资料中包含下列文件，点击文件名可预览资料内容
还剩5页未读，
继续阅读
成套系列资料，整套一键下载
第23章 旋转（易错必刷30题8种题型专项训练）-2023-2024学年九年级数学上学期期中考点大串讲（人教版）
展开
这是一份第23章 旋转（易错必刷30题8种题型专项训练）-2023-2024学年九年级数学上学期期中考点大串讲（人教版），共4页。试卷主要包含了阅读下面材料，并解决问题等内容，欢迎下载使用。
1．（2022秋•黑龙江期中）如图，将△ABC绕点A逆时针旋转，旋转角为α（0°＜α＜180°），得到△ADE，这时点B旋转后的对应点D恰好在直线BC上，则下列结论错误的是（ ）
A．∠ABC＝∠ADBB．∠ACD＝∠EAD
C．∠EAC＝αD．∠EDC＝180°﹣α
【分析】由旋转的性质可得AB＝AD，∠BAD＝∠EAC＝α，∠ABC＝∠ADE，由等腰三角形的性质可得∠ABC＝∠ADB＝＝∠ADE，可求∠EDC＝180°﹣α，由排除法可求解．
【解答】解：∵将△ABC绕点A逆时针旋转，旋转角为α（0°＜α＜180°），得到△ADE，
∴AB＝AD，∠BAD＝∠EAC＝α，∠ABC＝∠ADE，
∴∠ABC＝∠ADB＝＝∠ADE，
∴∠EDC＝180°﹣α，
故选B．
【点评】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，掌握旋转的性质是解题的关键．
2．（2022秋•赣州期中）如图，将△ABC绕点A逆时针旋转110°，得到△ADE，若点D落在线段BC的延长线上，则∠B大小为（ ）
A．30°B．35°C．40°D．45°
【分析】由旋转可知，AB＝AD且∠BAD＝110°，则有三角形内角和可以计算∠B
【解答】解：∵△ABC绕点A逆时针旋转110°，得到△ADE
∴AB＝AD，∠BAD＝110°
由三角形内角和
∠B＝
故选：B．
【点评】本题是几何图形旋转问题，考查了图形旋转的性质、三角形内角和以及等腰三角形的性质．
3．（2022秋•昭阳区期中）如图，把△ABC绕顶点C按顺时针方向旋转得到△A'B'C，A'B'⊥AC于点D，∠A＝47°，∠A'CB＝128°时，∠B'CA的度数为（ ）
A．42°B．43°C．44°D．40°
【分析】先利用垂直定义可得∠A′DC＝90°，再利用旋转的性质可得∠BCB′＝∠ACA′，∠A＝∠A′＝47°，从而利用直角三角形的两个锐角互余可得∠A′CA＝43°，进而可得∠BCB′＝∠ACA′＝43°，然后利用角的和差关系进行计算即可解答．
【解答】解：∵A'B'⊥AC，
∴∠A′DC＝90°，
由旋转得：∠BCB′＝∠ACA′，∠A＝∠A′＝47°，
∴∠A′CA＝90°﹣∠A′＝43°，
∴∠BCB′＝∠ACA′＝43°，
∵∠A'CB＝128°，
∴∠B'CA＝∠A′CB﹣∠ACA′﹣∠BCB′＝128°﹣43°﹣43°＝42°，
故选：A．
【点评】本题考查了旋转的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
4．（2022秋•五华区校级期中）如图，△ODC是由△OAB绕点O顺时针旋转40°后得到的图形，若点D恰好落在AB上，且∠AOC＝105°，则∠C的度数是 45° ．
【分析】先根据∠AOC的度数和∠BOC的度数，可得∠AOB的度数，再根据△AOD中，AO＝DO，可得∠A的度数，进而得出△ABO中∠B的度数，可得∠C的度数．
【解答】解：∵∠AOC的度数为105°，
由旋转可得∠AOD＝∠BOC＝40°，
∴∠AOB＝105°﹣40°＝65°，
∵△AOD中，AO＝DO，
∴∠A＝（180°﹣40°）＝70°，
∴△ABO中，∠B＝180°﹣70°﹣65°＝45°，
由旋转可得，∠C＝∠B＝45°，
故答案为：45°．
【点评】本题考查旋转的性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用旋转的性质解答．
5．（2022秋•兴城市期中）如图，将矩形ABCD绕点A旋转至矩形AB′C′D′位置，此时AC′的中点恰好与D点重合，AB′交CD于点E．若AB＝6，则△AEC的面积为 4 ．
【分析】根据旋转后AC的中点恰好与D点重合，利用旋转的性质得到直角三角形ACD中，∠ACD＝30°，再由旋转后矩形与已知矩形全等及矩形的性质得到∠DAE为30°，进而得到∠EAC＝∠ECA，利用等角对等边得到AE＝CE，设AE＝CE＝x，表示出AD与DE，利用勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，确定出EC的长，即可求出三角形AEC面积．
【解答】解：∵旋转后AC的中点恰好与D点重合，即AD＝AC′＝AC，
∴在Rt△ACD中，∠ACD＝30°，即∠DAC＝60°，
∴∠DAD′＝60°，
∴∠DAE＝30°，
∴∠EAC＝∠ACD＝30°，
∴AE＝CE，
在Rt△ADE中，设AE＝EC＝x，则有
DE＝DC﹣EC＝AB﹣EC＝6﹣x，AD＝×6＝2，
根据勾股定理得：x2＝（6﹣x）2+（2）2，
解得：x＝4，
∴EC＝4，
则S△AEC＝EC•AD＝4．
故答案为：4．
【点评】此题考查了旋转的性质，含30度直角三角形的性质，勾股定理以及等腰三角形的性质的运用，熟练掌握性质及定理是解本题的关键．
6．（2022秋•南昌县期中）如图，P是等边△ABC内的一点，且PA＝5，PB＝4，PC＝3，将△APB绕点B逆时针旋转，得到△CQB．
（1）旋转角为 60 度；
（2）求点P与点Q之间的距离；
（3）求∠BPC的度数．
【分析】（1）根据旋转角度的定义进行解答便可；
（2）连接PQ，根据等边三角形的性质得∠ABC＝60°，BA＝BC，由旋转的性质得BP＝BQ，∠PBQ＝∠ABC＝60°，CQ＝AP＝5，BP＝BQ＝4，∠PBQ＝60°，于是可判断△PBQ是等边三角形，所以PQ＝PB＝4；
（3）先利用勾股定理的逆定理证明△PCQ是直角三角形，且∠QPC＝90°，再加上∠BPQ＝60°，然后计算∠BPQ+∠QPC即可．
【解答】解：（1）∵将△APB绕点B逆时针旋转，
∴∠PBQ＝∠ABC，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠PBQ＝∠ABC＝60°，
∴旋转角度为60°，
故答案为：60；
（2）连接PQ，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝60°，BA＝BC，
∵△QCB是△PAB绕点B逆时针旋转得到的，
∴△QCB≌△PAB，
∴BP＝BQ，∠PBQ＝∠ABC＝60°，CQ＝AP＝5，
∵BP＝BQ＝4，∠PBQ＝60°，
∴△PBQ是等边三角形，
∴PQ＝PB＝4；
即点P与点Q之间的距离是4；
（3）∵QC＝5，PC＝3，PQ＝4，
