北师大版数学七年级下册期末复习考点串讲+题型专训专题10 生活中的轴对称（2份打包，原卷版+含解析）

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一．轴对称图形
1．如果一个平面图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．
注意：①对称轴是一条直线．
②轴对称图形的对称轴可以有一条，也可以有多条．
二．两个图形成轴对称
如果两个平面图形沿一条直线对折后能够完全重合，那么称这两个图形成轴对称，这条直线叫做这两个图形的对称轴．
注意：两个图形成轴对称与轴对称图形的联系与区别：
三．轴对称的性质
1．对应点、对应线段及对应角的概念：
我们把沿对称轴折叠后能够重合的点叫做对应点，重合的线段叫做对应线段，重合的角叫做对应角．
2．轴对称的性质：
在轴对称图形或两个成轴对称的图形中，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对应线段相等，对应角相等．
注意：①关于某直线成轴对称的两个图形是全等图形，而全等图形不一定成轴对称．
②对称轴是对应点所连线段的垂直平分线．
③对应点的连线互相平行（有时在一条直线上）．
④若两点所连线段被某一直线平分，则此直线为这两点的对称轴．
四．等腰三角形
1．等腰三角形的相关概念：
有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．
相等的两边叫做等腰三角形的腰，第三边叫做底边．
腰与底边的夹角叫做底角．
两腰的夹角叫做顶角．
2．等腰三角形的性质：
①等腰三角形是轴对称图形．
②等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高也互相重合（也称“等腰三角形的三线合一”），它们所在的直线都是等腰三角形的对称轴．
③等腰三角形的两个底角相等．
3．等腰三角形的判别方法：
①根据等腰三角形的定义：有两条边相等的三角形叫等腰三角形．
②如果一个三角形有两个角相等，那么它们所对的边也相等，简称“等角对等边”．
五．等边三角形
1．等边三角形的概念：三边都相等的三角形是等边三角形，也叫正三角形．
注意：等边三角形是特殊的等腰三角形．
2．等边三角形的性质：
①等边三角形是轴对称图形．
②等边三角形的三个内角相等，并且每个内角都等于 SKIPIF 1 < 0 ．
注意：等边三角形有三条对称轴，是等边三角形三条角平分线所在的直线，也是三条中线和三条高线所在的直线．
3．等边三角形的判别方法：
①根据等边三角形的定义：三边都相等的三角形是等边三角形．
②三个角都相等的三角形是等边三角形．
③有一个角是 SKIPIF 1 < 0 的等腰三角形是等边三角形．
六．线段的轴对称性
1．线段是轴对称图形，垂直并且平分线段的直线是它的一条对称轴．
2．线段的垂直平分线的定义：垂直于一条线段，并且平分这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，简称中垂线．
3．线段的垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等．
七．角的轴对称性
1．角是轴对称图形，角平分线所在的直线是它的对称轴．
2．角平分线的性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等．
八．轴对称的实际应用
1．轴对称图形的设计
2．与轴对称相关的路径最值问题
【专题过关】
一．轴对称及轴对称图形的识别（共3小题）
1．在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（ ）
【答案】B
【详解】解：A、C，D选项中的汉字都不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
B选项中的汉字能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
故选：B．
【点睛】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2．下面是某设计公司设计的与字母“D”有关系的四幅图，其中（ ）图案是轴对称图形
【答案】D
【详解】解：A，B，C选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
D选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
故选：D．
【点睛】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
3．学习轴对称图形中后，小乐画出如图四个图形，其中只有1条对称轴的图形是（ ）
【答案】C
【详解】解：A．该图形有无数条对称轴，故此选项不合题意；
B．该图形有2条对称轴，故此选项不合题意；
C．该图形有1条对称轴，故此选项符合题意；
D．该图形有2条对称轴，故此选项不合题意．
故选：C．
【点睛】此题主要考查轴对称图形的概念及性质，能够根据其特点解决有关的问题．
二．轴对称图形的性质（共4题）
4．如图， SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 关于直线l对称， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的度数为（ ）
【答案】D
【详解】解：∵ SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 关于直线l对称， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
故选：D．
【点睛】本题考查的是轴对称的性质，熟知关于轴对称的两个图形全等是解答此题的关键．
5．如图， SKIPIF 1 < 0 中，D点在 SKIPIF 1 < 0 上，将D点分别以 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 为对称轴，画出对称点E、F，并连接 SKIPIF 1 < 0 、
SKIPIF 1 < 0 ，根据图中标示的角度， SKIPIF 1 < 0 的度数为（ ）
【答案】D
【详解】解：如图所示，连接 SKIPIF 1 < 0 ，
由题意可得， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
故选：D．
【点睛】本题考查了轴对称的性质、三角形内角和，掌握轴对称图形的性质是解题关键．
6．如图所示，将 SKIPIF 1 < 0 沿着 SKIPIF 1 < 0 折叠到 SKIPIF 1 < 0 所在平面内，点A的对应点是 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
【答案】B
【详解】解：由折叠的定义知： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
故选：B．
【点睛】本题考查了轴对称的定义，解题的关键是了解轴对称的性质，难度较小．
7．如图，长方形纸带 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，将 SKIPIF 1 < 0 沿 SKIPIF 1 < 0 折叠，C、D两点分别与 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 对应，若 SKIPIF 1 < 0
，则 SKIPIF 1 < 0 的度数为 ．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【详解】解：由折叠可知： SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
故答案为： SKIPIF 1 < 0 ．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质以及对称轴的性质，掌握平行线性质以及折叠的性质是解题关键．
三．利用等腰三角形的性质进行角度计算（共5题）
8．如图，A，B两点分别在直线 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 上，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的度
数等于（ ）
【答案】C
