2023-2024学年湖北省武汉六初上智中学九年级（上）月考数学试卷（10月份）（含解析）

这是一份2023-2024学年湖北省武汉六初上智中学九年级（上）月考数学试卷（10月份）（含解析），共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．方程4x（x﹣2）＝25化成一般形式后，它的常数项是﹣25（ ）
A．﹣2B．4C．8D．﹣8
2．下列4个图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
3．若x＝1是一元二次方程x2﹣mx+1＝0的一个根，则m的值为（ ）
A．2B．1C．﹣1D．0
4．抛物线向左平移1个单位，再向下平移1个单位后的抛物线解析式是（ ）
A．B．
C．D．
5．如图，在△ABC中，∠CAB＝65°，使CC′∥AB，则旋转角的度数为（ ）
A．35°B．40°C．50°D．65°
6．某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是57个（ ）
A．8个B．7个C．6个D．5个
7．若α、β是方程x2﹣3x﹣2017＝0的两个实数根，则代数式α2﹣2β﹣5α的值为（ ）
A．﹣2011B．﹣2023C．2011D．2023
8．已知A（﹣3，y1），B（﹣，y2），C（1，y3）为二次函数y＝﹣x2﹣4x+5的图象上的三点，则y1、y2、y3的大小关系是（ ）
A．y1＜y2＜y3B．y3＜y2＜y1C．y3＜y1＜y2D．y2＜y1＜y3
9．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，将△ABC绕点C逆时针旋转60°，得到△MNC，则BM的长是（ ）
A．+1B．2C．+2D．+1
10．如图，现有一张透明网格（1000×1000）塑料片1B1，…，A1000B1000，以A1为原点，A1A1000所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，现有抛物线y＝x2+x+的一部分落在这个网格内，那么此抛物线在A20B20与A21B21之间（包括这两条网格线）与横向的网格线相交的点的个数为（ ）
A．20B．38C．40D．42
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11．方程x2＝x的解是 ．
12．已知点P（x，﹣3）和点Q（4，y）关于原点对称 ．
13．要组织一次足球联赛，赛制为双循环形式（每两队之间都进行两场比赛），共要比赛90场．设共有x个队参加比赛，并化成一般形式是 ．
14．图（1）是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在l时（拱桥洞的最高点）离水面2m，水面宽为4m．如果水面宽度为6m ．
15．已知二次函数y＝a（x+1）（x﹣m）（a为非零常数，﹣1＜m＜2时，y随x的增大而增大，则下列命题：
①当x＞2时，y随x的增大而减小；
②若图象经过点（0，1），则﹣1＜a＜0；
③若（﹣2021，y1），（2021，y2）是函数图象上的两点，则y1＜y2；
④若图象上两点，对一切正数n，总有y1＞y2，则．
其中正确的是结论 ．
16．如图，在等边△ABC中，过点C作射线CD⊥BC，N分别在边AB，BC上，使点B落在射线CD上的点B′处，连接AB′，MN＝ ．
​
三、解答题（共8题，共72分）
17．解方程：2x2+3x﹣1＝0．
18．如图，△ABC和△ECD都是等边三角形，求证：AD＝BE．
19．如图，某中学准备在校园里利用围墙的一段MN，再砌三面墙（围墙MN最长可利用25m），现在已备足可以砌40m长的墙的材料．
（1）当AB长度是多少时，矩形花园的面积为150m2；
（2）能否围成矩形花园面积为220m2，为什么？
20．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表：
（1）求此抛物线的解析式；
（2）画出函数图象，结合图象直接写出当0≤x≤4时，y的范围．