而32+42＝52，
∴PC2+PQ2＝CQ2，
∴△PCQ是直角三角形，且∠QPC＝90°，
∵△PBQ是等边三角形，
∴∠BPQ＝60°，
∴∠BPC＝∠BPQ+∠QPC＝60°+90°＝150°．
【点评】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的性质，勾股定理的逆定理，掌握旋转的性质是本题的关键．
7．（2022秋•浦江县月考）如图，△ABC中，∠B＝19.11°，∠ACB＝40.89°，AB＝6，△ABC逆时针旋转一定角度后能与△ADE重合，且点C恰好为AD的中点．
（1）指出旋转中心，并求出旋转的度数；
（2）求出∠BAE的度数和AE的长．
【分析】（1）先利用三角形内角和计算出∠BAC＝120°，然后根据旋转的定义求解；
（2）根据旋转的性质得∠EAD＝∠BAC＝120°，AE＝AC，AD＝AB＝6，则可利用周角定义可计算出∠BAE＝120°，然后计算出AC，从而得到AE的长．
【解答】解：（1）∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠ACB＝180°﹣19.11°﹣40.89°＝120°，
即∠BAD＝120°，
所以旋转中心为点A，旋转的度数为120°；
（2）∵△ABC逆时针旋转一定角度后与△ADE重合，
∴∠EAD＝∠BAC＝120°，AE＝AC，AD＝AB＝6，
∴∠BAE＝360°﹣120°﹣120°＝120°，
∵点C恰好成为AD的中点，
∴AC＝AD＝3，
∴AE＝3．
【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．
8．（2022秋•綦江区期中）阅读下面材料，并解决问题：
（1）如图①等边△ABC内有一点P，若点P到顶点A、B、C的距离分别为3，4，5，求∠APB的度数．
为了解决本题，我们可以将△ABP绕顶点A旋转到△ACP′处，此时△ACP′≌△ABP，这样就可以利用旋转变换，将三条线段PA、PB、PC转化到一个三角形中，从而求出∠APB＝ 150° ；
（2）基本运用
请你利用第（1）题的解答思想方法，解答下面问题
已知如图②，△ABC中，∠CAB＝90°，AB＝AC，E、F为BC上的点且∠EAF＝45°，求证：EF2＝BE2+FC2；
（3）能力提升
如图③，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，∠ABC＝30°，点O为Rt△ABC内一点，连接AO，BO，CO，且∠AOC＝∠COB＝∠BOA＝120°，求OA+OB+OC的值．
【分析】（1）根据旋转变换前后的两个三角形全等，全等三角形对应边相等，全等三角形对应角相等以及等边三角形的判定和勾股定理逆定理解答；
（2）把△ABE绕点A逆时针旋转90°得到△ACE′，根据旋转的性质可得AE′＝AE，CE′＝CE，∠CAE′＝∠BAE，∠ACE′＝∠B，∠EAE′＝90°，再求出∠E′AF＝45°，从而得到∠EAF＝∠E′AF，然后利用“边角边”证明△EAF和△E′AF全等，根据全等三角形对应边相等可得E′F＝EF，再利用勾股定理列式即可得证．
（3）将△AOB绕点B顺时针旋转60°至△A′O′B处，连接OO′，根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半求出AB＝2AC，即A′B的长，再根据旋转的性质求出△BOO′是等边三角形，根据等边三角形的三条边都相等可得BO＝OO′，等边三角形三个角都是60°求出∠BOO′＝∠BO′O＝60°，然后求出C、O、A′、O′四点共线，再利用勾股定理列式求出A′C，从而得到OA+OB+OC＝A′C．
【解答】解：（1）∵△ACP′≌△ABP，
∴AP′＝AP＝3、CP′＝BP＝4、∠AP′C＝∠APB，
由题意知旋转角∠PAP′＝60°，
∴△APP′为等边三角形，
PP′＝AP＝3，∠AP′P＝60°，
易证△PP′C为直角三角形，且∠PP′C＝90°，
∴∠APB＝∠AP′C＝∠AP′P+∠PP′C＝60°+90°＝150°；
故答案为：150°；
（2）如图2，把△ABE绕点A逆时针旋转90°得到△ACE′，
由旋转的性质得，AE′＝AE，CE′＝BE，∠CAE′＝∠BAE，∠ACE′＝∠B，∠EAE′＝90°，
∵∠EAF＝45°，
∴∠E′AF＝∠CAE′+∠CAF＝∠BAE+∠CAF＝∠BAC﹣∠EAF＝90°﹣45°＝45°，
∴∠EAF＝∠E′AF，
在△EAF和△E′AF中，
∴△EAF≌△E′AF（SAS），
∴E′F＝EF，
∵∠CAB＝90°，AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB＝45°，
∴∠E′CF＝45°+45°＝90°，
由勾股定理得，E′F2＝CE′2+FC2，
即EF2＝BE2+FC2．
（3）如图3，将△AOB绕点B顺时针旋转60°至△A′O′B处，连接OO′，
∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，∠ABC＝30°，
∴AB＝2，
∴BC＝，
∵△AOB绕点B顺时针方向旋转60°，
∴△A′O′B如图所示；
∠A′BC＝∠ABC+60°＝30°+60°＝90°，
∵∠C＝90°，AC＝1，∠ABC＝30°，
∴AB＝2AC＝2，
∵△AOB绕点B顺时针方向旋转60°，得到△A′O′B，
∴A′B＝AB＝2，BO＝BO′，A′O′＝AO，
∴△BOO′是等边三角形，
∴BO＝OO′，∠BOO′＝∠BO′O＝60°，
∵∠AOC＝∠COB＝∠BOA＝120°，
∴∠COB+∠BOO′＝∠BO′A′+∠BOO′＝120°+60°＝180°，
∴C、O、A′、O′四点共线，
在Rt△A′BC中，A′C＝，
∴OA+OB+OC＝A′O′+OO′+OC＝A′C＝．
【点评】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，读懂题目信息，理解利用旋转构造出全等三角形和等边三角形以及直角三角形是解题的关键．
二．旋转对称图形（共1小题）
9．（2022秋•张湾区期中）把图中的交通标志图案绕着它的中心旋转一定角度后与自身重合，则这个旋转角度至少为（ ）
A．30°B．90°C．120°D．180°
【分析】根据图形的对称性，用360°除以3计算即可得解．
【解答】解：∵360°÷3＝120°，
∴旋转的角度是120°的整数倍，
∴旋转的角度至少是120°．
故选：C．
【点评】本题考查了旋转对称图形，仔细观察图形求出旋转角是120°的整数倍是解题的关键．
三．中心对称（共2小题）
