以当取最大值时，或13．
故选：C．
5．（2023·全国·模拟预测）（多选）已知首项为的等差数列的前n项和为，公差为d，且，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】AC
【分析】由得出的范围，判断A；作差结合等差数列的性质判断B；根据数列的单调性，判断C；由求和公式结合性质判断D.
【详解】对于A：因为，所以，
则，解得，故A正确；
对于B：，则，故B错误；
对于C：因为，所以数列为递增数列，
因为，，即数列的前8项为负数，从第9项开始，都为正数，
则，故C正确；
对于D：，故D错误；
故选：AC
6．（全国·高考真题）记为等差数列的前项和，已知，．
    （1）求的通项公式；
    （2）求，并求的最小值．
【答案】（1）；（2），最小值为–16．
【分析】（1）方法一：根据等差数列前n项和公式，求出公差，再代入等差数列通项公式即得结果；
（2）方法二：根据等差数列前n项和公式得，根据二次函数的性质即可求出.
【详解】（1）[方法一]：【通性通法】【最优解】 公式法
设等差数列的公差为，由得，，解得：，所以．
[方法二]：函数+待定系数法
设等差数列通项公式为，易得，由，即，即，解得：，所以．
（2）[方法1]：邻项变号法
由可得．当，即，解得，所以的最小值为，
所以的最小值为．
[方法2]：函数法
由题意知，即，
所以的最小值为，所以的最小值为．
【整体点评】（1）方法一：直接根据基本量的计算，利用等差数列前n项和公式求出公差，即可得到通项公式，是该题的通性通法，也是最优解；
方法二：根据等差数列的通项公式的函数形式特征，以及等差数列前n项和的性质，用待定系数法解方程组求解；
（2）方法一：利用等差数列前n项和公式求，再利用邻项变号法求最值；
方法二：利用等差数列前n项和公式求，再根据二次函数性质求最值．


1．（2023·宁夏石嘴山·石嘴山市第三中学校考一模）设等差数列的公差为，共前项和为，已知，，则下列结论不正确的是（    ）.
A．， B．与均为的最大值
C． D．
【答案】B
【分析】由等差中项性质与等差数列前项和公式即可求解.
【详解】依题意，
因为，
，
所以，所以CD正确；
由，易得，
所以，即，
由，得，
所以，所以A正确；
对于B：因为，所以，
因此，与不可能同为的最大值.
故选：B.
2．（2023·云南·校联考三模）已知为等差数列的前项和.若，，则当取最小值时，的值为 .
【答案】
【分析】根据等差数列求和公式及下标和性质得到，，即可判断.
【详解】因为，所以，
又，所以，则
所以为递增的等差数列，且，
所以，即当取最小值时，的值为.
故答案为：
3．（2023·河南·开封高中校考模拟预测）已知为等差数列的前项和．若，，则当取最大值时，的值为（    ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】D
【分析】由已知结合等差数列的性质和前项和公式，可推得，，从而得解．
【详解】因为等差数列中，，即，
所以，
因为，即，
所以，
由为等差数列，得时，；时，，
所以当时，取得最大值．
故选：D.
4．（2023·河南·统考模拟预测）设数列为正项等差数列，且其前项和为，若，则下列判断错误的是（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由等差数列的前项和公式和等差数列的性质，可得，由无穷等差数列的各项都为正数，可得公差，逐项判断，即得答案.
【详解】，，故正确；
∵无穷等差数列的各项都为正数，∴公差，，故B确;
，
故C错误;
，故D正确.
故选：C.
5．（全国·高考真题）设等差数列满足，
（Ⅰ）求的通项公式；
（Ⅱ）求的前项和及使得最大的序号的值
【答案】an=11-2n,n=5时，Sn取得最大值
【详解】试题分析：解：（1）由an=a1+（n-1）d及a3=5，a10=-9得,a1+9d=-9，a1+2d=5,解得d=-2，a1=9，,数列{an}的通项公式为an=11-2n,（2）由（1）知Sn=na1+d=10n-n2．因为Sn=-（n-5）2+25．所以n=5时，Sn取得最大值．
考点：等差数列
点评：数列可看作一个定义域是正整数集或它的有限子集的函数，当自变量从小到大依次取值对应的一列函数值，因此它具备函数的特性．

