2024达州万源中学高一上学期10月月考数学试题含解析

这是一份2024达州万源中学高一上学期10月月考数学试题含解析，共60页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题（本大题共8小题，共40分.在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据交集含义即可得到答案.
【详解】根据交集含义得，
故选：A.
2. 下列函数中，与 是同一个函数的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据函数的概念，结合函数的定义域与对应法则，逐项分析即得.
【详解】对于A，函数，与函数的定义域不同，不是同一个函数；
对于 B，函数，与函数的定义域相同，对应关系也相同，是同一个函数；
对于 C，函数，与函数的对应关系不同，不是同一个函数；
对于 D，函数，与函数的定义域不同，不是同一个函数.
故选：B.
3. 命题“有实数解”的否定是（ ）
A. 无实数解B. 有实数解
C. 有实数解D. 无实数解
【答案】D
【解析】
【分析】根据全称量词命题的否定是存在量词命题即可求解.
【详解】因为全称量词命题的否定是存在量词命题，所以“有实数解”的否定是“无实数解”．
故选:D．
4. 已知函数的对应关系如下表所示，函数的图像是如图所示的曲线，则的值为（ ）
A. 3B. 0C. 1D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意，由的图像求出，再由求解即可.
【详解】根据题意，由函数的图像，可得，
则
故选：A．
5. 已知定义域为，则的定义域为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据复合函数的定义域求解规则求解即可.
【详解】解：因为定义域为，
所以函数的定义域为，
所以，的定义域为需满足，解得.
所以，的定义域为.
故选：A
6. 已知正数、满足，则的最小值为
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由得，再将代数式与相乘，利用基本不等式可求出
的最小值．
【详解】，所以，，
则，
所以，，
当且仅当，即当时，等号成立，
因此，的最小值为，
故选．
【点睛】本题考查利用基本不等式求最值，对代数式进行合理配凑，是解决本题的关键，属于中等题．
7. 今有一台坏天平，两臂长不等，其余均精确，有人要用它称物体的质量，他将物体放在左右托盘各称一次，记两次称量结果分别为，设物体的真实质量为G，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据物理知识可求真实重量为，利用基本不等式可得两者之间的大小关系.
【详解】解：设天平的左右臂分别为，物体放在左右托盘称得的重量分别为, 真实重量为,
所以，由杠杆平衡原理知：，,
所以，由上式得，即，
因为,，
所以，由均值不等式，
故选：C.
8. 已知函数，用表示中的较大者，记为，若的最小值为，则实数a的值为（ ）
A. 0B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先画出两个函数的图象，得到的图象，根据最小值为进行数形结合可知，交点处函数值为，计算即得结果.
【详解】依题意，先作两个函数的草图，