10．（2022秋•五台县期中）2022年第19届亚运会在杭州举行，吉祥物为智能小伙伴“江南忆”组合，其中吉祥物“宸宸”深受网民喜爱，结合你所学知识，从下列四个选项中选出能够和“宸宸”（如图）的图片成中心对称的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据中心对称图形的概念求解即可．
【解答】解：A、不是中心对称图形，故此选不符合题意；
B、不是中心对称图形，故此选不符合题意；
C、不是中心对称图形，故此选不符合题意；
D、是中心对称图形，故此选符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
11．（2022秋•五华县期中）如图是北师大版九年级上册数学教材第25页第4题内容的变式，如图，三个边长相同的正方形重叠在一起，O1、O2是其中两个正方形的中心，阴影部分的面积和是8，则正方形的边长为（ ）
A．2B．4C．8D．2
【分析】根据题意作图，连接O1B，O1C，可得△O1BF≌△O1CG，那么可得阴影部分的面积与正方形面积的关系，同理得出另两个正方形的阴影部分面积与正方形面积的关系，从而得出答案．
【解答】解：如图所示，连接O1B、O1C，
∵∠BO1F+∠FO1C＝90°，∠FO1C+∠CO1G＝90°，
∴∠BO1F＝∠CO1G，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠O1BF＝∠O1CG＝45°，
在△O1BF和△O1CG中，
，
∴△O1BF≌△O1CG（ASA），
∴＝，
∴两个正方形重叠阴影部分的面积是S正方形ABCD，
同理，另外两个正方形重叠阴影部分的面积也是S正方形ABCD，
∴阴影部分的面积和＝8＝S正方形ABCD，
∴S正方形ABCD＝16，
∴正方形ABCD的边长＝＝4，
故选：B．
【点评】本题主要考查了正方形的性质及全等三角形的证明，通过构造全等三角形，把阴影部分进行合理转化是解决本题的难点．
四．中心对称图形（共2小题）
12．（2022秋•禹城市期中）下列手机手势解锁图案中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解答】解：A．是轴对称图形，又不是中心对称图形，故本选项不合题意；
B．是中心对称图形，不是轴对称图形，故本选项符合题意；
C．不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不合题意；
D．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意．
故选：B．
【点评】此题考查中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180°后与原图重合．
13．（2022春•怀仁市期中）数学世界中充满了许多美妙的几何图形，等待着你去发现，如遇是张老师用几何画板画出的四个图形，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．①勾股树B．②分形树
C．③谢尔宾斯三角形D．④雪花
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
【解答】解：①既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
②③是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
④既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
五．关于原点对称的点的坐标（共8小题）
14．（2022秋•黄石期中）若点A（x，﹣2）与B（6，y）关于原点对称，则x+y的值为（ ）
A．﹣4B．4C．﹣8D．8
【分析】根据两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P（x，y）关于原点O的对称点是P′（﹣x，﹣y），进而得出答案．
【解答】解：∵点A（x，﹣2）与B（6，y）关于原点对称，
∴x＝﹣6，y＝2，
∴x+y＝﹣6+2＝﹣4．
故选：A．
【点评】此题主要考查了关于原点对称点的性质，正确记忆横纵坐标的符号关系是解题关键．
15．（2022春•雁塔区校级期中）在平面直角坐标系中，点A（2，m）与点B（n，3）关于原点对称，则（ ）
A．m＝3，n＝2B．m＝﹣3，n＝﹣2C．m＝3，n＝﹣2D．m＝﹣3，n＝2
【分析】直接利用关于原点对称点的性质求出m，n的值，进而得出答案．两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P（x，y）关于原点O的对称点是P′（﹣x，﹣y）．
【解答】解：∵点A（2，m）与点B（n，3）关于原点对称，
∴m＝﹣3，n＝﹣2，
故选：B．
【点评】此题主要考查了关于原点对称点的性质，正确记忆横纵坐标的符号关系是解题关键．
16．（2022秋•滨海新区期中）在直角坐标系中，点A（﹣7，1）关于原点对称的点的坐标是 （7，﹣1） ．
【分析】直接利用关于原点对称点的性质得出答案．两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反．
【解答】解：在直角坐标系中，点A（﹣7，1）关于原点对称的点的坐标是（7，﹣1）．
故答案为：（7，﹣1）．
【点评】此题主要考查了关于原点对称点的性质，正确记忆横纵坐标的符号关系是解题关键．
17．（2022秋•黄骅市校级期中）若点P（a﹣1，5）与点Q（5，1﹣b）关于原点成中心对称，则a+b＝ 2 ．
【分析】首先根据点P（a﹣1，5）与点Q（5，1﹣b）关于原点成中心对称，可得a﹣1＝﹣5，1﹣b＝﹣5，然后把a、b的值代入，求出a+b的值为多少即可．
【解答】解：∵点P（a﹣1，5）与点Q（5，1﹣b）关于原点成中心对称，
∴a﹣1＝﹣5，1﹣b＝﹣5，
解得a＝﹣4，b＝6，
∴a+b＝﹣4+6＝2．
故答案为：2．
【点评】此题主要考查了关于原点对称的点的坐标，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P（x，y）关于原点O的对称点是P′（﹣x，﹣y）．
18．（2022秋•朝阳区校级期中）在平面直角坐标系xOy中，点（4，﹣7）关于原点的对称点坐标为 （﹣4，7） ．
【分析】利用关于原点对称点的坐标特点可得答案．
【解答】解：在平面直角坐标系xOy中，点（4，﹣7）关于原点的对称点坐标为（﹣4，7），
故答案为：（﹣4，7）．
【点评】此题主要考查了关于原点对称点的坐标，关键是掌握两个点关于原点对称时，它们的横坐标互为相反数、纵坐标互为相反数
19．（2022秋•松原期中）在平面直角坐标系中，点P（2，﹣3）与点Q（m，n+1）关于原点对称，则m﹣n＝ ﹣4 ．