考点八、等差数列的证明

1．（2023·山东·山东师范大学附中校考模拟预测）已知是各项均为正数的数列，为的前n项和，且，，成等差数列．
(1)求的通项公式；
(2)已知，求数列的前n项和．
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）由，，成等差数列，得，时得；时求得，可知是首项为2，公差为1的等差数列，利用等差数列的通项公式可求得，进而求得；
（2）由（1）知，分是奇数、偶数可得.
【详解】（1）由，，成等差数列，得，①
当时，，
∴，得（舍去），
当时，，②
①－②得，，
∴，
又，∴，
∴是首项为2，公差为1的等差数列，
∴，
故；
（2）由（1）知，
当是奇数时，


，
当是偶数时，

，
综上.
2．（2023·河北衡水·衡水市第二中学校考三模）已知数列的前项和为，．
(1)证明：是等差数列；
(2)求数列的前项积．
【答案】(1)证明见解析
(2)

【分析】（1）根据与的关系化简，可得，由等差数列的定义得证；
（2）由（1）求出，再由累乘法求解.
【详解】（1）由，得．
所以，
即，整理得，
上式两边同时除以，得．
又，所以，即，
所以是首项为2，公差为1的等差数列．
（2）由（1）知，．
所以．
所以．
3．（2023·海南海口·海南华侨中学校考一模）已知各项均为正数的数列满足，其中是数列的前n项和.
(1)求数列的通项公式；
(2)若对任意，且当时，总有恒成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2).

【分析】（1）由与的关系式即可证得数列是以1为首项，2为公差的等差数列，即可求出数列的通项公式；
（2）由等差数列的前n项和公式求出，再由裂项相消法可证明，即可求出实数的取值范围.
【详解】（1）∵，∴
当时，，解得.
当时，，
即，
∵，∴，
∴数列是以1为首项，2为公差的等差数列，
∴.
（2）因为，所以
∴当时， ，
∴

，
∴，
∴实数的取值范围为.
4．（2023·云南曲靖·校考三模）已知数列满足.记.
(1)证明：数列为等差数列；
(2)设数列的前项和为，求数列的前20项的和.
【答案】(1)证明见解析
(2)

【分析】（1）将递推数列变形，结合等差数列的定义，即可证明；
（2）由（1）的结果可知，再利用并项求和，即可求解.
【详解】（1），且，
所以，所以，
因为，所以，
所以数列是以1为首项，2为公差的等差数列，
（2）由（1）可知，
则数列的前项和
所以，数列的前20项的和为


.

1．（2023·江苏扬州·江苏省高邮中学校考模拟预测）已知数列的首项，且满足.
(1)求证：数列是等差数列；
(2)若数列满足，求数列的前项和.
【答案】(1)证明见解析
(2)

【分析】（1）对递推式变形，根据等差数列的定义即可证明；
（2）先由（1）的结论求出数列的通项公式，再求出，最后利用裂项相消法求和即可.
【详解】（1）由，可得，
又，所以是以3为首项，2为公差的等差数列；
（2）由（1）知：，
所以，
所以，
所以
.
2．（2023·福建厦门·厦门外国语学校校考模拟预测）已知数列满足．
(1)证明为等差数列，并的通项公式；
(2)设，求数列的前项和．
【答案】(1)证明见解析，
(2)

【分析】（1）根据等差差数列的定义证明即可，从而可得的通项公式；
（2）利用分式分离变形，结合分组求和与裂项求和即可得.
【详解】（1）证明：因为，所以，即
所以是以为首项，为公差的等差数列，则，
所以；
（2）

.
3．（2023·湖南长沙·长沙一中校考模拟预测）已知数列的前n项和为，数列的前n项积为，且满足．
(1)求证：为等差数列；
(2)记，求数列的前2023项的和M．
【答案】(1)证明见解析
(2)

【分析】（1）根据所给递推公式及前项和、积的定义化简，由等差数列定义可得证；
（2）求出，利用裂项相消法求和.
【详解】（1）因为，
当时，，解得或，
又，所以，故，
由，可得，所以，
当时，．
所以，即，
所以，所以
所以是以为首项，1为公差的等差数列.
（2）所以，则，
因为，
故．
4．（2023·福建泉州·泉州七中校考模拟预测）已知数列的前项的积记为，且满足
(1)证明：数列为等差数列;
(2)若求数列的前项和.
【答案】(1)证明见解析
(2)

【分析】（1）将代入到中，得，结合等差数列的定义可证结论正确；
（2）由（1）求出，再求出，然后分组，利用等差数列求和公式和裂项求和方法可求出结果.
【详解】（1）当时，，得，
当时，，所以，
所以数列是首项为，公差为的等差数列.
（2）由（1）知，，
当为奇数时，，
当为偶数时，，
所以


.


