苏科版数学七年级下册期末复习考点串讲+题型专训专题01 平面图形的认识（二)平行判定与性质（2份打包，原卷版+含解析）

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专题01 平面图形的认识（二)——平行判定与性质





一、判断三线八角

同位角：∠1与∠5、∠2与∠6、∠3与∠7、∠4与∠8；
内错角：∠3与∠6、∠4与∠5；
同旁内角：∠3与∠5、∠4与∠6.
二、平行线的判定
根据平行线的定义和平行公理的推论，平行线的判定方法还有：
（1）平行线的定义：在同一平面内，如果两条直线没有交点（不相交），那么两直线平行.
（2）如果两条直线都平行于第三条直线，那么这两条直线平行（平行线的传递性）.
（3）在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线平行.
（4）平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行.



三、平行线的性质
根据平行线的定义和平行公理的推论，平行线的性质还有：
（1）若两条直线平行，则这两条直线在同一平面内，且没有公共点．
（2）如果一条直线与两条平行线中的一条直线垂直，那么它必与另一条直线垂直．
【专题过关】
类型一、判断三线八角
【解惑】
（2022春·河北秦皇岛·七年级校考期中）如图，下列结论中错误的是（    ）

A．与是同位角 B．与是内错角
C．与是同旁内角 D．与是内错角
B【分析】根据同位角、内错角、同旁内角的定义依次判断即可解答.
【详解】A. 与是同位角，该结论正确，故不符合题意.
B. 与既不是同位角，也不是内错角，也不是同旁内角，该结论错误，故符合题意.
C. 与是同旁内角，该结论正确，故不符合题意.    
D. 与是内错角，该结论正确，故不符合题意.
【融会贯通】
1．（2023春·全国·七年级期中）如图，下列说法不正确的是（　　）

A．与是对顶角 B．与是同位角
C．与是内错角 D．与是同旁内角
B
【分析】根据同位角，内错角，同旁内角和对顶角的定义即可进行解答．
【详解】解：A、和是对顶角，说法正确，因此选项A不符合题意；
B、和，既不是同位角，也不是内错角、同旁内角，说法不正确，因此选项B符合题意；
C、与是直线，直线，被直线所截，所得到的内错角，说法正确，因此选项C不符合题意；
D、与是直线，直线，被直线所截所得到的同旁内角，说法正确，因此选项D不符合题意；
2（2022秋·重庆万州·九年级重庆市万州第二高级中学校考期中）下列图中，不是同位角的是（    ）
A．B．C．D．
D
【分析】根据同位角的定义（在被截线同一侧，截线的同一方位的两个角互为同位角）解决此题．
【详解】解：A．由图可知，，是同位角，故不符合题意．
B．由图可知，，是同位角，故不符合题意．
C．由图可知，，是同位角，故不符合题意．
D．由图可知，，不是同位角，故符合题意．
3．（2022春·上海·七年级期中）如图，下列判断中正确的个数是（　　）
（1）∠A与∠1是同位角；（2）∠A和∠B是同旁内角；（3）∠4和∠1是内错角；（4）∠3和∠1是同位角．

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
C
【分析】准确识别同位角、内错角、同旁内角的关键，是弄清哪两条直线被哪一条线所截．也就是说，在辨别这些角之前，要弄清哪一条直线是截线，哪两条直线是被截线．
【详解】解：（1）∠A与∠1是同位角，正确，符合题意；
（2）∠A与∠B是同旁内角．正确，符合题意；
（3）∠4与∠1是内错角，正确，符合题意；
（4）∠1与∠3不是同位角，错误，不符合题意．
4．（2021春·广东梅州·七年级统考期中）如下图，在“”字型图中，、被所截，则与是（    ）

A．同位角 B．内错角 C．同旁内角 D．邻补角
A
【分析】根据同位角，内错角，同旁内角和邻补角的定义判断即可．
【详解】解：在“”字型图中，两条直线、被所截形成的角中，∠A与∠4都在直线AB、DE的同侧，并且在第三条直线（截线）AC的同旁，则∠A与∠4是同位角．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了同位角，内错角，同旁内角和邻补角的定义，正确理解定义是解题的关键．
5．（2021春·河北邯郸·七年级统考期中）如图所示，同位角共有（   ）