【分析】根据关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数，可得答案．
【解答】解：由点P（2，﹣3）与点Q（m，n+1）关于原点对称，得：
m＝﹣2，n+1＝3，
所以n＝2．
则m﹣n＝﹣2﹣2＝﹣4，
故答案为：﹣4．
【点评】本题考查了关于原点对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．
20．（2022秋•平原县期中）若点P（m﹣1，3）与点Q（3，2﹣n）关于原点成中心对称，则m+n的值是 3 ．
【分析】根据关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数，可得答案．
【解答】解：∵点P（m﹣1，3）与点Q（3，2﹣n）关于原点成中心对称，
∴m﹣1＝﹣3，2﹣n＝﹣3，
解得：m＝﹣2，n＝5，
则m+n＝﹣2+5＝3．
故答案为：3．
【点评】本题考查了关于原点对称的点的坐标，关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数．
21．（2022秋•濮阳县期中）直角坐标系中，已知点A（3，2），作点A关于y轴对称点A1，点A1关于原点对称点A2，点A2关于x轴对称点A3，点A3关于y轴对称点A4，点A4关于原点对称点A5…，按此规律，则点A2020的坐标为 （﹣3，2） ．
【分析】根据各点坐标找出规律，进而可得出结论．
【解答】解：∵点A（3，2），
∴点A关于y轴的对称点为A1是（﹣3，2）；
点A1关于原点的对称点为A2是（3，﹣2）；
点A2关于x轴的对称点为A3是（3，2），显然此为一循环，
……
按此规律，2020÷3＝673…1，
∴点A2020的坐标是（﹣3，2）．
故答案为：（﹣3，2）．
【点评】本题考查的是点的坐标，熟知两个点关于x轴对称，则横坐标不变，纵坐标互为相反数；两个点关于y轴对称，则横坐标互为相反数，纵坐标不变；两个点关于原点对称，则横坐标、纵坐标都是互为相反数是解答此题的关键．
六．坐标与图形变化-旋转（共4小题）
22．（2022秋•巧家县期中）将平面内一点P（﹣4，0）绕原点顺时针旋转120°，得到点P′，则P′到x轴的距离为（ ）
A．2B．2C．4D．4
【分析】过点P′作P′A⊥x轴，垂足为A，根据题意可得：∠POP′＝120°，从而利用平角定义可得∠P′OA＝60°，再利用旋转的性质可得：OP＝OP′＝4，然后在Rt△OP′A中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答．
【解答】解：过点P′作P′A⊥x轴，垂足为A，
由题意得：
∠POP′＝120°，
∴∠P′OA＝180°﹣∠POP′＝60°，
∵P（﹣4，0），
∴OP＝4，
由旋转得：OP＝OP′＝4，
在Rt△OP′A中，P′A＝OP′•sin60°＝4×＝2，
∴P′到x轴的距离为2，
故选：B．
【点评】本题考查了坐标与图形变化﹣旋转，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
23．（2022秋•兰山区校级期中）如图，将△ABC绕点C（0，2）旋转180°得到△A′B′C，设点A的坐标为（a，b），则点A′的坐标为（ ）
A．（﹣a，﹣b﹣2）B．（﹣a，﹣b+2）C．（﹣a，﹣b+3）D．（﹣a，﹣b+4）
【分析】利用中点坐标公式，进行计算即可解答．
【解答】解：设点A′的坐标为（m，n），
∵△ABC绕点C（0，2）旋转180°得到△A′B′C，
∴点A（a，b）与点A′关于点C（0，2）对称，
∴＝0，＝2，
∴m＝﹣a，n＝4﹣b，
∴点A′的坐标为（﹣a，4﹣b），
故选：D．
【点评】本题考查了坐标与图形变化﹣旋转，熟练掌握中点坐标公式是解题的关键．
24．（2022秋•汝南县期中）如图，△ABC的顶点A，B分别在x轴，y轴上，∠ABC＝90°，OA＝OB＝1，BC＝2，将△ABC绕点O顺时针旋转，每次旋转90°，则第2022次旋转结束时，点C的坐标为 （﹣2，﹣3） ．
【分析】探究规律，利用规律解决问题即可．
【解答】解：由题意C（2，3），
第一次旋转得到的坐标为（3，﹣2），
第二次旋转得到的坐标为（﹣2，﹣3），
第三次旋转得到的坐标为（﹣3，2），
第四次旋转得到的坐标为（2，3），
•••，
四次一个循环，
∵2022÷4＝505•••2，
∴则第2022次旋转结束时，点C的坐标为（﹣2，﹣3），
故答案为：（﹣2，﹣3）．
【点评】本题考查图形的旋转，通过旋转角度找到旋转规律，从而确定第2022次旋转后矩形的位置是解题的关键．
25．（2022秋•拜泉县校级期中）如图，直线y＝﹣x+3与x轴、y轴分别交于A、B两点，把△AOB绕点A旋转90°后得到△AO′B′，则点B′的坐标是 （﹣1，﹣2）或（5，2） ．
【分析】根据直线解析式求出点A、B的坐标，从而得到OA、OB的长度，再根据旋转性质可得△AOB≌△AO′B′，根据全等三角形对应边相等可得AO′、O′B′的长度，然后分顺时针旋转与逆时针旋转两种情况解答．
【解答】解：当y＝0时，﹣x+3＝0，解得x＝2，
当x＝0时，y＝3，
所以，点A（2，0），B（0，3），
所以，OA＝2，OB＝3，
根据旋转不变性可得△AOB≌△AO′B′，
∴AO′＝OA＝2，O′B′＝OB＝3，
①如果△AOB是逆时针旋转90°，则点B′（﹣1，﹣2），
②如果△AOB是顺时针旋转90°，则点B′（5，2），
综上，点B′的坐标是（﹣1，﹣2）或（5，2）．
故答案为：（﹣1，﹣2）或（5，2）．
【点评】本题考查了坐标与图形的变化﹣旋转，根据旋转变换只改变图形的位置不改变图形的性质与大小求解是解题的关键，注意要分顺时针旋转与逆时针旋转两种情况解答．
七．作图-旋转变换（共3小题）
26．（2022秋•朝阳区校级期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（3，3），B（4，0），C（0，﹣1）．
（1）以点C为旋转中心，把△ABC逆时针旋转90°，画出旋转后的△A'B'C；
（2）在（1）的条件下，
①点A经过的路径AA'的长度为 （结果保留π）；
②点B'的坐标为 （﹣1，3） ．
【分析】（1）根据旋转的定义作出点A、B绕点C逆时针旋转90°得到的对应点，再顺次连接可得；
（2）①根据弧长公式列式计算即可；②根据（1）中所作图形可得点B'的坐标．
【解答】解：（1）如图所示，△A′B′C即为所求；
（2）①∵AC＝＝5，∠ACA′＝90°，
∴点A经过的路径的长为＝，
故答案为：；
②由图知点B′的坐标为（﹣1，3），
故答案为：（﹣1，3）．
【点评】本题主要考查作图﹣旋转变换，解题的关键是根据旋转角度、旋转方向、旋转中心作出对应点．