【基础过关】
一、单选题
1．（2023·河南·校联考模拟预测）已知正项数列的前n项和为，满足，则（    ）
A．2022 B．2023 C．2024 D．2025
【答案】B
【分析】由递推式得出，两式相减根据，可得是首项为1，公差为1的等差数列，进而利用通项公式求解即可.
【详解】由题意，，，
两式相减，得，
．
，．
当时，，，
是首项为1，公差为1的等差数列．
．
故选：B
2．（2023·安徽蚌埠·统考模拟预测）已知等差数列满足，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用等差中项求解即可.
【详解】因为数列是等差数列，
所以，即，
所以，
故选：A
3．（2023·安徽安庆·安庆市第二中学校考二模）记为等差数列的前项和，若，则（    ）
A．30 B．28 C．26 D．13
【答案】C
【分析】根据条件，列出首项和公差的方程组，即可求解.
【详解】设等差数列的首项为，公差为，
则，，，
所以.
故选：C
4．（2023·全国·模拟预测）已知等差数列的前n项和为，且若，则n的最大值为（    ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】B
【分析】由等差数列性质及前n项和公式计算基本量得，再求得，解不等式即可.
【详解】设等差数列的公差为d，由已知得，解得，
所以，由，可得，
即，
解得.又因为，所以，且.
故n的最大值为8.
故选：B.
5．（2023·河北·统考模拟预测）已知等差数列的前项和是，则（   ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】设等差数列的公差为，根据等差数列的通项公式与前项和求解，即可求得.
【详解】由已知设等差数列的公差为，则，，
解得，，所以．
故选：D.

二、填空题
6．（2023·全国·模拟预测）已知等差数列的公差为，且满足，，则数列的通项公式 ．
【答案】
【分析】根据等差数列得通项求出首项和公差，再根据等差数列的通项公式即可得解.
【详解】由，，
得，由解得，
所以.
故答案为：.
7．（2023·甘肃·三模）已知数列满足，，则数列的前8项和为 .
【答案】52
【分析】对已知的递推关系式变形，再结合等差数列的概念可知数列是等差数列，从而利用等差数列的求和公式可得结果.
【详解】数列满足，，整理得（定值），
故数列是以为首项，1为公差的等差数列，
所以数列的前8项和.
故答案为：52.

三、解答题
8．（2023·山西阳泉·统考三模）已知数列满足，．
(1)记求数列的通项公式；
(2)求数列的前项和．
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）先对变形得，然后再根据得出与的关系，从而求出结果.
（2）先根据（1）的结果求出的通项公式，然后利用裂项相消法即可求出前项和.
【详解】（1），，
又，，
又，
所以数列是以为首项，为公差的等差数列，
所以数列的通项公式为.
（2）由（1）得，
所以数列的前n项和为

=
.
9．（2023·湖南娄底·统考模拟预测）记为数列的前n项和，已知，．
(1)求，；
(2)求数列的通项公式．
【答案】(1)，
(2)

【分析】（1）在中，令和，结合可求出和；
（2）利用时，可求出结果.
【详解】（1）当时，，得，得（舍）或，
当时，，得，得或（舍），
故，.
（2）当时，，又，
所以，即，
因为，所以，所以，
所以数列是首项为，公差为的等差数列，
所以.
10．（2023·辽宁丹东·统考二模）记为数列的前项和，已知，．
(1)求{an}的通项公式；
(2)证明：．
【答案】(1)
(2)证明见解析

【分析】（1）根据等差数列的定义，结合数列前项和与第项的关系进行求解即可；
（2）根据等差数列的单调性进行求解证明即可.
【详解】（1）当时，
由，两式相减，得
．所以数列从第三项起，每一项与前一项的差为，
因为，所以，
所以当时，，显然不适合，
故；
（2）因为，，数列从第三项起，每一项与前一项的差为，
所以当时，数列是单调递减数列，
当，所以当时，有最大值，
最大值为，所以.