A．6对 B．8对 C．10对 D．12对
C
【分析】根据同位角的定义，进行分析求解即可得到答案.
【详解】解：如图所示
由AB、CD、EF组成的“三线八角”中同位角有四对；
射线GM和直线CD被直线EF所截，形成2对同位角；
射线GM和直线HN被直线EF所截，形成2对同位角；
射线HN和直线AB被直线EF所截，形成2对同位角．
则总共10对．
故选C．

6．（2021·浙江·七年级期中）下列四幅图中，和是同位角的是（    ）

A．（1）、（2） B．（3）、（4） C．（1）、（2）、（4） D．（2）、（3）、（4）
C
【分析】同位角就是：两个角都在截线的同旁，又分别处在被截的两条直线同侧的位置的角，依此判断即可．
【详解】解：（1）、（2）、（4）的两个角都在截线的同旁，又分别处在被截的两条直线同侧的位置的角，
故选：C．
【点睛】本题考查了同位角，解答此类题确定三线八角是关键，可直接从截线入手．对平面几何中概念的理解，一定要紧扣概念中的关键词语，要做到对它们正确理解，对不同的几何语言的表达要注意理解它们所包含的意义．
7．（2018春·江西上饶·七年级校考期中）若平面上四条直线两两相交，且无三线共点，则一共有___________对内错角.
24
【分析】一条直线与另3条直线相交（不交于一点），有3个交点，每2个交点确定一条线段，共有3条线段，4条直线两两相交且无三线共点，共有3×4=12条线段，每条线段两侧共有2对内错角，由此可知内错角总数．
【详解】∵平面上4条直线两两相交且无三线共点，
∴共有3×4=12条线段，
又∵每条线段两侧共有2对内错角，
∴共有内错角 12×2=24对，
故答案为24．

【点睛】本题考查了同位角、内错角、同旁内角，主要考查的是内错角的定义，解题的关键是结合图形、熟记内错角的位置特点，两条直线被第三条直线所截所形成的八个角中，有两对内

类型二、平行判定之添加条件
【解惑】
（2022春·浙江杭州·七年级校考期中）将一块三角板ABC（∠BAC=90°，∠ABC=30°）按如图方式放置，使A，B两点分别落在直线m，n上，对于给出的五个条件：①∠1=25.5°，∠2=55°；②∠1+∠2=90°；③∠2=2∠1；④∠ACB=∠1+∠3；⑤∠ABC=∠2-∠1．能判断直线mn的有__．（填序号）

【答案】①④⑤
【分析】根据平行线的判定方法和题目中各个小题中的条件，逐一判断是否可以得到m∥n，从而可以解答本题．
【详解】解：∵∠1=25.5°，∠2=55°，∠ABC=30°，
∴∠ABC+∠1=55.5°=55°=∠2，
∴mn，故①符合题意；
∵∠1+∠2=90°，∠ABC=30°，
∴∠1+∠ABC不一定等于∠2，
∴m和n不一定平行，故②不符合题意；
∵∠2=2∠1，∠ABC=30°，
∴∠1+∠ABC不一定等于∠2，
∴m和n不一定平行，故③不符合题意；
过点C作CEm，

∴∠3=∠4，
∵∠ACB=∠1+∠3，∠ACB=∠4+∠5，
∴∠1=∠5，
∴ECn，
∴mn，故④符合题意；
∵∠ABC=∠2-∠1，
∴∠2=∠ABC+∠1，
∴mn，故⑤符合题意；
故答案为：①④⑤．
【点睛】本题考查平行线的判定，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．

