人教版数学八年级下册期末复习知识串讲+专题训练专题04平行四边形（2份打包，原卷版+含解析）

专题04平行四边形一、平行线之间的距离（共2小题） 二．直角三角形斜边上的中线（共2小题）三．三角形中位线定理（共2小题） 四．平行四边形的性质（共3小题）五．平行四边形的判定（共4小题） 六．平行四边形的判定与性质（共3小题）七．菱形的性质（共3小题） 八．菱形的判定（共4小题）九．菱形的判定与性质（共2小题） 十．矩形的性质（共4小题）十一．矩形的判定（共4小题） 十二．矩形的判定与性质（共2小题）十三．正方形的性质（共4小题） 十四．正方形的判定（共5小题）十五．正方形的判定与性质（共3小题）知识点一、平行四边形定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.性质：（1）．边的性质：平行四边形两组对边平行且相等；（2）．角的性质：平行四边形邻角互补，对角相等；（3）．对角线性质：平行四边形的对角线互相平分；（4）．平行四边形是中心对称图形，对角线的交点为对称中心. 判定：（1）.两组对边分别平行的四边形是平行四边形；（2）.两组对边分别相等的四边形是平行四边形；（3）.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；（4）.两组对角分别相等的四边形是平行四边形；（5）.对角线互相平分的四边形是平行四边形.平行线的性质（1）平行线间的距离都相等（2）等底等高的平行四边形面积相等知识点二、特殊的平行四边形矩形、菱形、正方形的定义有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形. 有一组邻边相等并且有一个内角是直角的平行四边形 叫做正方形.矩形的性质：1.矩形具有平行四边形的所有性质；2.矩形的对角线相等；3.矩形的四个角都是直角；4.矩形是轴对称图形，它有两条对称轴. 矩形的判定：1. 有三个角是直角的四边形是矩形.2. 对角线相等的平行四边形是矩形.3. 定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.菱形的性质：1.菱形的四条边都相等；2.菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；3.菱形是轴对称图形，它有两条对称轴. 菱形的判定：1. 四条边相等的四边形是菱形.2.对角线互相垂直的平行四边形是菱形.3. 定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形.正方形的性质：1.正方形四个角都是直角，四条边都相等.2.正方形的两条对角线相等并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角.3.正方形是轴对称图形，有4条对称轴；又是中心对称图形，两条对角线的交点是对称中心.正方形的判定：1.有一组邻边相等的矩形是正方形. 2.有一个内角是直角的菱形是正方形.一．平行线之间的距离（共2小题）1．（2022春•鹿邑县期中）如图，直线a∥b，直线a与直线b之间的距离是（　　）A．线段PA的长度 B．线段PB的长度 C．线段PC的长度 D．线段PD的长度2．（2022春•清丰县期中）在同一平面内，设a、b、c是三条互相平行的直线，a与b之间的距离为5，b与c之间的距离为2，则a与c之间的距离为　 　．二．直角三角形斜边上的中线（共2小题）3．（2022春•鸡西期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，∠ACD＝3∠BCD，E是斜边AB的中点，则∠ECD＝（　　）A．35° B．30° C．45° D．50°4．（2022春•九龙坡区校级期中）直角三角形的两条直角边长为5和12，则斜边上的中线长是 　 　．三．三角形中位线定理（共2小题）5．（2022春•大同期中）如图，为了测量池塘边A、B两地之间的距离，在AB的同侧取一点C，连接CA并延长至点D，使得DA＝AC，连接CB并延长至点E，使得EB＝BC．若DE＝18m，则AB的长为（　　）A．12m B．10m C．9m D．8m6．（2022春•灌南县期中）如图，在△ABC中，D是AB上一点，AD＝AC，AE⊥CD，垂足为点E，F是BC的中点，若BD＝16，求EF的长．四．平行四边形的性质（共3小题）7．（2022春•北京期中）关于平行四边形的性质，下列描述错误的是（　　）A．平行四边形的对角线相等 B．平行四边形的对角相等 C．平行四边形的对角线互相平分 D．平行四边形的对边平行且相等8．