21．如图是由小正方形组成的7×6的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，△ABC的三个顶点都是格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示．
（1）先在边AB上画点E，使DE∥BC，再在边AC上画点F；
（2）先将△ABC绕点D逆时针方向旋转90°得△A1B1C1，画出△A1B1C1，再画点A关于直线∁lC的对称点A′．
​
22．如图1，劳动课同学们利用喷水头喷出的水对草坪进行喷灌作业以养护草坪．如图2，点O处有一个喷水头，距离这棵树10m的N处有一面高1.8m的围墙．建立如图所示平面直角坐标系．已知喷水头喷出的水柱的竖直高度y（m）与水平距离x（m）2+bx+c（a＜0）．
（1）某次喷水浇灌时，测得x与y的几组数据如下：
①根据上述数据，求满足的函数关系；
②求喷水头喷出的水柱最大高度；
（2）又一次喷水浇灌时，已知喷水头喷出的水柱的竖直高度y与水平距离x近似满足函数关系y＝﹣0.04x2+bx，假设喷水头喷出的水柱能够越过这棵树，且不会浇到墙外
23．【操作发现】（1）如图1，在△ABC和△ADE中，AD＝AE，AB＝AC．求证：△ABD≌△ACE；
【问题解决】（2）如图2，在△ABC和△ADE中，AD＝AE，AB＝AC，点E在△ABC内，延长DE交BC于点F；
【灵活应用】（3）如图3，已知△ABC中，AB＝2，，以AC为底边在△ABC外作等腰三角形ACD，连接BD，则BD的长为 ．
24．已知二次函数图象的顶点在原点，且点C（2，1）在此二次函数的图象上．
（1）求二次函数的表达式；
（2）如图1，直线y＝mx﹣m2+1与二次函数的图象交于A、B两点（点C在直线AB下方），若S△ABC＝，求m的值；
（3）如图2，直线y＝kx﹣2k与二次函数的图象交于D、E两点，过点D的直线y＝x+b交二次函数的图象于点F
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2023-2024学年湖北省武汉六初上智中学九年级第一学期月考数学试卷（10月份）
参考答案
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1．方程4x（x﹣2）＝25化成一般形式后，它的常数项是﹣25（ ）
A．﹣2B．4C．8D．﹣8
【分析】一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c＝0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．
解：4x（x﹣2）＝25化成一元二次方程一般形式是3x2﹣8x﹣25＝4，
它的二次项系数是4，一次项系数是﹣8．
故选：D．
【点评】此题主要考查了一元二次方程的一般形式，关键把握要确定一次项系数和常数项，首先要把方程化成一般形式．
2．下列4个图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
解：A、不是轴对称图形，不符合题意；
B、不是轴对称图形，不符合题意；
C、是轴对称图形，不符合题意；
D、既是轴对称图形又是中心对称图形．
故选：A．
【点评】掌握中心对称图形与轴对称图形的概念．
（1）如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．
（2）在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转180度，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．这个旋转点，就叫做中心对称点．
3．若x＝1是一元二次方程x2﹣mx+1＝0的一个根，则m的值为（ ）
A．2B．1C．﹣1D．0
【分析】把x＝1代入x2﹣mx+1＝0进行计算即可．
解：把x＝1代入x2﹣mx+7＝0得：1﹣m+7＝0，
解得：m＝2，
故选：A．
【点评】本题主要考查了一元二次方程的解，解题的关键是掌握使一元二次方程两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