【融会贯通】
1．（2022春·广东广州·七年级校考期中）如图，下列条件中：（1）；（2）；（3）；（4）．能判定的条件个数有（    ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】根据平行线的判定定理即可判断．
【详解】解：（1），根据同旁内角互补两直线平行得出；
（2），根据内错角相等两直线平行得出；
（3），根据内错角相等两直线平行得出；
（4），根据同位角相等两直线平行得出，
综上分析可知，能判定的条件个数有2个，故B正确．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了平行线的判定，同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．
2．（2022春·重庆铜梁·七年级校考期中）如图，下列条件中，不能判断直线的是（    ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】直接利用平行线的判定方法：同位角相等，两直线平行、内错角相等，两直线平行、同旁内角互补，两直线平行，分别分析得出答案．
【详解】解：A、（内错角相等，两直线平行），可以判断，不符合题意；
B、不属于同位角、内错角或同旁内角，不能判断，符合题意；
C、（同位角相等，两直线平行），可以判断，不符合题意；
D、（同旁内角互补，两直线平行），可以判断，不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了平行线的判定，掌握平行线的判定方法是解题关键．
3．（2022春·江西赣州·七年级校考期中）如图，下列条件中，不能判定的是（）

A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行；进行判断即可．
【详解】解：A．由，根据同旁内角互补，两直线平行，可得，；
B．由，根据内错角相等，两直线平行，可得；
C．由，根据内错角相等，两直线平行，可得，得不到；
D．由，根据同位角相等，两直线平行，可得．
故选∶C．
【点睛】本题主要考查了平行线的判定，解题时注意：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．
4．（2022秋·浙江金华·九年级校考期中）如图，过直线外一点作已知直线的平行线，其依据是（  ）

A．同旁内角互补，两直线平行 B．内错角相等，两直线平行
C．两点确定一条直线 D．同位角相等，两直线平行
【答案】D
【分析】根据同位角相等，两直线平行．
【详解】过直线外一点作已知直线的平行线，其依据是同位角相等，两直线平行,
∴A，B，C都不对，
故选D．
【点睛】本题考查了平行线的判定定理，灵活选择判定定理是解题的关键．
5．（2022春·辽宁沈阳·七年级校考期中）如图，现有条件：①；②；③；④．能判断的条件有（   ）

A．①② B．②③ C．①③ D．②④
【答案】C
【分析】根据平行线的判定定理即可求解．
【详解】①∵
∴
②∵
∴
③∵
∴
④∵
∴
∴能得到的条件是①③．
故选C．
【点睛】此题主要考查了平行线的判定，解题的关键是合理利用平行线的判定，确定同位角、内错角、同旁内角，平行线的判定：同旁内角互补，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同位角相等，两直线平行．
6．（2022春·广东东莞·七年级东莞市中堂中学校考期中）如图，点在的延长线上，下列条件不能判定的是（   ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据平行线的判定定理对各选项进行逐一分析即可．
【详解】解：A．根据内错角相等，两直线平行可判定，故此选项不合题意；
B．根据同位角相等，两直线平行可判定，故此选项不合题意；
C．根据内错角相等，两直线平行可判定，无法判定，故此选项符合题意；
D．根据同旁内角互补，两直线平行可判定，故此选项不合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查的是平行线的判定，熟知平行线的判定定理是解答此题的关键．

类型三、平行性质之求角度
【解惑】
（2022春·广东东莞·七年级校考期中）如图，直线，平分，，则的度数为______．

【答案】
【分析】根据两直线平行，同位角相等可得出，再根据角平分线定义求出，再根据平角等于180°求出，最后利用两直线平行，同位角相等即可求解．
【详解】解：，
（两直线平行，同位角相等）
平分，
，
，
，
（两直线平行，同位角相等）
故答案为：．
【点睛】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，熟记性质并准确识图理清图中各角度之间的关系是解题的关键．

【融会贯通】
1．（2022春·广东江门·七年级统考期中）如图，于点A，，，则为（　　）

A．60° B．50° C．40° D．30°
【答案】A
【分析】由可得，则，再根据平行线的性质可得，由此即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
故选：A．
【点睛】本题主要考查垂线的定义、平行线的性质，熟练掌握两直线平行，内错角相等是解题关键．
2．（2022春·四川巴中·七年级统考期中）如图，已知，于E，交于F， ，则的度数是（    ）