【详解】解：过点A作 SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
故选：C．
【点睛】本题考查了平行线的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．
9．一个等腰三角形的顶角为 SKIPIF 1 < 0 ，则它一腰上的高与另一腰的夹角为 °．
【答案】50
【详解】解：画出图形，如下：
∵ SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的高线，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
故答案为：50．
【点睛】本题是关于等腰三角形的题目，掌握三角形的内角和和平角的定义是解题的关键．
10．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为 SKIPIF 1 < 0 ，则等腰三角形的底角度数为 ．
【答案】 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
【详解】解：在等腰 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为腰 SKIPIF 1 < 0 上的高， SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 内部时，如图1，
∵ SKIPIF 1 < 0 为高，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ；
当 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 外部时，如图2，
∵ SKIPIF 1 < 0 为高，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
而 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ；
综上所述，这个等腰三角形底角的度数为 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ．
故答案为： SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质：等腰三角形的两腰相等；等腰三角形的两个底角相等；等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．
11．如图，已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，…， SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 且
n为整数），若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的度数为 ．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【详解】解：∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
同理， SKIPIF 1 < 0 ，
…，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
故答案为： SKIPIF 1 < 0 ．
【点睛】本题考查了等腰三角形与规律的结合，三角形外角的性质等，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
12．如图， SKIPIF 1 < 0 为直角三角形， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平分 SKIPIF 1 < 0 ．若 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0
的度数．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【详解】解：∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
又∵ SKIPIF 1 < 0 平分 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，关键是求得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ．
四．等腰三角形三线合一性质的应用（共2题）
13．如图， SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，D是 SKIPIF 1 < 0 中点，下列结论中不正确的是（ ）
【答案】A
【详解】解：∵ SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，D是 SKIPIF 1 < 0 中点，
∴ SKIPIF 1 < 0 （故B不符合题意），
SKIPIF 1 < 0 平分 SKIPIF 1 < 0 （故C不符合题意），
SKIPIF 1 < 0 （故D不符合题意），
无法得到 SKIPIF 1 < 0 （故A符合题意），
故选：A．
【点睛】此题主要考查了等腰三角形的性质，熟练运用等腰三角形的三线合一性质是解本题的关键．
14．如图，在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，点D是边 SKIPIF 1 < 0 的中点，如果 SKIPIF 1 < 0 ，那么 SKIPIF 1 < 0 的度数为（ ）
【答案】B
【详解】解：∵ SKIPIF 1 < 0 ，D是 SKIPIF 1 < 0 中点，
∴ SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的角平分线，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
故选：B．
【点睛】此题主要考查等腰三角形的性质及三角形内角和定理，掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
五．等腰三角形性质与判定的综合应用（共4题）
15．如图，在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为边 SKIPIF 1 < 0 上的高线，E为 SKIPIF 1 < 0 上一点，且有 SKIPIF 1 < 0 ．已知
SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 °．
【答案】60
【详解】解：∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
故答案为：60．
【点睛】本题主要考查的是等腰三角形的性质，三角形外角的性质，熟知三角形的外角等于与之不相邻的两个内角的和是解答此题的关键．
16．在等腰 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，中线 SKIPIF 1 < 0 将这个三角形的周长分为18和21两个部分，则这个等腰三角
形的腰长为 ．
【答案】15或11
【详解】解：根据题意，
①当18是腰长与腰长一半时， SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以底边长 SKIPIF 1 < 0 ；
②当21是腰长与腰长一半时， SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以底边长 SKIPIF 1 < 0 ．
所以底边长等于15或11．
故答案为：15或11．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，掌握等腰三角形的性质和三角形的三边关系是解题的关键．
17．如图，在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 边的垂直平分线交 SKIPIF 1 < 0 于点D，交 SKIPIF 1 < 0 于点E，连接 SKIPIF 1 < 0 ．若 SKIPIF 1 < 0
的周长为10， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的周长为 ．