4．抛物线向左平移1个单位，再向下平移1个单位后的抛物线解析式是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可．
解：由“左加右减、上加下减”的原则可知向左平移1个单位，则平移后的抛物线的表达式为y＝﹣2﹣1．
故选：B．
【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．
5．如图，在△ABC中，∠CAB＝65°，使CC′∥AB，则旋转角的度数为（ ）
A．35°B．40°C．50°D．65°
【分析】根据两直线平行，内错角相等可得∠ACC′＝∠CAB，根据旋转的性质可得AC＝AC′，然后利用等腰三角形两底角相等求∠CAC′，再根据∠CAC′、∠BAB′都是旋转角解答．
解：∵CC′∥AB，
∴∠ACC′＝∠CAB＝65°，
∵△ABC绕点A旋转得到△AB′C′，
∴AC＝AC′，
∴∠CAC′＝180°﹣2∠ACC′＝180°﹣2×65°＝50°，
∴∠CAC′＝∠BAB′＝50°．
故选：C．
【点评】本题考查了旋转的性质，等腰三角形两底角相等的性质，熟记性质并准确识图是解题的关键．
6．某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是57个（ ）
A．8个B．7个C．6个D．5个
【分析】由题意设每个支干长出的小分支的数目是x个，则主干长出支干的数目为x个，小分支的总数量为x2个，根据主干、支干和小分支的总数是57个，列出方程，求得x的值即可．
解：设每个支干长出的小分支的数目是x个，
根据题意列方程得：x2+x+1＝57，
即（x+3）（x﹣7）＝0，
解得：x＝7或x＝﹣8（不合题意，舍去）；
∴x＝7，
即这种植物每个支干长出的小分支的个数是8个，故B正确．
故选：B．
【点评】本题主要考查了一元二次方程的应用，根据题意用x分别表示主干、支干、小分支的数目，根据等量关系列方程求解是解决问题的关键．
7．若α、β是方程x2﹣3x﹣2017＝0的两个实数根，则代数式α2﹣2β﹣5α的值为（ ）
A．﹣2011B．﹣2023C．2011D．2023
【分析】根据根与系数的关系以及一元二次方程的解，可得出α+β＝3、α2﹣3α＝2017，将其代入α2﹣2β﹣5α中即可求出结论．
解：∵α、β是方程x2﹣3x﹣2017＝3的两个实数根，
∴α+β＝3，α2﹣7α＝2017，
∴α2﹣2β﹣7α＝α2﹣3α﹣5（α+β）＝2017﹣2×3＝2011．
故选：C．
【点评】本题考查了根与系数的关系以及一元二次方程的解，根据根与系数的关系以及一元二次方程的解，找出α+β＝3、α2﹣3α＝2017是解题的关键．
8．已知A（﹣3，y1），B（﹣，y2），C（1，y3）为二次函数y＝﹣x2﹣4x+5的图象上的三点，则y1、y2、y3的大小关系是（ ）
A．y1＜y2＜y3B．y3＜y2＜y1C．y3＜y1＜y2D．y2＜y1＜y3
【分析】根据题意可以将函数解析式化为顶点式，然后根据二次函数的性质即可得到y1，y2，y3的大小关系．
解：∵二次函数y＝﹣x2﹣4x+2＝﹣（x+2）2+5，
∴该二次函数的抛物线开口向下，且对称轴为：x＝﹣2．
∵点A（﹣3，y6），B（﹣，y8），C（1，y3）都在二次函数y＝﹣x2﹣4x+5的图象上，
而三点横坐标离对称轴x＝﹣3的距离按由远到近为：（1，y3）、（﹣4，y1）、（﹣，y2），
∴y3＜y7＜y2．
故选：C．
【点评】本题考查的是二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是确定图象上的点的横坐标距离对称轴的远近，进而求解．
9．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，将△ABC绕点C逆时针旋转60°，得到△MNC，则BM的长是（ ）
A．+1B．2C．+2D．+1
【分析】连接AM，BM交AC于D，如图，利用等腰直角三角形的性质得到AC＝AB＝2，再根据旋转的性质得CM＝CA＝2，∠ACM＝60°，则可判断△ACM为等边三角形，直接证BM垂直平分AC，然后利用等腰直角三角形和等边三角形的性质计算出BD和MD，从而得到BM的长．