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由平行线的性质得出同位角相等，再由角的互余关系求出即可．
【详解】解：如图所示，

∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：D．
【点睛】本题考查了平行线的性质、角的互余关系；熟练掌握平行线的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．
3．（2022春·四川巴中·七年级统考期中）如图，已知，，，则的度数是（    ）

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由，根据据两直线平行，内错角相等，可求出的度数，从而由可求得出的度数，再由，根据两直线平行，同旁内角互补，求得的度数即可．
【详解】解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
故选D．
【点睛】本题主要考查平行线的性质．熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
4．（2022春·山东青岛·七年级山东省青岛市第五十七中学校考期中）如图，，直线与分别交于点E、F，平分，于点G，若，则___________．

【答案】##35度
【分析】根据对顶角的性质得到，由角平分线的定义得到，根据三角形的内角和定理得到，再由得出，利用可得答案．
【详解】解：∵，
∴，
∵平分，
∴，
又，即，
∴，
∵，，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查平行线的性质，解题的关键是掌握两直线平行同旁内角互补的性质及角平分线性质、垂线性质等知识点．
5．（2021春·山东青岛·七年级校考期中）如图所示，，三角板如图放置，其中∠B=90°，若，则的度数为___________度．

【答案】50
【分析】过B作的平行线，由平行线的性质可得，则可求得的度数．
【详解】解：过B作的平行线，如图，

则，
，，
，
，
，
，，
，
故答案为：50．
【点睛】本题考查了平行线的性质与判定，构造平行线是解题的关键．
6．（2021春·重庆渝中·七年级重庆市求精中学校校考期中）如图，已知，，，则的度数为______．

【答案】##15度
【分析】过点C作，，根据得，即可得，即可得．
【详解】解：如图所示，过点C作，

∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了平行线的性质，解题的关键是掌握平行线的性质．
7．（2022秋·黑龙江哈尔滨·七年级哈尔滨风华中学校考期中）如图，已知，则___________．

【答案】
【分析】如图，过作 过作证明可得再证明从而可得答案．
【详解】解：如图，过作 过作

∵
∴
∴
∴
而
∴
∵
∴
∴
∴
∵
∴
∴
故答案为：
【点睛】本题考查的是平行公理的应用，平行线的性质，利用平行公理作出辅助线是解本题的关键．


类型四、平行判定中的证明
【解惑】
（2023春·福建莆田·七年级期中）如图，平分，，，．

(1)求，的度数；
(2)证明：．
【答案】(1)，
(2)见详解

【分析】（1）根据平分，，即有，，再结合，即可求解；
（2）由，可得，则，问题得解．
【详解】（1）∵平分，，
∴，
∴，，
∵，
∴，，
即：，；
（2）∵，，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了角平分线的定义，平行线的判定与性质等知识，掌握两直线平行同位角相等；两直线平行同位角相等；两直线平行，同旁内角互补是解答本题的关键．



【融会贯通】
1．（2022春·云南普洱·七年级校考期中）推理填空：如图，已知，，可推得．理由如下：

∵（已知），且（　　）
∴（等量代换）
∴（　　）
∴（两直线平行，同位角相等）
又∵（已知），
∴（等量代换）
∴（　　）
【答案】对顶角相等；同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行
【分析】由已知和对顶角相等得出，根据平行线的性质得出，进而证得，根据平行线的判定即可得出．
【详解】解：∵（已知），且（对顶角相等）
∴∠2=∠4（等量代换）
∴（同位角相等，两直线平行）
∴（两直线平行，同位角相等）
又∵（已知），
∴（等量代换）
∴（内错角相等，两直线平行）
故答案为：对顶角相等；同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行
【点睛】本题考查了对顶角相等，平行线的判定及性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．
2．（2022春·广东广州·七年级校考期中）如图，已知：于点，于点，．求证：．