【答案】6
【详解】解：∵ SKIPIF 1 < 0 边的垂直平分线交 SKIPIF 1 < 0 于点D，交 SKIPIF 1 < 0 于点E，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 的周长为10， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 的周长 SKIPIF 1 < 0
故答案为：6．
【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，能熟记线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等是解此题的关键．
18．如图， SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的垂直平分线 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 于E、D．
（1）若 SKIPIF 1 < 0 的周长为21，求 SKIPIF 1 < 0 的长；
（2）若 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的度数．
【答案】（1）6；（2） SKIPIF 1 < 0
【详解】解：（1）∵ SKIPIF 1 < 0 的垂直平分线 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 于E、D，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 的周长是21， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 的周长 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ；
（2）∵ SKIPIF 1 < 0 的垂直平分线 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 于E、D，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 中，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
【点睛】此题考查的是等腰三角形的性质及垂直平分线的性质，解题关键是找到等角和等边的数量关系求解．
六．等边三角形的性质（共4小题）
19．如图，直线 SKIPIF 1 < 0 ，等边 SKIPIF 1 < 0 的顶点C在直线b上，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的度数为（ ）
【答案】B
【详解】解：∵ SKIPIF 1 < 0 是等边三角形，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
故选：B．
【点睛】本题考查了平行线的性质，等边三角形的性质的应用，解此题的关键掌握两直线平行，同位角相等．
20．如图，已知 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，⋯在射线 SKIPIF 1 < 0 上，点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，…在射线 SKIPIF 1 < 0 上， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，…均为等边三角形，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的周长为 ．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【详解】解：∵ SKIPIF 1 < 0 是等边三角形，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 是等边三角形，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
以此类推 SKIPIF 1 < 0 的边长为 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 的周长为： SKIPIF 1 < 0 ．
故答案为： SKIPIF 1 < 0 ．
【点睛】本题主要考查等边三角形的性质及含30°角的直角三角形的性质．
21．如图， SKIPIF 1 < 0 是等边三角形， SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 边上的高，延长 SKIPIF 1 < 0 至E，使 SKIPIF 1 < 0 ．
（1）求证： SKIPIF 1 < 0 ；
（2）过点D作 SKIPIF 1 < 0 ，垂足为F，若 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的周长．
【答案】（1）见解析；（2）36
【详解】（1）证明：∵ SKIPIF 1 < 0 是等边三角形，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ；
（2）解：∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 的周长为36．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质，熟练掌握等边三角形的性质是解题的关键．
22．如图， SKIPIF 1 < 0 是边长为10cm的等边三角形，动点P从点B出发以3cm/s速度沿着B→A→C→B向终
点B运动，同时动点Q从点C出发以2cm/s速度沿着C→B→A→C向终点C运动，运动时间为t秒．
（1）当P在 SKIPIF 1 < 0 边上运动时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
（2）当 SKIPIF 1 < 0 时，求t的值．
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 ； SKIPIF 1 < 0 ；（2）2或8
【详解】解：（1）∵ SKIPIF 1 < 0 是边长为10cm的等边三角形，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴当P在 SKIPIF 1 < 0 边上运动时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
故答案为： SKIPIF 1 < 0 ； SKIPIF 1 < 0 ；
（2）当点P在 SKIPIF 1 < 0 边上运动时，
∵ SKIPIF 1 < 0 是等边三角形，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 是等边三角形，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，
解得， SKIPIF 1 < 0 ；
当点P在 SKIPIF 1 < 0 边上时，
同理可得 SKIPIF 1 < 0 ，
解得， SKIPIF 1 < 0 ，
综上所述，当 SKIPIF 1 < 0 时，t的值为2或8．
【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质，平行线的性质，熟练掌握等边三角形的性质是解题的关键．
七．等边三角形的判定（共1小题）
23．如图，在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，以点A为圆心， SKIPIF 1 < 0 长为半径作弧，交直线 SKIPIF 1 < 0 于点D，连结 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 的度数是 ．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【详解】解：在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
由作图可知 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 是等边三角形，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