解：连接AM，BM交AC于D，
∵∠ABC＝90°，AB＝BC＝，
∴AC＝AB＝，
∵△ABC绕点C逆时针转60°，得到△MNC，
∴CM＝CA＝2，∠ACM＝60°，
∴△ACM为等边三角形，
∴MA＝MC，
而BA＝BC，
∴BM垂直平分AC，
∴BD＝AC＝1AC＝，
∴BM＝1．
故选：A．
【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了等腰直角三角形和等边三角形的性质．
10．如图，现有一张透明网格（1000×1000）塑料片1B1，…，A1000B1000，以A1为原点，A1A1000所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，现有抛物线y＝x2+x+的一部分落在这个网格内，那么此抛物线在A20B20与A21B21之间（包括这两条网格线）与横向的网格线相交的点的个数为（ ）
A．20B．38C．40D．42
【分析】分别求出x＝19和x＝20时y的值，在求出两者之间的整数个数即可确定交点个数．
解：∵A1为原点，
∴A20对应的x＝19，A21对应的x＝20，
当x＝19时，y1＝＝380+，
当x＝20时，y2＝＝，
∴y3﹣y1＝40，
∴此抛物线在A20B20与A21B21之间与横向的网格线相交的点的个数为40个，
故选：C．
【点评】本题主要考查二次函数的性质，关键是要分析出A20和A21所对应的x的值，分别求出此时y的值，确定两数之间的整点个数即可．
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11．方程x2＝x的解是 x1＝0，x2＝1 ．
【分析】将方程化为一般形式，提取公因式分解因式后，利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程，求出一次方程的解即可得到原方程的解．
解：x2＝x，
移项得：x2﹣x＝7，
分解因式得：x（x﹣1）＝0，
可得x＝7或x﹣1＝0，
解得：x7＝0，x2＝6．
故答案为：x1＝0，x4＝1
【点评】此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，利用此方法解方程时，首先将方程右边化为0，左边化为积的形式，然后利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解．
12．已知点P（x，﹣3）和点Q（4，y）关于原点对称 ﹣1 ．
【分析】本题比较容易，考查平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于原点的对称点是（﹣x，﹣y），即关于原点的对称点，横纵坐标都变成相反数．根据点P和点Q关于原点对称就可以求出x，y的值，即可得出x+y．
解：∵点P（x，﹣3）和点Q（4，
∴x＝﹣6，y＝3，
∴x+y＝﹣4+5＝﹣1，
故答案为﹣1．
【点评】本题主要考查了关于原点对称的点的特点，这一类题目是需要识记的基础题，解决的关键是对知识点的正确记忆，比较简单．
13．要组织一次足球联赛，赛制为双循环形式（每两队之间都进行两场比赛），共要比赛90场．设共有x个队参加比赛，并化成一般形式是 x2﹣x﹣90＝0 ．
【分析】设共有x个队参加比赛，根据参加一次足球联赛的每两队之间都进行两场场比赛，共要比赛90场，可列出方程．
解：由题意得：
x（x﹣1）＝90，
化成一般形式是x2﹣x﹣90＝3．
故答案为：x2﹣x﹣90＝0．
【点评】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，关键是根据总比赛场数作为等量关系列方程求解．
14．图（1）是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在l时（拱桥洞的最高点）离水面2m，水面宽为4m．如果水面宽度为6m 2.5m ．
【分析】根据已知得出直角坐标系，进而求出二次函数解析式，再通过把x＝3代入抛物线解析式得出水面深度，即可得出答案．