27．（2022秋•天河区校级期中）如图所示的正方形网格中，△ABC的顶点均在格点上，请在所给直角坐标系中按要求画图
（1）以A点为旋转中心，将△ABC绕点A顺时针旋转90°得△AB1C1，画出△AB1C1；
（2）作出△ABC关于坐标原点O成中心对称的△A2B2C2．
【分析】（1）依据△ABC绕点A顺时针旋转90°，即可得到△AB1C1；
（2）依据中心对称的性质进行作图，即可得到△ABC关于坐标原点O成中心对称的△A2B2C2．
【解答】解：（1）△AB1C1如图所示；
（2）△A2B2C2如图所示．
【点评】本题主要考查了利用旋转变换进行作图，解题时注意：旋转作图有自己独特的特点，决定图形位置的因素有旋转角度、旋转方向、旋转中心，任意不同，位置就不同，但得到的图形全等．
28．（2022秋•浦江县月考）在平面直角坐标系中，△ABC的位置如图所示（每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形）
（1）①若△ABC和△A1B1C1关于原点O成中心对称，画出△A1B1C1；
②将△ABC绕着点A顺时针旋转90°，画出旋转后得到的△AB2C2；
（2）在x轴上找一点P，使PB1+PC1最小，此时PB1+PC1的值为 ．
【分析】（1）①根据关于原点中心对称的点的坐标特征写出点A1、B1、C1的坐标，从而得到△A1B1C1；
②利用网格特点和旋转的性质画出点B、C的对应点B2、C2，从而得到△AB2C2；
（2）作C1点关于x轴的对称点C′，连接B1C′交x轴于P点，则PC1＝PC′，则PB1+PC1＝PB1+PC′＝B1C′，利用两点之间线段最短可得到此时PB1+PC1的值最小值，然后利用勾股定理计算出B1C′即可．
【解答】解：（1）①如图，△A1B1C1所作；
②如图，△AB2C2为所作；
（2）如图，作C1点关于x轴的对称点C′，连接B1C′交x轴于P点，连接PC1，
则PC1＝PC′，PB1+PC1＝PB1+PC′＝B1C′＝＝，
所以PB1+PC1的最小值为．
故答案为：．
【点评】本题考查了作图﹣旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．
八．几何变换的类型（共2小题）
29．（2022秋•栾城区期中）如图，将三角尺直立举起靠近墙面，打开手机手电筒照射三角尺，在墙面上形成影子．则三角尺与影子之间属于以下哪种图形变换（ ）
A．平移B．轴对称C．旋转D．位似
【分析】根据位似的定义，即可解决问题．
【解答】解：根据位似的定义可知：三角尺与影子之间属于位似．
故选：D．
【点评】本题考查了生活中位似的现象，解决本题的关键是熟记位似的定义．
30．（2022秋•庆云县期中）在平面直角坐标系中，将图1所示的△ABC按照如图2所示的方式依次进行轴对称变换，若点A坐标是（x，y），则经过第2022次变换后所得的点A2022坐标是 （﹣x，﹣y） ．
【分析】观察图形可知每四次对称为一个循环组依次循环，用2022除以4，然后根据商和余数的情况确定出变换后的点A所在的象限，然后解答即可．
【解答】解：∵点A第一次关于x轴对称后在第四象限，
第二次关于y轴对称后在第三象限，
第三次关于x轴对称后在第二象限，
第四次关于y轴对称后在第一象限，即点A回到原始位置，
∴每4次对称为一个循环组依次循环，
∵2022÷4＝505…2，
∴经过第2022次变换后所得的点A2022与第二次变换的位置相同，在第三象限，点A2022坐标为（﹣x，﹣y），
故答案为：（﹣x，﹣y）．
【点评】本题考查了轴对称变换，点的坐标变换规律，读懂题目信息，观察出每四次对称为一个循环组依次循环是解题的关键，也是本题的难点．
1．（2022秋•黑龙江期中）如图，将△ABC绕点A逆时针旋转，旋转角为α（0°＜α＜180°），得到△ADE，这时点B旋转后的对应点D恰好在直线BC上，则下列结论错误的是（ ）
A．∠ABC＝∠ADBB．∠ACD＝∠EAD
C．∠EAC＝αD．∠EDC＝180°﹣α
【分析】由旋转的性质可得AB＝AD，∠BAD＝∠EAC＝α，∠ABC＝∠ADE，由等腰三角形的性质可得∠ABC＝∠ADB＝＝∠ADE，可求∠EDC＝180°﹣α，由排除法可求解．
【解答】解：∵将△ABC绕点A逆时针旋转，旋转角为α（0°＜α＜180°），得到△ADE，
∴AB＝AD，∠BAD＝∠EAC＝α，∠ABC＝∠ADE，
∴∠ABC＝∠ADB＝＝∠ADE，
∴∠EDC＝180°﹣α，
故选B．
【点评】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，掌握旋转的性质是解题的关键．
2．（2022秋•赣州期中）如图，将△ABC绕点A逆时针旋转110°，得到△ADE，若点D落在线段BC的延长线上，则∠B大小为（ ）
A．30°B．35°C．40°D．45°
【分析】由旋转可知，AB＝AD且∠BAD＝110°，则有三角形内角和可以计算∠B
【解答】解：∵△ABC绕点A逆时针旋转110°，得到△ADE
∴AB＝AD，∠BAD＝110°
由三角形内角和
∠B＝
故选：B．
【点评】本题是几何图形旋转问题，考查了图形旋转的性质、三角形内角和以及等腰三角形的性质．
3．（2022秋•昭阳区期中）如图，把△ABC绕顶点C按顺时针方向旋转得到△A'B'C，A'B'⊥AC于点D，∠A＝47°，∠A'CB＝128°时，∠B'CA的度数为（ ）
A．42°B．43°C．44°D．40°
【分析】先利用垂直定义可得∠A′DC＝90°，再利用旋转的性质可得∠BCB′＝∠ACA′，∠A＝∠A′＝47°，从而利用直角三角形的两个锐角互余可得∠A′CA＝43°，进而可得∠BCB′＝∠ACA′＝43°，然后利用角的和差关系进行计算即可解答．
【解答】解：∵A'B'⊥AC，
∴∠A′DC＝90°，
由旋转得：∠BCB′＝∠ACA′，∠A＝∠A′＝47°，
∴∠A′CA＝90°﹣∠A′＝43°，
∴∠BCB′＝∠ACA′＝43°，
∵∠A'CB＝128°，
∴∠B'CA＝∠A′CB﹣∠ACA′﹣∠BCB′＝128°﹣43°﹣43°＝42°，
故选：A．
【点评】本题考查了旋转的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
4．（2022秋•五华区校级期中）如图，△ODC是由△OAB绕点O顺时针旋转40°后得到的图形，若点D恰好落在AB上，且∠AOC＝105°，则∠C的度数是 45° ．
【分析】先根据∠AOC的度数和∠BOC的度数，可得∠AOB的度数，再根据△AOD中，AO＝DO，可得∠A的度数，进而得出△ABO中∠B的度数，可得∠C的度数．
【解答】解：∵∠AOC的度数为105°，
由旋转可得∠AOD＝∠BOC＝40°，
∴∠AOB＝105°﹣40°＝65°，
∵△AOD中，AO＝DO，