故答案为： SKIPIF 1 < 0 ．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质，作图﹣基本作图，关键是熟练掌握5种基本作图（作线段与已知线段相等）．
八．线段垂直平分线的性质（共6小题）
24．如图， SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 平分 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的垂直平分线交 SKIPIF 1 < 0 于点E，交 SKIPIF 1 < 0 于点F，连接 SKIPIF 1 < 0 ．若
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的度数为（ ）
【答案】B
【详解】解：∵ SKIPIF 1 < 0 平分 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的垂直平分线，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
故选：B．
【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
25．如图， SKIPIF 1 < 0 的垂直平分线 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于点D， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的周长为（ ）
【答案】C
【详解】解：∵ SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的垂直平分线，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 的周长 SKIPIF 1 < 0 ，
故选：C．
【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
26．如图，在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的垂直平分线交 SKIPIF 1 < 0 于点E， SKIPIF 1 < 0 的垂直平分线交 SKIPIF 1 < 0 于点F，
连接 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的周长是 ．
【答案】20
【详解】解：∵ SKIPIF 1 < 0 的垂直平分线交 SKIPIF 1 < 0 于点E， SKIPIF 1 < 0 的垂直平分线交 SKIPIF 1 < 0 于点F，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 的周长 SKIPIF 1 < 0 ，
故答案为：20．
【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．
27．如用，已知O为 SKIPIF 1 < 0 三边垂直平分线的交点，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的度数为 度．
【答案】100
【详解】解：如图，连接 SKIPIF 1 < 0 ，
∵O为 SKIPIF 1 < 0 三边垂直平分线的交点，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
故答案为：100．
【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
28．如图，在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的垂直平分线分别交 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 于点D，E．
求证： SKIPIF 1 < 0 ；
【答案】见解析
【详解】证明：连接 SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 垂直平分 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ；
【点睛】本题考查线段垂直平分线的性质，掌握以上知识点是解题的关键．
29．如图，在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的垂直平分线， SKIPIF 1 < 0 ，D为 SKIPIF 1 < 0 的中点．
（1）求证： SKIPIF 1 < 0 ．
（2）若 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的度数．
【答案】（1）见解析；（2） SKIPIF 1 < 0
【详解】（1）证明：如图，连接 SKIPIF 1 < 0 ．
∵ SKIPIF 1 < 0 ，且D为线段 SKIPIF 1 < 0 的中点，
∴ SKIPIF 1 < 0 垂直平分 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
∵ SKIPIF 1 < 0 垂直平分 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
（2）∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的定义与性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理的应用，三角形的外角的性质，构建合适的辅助线是解本题的关键．
九．利用尺规作线段的垂直平分线（共1小题）
30．河边有两个村庄A、B，要在河岸 SKIPIF 1 < 0 上建一自来水厂P，使水厂到A、B两村的距离相等，请找出P
的位置．
【答案】见解析
【详解】解：∵点P到A、B两村的距离相等，
∴点P在线段 SKIPIF 1 < 0 的垂直平分线上，即线段 SKIPIF 1 < 0 的垂直平分线与 SKIPIF 1 < 0 的交点，
如图，点P即为所求．
【点睛】本题考查的是线段垂直平分线的性质，熟记线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
十．角平分线的性质（共6小题）
31．如图， SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 分别平分 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，下面结论中不一
定正确的是（ ）
【答案】C
【详解】解：作 SKIPIF 1 < 0 于M， SKIPIF 1 < 0 于N，
∵ SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 分别平分 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
故A正确；
∵ SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 分别平分 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，
∴O是 SKIPIF 1 < 0 的内心，
∴ SKIPIF 1 < 0 平分 SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
故B正确；
SKIPIF 1 < 0 的长在变化不一定等于3，
故C不一定正确；
∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴O到 SKIPIF 1 < 0 的距离是1，
故D正确．
故选：C．
【点睛】本题考查角平分线的性质，关键是掌握角平分线的性质．
32．如图， SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 中 SKIPIF 1 < 0 的平分线， SKIPIF 1 < 0 于点E， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的
长是（ ）
【答案】A
【详解】解：作 SKIPIF 1 < 0 于H，如图，