解：设顶点式y＝ax2，由题意可知抛物线过点坐标（2，﹣2），
∴﹣2＝4a，
得：a＝﹣8.5，
所以抛物线解析式为y＝﹣0.8x2+2，﹣7＝4a
当﹣1＝﹣2.5x2+3，
解得：x＝±，
所以水面宽度增加到2米，面宽度为6时，
当x＝3时，y＝﹣4.5×9＝﹣5.5，
所以水面下降﹣2﹣（﹣6.5）＝2.2m，
故答案为：2.5m．
【点评】此题主要考查了二次函数的应用，根据已知建立坐标系从而得出二次函数解析式是解决问题的关键．
15．已知二次函数y＝a（x+1）（x﹣m）（a为非零常数，﹣1＜m＜2时，y随x的增大而增大，则下列命题：
①当x＞2时，y随x的增大而减小；
②若图象经过点（0，1），则﹣1＜a＜0；
③若（﹣2021，y1），（2021，y2）是函数图象上的两点，则y1＜y2；
④若图象上两点，对一切正数n，总有y1＞y2，则．
其中正确的是结论 ①③④ ．
【分析】根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题．
解：∵二次函数y＝a（x+1）（x﹣m）（a为非零常数，1＜m＜4），
∴y＝0时，x1＝﹣2，x2＝m，x1＜x3，
又∵当x＜﹣1时，y随x的增大而增大，
∴a＜0，开口向下，
∴当x＞4时，y随x的增大而减小；
若图象经过点（0，1），得3＝﹣am，
∵a＜0，1＜m＜3，
∴﹣1＜a＜﹣，故②错误；
又∵对称轴为直线x＝，1＜m＜2，
∴7＜＜，
∴若（﹣2021，y1），（2021，y3）是函数图象上的两点，2021离对称轴近些1＜y2，故③正确；
若图象上两点，对一切正数n3＞y2，1＜m＜6，
∴该函数与x轴的两个交点为（﹣1，0），5），
∴0＜≤，
解得7＜m≤，故④正确；
故答案为：①③④．
【点评】本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
16．如图，在等边△ABC中，过点C作射线CD⊥BC，N分别在边AB，BC上，使点B落在射线CD上的点B′处，连接AB′，MN＝ ．
​
【分析】当AB′最短时，∠AB'C＝90°，过M作KT⊥BC于T，交B'A延长线于K，设BN＝B'N＝x，有x2＝（2﹣x）2+（）2，可求得BN＝，设AM＝y，则BM＝2﹣y＝B'M，AK＝y，KM＝y，有（1+y）2+（y）2＝（2﹣y）2，可求出AM＝，BM＝，在Rt△BMT中，BT＝BM＝，MT＝BT＝，故NT＝BN﹣BT＝﹣＝，在Rt△MNT中，MN＝＝＝．
解：当AB′最短时，∠AB'C＝90°，交B'A延长线于K
∵∠ACB'＝∠BCB'﹣∠BCA＝30°，
∴AB'＝AC＝4AB'＝，
设BN＝B'N＝x，则CN＝5﹣x，
在Rt△B'CN中，B'N2＝CN2+B'C4，
∴x2＝（2﹣x）8+（）2，
解得x＝，
∴BN＝，
∵∠AB'C＝90°＝∠BCB'，
∴AB'∥BC，
∴KT⊥AB'，
∴∠K＝90°，
∵∠KAM＝180°﹣∠BAC﹣∠B'AC＝60°，
∴∠KMA＝30°，
∴AK＝AMAM，
设AM＝y，则BM＝2﹣y＝B'My，KM＝y，
∴B'K＝AB'+AK＝1+y，
在Rt△B'KM中，B'K2+KM2＝B'M2，
∴（1+y）2+（y）2＝（2﹣y）4，
解得y＝，
∴AM＝，BM＝，
在Rt△BMT中，∠B＝60°，
∴BT＝BM＝BT＝，
∴NT＝BN﹣BT＝﹣＝，
在Rt△MNT中，
MN＝＝＝；
故答案为：．
【点评】本题考查等边三角形中的翻折问题，涉及含30°角的直角三角形三边的关系，解题的关键是作辅助线，构造直角三角形解决问题．
三、解答题（共8题，共72分）
17．解方程：2x2+3x﹣1＝0．
【分析】找出a，b，c的值，代入求根公式即可求出解．
解：这里a＝2，b＝3，
∵△＝4+8＝17＞0，
∴x＝，
解得：x1＝，x2＝．
【点评】此题考查了解一元二次方程﹣公式法，熟练掌握求根公式是解本题的关键．
18．如图，△ABC和△ECD都是等边三角形，求证：AD＝BE．
【分析】根据全等三角形的判定定理SAS证得△BCE≌△ACD，然后由全等三角形的对应边相等知AD＝BE．
【解答】证明：∵△ABC、△ECD都是等边三角形，