（2022春•尧都区期中）如图，在▱ABCD中，过点C作CE⊥AB，垂足为E，若∠D＝50°，则∠BCE的度数为 　 　．9．（2022春•西湖区期中）如图，点E、F是平行四边形ABCD对角线AC上两点，BE∥DF．（1）求证：AF＝CE；（2）若AC＝8，BC＝6，∠ACB＝30°，求平行四边形ABCD的面积．五．平行四边形的判定（共4小题）10．（2022春•海淀区校级期中）如图，点O是△ABC内部一点，连接OB，OC，并将边AB，OB，OC，AC的中点D，E，F，G顺次连接，DEFG构成四边形，求证：四边形DEFG是平行四边形．11．（2022春•常山县期中）已知：如图，DE，DF是△ABC的两条中位线．求证：四边形DFCE是平行四边形．12．（2022春•嘉祥县期中）如图，四边形ABCD的对角线交于点O，下列哪组条件不能判断四边形ABCD是平行四边形（　　）A．OA＝OC，OB＝OD B．AB＝CD，AO＝CO C．AB＝CD，AD＝BC D．∠BAD＝∠BCD，AB∥CD13．（2022春•鹤城区校级期中）如图，矩形ABCD中，AB＝4cm，BC＝8cm，动点M从点D出发，按折线DCBAD方向以2cm/s的速度运动，动点N从点D出发，按折线DABCD方向以1cm/s的速度运动．（1）若动点M，N同时出发，t秒时，N走过 　 　cm，M走过 　 　cm；（2）若动点M，N同时出发，经过几秒钟两点第一次相遇？（3）若点E在线段BC上，且BE＝3cm，若动点M，N同时出发，相遇时停止运动，经过几秒钟，点A，E，M，N组成平行四边形？六．平行四边形的判定与性质（共3小题）14．（2022春•新会区校级期中）小玲的爸爸在钉制平行四边形框架时，采用了一种方法：如图所示，将两根木条AC、BD的中点重叠并用钉子固定，则四边形ABCD就是平行四边形，这种方法的依据是（　　）A．对角线互相平分的四边形是平行四边形 B．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 C．两组对边分别相等的四边形是平行四边形 D．两组对边分别平行的四边形是平行四边形15．（2022春•淮安区期中）如图，在▱ABCD中，点E、F分别是AD、BC边的中点，求证：BE∥DF．16．（2022春•庆云县期中）如图，在▱ABCD中，E，F为对角线AC上的两点，且AE＝CF，连接DE，BF，BE，DF，求证：四边形EBFD是平行四边形．七．菱形的性质（共3小题）17．（2022春•平邑县期中）如图，菱形ABCD中对角线相交于点O，AB＝AC，则∠ADB的度数是（　　）A．30° B．40° C．50° D．60°18．（2022春•南岗区校级期中）如图，在边长为5的菱形ABCD中，∠BAD＝60°，点E、点F分别在AD、CD上，且∠EBF＝60°，连接EF，若AE＝2，则EF的长度为 　 　．19．（2022春•武进区期中）如图，点E是菱形ABCD的边BC延长线上一点，AC是对角线，∠BAC：∠ACE＝2：7，求∠B的度数．八．菱形的判定（共4小题）20．（2022春•泗阳县期中）如图，已知点E、F分别是四边形ABCD的边AD、BC的中点，G、H分别是对角线BD、AC的中点，要使四边形EGFH是菱形，则四边形ABCD需满足的条件是（　　）A．AB＝CD B．AC＝BD C．AC⊥BD D．AD＝BC21．（2022春•孝义市期中）如图，平行四边形ABCD的对角线AC与BD交于点O，请你添加一个条件使它是菱形，你添加的条件是 　 　．22．（2022春•孝义市期中）如图，已知四边形ABCD是平行四边形，对角线AC，BD相交于点O，过点O作AC的垂线，分别交AD，BC于点E，F，连接AF，CE，求证：四边形AFCE是菱形．23．（2022春•惠民县期中）平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且AE∥BD，BE∥AC，OE＝CD．求证：四边形ABCD是菱形．九．菱形的判定与性质（共2小题）24．（2022春•滨江区校级期中）如图，菱形AECF的对角线AC和EF交于点O，分别延长OE、OF至点B、点D，且BE＝DF，连接AB，AD，CB，CD．（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）若BD＝8，AC＝4，BE＝3，求．25．（2022春•蓬莱市期中）在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F．（1）证明四边形ADCF是菱形；（2）若AC＝4，AB＝5，求菱形ADCF的面积．一十．矩形的性质（共4小题）26．