【答案】见解析
【分析】由，，得出，根据得出，根据平行线的判定定理即可得证．
【详解】证明：，，
，
，
，
又，
，
．
【点睛】本题考查了平行线的性质与判定，掌握平行线的性质与判定是解题的关键．
3．（2022春·广东汕头·七年级统考期中）推理填空：如图，直线，并且被直线所截，交和于点M，N，平分，平分，试证明．（请在横线上填上推理内容或依据）

证明：∵，
∴（______），
∵平分，平分．
∴，______（______），
∵，
∴______（______），
∴（______）．
【答案】见解析
【分析】先证明根据证明，根据角平分线的定义得到，即可得到．
【详解】解：∵，
∴．（两直线平行，同位角相等），
∵平分，平分，
∴，．（角平分线的定义），
∵，
∴．（等量代换），
∴．（同位角相等，两直线平行）．

【点睛】本题考查平行线的性质与判定，熟知平行线的性质与判定定理并根据题意灵活应用是解题关键．
4．（2022春·广东中山·七年级校联考期中）如图，已知，垂足分别为，试说明：．请补充说明过程，并在括号内填上相应的理由．

解：∵（已知），
∴（________），
∴（________）．
∴_______（________）
∵ （已知）．
∴（________）．
∴______（________）
∴（________）．
【答案】90；；；；180；；同角的补角相等；；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等．
【分析】根据平行线的判定和性质，垂直的定义，同角的补角相等知识一一判断即可．
【详解】解：∵ （已知），
∴（垂直的定义），
∴（同位角相等，两直线平行）．
∴（两直线平行，同旁内角互补），
∵（已知）．
∴（同角的补角相等）．
∴（内错角相等，两直线平行），
∴（两直线平行，同位角相等）．
故答案为：90；；；；180；；同角的补角相等；；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等．
【点睛】本题考查平行线的判定和性质，解题的关键是熟练掌握基本知识．
5．（2022春·广东东莞·七年级统考期中）如图，已知平分，且．

(1)求证：．
(2)若，求的度数．
【答案】(1)见解析
(2)

【分析】（1）通过内错角相等推出平行线即可；
（2）通过平行线的性质推出角度的关系，等量代换直接求解即可．
【详解】（1）证明：∵平分，
∴，
又∵，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
【点睛】此题考查平行线的性质和判定，解题关键是利用平行线中内错角相等和同旁内角互补的数量关系求解．

类型五、平行中折点
【解惑】
（2022春·广东河源·七年级校考期中）如图，在平面内，，点，分别在直线， 上，为等腰直角三角形，为直角，若，则的度数为（   ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】直接利用平行线的性质作出平行线，进而得出的度数．
【详解】解：如图所示：过点作，

则，
故，．
故选：C．
【点睛】此题主要考查了平行线的性质，正确作出辅助线是解题关键．

【融会贯通】
2．（2020秋·四川凉山·八年级校考期中）如图，直线，的直角顶点A落在直线上，点B落在直线上，若，，则的大小为（    ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据两直线平行，同旁内角互补，进行求解即可.
【详解】解：∵，
∴，
∵，，，
∴.
故选：C
【点睛】此题考查了平行线的性质，熟练掌握两直线平行，同旁内角互补是解题的关键.
3．（2022春·广西南宁·七年级南宁三中校考期中）已知，点E在连线的右侧，与的角平分线相交于点F，则下列说法正确的是（　　）；
①；
②若，则；
③如图（2）中，若，，则；
④如图（2）中，若，，则．

A．①②④ B．②③④ C．①②③ D．①②③④
【答案】C
【分析】分别过、作，，再根据平行线的性质可以得到解答．
【详解】解：分别过、作，，
∵，
∴，
∴，，
∴，
即，①正确；

∵，，
∴，
∵，
∴，，
∴，②正确，
与上同理，，
∴，
∴，③正确，
由题意，④不一定正确，
∴①②③正确，
故选：C．
【点睛】本题考查平行线的应用，熟练掌握平行线的性质及辅助线的作法和应用是解题关键．
4．（2021春·山东济南·七年级校考期中）已知，点M、N分别是、上两点，点G在、之间，连接、．