∵ SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 中 SKIPIF 1 < 0 的平分线， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
故选：A．
【点睛】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．这里的距离是指点到角的两边垂线段的长．
33．如图， SKIPIF 1 < 0 平分 SKIPIF 1 < 0 ，P是 SKIPIF 1 < 0 上一点， SKIPIF 1 < 0 于点H，Q是射线 SKIPIF 1 < 0 上的一个动点，若 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 长的最小值为（ ）
【答案】C
【详解】解：如图：
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 有最小值，
∵ SKIPIF 1 < 0 平分 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 长的最小值为3，
故选：C．
【点睛】本题考查了角平分线的性质，垂线段最短，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
34．如图，在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平分 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的面积为 ．
【答案】34
【详解】解：如图所示，过D作 SKIPIF 1 < 0 于E，
∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平分 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
又∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 的面积为 SKIPIF 1 < 0 ，
故答案为：34．
【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
35．如图， SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的两个外角 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 的角平分线， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且
SKIPIF 1 < 0 ．下列结论中正确的个数有 个．
① SKIPIF 1 < 0 ；② SKIPIF 1 < 0 ；③ SKIPIF 1 < 0 ；④ SKIPIF 1 < 0 ．
【答案】①②④
【详解】解：∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 平分 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，故①正确；
∵ SKIPIF 1 < 0 平分 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，故②正确；
过O作 SKIPIF 1 < 0 于E，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 中，
SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
同理： SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，故③错误；
∴ SKIPIF 1 < 0 ，故④正确．
【点睛】本题主要考查角平分线的性质，三角形外角的性质，全等三角形的判定与性质，灵活运用角的平分线的性质是解题的关键．
36．如图，O是 SKIPIF 1 < 0 的三条角平分线的交点， SKIPIF 1 < 0 ，垂足为G． SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的度
数．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【详解】解：∵ SKIPIF 1 < 0 中，三条角平分线 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 相交于点O，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
又∵ SKIPIF 1 < 0 平分 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
【点睛】此题考查了三角形内角和定理以及角平分线的性质．此题难度适中，注意掌握整体思想与数形结合思想的应用．
十一．与角平分线相关的作图（共1小题）
37．如图，某个居民小区C附近有三条两两相交的道路 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，拟在 SKIPIF 1 < 0 上建造一个大型超市，
使得它到 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 的距离相等，请确定该超市的位置P．
【答案】见解析
【详解】解：如图所示：作∠AOB的平分线交MN于点P，点P即为该超市的位置．
【点睛】此题主要考查了角平分线的作法，关键是掌握角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
十二．利用轴对称设计图案（共1小题）
38．如图，在3×3的正方形网格中两个小正方形被涂黑，再将图中其余小正方形任意一个涂黑，使得整个
图形（包括网格）构成一个轴对称图形，那么涂法共有（ ）
【答案】B
【详解】解：如图所示：所标数字之处都可以构成轴对称图形．
故选：B．
【点睛】此题主要考查了利用轴对称设计图案，正确掌握轴对称图形的性质是解题关键．
十三．最短路径问题（共5小题）
39．在一条沿直线 SKIPIF 1 < 0 铺设的电缆两侧有甲、乙两个小区，现要求在 SKIPIF 1 < 0 上选取一点P，向两个小区铺设
电缆．下面四种铺设方案中，使用电缆材料最少的是（ ）
【答案】A
【详解】解：根据线段的性质可知，点P即为所求作的位置．
符合题意的画法是A．
故选：A．
【点睛】本题考查应用与设计作图，利用两点之间线段最短是解决问题关键，学会将实际问题转化为数学知识．
40．如图，在 SKIPIF 1 < 0 中 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，M、N分别是斜边 SKIPIF 1 < 0 和直角边 SKIPIF 1 < 0 上的两个动点，当线段 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的和最小时，线段 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的数量关系是（ ）
【答案】B
【详解】解：延长 SKIPIF 1 < 0 至点D，使 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
当M、N、D三点共线，且 SKIPIF 1 < 0 时线段 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的和最小，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
故选：B．
【点睛】本题考查了轴对称、含30°的直角三角形的性质等知识，添加合适的辅助线进行解答是解题的关键．
41．如图，在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，如果点D，E分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
上的动点，那么 SKIPIF 1 < 0 的最小值是（ ）
【答案】B
【详解】解：作点A关于 SKIPIF 1 < 0 的对称点 SKIPIF 1 < 0 ，作点 SKIPIF 1 < 0 ，交 SKIPIF 1 < 0 于点D.