（2022春•乳山市期中）在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，沿对角线AC将矩形分成两个直角三角形，其中△ABC不动，△A'C'D沿射线CA方向平移．若四边形ABC'D是菱形，求CC'的长度．27．（2022春•淮安区期中）如图，在矩形ABCD中，点M在DC上，AM＝AB，且BN⊥AM，垂足为N．（1）求证：△ABN≌△MAD；（2）若AD＝3，AN＝4，求四边形BCMN的面积．28．（2022春•东平县期中）下列结论中，菱形具有而矩形不一定具有的性质是（　　）A．对角线相等 B．对角线互相平分 C．对角线互相垂直 D．对边相等且平行29．（2022春•沙坪坝区校级期中）如图，在矩形ABCD中，连接AC，过点D作DE⊥AC于点E，点M、N分别是AD、DC的中点，连接MN、EM、EN，若AB＝6，BC＝8，则△EMN的周长为 　 　．一十一．矩形的判定（共4小题）30．（2022春•烟台期中）如图，点E是平行四边形ABCD对角线AC上一点，点F在BE延长线上，且EF＝BE，EF与CD交于点G，连接CF，DF，DE．（1）求证：DF∥AC；（2）若BF＝2AB，点G恰好是CD的中点，求证：四边形CFDE是矩形．31．（2022春•广汉市期中）如图，在平行四边形ABCD中，M、N是BD上两点，BM＝DN，连接AM、MC、CN、NA，添加一个条件，使四边形AMCN是矩形，这个条件是（　　）A．MB＝MO B．OM＝AC C．BD⊥AC D．∠AMB＝∠CND32．（2022春•尧都区期中）如图，BD是平行四边形ABCD的一条对角线，E是CD的中点，连接AE并延长交BC的延长线于F．（1）求证：BC＝CF．（2）当DB＝DF时，求证：四边形ABCD是矩形．33．（2022春•乾安县期中）已知：如图，平行四边形ABCD中，M、N分别为AB和CD的中点．（1）求证：四边形AMCN是平行四边形；（2）当AC、BC满足怎样的数量关系时，四边形AMCN是矩形，请说明理由．一十二．矩形的判定与性质（共2小题）34．（2022春•赞皇县期中）如图，在△ABC中，∠C＝90°，点D在斜边AB上，E、F分别在直角边CA、BC上，且DE⊥AC，DF∥AC．（1）求证：四边形CEDF是矩形；（2）连接EF，若C到AB的距离是5，求EF的最小值．35．（2022春•郧阳区期中）如图，菱形ABCD的对角线AC和BD交于点O，分别过点C、作CE∥BD，DE∥AC，CE和DE交于点E（1）求证：四边形ODEC是矩形；（2）当∠ADB＝60°，AD＝10时，求CE和AE的长．一十三．正方形的性质（共4小题）36．（2022春•烟台期中）如图，四边形ABCD，AEFG都是正方形，点E，G分别在边AB，AD上，连接FC，过点E作EH∥FC交BC于点H．若AB＝4，AE＝1，则FC的长为（　　）A．1 B．2 C．3 D．337．（2022春•让胡路区校级期中）如图，在边长为6的大正方形中有两个小正方形（小正方形的顶点都在大正方形的边或对角线上），若两个小正方形的面积分别是S1和S2，求：S1+S2．38．（2022春•澄城县期中）在正方形ABCD中，点E是对角线AC上一点，点F是正方形ABCD外角平分线CM上一点，且CF＝AE，连接BE，EF．（1）如图1，当E是线段AC的中点时，BE与EF有何数量关系，并证明；（2）当点E不是线段AC的中点，其它条件不变时，请你在图2中补全图形，判断（1）中的结论是否仍然成立，并证明你的结论．39．（2022春•襄州区期中）如图，已知正方形ABCD的对角线AC、BD交于点O，CE平分∠ACD交BD于点E，（1）求证：BC＝BE；（2）过点E作EG⊥AB于G，过点E作EH⊥BC于H，判断四边形EGBH的形状并证明；（3）若BC为，过点E作EF⊥CE，交AB于点F，求BF的长．一十四．正方形的判定（共5小题）40．（2022春•庄浪县期中）如图，下列三组条件中，能判定平行四边形ABCD是正方形的有（　　）①AB＝BC，∠BAD＝90°；②AC⊥BD，AC＝BD；③OA＝OD，BC＝CD．A．0个 B．1个 C．2个 D．3个41．（2022春•东莞市校级期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，过点C的直线MN∥AB，D为AB边上一点，过点D作DE⊥BC，垂足为F，交直线MN于E，连接CD，BE．（1）求证：CE＝AD；（2）当D为AB中点时，四边形BECD是什么特殊四边形？说明你的理由；（3）在满足（2）的条件下，当△ABC满足什么条件时，四边形BECD是正方形？（不必说明理由）42．