(1)如图1，若，求的度数．
(2)如图2，若点P是下方一点，平分，平分，已知，求的度数．
(3)如图3，若点E是上方一点，连接、，且的延长线平分，平分，，求的度数．
【答案】(1)；
(2)；
(3)．

【分析】（1）过G作，依据两直线平行，内错角相等，即可得到的度数；
（2）过G作，过点P作，设，利用平行线的性质以及角平分线的定义，求得，，即可得到；
（3）过G作，过E作，设，，利用平行线的性质以及角平分线的定义，可得，，再根据，据此计算即可求解．
【详解】（1）解：如图1，过G作，

∵，
∴，
∴，，
∵，
∴；
（2）解：如图2，过G作，过点P作，设，

∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵平分，平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴；
（3）解：如图3，过G作，过E作，设，，

∵交于M，平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，平分，
∴，，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质与判定的综合运用，解决问题的关键是作辅助线构造内错角，利用平行线的性质以及角的和差关系进行推算．
5．（2021秋·黑龙江哈尔滨·七年级哈尔滨工业大学附属中学校校考期中）阅读并解决问题，课上教师呈现一个问题：
已知：如图，，交于点，交于点，当，时，求的度数．

甲、乙、丙三位同学用不同的方法添加辅助线解决问题，如下图：

甲同学辅助线的做法和分析思路如下：
辅助线：过点作．
分析思路：
①欲求的度数，由图可知只需转化为求和的度数之和；
②由辅助线作图可知，，从而由已知的度数可得的度数；
③由，推出，由此可推出；
④由已知，即，所以可得的度数；
⑤从而可求的度数．
(1)你阅读甲同学思路和方法后，请你根据乙同学所画的图形，描述辅助线的做法，并写出你相应的分析思路．辅助线：_________________________________
分析思路：
(2)请你根据丙同学所画的图形，求的度数．
【答案】(1)过点作交于点；分析思路见解析
(2)

【分析】（1）过点作交于点；根据，得出，根据得出，即可得出，从而得出答案；
（2）过点做交于点，根据，得出，，根据，得出，即可得出答案．
【详解】（1）解：辅助线：过点作交于点；
分析思路：
1．欲求的度数，由辅助线作图可知，，因此，只需转化为求的度数
2．欲求的度数，由图可知只需转化为求和的度数和；
3．由已知的度数，所以只需求出的度数；
4．由，可推出；
由可推出，所以可得；
5．由已知，可得
6．从而求出度数．
故答案为：过点作交于点
（2）解：如图丙，过点做交于点，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴．

【点睛】本题主要考查了平行线的判定和性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握平行线的性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等．
6．（2022春·江西赣州·七年级统考期中）根据下列叙述填依据．
(1)已知如图1，，求∠B+∠BFD+∠D的度数．

解：过点F作
所以∠B+∠BFE=180°（                                          ）
因为、（已知）
所以 （                                           ）
所以∠D+∠DFE=180°（                                             ）
所以∠B+∠BFE+∠D=∠B+∠BFE+∠EFD +∠D=360°
(2)根据以上解答进行探索．如图（2）（3）ABEF、∠D与∠B、∠F有何数量关系（请选其中一个简要证明）
备用图：

(3)如图（4）ABEF，∠C=90°，∠与∠、∠有何数量关系（直接写出结果，不需要说明理由）

【答案】(1)两直线平行，同旁内角互补；，平行于同一直线的两直线平行；两直线平行，同旁内角互补
(2)见解析
(3)

【分析】（1）过点F作，得到∠B+∠BFE=180°，再根据、得到，∠D+∠DFE=180°，最后利用角度的和差即可得出答案；
（2）类比问题（1）的解题方法即可得解；
（3）类比问题（1）的解题方法即可得解．
【详解】（1）解：过点F作，如图，
∴∠B+∠BFE=180°（两直线平行，同旁内角相等），
∵、（已知）
∴（平行于同一直线的两直线平行），
∴∠D+∠DFE=180°（两直线平行，同旁内角互补），
∴∠B+∠BFE+∠D=∠B+∠BFE+∠EFD +∠D=360°；
故答案为：两直线平行，同旁内角互补；，平行于同一直线的两直线平行；
两直线平行，同旁内角互补；