∴∠A＝（180°﹣40°）＝70°，
∴△ABO中，∠B＝180°﹣70°﹣65°＝45°，
由旋转可得，∠C＝∠B＝45°，
故答案为：45°．
【点评】本题考查旋转的性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用旋转的性质解答．
5．（2022秋•兴城市期中）如图，将矩形ABCD绕点A旋转至矩形AB′C′D′位置，此时AC′的中点恰好与D点重合，AB′交CD于点E．若AB＝6，则△AEC的面积为 4 ．
【分析】根据旋转后AC的中点恰好与D点重合，利用旋转的性质得到直角三角形ACD中，∠ACD＝30°，再由旋转后矩形与已知矩形全等及矩形的性质得到∠DAE为30°，进而得到∠EAC＝∠ECA，利用等角对等边得到AE＝CE，设AE＝CE＝x，表示出AD与DE，利用勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，确定出EC的长，即可求出三角形AEC面积．
【解答】解：∵旋转后AC的中点恰好与D点重合，即AD＝AC′＝AC，
∴在Rt△ACD中，∠ACD＝30°，即∠DAC＝60°，
∴∠DAD′＝60°，
∴∠DAE＝30°，
∴∠EAC＝∠ACD＝30°，
∴AE＝CE，
在Rt△ADE中，设AE＝EC＝x，则有
DE＝DC﹣EC＝AB﹣EC＝6﹣x，AD＝×6＝2，
根据勾股定理得：x2＝（6﹣x）2+（2）2，
解得：x＝4，
∴EC＝4，
则S△AEC＝EC•AD＝4．
故答案为：4．
【点评】此题考查了旋转的性质，含30度直角三角形的性质，勾股定理以及等腰三角形的性质的运用，熟练掌握性质及定理是解本题的关键．
6．（2022秋•南昌县期中）如图，P是等边△ABC内的一点，且PA＝5，PB＝4，PC＝3，将△APB绕点B逆时针旋转，得到△CQB．
（1）旋转角为 60 度；
（2）求点P与点Q之间的距离；
（3）求∠BPC的度数．
【分析】（1）根据旋转角度的定义进行解答便可；
（2）连接PQ，根据等边三角形的性质得∠ABC＝60°，BA＝BC，由旋转的性质得BP＝BQ，∠PBQ＝∠ABC＝60°，CQ＝AP＝5，BP＝BQ＝4，∠PBQ＝60°，于是可判断△PBQ是等边三角形，所以PQ＝PB＝4；
（3）先利用勾股定理的逆定理证明△PCQ是直角三角形，且∠QPC＝90°，再加上∠BPQ＝60°，然后计算∠BPQ+∠QPC即可．
【解答】解：（1）∵将△APB绕点B逆时针旋转，
∴∠PBQ＝∠ABC，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠PBQ＝∠ABC＝60°，
∴旋转角度为60°，
故答案为：60；
（2）连接PQ，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝60°，BA＝BC，
∵△QCB是△PAB绕点B逆时针旋转得到的，
∴△QCB≌△PAB，
∴BP＝BQ，∠PBQ＝∠ABC＝60°，CQ＝AP＝5，
∵BP＝BQ＝4，∠PBQ＝60°，
∴△PBQ是等边三角形，
∴PQ＝PB＝4；
即点P与点Q之间的距离是4；
（3）∵QC＝5，PC＝3，PQ＝4，
而32+42＝52，
∴PC2+PQ2＝CQ2，
∴△PCQ是直角三角形，且∠QPC＝90°，
∵△PBQ是等边三角形，
∴∠BPQ＝60°，
∴∠BPC＝∠BPQ+∠QPC＝60°+90°＝150°．
【点评】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的性质，勾股定理的逆定理，掌握旋转的性质是本题的关键．
7．（2022秋•浦江县月考）如图，△ABC中，∠B＝19.11°，∠ACB＝40.89°，AB＝6，△ABC逆时针旋转一定角度后能与△ADE重合，且点C恰好为AD的中点．
（1）指出旋转中心，并求出旋转的度数；
（2）求出∠BAE的度数和AE的长．
【分析】（1）先利用三角形内角和计算出∠BAC＝120°，然后根据旋转的定义求解；
（2）根据旋转的性质得∠EAD＝∠BAC＝120°，AE＝AC，AD＝AB＝6，则可利用周角定义可计算出∠BAE＝120°，然后计算出AC，从而得到AE的长．
【解答】解：（1）∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠ACB＝180°﹣19.11°﹣40.89°＝120°，
即∠BAD＝120°，
所以旋转中心为点A，旋转的度数为120°；
（2）∵△ABC逆时针旋转一定角度后与△ADE重合，
∴∠EAD＝∠BAC＝120°，AE＝AC，AD＝AB＝6，
∴∠BAE＝360°﹣120°﹣120°＝120°，
∵点C恰好成为AD的中点，
∴AC＝AD＝3，
∴AE＝3．
【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．
8．（2022秋•綦江区期中）阅读下面材料，并解决问题：
（1）如图①等边△ABC内有一点P，若点P到顶点A、B、C的距离分别为3，4，5，求∠APB的度数．
为了解决本题，我们可以将△ABP绕顶点A旋转到△ACP′处，此时△ACP′≌△ABP，这样就可以利用旋转变换，将三条线段PA、PB、PC转化到一个三角形中，从而求出∠APB＝ 150° ；
（2）基本运用
请你利用第（1）题的解答思想方法，解答下面问题
已知如图②，△ABC中，∠CAB＝90°，AB＝AC，E、F为BC上的点且∠EAF＝45°，求证：EF2＝BE2+FC2；
（3）能力提升
如图③，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，∠ABC＝30°，点O为Rt△ABC内一点，连接AO，BO，CO，且∠AOC＝∠COB＝∠BOA＝120°，求OA+OB+OC的值．
【分析】（1）根据旋转变换前后的两个三角形全等，全等三角形对应边相等，全等三角形对应角相等以及等边三角形的判定和勾股定理逆定理解答；
（2）把△ABE绕点A逆时针旋转90°得到△ACE′，根据旋转的性质可得AE′＝AE，CE′＝CE，∠CAE′＝∠BAE，∠ACE′＝∠B，∠EAE′＝90°，再求出∠E′AF＝45°，从而得到∠EAF＝∠E′AF，然后利用“边角边”证明△EAF和△E′AF全等，根据全等三角形对应边相等可得E′F＝EF，再利用勾股定理列式即可得证．
（3）将△AOB绕点B顺时针旋转60°至△A′O′B处，连接OO′，根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半求出AB＝2AC，即A′B的长，再根据旋转的性质求出△BOO′是等边三角形，根据等边三角形的三条边都相等可得BO＝OO′，等边三角形三个角都是60°求出∠BOO′＝∠BO′O＝60°，然后求出C、O、A′、O′四点共线，再利用勾股定理列式求出A′C，从而得到OA+OB+OC＝A′C．