（2022春•南京期中）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，E是AD的中点，BE，CD的延长线交于点F，CD＝DF，AC＝AF．（1）求证：四边形ABCD是矩形；（2）当△ACF满足条件 　 　时，四边形ABCD是正方形．43．（2022春•银海区期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，过点C的直线MN∥AB，D为AB边上一点，过点D作DE⊥BC，交直线MN于点E，垂足为点F，连接CD，BE．（1）若AD＝4cm，求CE的长；（2）当点D为AB的中点时，四边形BECD是什么特殊四边形？说明你的理由；（3）若点D为AB的中点，当∠A的大小满足什么条件时，四边形BECD是正方形？请直接写出答案．44．（2022春•渝中区校级期中）如图，在四边形ABCD中，AB＝BC，对角线BD平分∠ABC，P是BD上一点，过点P作PM⊥AD，PN⊥CD，垂足分别为M、N．（1）求证：∠ADB＝∠CDB；（2）若∠ADC＝90°，求证：四边形MPND是正方形．一十五．正方形的判定与性质（共3小题）45．（2022春•新泰市期中）如图，在正方形ABCD中，点O是对角线AC、BD的交点，过点O作射线OM、ON分别交BC、CD于点E、F，且∠EOF＝90°，OC、EF交于点G．给出下列结论：①△COE≌△DOF；②△OBE≌△OCF；③四边形CEOF的面积为正方形ABCD面积的；④DF2+CE2＝EF2.其中正确的为 　 　.（将正确的序号都填入）46．（2022春•海淀区校级期中）在▱ABCD中，O为AC的中点，点E，M为▱ABCD同一边上任意两个不重合的动点（不与端点重合），EO，MO的延长线分别与▱ABCD的另一边交于点F，N．下面四个推断：①四边形ABFM是平行四边形；②四边形ENFM是平行四边形；③若▱ABCD是矩形（正方形除外），则至少存在一个四边形ENFM是正方形；④对于任意的▱ABCD，存在无数个四边形ENFM是矩形．其中，正确的有 　 　．47．（2022春•沂水县期中）（1）将矩形纸片ABCD沿过点D的直线折叠，使点A落在CD上的点A'处，得到折痕DE，如图1．求证：四边形AEA'D是正方形；（2）将图1中的矩形纸片ABCD沿过点E的直线折叠，点C恰好落在AD上的点C'处，点B落在点B'处，得到折痕EF，B'C'交AB于点M，如图2．线段MC'与ME是否相等？若相等，请给出证明；若不等，请说明理由．一、单选题1．（2023春·广东深圳·八年级校考期中）下列说法错误的是（    ）A．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形B．两条对角线互相垂直的四边形是菱形C．三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半D．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半2．（2023春·广东深圳·八年级校考期中）如图，正方形ABCD的顶点A，B分别在x轴，y轴上，A（﹣4，0），G（0，4），BC的中点E恰好落在x轴上，CD交y轴于点F，连接DG，DO．给出判断：①BF＝AE；②CD平分∠ODG；③∠AEB+∠CDG＝90°； ④△ADO是等腰三角形．其中正确的是（　　）A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④3．（2023春·海南省直辖县级单位·八年级校考期中）如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，以下说法错误的是（　　）A．∠ABC=90° B．AC=BD C．OA=OB D．OA=AD4．（2023春·海南省直辖县级单位·八年级校考期中）如图，菱形ABCD中，E、F分别是AB、AC的中点，若EF=3，则菱形ABCD的周长是（    ）A．12 B．16 C．20 D．245．（2023春·海南省直辖县级单位·八年级校考期中）如图，矩形 SKIPIF 1 < 0 中，对角线 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 交于O点．若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的长为（    ）．A．4 B． SKIPIF 1 < 0  C．3 D．56．（2023春·海南省直辖县级单位·八年级校考期中）如图，在▱ABCD中，已知AD=12cm，AB=8cm，AE平分∠BAD交BC边于点E，则CE的长等于（ ）A．