（2）解：选图（2），∠D与∠B、∠F的数量关系为：∠BDF+∠B=∠F；
理由如下：

过点D作DC//AB，
∴∠B=∠BDC，
∵，，
∴，
∴∠CDF=∠F，
∴∠BDF+∠BDC =∠F，
即∠BDF+∠B=∠F；
选图（3），∠D与∠B、∠F的数量关系：∠BDF+∠B=∠F

过点D作，
∴∠B=∠BDC，
∵，，
∴，
∴∠CDF=∠F，
∴∠BDF+∠BDC =∠F，
即∠BDF+∠B=∠F
∠BDF+∠B=∠F ；
（3）解：

如图（4）所示，过点C作，过D作，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∵ ，，
∴．
【点睛】本题考查根据平行线的性质探究角的关系和平行线公理推论的运用，熟练掌握平行线的性质和平行线公理推论的运用是解题的关键．


类型六、平行中的平移
【解惑】
（2022春·湖北武汉·七年级统考期中），点C在点D的右侧，，的平分线交于点E（不与B，D点重合）．，．

(1)若点B在点A的左侧，求的度数（用含n的代数式表示）：
(2)将（1）中的线段BC沿DC方向平移，当点B移动到点A右侧时，请画出图形并判断的度数是否改变？若改变，请求出的度数（用含n的代数式表示）：若不变，请说明理由
【答案】(1)n°+40°；
(2)∠BED的度数会改变，220°-n°．

【分析】（1）过点E作，根据平行线性质推出∠ABE=∠BEF，∠CDE=∠DEF，根据角平分线定义得出∠ABE=∠ABC=n°，∠CDE=∠ADC=40°，代入∠BED=∠BEF+∠DEF求出即可；
（2）过点E作，根据角平分线定义得出∠ABE=∠ABC=n°，∠CDE=∠ADC=40°，根据平行线性质得出即可．
（1）
过点E作，

∵，
∴，
∴∠ABE=∠BEF，∠CDE=∠DEF，
∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，∠ABC=n°，∠ADC=80°，
∴∠ABE=∠ABC=n°，∠CDE=∠ADC=40°，
∴∠BED=∠BEF+∠DEF=n°+40°；
（2）
∠BED的度数会改变，
理由是：过点E作，如图1，

∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，∠ABC=n°，∠ADC=80°，
∴∠ABE=∠ABC=n°，∠CDE=∠ADC=40°，
∵，
∴，
∴∠BEF=180°-∠ABE=180°-n°，∠CDE=∠DEF=40°，
∴∠BED=∠BEF+∠DEF=180°-n°+40°=220°-n°，
即∠BED的度数与n取值有关．
【点睛】本题考查了平行线性质和角平分线定义的应用，主要考查学生的推理能力．


【融会贯通】
1．（2023春·全国·七年级期中）问题情境
在综合与实践课上，同学们以“一个含的直角三角尺和两条平行线”为背景开展数学活动如图1，已知两直线a，b且和直角三角形，，，．

(1)在图1中，，求的度数；
(2)如图2，创新小组的同学把直线a向上平移，并把的位置改变，发现是一个定值，请写出这个定值，并说明理由；
(3)缜密小组在创新小组发现结论的基础上，将图2中的图形继续变化得到图3，平分，此时发现与又存在新的数量关系，请直接写出与的数量关系．
【答案】(1)；
(2)定值为；理由见详解；
(3)；

【分析】（1）根据直角三角形的性质求出，根据平行线的性质解答；
（2）过点作，由此可得，进而可得出结论；
（3）根据平分，可知，过点作，则，根据，，可知，，则，进而可知，则．
【详解】（1）解：如图标出，