【解答】解：（1）∵△ACP′≌△ABP，
∴AP′＝AP＝3、CP′＝BP＝4、∠AP′C＝∠APB，
由题意知旋转角∠PAP′＝60°，
∴△APP′为等边三角形，
PP′＝AP＝3，∠AP′P＝60°，
易证△PP′C为直角三角形，且∠PP′C＝90°，
∴∠APB＝∠AP′C＝∠AP′P+∠PP′C＝60°+90°＝150°；
故答案为：150°；
（2）如图2，把△ABE绕点A逆时针旋转90°得到△ACE′，
由旋转的性质得，AE′＝AE，CE′＝BE，∠CAE′＝∠BAE，∠ACE′＝∠B，∠EAE′＝90°，
∵∠EAF＝45°，
∴∠E′AF＝∠CAE′+∠CAF＝∠BAE+∠CAF＝∠BAC﹣∠EAF＝90°﹣45°＝45°，
∴∠EAF＝∠E′AF，
在△EAF和△E′AF中，
∴△EAF≌△E′AF（SAS），
∴E′F＝EF，
∵∠CAB＝90°，AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB＝45°，
∴∠E′CF＝45°+45°＝90°，
由勾股定理得，E′F2＝CE′2+FC2，
即EF2＝BE2+FC2．
（3）如图3，将△AOB绕点B顺时针旋转60°至△A′O′B处，连接OO′，
∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，∠ABC＝30°，
∴AB＝2，
∴BC＝，
∵△AOB绕点B顺时针方向旋转60°，
∴△A′O′B如图所示；
∠A′BC＝∠ABC+60°＝30°+60°＝90°，
∵∠C＝90°，AC＝1，∠ABC＝30°，
∴AB＝2AC＝2，
∵△AOB绕点B顺时针方向旋转60°，得到△A′O′B，
∴A′B＝AB＝2，BO＝BO′，A′O′＝AO，
∴△BOO′是等边三角形，
∴BO＝OO′，∠BOO′＝∠BO′O＝60°，
∵∠AOC＝∠COB＝∠BOA＝120°，
∴∠COB+∠BOO′＝∠BO′A′+∠BOO′＝120°+60°＝180°，
∴C、O、A′、O′四点共线，
在Rt△A′BC中，A′C＝，
∴OA+OB+OC＝A′O′+OO′+OC＝A′C＝．
【点评】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，读懂题目信息，理解利用旋转构造出全等三角形和等边三角形以及直角三角形是解题的关键．
二．旋转对称图形（共1小题）
9．（2022秋•张湾区期中）把图中的交通标志图案绕着它的中心旋转一定角度后与自身重合，则这个旋转角度至少为（ ）
A．30°B．90°C．120°D．180°
【分析】根据图形的对称性，用360°除以3计算即可得解．
【解答】解：∵360°÷3＝120°，
∴旋转的角度是120°的整数倍，
∴旋转的角度至少是120°．
故选：C．
【点评】本题考查了旋转对称图形，仔细观察图形求出旋转角是120°的整数倍是解题的关键．
三．中心对称（共2小题）
10．（2022秋•五台县期中）2022年第19届亚运会在杭州举行，吉祥物为智能小伙伴“江南忆”组合，其中吉祥物“宸宸”深受网民喜爱，结合你所学知识，从下列四个选项中选出能够和“宸宸”（如图）的图片成中心对称的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据中心对称图形的概念求解即可．
【解答】解：A、不是中心对称图形，故此选不符合题意；
B、不是中心对称图形，故此选不符合题意；
C、不是中心对称图形，故此选不符合题意；
D、是中心对称图形，故此选符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
11．（2022秋•五华县期中）如图是北师大版九年级上册数学教材第25页第4题内容的变式，如图，三个边长相同的正方形重叠在一起，O1、O2是其中两个正方形的中心，阴影部分的面积和是8，则正方形的边长为（ ）
A．2B．4C．8D．2
【分析】根据题意作图，连接O1B，O1C，可得△O1BF≌△O1CG，那么可得阴影部分的面积与正方形面积的关系，同理得出另两个正方形的阴影部分面积与正方形面积的关系，从而得出答案．
【解答】解：如图所示，连接O1B、O1C，
∵∠BO1F+∠FO1C＝90°，∠FO1C+∠CO1G＝90°，
∴∠BO1F＝∠CO1G，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠O1BF＝∠O1CG＝45°，
在△O1BF和△O1CG中，
，
∴△O1BF≌△O1CG（ASA），
∴＝，
∴两个正方形重叠阴影部分的面积是S正方形ABCD，
同理，另外两个正方形重叠阴影部分的面积也是S正方形ABCD，
∴阴影部分的面积和＝8＝S正方形ABCD，
∴S正方形ABCD＝16，
∴正方形ABCD的边长＝＝4，
故选：B．
【点评】本题主要考查了正方形的性质及全等三角形的证明，通过构造全等三角形，把阴影部分进行合理转化是解决本题的难点．
四．中心对称图形（共2小题）
12．（2022秋•禹城市期中）下列手机手势解锁图案中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解答】解：A．是轴对称图形，又不是中心对称图形，故本选项不合题意；
B．是中心对称图形，不是轴对称图形，故本选项符合题意；
C．不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不合题意；
D．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意．
故选：B．
【点评】此题考查中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180°后与原图重合．
13．（2022春•怀仁市期中）数学世界中充满了许多美妙的几何图形，等待着你去发现，如遇是张老师用几何画板画出的四个图形，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．①勾股树B．②分形树
C．③谢尔宾斯三角形D．④雪花
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
【解答】解：①既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
②③是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
④既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
五．关于原点对称的点的坐标（共8小题）