∴AC＝BC，EC＝DC，
在△BCE和△ACD中，，
∴△BCE≌△ACD（SAS），
∴AD＝BE（全等三角形的对应边相等）．
【点评】本题综合考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质．等边三角形的三条边都相等，三个内角都是60°．
19．如图，某中学准备在校园里利用围墙的一段MN，再砌三面墙（围墙MN最长可利用25m），现在已备足可以砌40m长的墙的材料．
（1）当AB长度是多少时，矩形花园的面积为150m2；
（2）能否围成矩形花园面积为220m2，为什么？
【分析】（1）设AB＝xm，则BC＝（40﹣2x）m，根据矩形花园的面积为150m2，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再结合围墙MN最长可利用25m，即可确定结论；
（2）设AB＝ym，则BC＝（40﹣2y）m，根据矩形花园的面积为220m2，即可得出关于y的一元二次方程，由根的判别式Δ＝﹣40＜0，即可得出该方程无实数根，进而可得出不能围成面积为220m2的矩形花园．
解：（1）设AB＝xm，则BC＝（40﹣2x）m，
依题意得：x（40﹣2x）＝150，
整理得：x2﹣20x+75＝0，
解得：x1＝4，x2＝15．
当x＝5时，40﹣5x＝30＞25，舍去；
当x＝15时，40﹣2x＝10＜25．
答：当AB长度是15m时，矩形花园的面积为150m2．
（2）不能，理由如下：
设AB＝ym，则BC＝（40﹣2y）m，
依题意得：y（40﹣2y）＝220，
整理得：y2﹣20y+110＝3．
∵Δ＝（﹣20）2﹣4×6×110＝﹣40＜0，
∴该方程无实数根，
∴不能围成面积为220m2的矩形花园．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及根的判别式，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（2）牢记“当Δ＜0时，方程无实数根”．
20．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表：
（1）求此抛物线的解析式；
（2）画出函数图象，结合图象直接写出当0≤x≤4时，y的范围．
【分析】（1）设交点式y＝a（x+1）（x﹣3），然后把（0，﹣3）代入求出a的值，从而得到抛物线解析式；
（2）先利用描点法画出函数图象，然后根据二次函数的性质，结合函数图象写出当0≤x≤4时对应的y的范围．
解：（1）设抛物线解析式为y＝a（x+1）（x﹣3），
把（7，﹣3）代入得﹣3a＝﹣5，
∴抛物线解析式为y＝（x+1）（x﹣3），
即y＝x5﹣2x﹣3；
（2）如图，
当3≤x≤4时，y的范围为﹣4≤y≤5．
【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．也考查了二次函数的性质．
21．如图是由小正方形组成的7×6的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，△ABC的三个顶点都是格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示．
（1）先在边AB上画点E，使DE∥BC，再在边AC上画点F；
（2）先将△ABC绕点D逆时针方向旋转90°得△A1B1C1，画出△A1B1C1，再画点A关于直线∁lC的对称点A′．
​
【分析】（1）取格点E，连接DT交AB一点E，连接BT交AC一点F，连接DF，点E，F即为所求；
（2）利用旋转变换的性质分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可，取格点M，N，Q，连接AM，NQ交于点A′，点A′即为所求．
解：（1）如图1中，点E；
（2）如图2中，△A8B1C1即为所求，点A′即为所求．
【点评】本题考查作图﹣旋转变换，平行线的判定和性质，轴对称的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