【能力提升】
一、单选题
1．（2023·陕西西安·陕西师大附中校考模拟预测）已知数列为等差数列，且，则（   ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由题意求出数列是以首项为，公差为的等差数列，进而求出，即可求出答案.
【详解】因为数列为等差数列，且，
设数列的公差为，首项为，
所以，则，
所以，所以，
所以.
故选：B.
2．（2023·福建·统考模拟预测）已知数列满足，，恒成立，则的最小值为（    ）
A．3 B．2 C．1 D．
【答案】C
【分析】通过等差数列的定义求出的通项公式，再利用裂项相消法求出，进而确定m的最小值.
【详解】，是等差数列，又∵，
∴，
故对，，
也符合上式，
，
故，即的最小值为1．
故选：C．

二、多选题
3．（2023·辽宁大连·大连八中校考三模）已知等差数列的前n项和为，公差．若，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】ABD
【分析】利用等差数列前n项和的二次函数性质求得且，进而判断各项的正误即可.
【详解】由题意，又，
结合二次函数性质知：对称轴，且，即，
所以，，.
综上，A、B、D对，C错.
故选：ABD
4．（2023·山东淄博·统考二模）已知数列的前项和是，满足对成立，则下列结论正确的是（    ）
A． B．一定是递减数列
C．数列是等差数列 D．
【答案】AC
【分析】根据给定的递推公式，结合“”探讨数列的性质，再逐项判断作答.
【详解】由得：，当时，，则，
整理得，显然，则，因此数列是等差数列，首项为1，公差为1，C正确；
，解得，A正确；
，当时，，当时，，满足上式，
因此，此时，，，是递减数列，
当时，，当时，，满足上式，
因此，此时，，，是递增数列，B错误；
当时，，，
当时，，，D错误.
故选：AC
【点睛】方法点睛：给出与的递推关系，求，常用思路是：一是利用转化为的递推关系，再求其通项公式；二是转化为的递推关系，先求出与n之间的关系，再求.

三、填空题
5．（2023·陕西榆林·校考模拟预测）已知等差数列的首项为，公差，等比数列满足，，则的取值范围为 .
【答案】
【分析】根据题意结合等差、等比数列的通项公式整理可得，令，结合函数单调性求取值范围.
【详解】设等比数列的公比为，则，，
则，
所以，且，
可得，，
则，
令，则在上单调递增，可得，
故在上单调递减，可得，
即的取值范围为.
故答案为：.

四、解答题
6．（2023·福建福州·福建省福州第一中学校考三模）记为数列的前n项和，已知.
(1)求数列{}的通项公式；
(2)数列{}满足且，的前n项和为，证明:.
【答案】(1)
(2)证明见解析

【分析】（1）由，可得，则数列{}是首项与公差都是2的等差数列，进而可得答案.
（2）利用累加法求出通项公式，再利用裂项相消法求出，进而可得答案.
【详解】（1）由，
由可得，
则时，
两式相减可得，
化为，因为，
所以，数列{}是首项与公差都是2的等差数列，
所以；
（2）由（1）得，又，
所以，
，
所以，

，
，

7．（2023·福建福州·福建省福州第一中学校考模拟预测）已知数列的前项和为，且.
(1)求证：数列是等差数列；
(2)求数列的前项和.
【答案】(1)证明见解析；
(2).

【分析】（1）利用与的关系变形给定的递推公式，构造常数列求出数列的通项，再利用等差数列定义推理作答.
（2）利用（1）的结论，结合裂项相消法求和作答.
【详解】（1）数列中，，当时，，
两式相减得，即，则，
于是，因此数列是常数列，则，
从而，即，
所以数列是以1为首项，为公差的等差数列.
（2）由（1）知，，
所以.
8．（2023·河北沧州·校考模拟预测）已知正项数列的前项和为，满足.
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前项和.
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）利用和与项的关系可得，由可得，再利用等差数列的通项公式即可求解；
（2）根据的周期性，利用分组求和的方法即可求解.
【详解】（1），
当时，，两式子作差可得
，
又，所以，
可得数列为公差为2 的等差数列，
当时，，
所以，数列的通项公式为.
（2），



，
所以，数列的前项和.
9．（2023·天津红桥·统考一模）已知数列是公差为2的等差数列，其前8项的和为64.数列是公比大于0的等比数列，，.
(1)求数列和的通项公式；
(2)记，求数列的前项和；
(3)记，求数列的前项和.
【答案】(1)，
(2)
(3)