8cm B．6cm C．4cm D．2cm7．（2023春·广东深圳·八年级校考期中）如图，点A是直线l外一点，在l上取两点B、C，分别以A、C为圆心，BC、AB长为半径画弧，两弧交于点D，分别连接AB、AD、CD，则四边形ABCD一定是（    ）．A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形8．（2022春·福建龙岩·八年级校考期中）如图，在正方形ABCD外取一点P，连接AP、BP、DP．若AP＝ SKIPIF 1 < 0 ，PB＝4．则DP的最大值为（　　）A．4+2 SKIPIF 1 < 0  B．4+ SKIPIF 1 < 0  C．5 D．69．（2023秋·浙江温州·八年级瑞安市安阳实验中学校考期中）如图，在等腰直角三角形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的中点， SKIPIF 1 < 0 为边 SKIPIF 1 < 0 上一点（不与端点重合），过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，作 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 的延长线于点 SKIPIF 1 < 0 ．若 SKIPIF 1 < 0 ，则阴影部分的面积为（）A．12 B．12.5 C．13 D．13.510．（2023春·广东深圳·八年级校考期中）如图，矩形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，E为 SKIPIF 1 < 0 边的中点，点P、Q为 SKIPIF 1 < 0 边上的两个动点，且 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 （   ）时，四边形 SKIPIF 1 < 0 的周长最小．A．3 B．4 C．5 D． SKIPIF 1 < 0 二、填空题11．（2022春·湖南永州·八年级校考期中）如下图，长为6，宽为3的矩形 SKIPIF 1 < 0 ，阴影部分的面积为_____. 12．（2022春·湖南永州·八年级校考期中）在 SKIPIF 1 < 0 中，点 E、F、D分别是 SKIPIF 1 < 0 边上的中点，若 SKIPIF 1 < 0 的周长为10cm，则 SKIPIF 1 < 0 的周长 SKIPIF 1 < 0 __．13．（2022春·湖南永州·八年级校考期中）如图所示，以正方形 SKIPIF 1 < 0 中 SKIPIF 1 < 0 边为一边向外作等边 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 __．14．（2023春·海南省直辖县级单位·八年级校考期中）如图，DE为△ABC的中位线，点F在DE上，且∠AFB＝90°，若AB＝5，BC＝8，则EF的长为______．15．（2023秋·江苏泰州·八年级校考期中）一个三角形的三边长分别为 5，12，13，则这个三角形最长边上的中线为_______．16．（2022春·湖南永州·八年级校考期中）如图，在平行四边形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 ，取长边  SKIPIF 1 < 0 的中点M， SKIPIF 1 < 0 ，则  SKIPIF 1 < 0 __．17．（2023秋·江苏连云港·八年级统考期中）如图， SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 于D，E是 SKIPIF 1 < 0 的中点．若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的长等于_______．18．（2023秋·江苏南京·八年级校联考期中）如图，在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，点D是 SKIPIF 1 < 0 的中点，将 SKIPIF 1 < 0 沿 SKIPIF 1 < 0  对折，点A落在点 SKIPIF 1 < 0 处， SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 相交于点E，则 SKIPIF 1 < 0 的度数为______°．三、解答题19．