则 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
即 SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0 ．
∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 的最小值为9.6．
故选：B．
【点睛】此题考查了角平分线的性质，角平分线的性质为：角平分线上的点到角两边的距离相等，熟练掌握此性质是解本题的关键．
42．如图， SKIPIF 1 < 0 是等腰三角形，底边 SKIPIF 1 < 0 的长为6，面积是30，腰 SKIPIF 1 < 0 的垂直平分线 SKIPIF 1 < 0 分别交 SKIPIF 1 < 0 、
SKIPIF 1 < 0 于点E、F．若点D为 SKIPIF 1 < 0 边的中点，点M为线段 SKIPIF 1 < 0 上一动点，则 SKIPIF 1 < 0 周长的最小值是_______．
【答案】13
【详解】解：连接 SKIPIF 1 < 0 ，当A、M、D时，此时 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的周长最小，
∵ SKIPIF 1 < 0 是等腰三角形，底边 SKIPIF 1 < 0 的长为6，面积是30，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 周长的最小值是： SKIPIF 1 < 0 ．
【点睛】本题考查了最短路径问题，转换思想的应用是解题的关键．
43．如图，点P是 SKIPIF 1 < 0 内任意一点， SKIPIF 1 < 0 ，点M和点N分别是射线 SKIPIF 1 < 0 和射线 SKIPIF 1 < 0 上的动点，若
SKIPIF 1 < 0 周长的最小值是6cm，则 SKIPIF 1 < 0 的度数是___________．
【答案】
【详解】解：分别作点P关于 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 的对称点C、D，连接 SKIPIF 1 < 0 ，
分别交 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 于点M、N，连接 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，如图所示：
∵点P关于 SKIPIF 1 < 0 的对称点为D，关于 SKIPIF 1 < 0 的对称点为C，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；
∵点P关于 SKIPIF 1 < 0 的对称点为C，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 周长的最小值是6cm，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 是等边三角形，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
故选：B．
【点睛】本题考查了轴对称的性质、最短路线问题、等边三角形的判定与性质；熟练掌握轴对称的性质，证明三角形是等边三角形是解决问题的关键．
两个图形成轴对称
轴对称图形
联系
操作方式相同：沿一条直线折叠
全等：折叠后，直线两旁的图形能完全重合
可以互相转化：把成轴对称的两个图形看做一个整体就得到一个轴对称图形；把轴对称图形对称轴两旁的部分看做两个图形，它们就是成轴对称的两个图形
区别
成轴对称是对于两个图形而言
轴对称图形是对于一个图形而言
两个图形分居一条直线两旁
一个图形被直线分成两部分
折叠后一个图形与另一个图形完全重合
折叠后图形的一部分与另一部分互相重合（即重合到自身上）
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．
A． SKIPIF 1 < 0
B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0
D． SKIPIF 1 < 0
A． SKIPIF 1 < 0
B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0
D． SKIPIF 1 < 0
A． SKIPIF 1 < 0
B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0
D． SKIPIF 1 < 0
A． SKIPIF 1 < 0
B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0
D． SKIPIF 1 < 0
A． SKIPIF 1 < 0
B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 平分 SKIPIF 1 < 0
D． SKIPIF 1 < 0
A． SKIPIF 1 < 0
B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0
D． SKIPIF 1 < 0
A． SKIPIF 1 < 0
B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0
D． SKIPIF 1 < 0
A． SKIPIF 1 < 0
B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0
D． SKIPIF 1 < 0
A．6
B．10
C．16
D．18
A． SKIPIF 1 < 0
B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0
D．点O到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离是1
A．3
B．4
C．5
D．6
A．1
B．2
C．3
D．4
A．4种
B．5种
C．6种
D．7种
A．
B．
C．
D．
A． SKIPIF 1 < 0
B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0
D．无法确定
A．8.4
B．9.6
C．10
D．10.8