【分析】（1）设等差数列的首项为，利用等差数列的前项和公式求出，进而求出等差数列的通项公式；设等比数列的公比为，利用通项公式和已知条件求出，进而求出等比数列的通项公式；
（2）先求出，再利用分组求和法和等差数列的求和公式进行求解；
（3）先得到，再利用裂项抵消法进行求和.
【详解】（1）因为是公差为2的等差数列，且，
所以，解得，
所以；
设等比数列的公比为（），
因为，，
所以，即，
解得（舍去）或，
所以.
（2）由（1）得，
则

，
则


（3）由（1）得
，
则

，
【点睛】方法点睛：本题中考察了数列求和的两种采用方法，第二问考察了并项求和法，第三问考察了裂项抵消法，技巧性较强.
10．（2023·江苏盐城·盐城中学校考三模）已知正项数列{}中，，是其前n项和，且满足
(1)求数列{}的通项公式：
(2)已知数列{}满足，设数列{}的前n项和为，求的最小值.
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）根据已知条件，利用列{}为正项数列，将条件给的式子两边开方，从而构造出{}为等差数列，先求解出，再去求解，然后再利用去求解数列{}的通项公式，注意验证时是否满足；
（2）将第（1）问中求解出的数列{}的通项公式带入，并使用裂项的方法将通项公式展开，然后求解出的表达式，根据n取奇数、偶数不同通过讨论分别求解出对应的最小值，即可完成求解.
【详解】（1）正项数列{}，，满足，所以，
所以数列{}是以1为首项1为公差的等差数列，
所以，所以，
当时，，
当时也成立，
所以.
（2）因为

所以，
所以当为奇数时，；
当为偶数时，，
由{}递增，得，
所以的最小值为.

【真题感知】
一、单选题
1．（2021·北京·统考高考真题）《中国共产党党旗党徽制作和使用的若干规定》指出，中国共产党党旗为旗面缀有金黄色党徽图案的红旗，通用规格有五种.这五种规格党旗的长(单位:cm)成等差数列，对应的宽为(单位: cm),且长与宽之比都相等，已知，，，则
A．64 B．96 C．128 D．160
【答案】C
【分析】设等差数列公差为，求得，得到，结合党旗长与宽之比都相等和，列出方程，即可求解.
【详解】由题意，五种规格党旗的长(单位:cm)成等差数列，设公差为，
因为，，可得，
可得，
又由长与宽之比都相等，且，可得，所以.
故选：C.
2．（2021·北京·统考高考真题）已知是各项均为整数的递增数列，且，若，则的最大值为（    ）
A．9 B．10 C．11 D．12
【答案】C
【分析】使数列首项、递增幅度均最小，结合等差数列的通项及求和公式求得可能的最大值，然后构造数列满足条件，即得到的最大值．
【详解】若要使n尽可能的大，则，递增幅度要尽可能小，
不妨设数列是首项为3，公差为1的等差数列，其前n项和为，
则，，
所以.
对于，，
取数列各项为(，,
则，
所以n的最大值为11．
故选：C．
3．（2022·全国·统考高考真题）图1是中国古代建筑中的举架结构，是桁，相邻桁的水平距离称为步，垂直距离称为举，图2是某古代建筑屋顶截面的示意图．其中是举，是相等的步，相邻桁的举步之比分别为．已知成公差为0.1的等差数列，且直线的斜率为0.725，则（    ）

A．0.75 B．0.8 C．0.85 D．0.9
【答案】D
【分析】设，则可得关于的方程，求出其解后可得正确的选项.
【详解】设，则，
依题意，有，且，
所以，故，
故选：D

4．（2020·全国·统考高考真题）北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块，下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块，已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板(不含天心石)（ ）

A．3699块 B．3474块 C．3402块 D．3339块
【答案】C
【分析】第n环天石心块数为，第一层共有n环，则是以9为首项，9为公差的等差数列，
设为的前n项和，由题意可得，解方程即可得到n，进一步得到.
【详解】设第n环天石心块数为，第一层共有n环，
则是以9为首项，9为公差的等差数列，，
设为的前n项和，则第一层、第二层、第三层的块数分
别为，因为下层比中层多729块，
所以，
即
即，解得，
所以.
故选：C
【点晴】本题主要考查等差数列前n项和有关的计算问题，考查学生数学运算能力，是一道容易题.

二、填空题
5．（2022·全国·统考高考真题）记为等差数列的前n项和．若，则公差 ．
【答案】2
【分析】转化条件为，即可得解.
【详解】由可得，化简得，
即，解得.
故答案为：2.