22．如图1，劳动课同学们利用喷水头喷出的水对草坪进行喷灌作业以养护草坪．如图2，点O处有一个喷水头，距离这棵树10m的N处有一面高1.8m的围墙．建立如图所示平面直角坐标系．已知喷水头喷出的水柱的竖直高度y（m）与水平距离x（m）2+bx+c（a＜0）．
（1）某次喷水浇灌时，测得x与y的几组数据如下：
①根据上述数据，求满足的函数关系；
②求喷水头喷出的水柱最大高度；
（2）又一次喷水浇灌时，已知喷水头喷出的水柱的竖直高度y与水平距离x近似满足函数关系y＝﹣0.04x2+bx，假设喷水头喷出的水柱能够越过这棵树，且不会浇到墙外
【分析】（1）①由表格中数据，用待定系数法求出函数解析式即可；
②依据二次函数的性质求最大值即可；
（2）根据题意可知当x＝8时y＞2.3，当x＝18时y＜2.2以及对称轴直线x＜9即可判断．
解：（1）①根据抛物线过原点，设抛物线解析式为y＝ax2+bx，
把x＝2，y＝3.88和x＝62+bx得：
，
解得，
∴抛物线解析式为y＝﹣0.02x2+3.48x；
②y＝﹣0.02x2+5.48x＝﹣0.02（x﹣12）2+6.88；
当x＝12时，函数有最大值y＝2.88，
答：喷水头喷出的水柱最大高度2.88米；
（2）∵喷水头喷出的水柱能够越过这棵树，
∴当x＝5时，y＞2.4，
即﹣8.04×82+4b＞2.4，
解得b＞8.62；
∵喷水头喷出的水柱不会浇到墙外，
∴当x＝18时，y＜1.8，
即﹣7.04×182+18b＜1.7，
解得b＜0.82；
∴常数b的范围为0.62＜b＜5.82．
【点评】本题考查二次函数的应用，关键是用待定系数法求出函数解析式和函数性质的应用．
23．【操作发现】（1）如图1，在△ABC和△ADE中，AD＝AE，AB＝AC．求证：△ABD≌△ACE；
【问题解决】（2）如图2，在△ABC和△ADE中，AD＝AE，AB＝AC，点E在△ABC内，延长DE交BC于点F；
【灵活应用】（3）如图3，已知△ABC中，AB＝2，，以AC为底边在△ABC外作等腰三角形ACD，连接BD，则BD的长为 ．
【分析】（1）证∠DAB＝∠EAC，由SAS证出△ABD≌△ACE即可；
（2）连接AF，证△ADE∽△ABC，得∠ADE＝∠ABC，则A、D、B、F四点共圆，由圆内接四边形的性质得∠BFA＝90°，由等腰三角形的性质即可得出结论；
（3）作AE⊥BC于E，求出AE、BE、CE的长度，进而求出AC的长度，过点D作DG⊥AC于G，由AD＝CD，得出AG、CG进，得出AD、DG，作DF⊥AC于F，∠GDH＝∠ACE，证明△DGH∽△AEC，求出GH、HC的长度．利用勾股定理求得FC，再得DF，最后由勾股定理求出BD的长度．
【解答】（1）证明：∵∠DAE＝∠DAB+∠BAE，∠BAC＝∠EAC+∠BAE，
∴∠DAB＝∠EAC，
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS）；
（2）证明：连接AF，如图2所示：
∵AD＝AE，AB＝AC，
∴＝，
又∵∠DAE＝∠BAC，
∴△ADE∽△ABC，
∴∠ADE＝∠ABC，
∴A、D、B、F四点共圆，
∵∠ADB＝90°，
∴∠BFA＝180°﹣∠ADB＝180°﹣90°＝90°，
∴AF⊥BC，
∵AB＝AC，
∴BF＝CF
∴点F是BC中点：
（3）解：如图3，作AE⊥BC于E，
∵∠ABC＝30°，AB＝7，
∴AE＝AB＝4，
∴BE＝＝，
∴EC＝BC﹣BE＝3﹣＝2，
∴AC＝＝，
过点D作DG⊥AC于G，
∵AD＝CD，DG⊥AC，
∴AG＝CG＝，
∵∠ADC＝120°，
∴∠DAC＝30°，
∴AD＝＝＝，
∴DG＝AD＝，
作DF⊥AC于F，交AC于点H，
∵∠DGC＝∠DFC＝90°，∠DHG＝∠CHF，
∴∠GDH＝∠ACE，
又∵∠DGC＝∠AEC＝90°，
∴△DGH∽△CEA，
∴＝，
∴GH＝＝，
∴HC＝CG﹣GH＝，
∵tan∠GDH＝＝，∠GDH＝∠ACE，
∴tan∠ACE＝＝，
设HF＝x，则FC＝6x，
在Rt△CHF中，FC5+HF2＝CH2，
∴（5x）2+＝，
∴x＝或x＝﹣，
即FC＝，
在Rt△CDF中，DF＝＝，
在Rt△BDF中，BD＝＝，