（2022春·广西贵港·八年级统考期中）如图，E、F、M、N分别是正方形 SKIPIF 1 < 0 四条边上的点，且 SKIPIF 1 < 0 ，(1)求证：四边形 SKIPIF 1 < 0 是正方形；(2)若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，求四边形 SKIPIF 1 < 0 的周长．20．（2023秋·江苏南京·八年级统考期中）如图，在四边形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，E是 SKIPIF 1 < 0 上一点．(1)求证： SKIPIF 1 < 0 ；(2)若E是 SKIPIF 1 < 0 的中点，延长 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于点F，且 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的度数．21．（2022春·江苏南京·八年级校考期中）如图，已知 SKIPIF 1 < 0 垂直平分 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．(1)求证：四边形 SKIPIF 1 < 0 是平行四边形．(2)若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的长．22．（2022春·湖南永州·八年级校考期中）如图，矩形 SKIPIF 1 < 0 中，对角线 SKIPIF 1 < 0  SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 边上一点， SKIPIF 1 < 0   SKIPIF 1 < 0 ，将矩形 SKIPIF 1 < 0 沿 SKIPIF 1 < 0  所在的直线折叠，使 SKIPIF 1 < 0 点恰好落在对角线 SKIPIF 1 < 0 上的 SKIPIF 1 < 0  处，那么三角形 SKIPIF 1 < 0  SKIPIF 1 < 0  SKIPIF 1 < 0 的面积是多少？23．（2023春·海南省直辖县级单位·八年级校考期中）如图，四边形ABCD是矩形，点E在CD边上，点F在DC延长线上，AE＝BF．（1）求证：四边形ABFE是平行四边形；（2）若∠BEF＝∠DAE，AE＝3，BE＝4，求EF的长．24．（2023春·海南省直辖县级单位·八年级校考期中）在Rt△ABC中，∠BAC=90°，D是BC的中点，E是AD的中点．过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F．(1)求证：△AEF≌△DEB；(2)证明四边形ADCF是菱形；(3)若AC=4，AB=5，求菱形ADCF 的面积．25．（2023秋·江苏苏州·八年级期中）如图，在等腰直角三角形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 边上中点，过 SKIPIF 1 < 0 点作 SKIPIF 1 < 0 ，交 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ，交 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 长．26．（2023春·广东深圳·八年级校考期中）如图，四边形ABCD中，∠A＝∠ABC＝90°，AD＝1，BC＝3，点E是边CD的中点，连接BE并延长与AD的延长线交于点F．(1)求证：四边形BDFC是平行四边形；(2)若BC＝BD，求BF的长．27．（2022春·福建龙岩·八年级校考期中）如图1，在正方形 SKIPIF 1 < 0 中，点E是 SKIPIF 1 < 0 边上的一点， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 交正方形外角的平分线 SKIPIF 1 < 0 于点P．(1)求 SKIPIF 1 < 0 的度数；(2)求证： SKIPIF 1 < 0 ；(3)在 SKIPIF 1 < 0 边上是否存在点M，使得四边形 SKIPIF 1 < 0 是平行四边形？若存在，请画出图形并给予证明；若不存在，请说明理由；(4)如图2，在边长为4的正方形 SKIPIF 1 < 0 中，将线段 SKIPIF 1 < 0 沿射线 SKIPIF 1 < 0 平移，得到线段 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ，则直接写出 SKIPIF 1 < 0 的最小值是 ．