三、解答题
6．（2021·全国·高考真题）记为数列的前n项和，已知，且数列是等差数列，证明：是等差数列.
【答案】证明见解析.
【分析】先根据求出数列的公差，进一步写出的通项，从而求出的通项公式，最终得证.
【详解】∵数列是等差数列，设公差为
∴，
∴，
∴当时，
当时，，满足，
∴的通项公式为，
∴
∴是等差数列.
【点睛】在利用求通项公式时一定要讨论的特殊情况.
7．（2021·全国·统考高考真题）已知数列满足，
（1）记，写出，，并求数列的通项公式；
（2）求的前20项和.
【答案】（1）；（2）.
【分析】(1)方法一：由题意结合递推关系式确定数列的特征，然后求和其通项公式即可；
(2)方法二：分组求和，结合等差数列前项和公式即可求得数列的前20项和.
【详解】解：（1）[方法一]【最优解】：
显然为偶数，则，
所以，即，且，
所以是以2为首项，3为公差的等差数列，
于是．
[方法二]：奇偶分类讨论
由题意知，所以．
由（为奇数）及（为偶数）可知，
数列从第一项起，
若为奇数，则其后一项减去该项的差为1，
若为偶数，则其后一项减去该项的差为2．
所以，则．
[方法三]：累加法
由题意知数列满足．
所以，
，
则．
所以，数列的通项公式．
（2）[方法一]：奇偶分类讨论


．
[方法二]：分组求和
由题意知数列满足，
所以．
所以数列的奇数项是以1为首项，3为公差的等差数列；
同理，由知数列的偶数项是以2为首项，3为公差的等差数列．
从而数列的前20项和为：
．
【整体点评】(1)方法一：由题意讨论的性质为最一般的思路和最优的解法；
方法二：利用递推关系式分类讨论奇偶两种情况，然后利用递推关系式确定数列的性质；
方法三：写出数列的通项公式，然后累加求数列的通项公式，是一种更加灵活的思路.
(2)方法一：由通项公式分奇偶的情况求解前项和是一种常规的方法；
方法二：分组求和是常见的数列求和的一种方法，结合等差数列前项和公式和分组的方法进行求和是一种不错的选择.
8．（2022·浙江·统考高考真题）已知等差数列的首项，公差．记的前n项和为．
(1)若，求；
(2)若对于每个，存在实数，使成等比数列，求d的取值范围．
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）利用等差数列通项公式及前项和公式化简条件，求出，再求；
(2)由等比数列定义列方程，结合一元二次方程有解的条件求的范围.
【详解】（1）因为，
所以，
所以，又，
所以，
所以，
所以，
（2）因为，，成等比数列，
所以，
，
，
由已知方程的判别式大于等于0，
所以，
所以对于任意的恒成立，
所以对于任意的恒成立，
当时，，
当时，由，可得
当时，，
又
所以

9．（2023·全国·统考高考真题）已知为等差数列，，记，分别为数列，的前n项和，，．
(1)求的通项公式；
(2)证明：当时，．
【答案】(1)；
(2)证明见解析.

【分析】（1）设等差数列的公差为，用表示及，即可求解作答.
（2）方法1，利用（1）的结论求出，，再分奇偶结合分组求和法求出，并与作差比较作答；方法2，利用（1）的结论求出，，再分奇偶借助等差数列前n项和公式求出，并与作差比较作答.
【详解】（1）设等差数列的公差为，而，
则，
于是，解得，，
所以数列的通项公式是.
（2）方法1：由（1）知，，，
当为偶数时，，
，
当时，，因此，
当为奇数时，，
当时，，因此，
所以当时，.
方法2：由（1）知，，，
当为偶数时，，
当时，，因此，
当为奇数时，若，则
，显然满足上式，因此当为奇数时，，
当时，，因此，
所以当时，.

10．（2023·全国·统考高考真题）设等差数列的公差为，且．令，记分别为数列的前项和．
(1)若，求的通项公式；
(2)若为等差数列，且，求．
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）根据等差数列的通项公式建立方程求解即可；
（2）由为等差数列得出或，再由等差数列的性质可得，分类讨论即可得解.
【详解】（1），，解得，
，
又，
，
即，解得或（舍去），
.
（2）为等差数列，
，即，
，即，解得或，
，，
又，由等差数列性质知，，即，
，即，解得或（舍去）
当时，，解得，与矛盾，无解；
当时，，解得.
综上，