∵，
∴，
∵，
∴；
（2）解：定值为：，理由如下：
过点作，

则，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（3）解：，理由如下：

∵平分，
∴，
过点作，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查的是直角三角形的性质，平行线的性质，掌握连续性的性质定理是解题的关键．
2．（2022春·江西抚州·七年级统考期中）如图1，AB、BC被直线AC所截，点D是线段AC上的点，过点D作，连接AE，∠B＝∠E＝70°．

(1)AE与BC平行吗？请说明理由．
(2)将线段AE沿着直线AC平移得到线段PQ（即，且PQ=AE），连接DQ．
①如图2，当DE⊥DQ时，则Q的度数为____________；
②在整个运动过程中，当∠Q＝2∠EDQ时，求Q的度数，并说明理由．
【答案】(1)，理由见解析
(2)①；②或，理由见解析

【分析】（1）根据平行线的性质得到∠BAE+∠E=180°，等量代换得到∠BAE+∠B=180°，于是得到结论；
（2）①如图2，过D作DFAE交AB于F，根据平行线的性质即可得到结论；②如图3，过D作DFAE交AB于F，根据平行线的性质即可得到结论．
（1）
解：∵DEAB，
∴∠BAE+∠E＝180°，
∵∠B＝∠E，
∴∠BAE+∠B＝180°，
∴ABDE；
（2）
①如图2，过D作DFAE交AB于F，
∵PQAE，
∴DFPQ，
∵∠E=70°，
∴∠EDF=110°，
∵DE⊥DQ，
∴∠EDQ=90°，
∴∠FDQ=360°-110°-90°=160°，
∴∠DPQ+∠QDP=160°，
∴∠Q=180°-160°=20°；
故答案为：20°；
②如图3，过D作DFAE交AB于F，
∵PQAE，
∴DFPQ，
∴∠QDF＝180°﹣∠Q，
∵∠Q＝2∠EDQ，
∴∠EDQ∠Q，
∵∠E＝70°，
∴∠EDF＝110°，
∴180°﹣∠QQ＝110°，
∴∠Q．
如图4，过D作DF∥AE交AB于F，
∵PQAE，
∴DFPQ，
∴∠QDF＝180°﹣∠Q，
∵∠Q＝2∠EDQ，
∴∠EDQ∠Q，
∵∠E＝70°，
∴∠EDF＝110°，
∴180°﹣∠QQ＝110°，
∴∠Q＝140°，
综上所述，∠Q或140°．
    
【点睛】本题考查了平行公理的推论，平移的性质，平行线的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
3．（2022春·山西临汾·七年级统考期中）综合与实践
如图．，，E，F是射线BC上的动点，且满足∠CAF＝∠DAC，AE平分∠BAF．

(1)直线AD与BC有何位置关系？请说明理由．
(2)求∠CAE的度数．
(3)如图，将CD向右平移至处，并始终满足，是否存在某种情况，使．若存在，求出此时的度数；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)平行，理由见解析
(2)33°
(3)存在，49.5°

【分析】（1）首先根据两直线平行，同旁内角互补，得出，然后再根据题意，等量代换，得出，最后根据同旁内角互补，两直线平行，即可得出结论．
（2）首先根据两直线平行，同旁内角互补，得出的度数，再根据，平分，即可算出的度数．
（3）首先设，根据两直线平行，内错角相等，得出，再根据两直线平行，同旁内角互补，得出，进而得出，再根据，即可得出方程，解出，进而即可得出的度数．
（1）
解：
理由如下：
∵，
∴，
又∵，
∴
∴．
（2）
解：∵，，
∴，
∵，平分，
∴．
（3）
解：存在，．
理由如下：
设．
∵，
∴，
，
∴，
若，
则，
解得，
此时，
∴存在，．
【点睛】本题考查了平行线的性质与判定，解本题的关键在熟练运用平行线的性质与判定．
4．（2022春·北京·七年级校考期中）如图，直线，直线EF与AB、CD分别交于点G、H，．小安将一个含30°角的直角三角板PMN按如图①放置，使点N、M分别在直线AB、CD上，且在点G、H的右侧，∠P＝90°，∠PMN＝60°．

(1)填空：∠PNB＋∠PMD______∠P（填“>”“