因，故草图如下：可知在交点A出取得最小值，

令，得，故，代入直线，得，
故.
故选：B.
【点睛】关键点点睛：本题解题关键在于弄明白函数的图象意义，通过数形结合确定在交点处取得最值，计算即可突破.
二、多选题（本大题共4小题，共20分．在每小题有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得2分，有错选的得0分）
9. 下列关系一定正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】AB
【解析】
【分析】由元素与集合、集合与集合的关系逐个判断即可.
【详解】对A，元素0属于集合，A对；
对B，空集真包含于任一非空集合，B对；
对C，两集合的元素形式不一致，不可能存在包含关系，C错；
对D，两集合的元素，故，D错.
故选：AB
10. 下列函数中，值域为的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AC
【解析】
【分析】利用配方法、常数分离法、换元法即可得到各个函数的值域.
【详解】对于A，，显然符合；
对于B，，显然不符合；
对于C，，令
∴ ，显然符合；
对于D，，显然不符合；
故选：AC
11. 已知关于x的不等式的解集为或，则下列说法正确的是（ ）
A.
B. 不等式的解集为
C. 不等式的解集为或
D.
【答案】AC
【解析】
【分析】由题意可得是方程的两个根，且，然后利用根与系数的关系表示出，再逐个分析判断即可.
【详解】关于x不等式的解集为，
所以二次函数开口方向向上，即，故A正确；
且方程的两根为－3、4，由韦达定理得，解得.
对于B，，由于，所以，
所以不等式的解集为，故B不正确；
对于C，因为，所以，即，
所以，解得或，
所以不等式的解集为或，故C正确；
对于D，，故D不正确.
故选：AC.
12. 有限集合S中元素的个数记作，设A，B都为有限集合，下列命题中是假命题的是（ ）
A. 的充要条件是“”
B. “”的充要条件是“”
C. “”的必要不充分条件是“”
D. “”的充要条件是“”
【答案】BCD
【解析】
【分析】A. 由得到集合A，B没有公共元素判断；B.由得到集合A的元素都是集合B中的元素判断；C.由包含判断；D.由得到集合A的元素与集合B中的元素和个数都相同判断.
【详解】A. 即集合A，B没有公共元素，故正确；
B. 即集合A的元素都是集合B中的元素，则，反之由元素个数不能判断，故错误；
C. 包含，故错误；
D. 即集合A的元素与集合B中的元素和个数都相同，但个数相同，元素不一定相同，故错误，
故选：BCD
三、填空题（本大题共4小题，共20分）
13. 函数的定义域为_____．
【答案】
【解析】
【分析】根据分母不为0以及根号下大于等于0得到不等式组，解出即可，最后答案注意写成解集或区间形式.
【详解】由题意得，解得或，
故答案为：或.
14. 已知函数，则等于______．
【答案】1
【解析】
【分析】直接将代入计算即可.
【详解】
故答案为：1
15. 方程的一根大于1，一根小于1，则实数的取值范围是__________.
【答案】
【解析】
【分析】利用一元二次方程的根的分布与系数的关系，结合二次函数的性质即得．
【详解】∵方程 的一根大于1，另一根小于1，
令，
则，
解得.
故答案为：.
16. 已知关于的不等式组仅有一个整数解，则的取值范围为______．
【答案】
【解析】
【分析】求出第一个不等式的解，讨论的范围得出第二个不等式的解，根据不等式组织含有一个整数得出第二个不等式的端点的范围，从而求得的范围.
【详解】由不等式，即，解得或，
解方程，解得或，
1.若，即时，不等式的解集为，不合题意；
2.若，即时，不等式的解集为，
若不等式组只有1个整数解，则，解得；
3.若，即时，不等式的解集为，
若不等式组只有1个整数解，则，解得；
综上可得，实数的取值范围是.
故答案为：
四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 设为实数，集合．
（1）若，求；
（2）若，求实数的取值范围．
【答案】（1）或
（2）或
【解析】
【分析】（1）求出时集合B，再利用集合的运算即可求出与；
（2）根据得出关于m的不等式，由此求出实数m的取值范围.
【小问1详解】
若，则，可得，
所以或.
【小问2详解】
因为，可知，
若，则或，解得或，
所以实数的取值范围是或.
18. 已知命题：关于的方程有实数根， 命题．
（1）若命题是真命题， 求实数的取值范围；
（2）若是的必要不充分条件， 求实数的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）依题意命题是假命题，即可得到，从而求出参数的取值范围；
（2）记，，依题意可得，即可得到不等式组，解得即可.
【小问1详解】
解：因为命题是真命题，所以命题是假命题．
所以方程无实根，
所以．
即，即，解得或，
所以实数a的取值范围是．
【小问2详解】
解：由（1）可知：，
记，，
因为是的必要不充分条件，所以，所以（等号不同时取得），
解得，所以实数的取值范围是．
19. （1）已知是一次函数，且满足，求的解析式；
（2）已知函数满足，求的解析式；
（3）已知，求的解析式．
【答案】（1）；（2）；（3）
【解析】
【分析】（1）用待定系数法求解析式；
（2）用方程组法求解析式；
（3）用配凑法求解析式.
【详解】解（1）设，
则
，
所以，解得，，所以．
（2）由得，
消去得.
（3）因为，所以．
20. 已知a，b为正实数，且．
（1）求ab的最大值；
（2）求的最小值
【答案】（1）2 （2）
【解析】
【分析】（1）利用基本不等式即可求出ab的最大值；
（2）利用基本不等式即可求出的最小值.
小问1详解】
由题意，
a，b为正实数，且
因为，
当且仅当即时取等号，解得，即，
故的最大值为2．
【小问2详解】
由题意及（1）得，
a，b正实数，且，
∴，
所以，
当且仅当，即时取等号，
∴的最小值为．
21. （1）若，求关于x的不等式的解集；
（2）若对任意，恒成立，求实数m的取值范围．
【答案】（1）答案见解析；（2）
【解析】
【分析】（1）分，和三种情况，求出不等式的解集；
（2）解法一：参变分离，得到对任意恒成立，构造函数，换元后，由对勾函数性质得到，从而求出实数m的取值范围；
解法二：令，分，，三种情况，结合函数单调性得到时的参数的取值范围.
【详解】（1）令，
当时，，所以的解集为；
当时，，所以的解集为；
当时，，所以的解集为．
综上，当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为．
（2）解法一：
当时，由题可得对任意恒成立，
令，则有，，
其中，
令，，根据对勾函数的性质可得，
所以，当时，，
故实数的取值范围为．
解法二：令．
①当时，，对任意，恒成立；
②当时，函数图象开口向上，若对任意，恒成立，
只需，解得，
故当时，对任意，恒成立；
③当时，对任意，，，
恒成立．
综上，实数的取值范围为．
22. 2022年8月9日，美国总统拜登签署《2022年芯片与科学法案》．对中国的半导体产业来说，短期内可能会受到“芯片法案”负面影响，但它不是决定性的，因为它将激发中国自主创新更强的爆发力和持久动力．某企业原有400名技术人员，年人均投入万元，现为加大对研发工作的投入，该企业把原有技术人员分成技术人员和研发人员，其中技术人员名（且），调整后研发人员的年人均投入增加，技术人员的年人均投入调整为万元．
（1）求调整后企业对全部技术人员的年总投入和对全部研发人员的年总投入的表达式.
（2）为了激励研发人员的工作热情和保持技术人员的工作积极性，企业决定在投入方面要同时满足以下两个条件，①研发人员的年总投入始终不低于技术人员的年总投入；②技术人员的年人均投入始终不低于调整前的水平．请问是否存在这样的实数m，满足以上两个条件，若存在，求出m的范围；若不存在，说明理由．
【答案】（1），且，，且
（2）存在这样的满足以上两个条件，的范围为.
【解析】
【分析】（1）依题意可得，整理即可得解；
（2）由条件①得，由条件②得，假设存在同时满足以上两个条件，则上述不等式恒成立，进而求得，即，故确定存在，且.
【小问1详解】
由题意得，，且，
，且.
【小问2详解】
由条件①得：，整理得，则，
因为，当且仅当，即时等号成立，所以；
由条件②得：，解得，
因为，当时，取得最大值，所以；
综上所述，存在这样的满足以上两个条件，的范围为.
x
1
2
3
2
3
0