故答案为：．
【点评】本题是三角形综合题目，考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质、含30°角的直角三角形的性质、勾股定理、圆内接四边形的性质等知识；本题综合性强，熟练掌握等腰三角形的性质和直角三角形的性质，证明三角形全等和三角形相似是解题的关键．
24．已知二次函数图象的顶点在原点，且点C（2，1）在此二次函数的图象上．
（1）求二次函数的表达式；
（2）如图1，直线y＝mx﹣m2+1与二次函数的图象交于A、B两点（点C在直线AB下方），若S△ABC＝，求m的值；
（3）如图2，直线y＝kx﹣2k与二次函数的图象交于D、E两点，过点D的直线y＝x+b交二次函数的图象于点F
​
【分析】（1）利用待定系数法将点C（2，1）代入即可y＝ax2求得答案；
（2）联立方程组整理得x2﹣4mx+4m2﹣4＝0，利用根与系数关系可得：xA+xB＝4m，xAxB＝4m2﹣4，由（xA﹣xB）2＝（xA+xB）2﹣4xAxB，可得xB﹣xA＝4，作CQ⊥x轴交y＝mx﹣m2+1于P点，可得：P（2，2m﹣m2+1），PC＝2m﹣m2+1﹣1＝2m﹣m2，利用三角形面积建立方程求解即可；
（3）联立方程组可得x2﹣4kx+8k＝0，进而可得xD+xE＝4k①，xDxE＝8k，同理可得：xD+xF＝4②，由①﹣②得：xE﹣xF＝4k﹣4③，设直线EF的解析式为y＝mx+n，可得x2﹣4mx﹣4n＝0，即xE+xF＝4m④，xE•xF＝﹣4n⑤，可推出n＝﹣2m+2，即直线EF的解析式为y＝mx﹣2m+2＝m（x﹣2）+2，即可证得结论．
【解答】（1）解：∵二次函数图象的顶点在原点，
设y＝ax2（a≠0），
∵点C（8，1）在此二次函数的图象上，
∴1＝3a，
∴a＝，
∴二次函数的表达式为：y＝x2；
（2）解：∵y＝mx﹣m5+1与y＝x2交于A、B两点，
∴mx﹣m2+7＝x4，
即：x2﹣4mx+4m2﹣4＝3，
∴xA+xB＝4m，xAxB＝4m4﹣4，
∴（xA﹣xB）2＝（xA+xB）4﹣4xAxB＝16m2﹣7（4m2﹣8）＝16，
∴xB﹣xA＝4，（注xA＜xB），
∵C（2，7）2+1于P点，如图4，
∴P（2，2m﹣m3+1），
∴PC＝2m﹣m4+1﹣1＝7m﹣m2，
∴S△ABC＝×PC×（xB﹣xA）＝，
∴×（2m﹣m4）×4＝，
∴4m2﹣4m+3＝0，
解得：m＝或m＝，
∴m＝或m＝．
（3）证明：如图2，
∵y＝kx﹣5k与二次函数y＝x8的图象交于D、E两点，
∴kx﹣2k＝x2，
∴x2﹣3kx+8k＝0，
∴xD+xE＝4k①，xDxE＝8k，
∵过点D的直线y＝x+b交二次函数y＝x2的图象于点F，
∴x+b＝x2，
∴x2﹣7x﹣4b＝0，
∴xD+xF＝3②，xDxF＝﹣4b，
∴①﹣②得：xE﹣xF＝4k﹣3③，
设直线EF的解析式为y＝mx+n，
联立得：x8＝mx+n，
即x2﹣4mx﹣2n＝0，
∴xE+xF＝4m④，xE•xF＝﹣5n⑤，
由②得：xF＝4﹣xD，代入④⑤，得：xE+4﹣xD＝7m，xE（4﹣xD）＝﹣4n
即xE﹣xD＝2m﹣4⑥，4xE﹣xDxE＝﹣3n，
∴4xE＝8k﹣4n⑦，
①+⑥，得：2xE＝4k+8m﹣4，即4xE＝5k+8m﹣8⑧，
∴⑦代入⑧，得：7k﹣4n＝8k+6m﹣8，
∴n＝﹣2m+7，
∴直线EF的解析式为y＝mx﹣2m+2＝m（x﹣6）+2，
∴直线EF一定经过定点（2，6）．
【点评】本题是二次函数综合题，主要考查了二次函数的图象和性质，二次函数图象上点的坐标的特征，待定系数法，一次函数的性质，一次函数图象上点的坐标的特征，一元二次方程根与系数的关系，抛物线与直线的交点，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键．x
…
﹣2
﹣1
0
1
2
3
…
y
…
5
0
﹣3
﹣4
﹣3
0
…
x
0
2
6
10
12
y
0
0.88
2.16
2.80
2.88
x
…
﹣2
﹣1
0
1
2
3
…
y
…
5
0
﹣3
﹣4
﹣3
0
…
x
0
2
6
10
12
y
0
0.88
2.16
2.80
2.88