14．（2022秋•黄石期中）若点A（x，﹣2）与B（6，y）关于原点对称，则x+y的值为（ ）
A．﹣4B．4C．﹣8D．8
【分析】根据两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P（x，y）关于原点O的对称点是P′（﹣x，﹣y），进而得出答案．
【解答】解：∵点A（x，﹣2）与B（6，y）关于原点对称，
∴x＝﹣6，y＝2，
∴x+y＝﹣6+2＝﹣4．
故选：A．
【点评】此题主要考查了关于原点对称点的性质，正确记忆横纵坐标的符号关系是解题关键．
15．（2022春•雁塔区校级期中）在平面直角坐标系中，点A（2，m）与点B（n，3）关于原点对称，则（ ）
A．m＝3，n＝2B．m＝﹣3，n＝﹣2C．m＝3，n＝﹣2D．m＝﹣3，n＝2
【分析】直接利用关于原点对称点的性质求出m，n的值，进而得出答案．两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P（x，y）关于原点O的对称点是P′（﹣x，﹣y）．
【解答】解：∵点A（2，m）与点B（n，3）关于原点对称，
∴m＝﹣3，n＝﹣2，
故选：B．
【点评】此题主要考查了关于原点对称点的性质，正确记忆横纵坐标的符号关系是解题关键．
16．（2022秋•滨海新区期中）在直角坐标系中，点A（﹣7，1）关于原点对称的点的坐标是 （7，﹣1） ．
【分析】直接利用关于原点对称点的性质得出答案．两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反．
【解答】解：在直角坐标系中，点A（﹣7，1）关于原点对称的点的坐标是（7，﹣1）．
故答案为：（7，﹣1）．
【点评】此题主要考查了关于原点对称点的性质，正确记忆横纵坐标的符号关系是解题关键．
17．（2022秋•黄骅市校级期中）若点P（a﹣1，5）与点Q（5，1﹣b）关于原点成中心对称，则a+b＝ 2 ．
【分析】首先根据点P（a﹣1，5）与点Q（5，1﹣b）关于原点成中心对称，可得a﹣1＝﹣5，1﹣b＝﹣5，然后把a、b的值代入，求出a+b的值为多少即可．
【解答】解：∵点P（a﹣1，5）与点Q（5，1﹣b）关于原点成中心对称，
∴a﹣1＝﹣5，1﹣b＝﹣5，
解得a＝﹣4，b＝6，
∴a+b＝﹣4+6＝2．
故答案为：2．
【点评】此题主要考查了关于原点对称的点的坐标，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P（x，y）关于原点O的对称点是P′（﹣x，﹣y）．
18．（2022秋•朝阳区校级期中）在平面直角坐标系xOy中，点（4，﹣7）关于原点的对称点坐标为 （﹣4，7） ．
【分析】利用关于原点对称点的坐标特点可得答案．
【解答】解：在平面直角坐标系xOy中，点（4，﹣7）关于原点的对称点坐标为（﹣4，7），
故答案为：（﹣4，7）．
【点评】此题主要考查了关于原点对称点的坐标，关键是掌握两个点关于原点对称时，它们的横坐标互为相反数、纵坐标互为相反数
19．（2022秋•松原期中）在平面直角坐标系中，点P（2，﹣3）与点Q（m，n+1）关于原点对称，则m﹣n＝ ﹣4 ．
【分析】根据关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数，可得答案．
【解答】解：由点P（2，﹣3）与点Q（m，n+1）关于原点对称，得：
m＝﹣2，n+1＝3，
所以n＝2．
则m﹣n＝﹣2﹣2＝﹣4，
故答案为：﹣4．
【点评】本题考查了关于原点对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．
20．（2022秋•平原县期中）若点P（m﹣1，3）与点Q（3，2﹣n）关于原点成中心对称，则m+n的值是 3 ．
【分析】根据关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数，可得答案．
【解答】解：∵点P（m﹣1，3）与点Q（3，2﹣n）关于原点成中心对称，
∴m﹣1＝﹣3，2﹣n＝﹣3，
解得：m＝﹣2，n＝5，
则m+n＝﹣2+5＝3．
故答案为：3．
【点评】本题考查了关于原点对称的点的坐标，关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数．
21．（2022秋•濮阳县期中）直角坐标系中，已知点A（3，2），作点A关于y轴对称点A1，点A1关于原点对称点A2，点A2关于x轴对称点A3，点A3关于y轴对称点A4，点A4关于原点对称点A5…，按此规律，则点A2020的坐标为 （﹣3，2） ．
【分析】根据各点坐标找出规律，进而可得出结论．
【解答】解：∵点A（3，2），
∴点A关于y轴的对称点为A1是（﹣3，2）；
点A1关于原点的对称点为A2是（3，﹣2）；
点A2关于x轴的对称点为A3是（3，2），显然此为一循环，
……
按此规律，2020÷3＝673…1，
∴点A2020的坐标是（﹣3，2）．
故答案为：（﹣3，2）．
【点评】本题考查的是点的坐标，熟知两个点关于x轴对称，则横坐标不变，纵坐标互为相反数；两个点关于y轴对称，则横坐标互为相反数，纵坐标不变；两个点关于原点对称，则横坐标、纵坐标都是互为相反数是解答此题的关键．
六．坐标与图形变化-旋转（共4小题）
22．（2022秋•巧家县期中）将平面内一点P（﹣4，0）绕原点顺时针旋转120°，得到点P′，则P′到x轴的距离为（ ）
A．2B．2C．4D．4
【分析】过点P′作P′A⊥x轴，垂足为A，根据题意可得：∠POP′＝120°，从而利用平角定义可得∠P′OA＝60°，再利用旋转的性质可得：OP＝OP′＝4，然后在Rt△OP′A中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答．
【解答】解：过点P′作P′A⊥x轴，垂足为A，
由题意得：
∠POP′＝120°，
∴∠P′OA＝180°﹣∠POP′＝60°，
∵P（﹣4，0），
∴OP＝4，
由旋转得：OP＝OP′＝4，
在Rt△OP′A中，P′A＝OP′•sin60°＝4×＝2，
∴P′到x轴的距离为2，
故选：B．
【点评】本题考查了坐标与图形变化﹣旋转，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
23．（2022秋•兰山区校级期中）如图，将△ABC绕点C（0，2）旋转180°得到△A′B′C，设点A的坐标为（a，b），则点A′的坐标为（ ）
A．（﹣a，﹣b﹣2）B．（﹣a，﹣b+2）C．（﹣a，﹣b+3）D．（﹣a，﹣b+4）
【分析】利用中点坐标公式，进行计算即可解答．
【解答】解：设点A′的坐标为（m，n），
∵△ABC绕点C（0，2）旋转180°得到△A′B′C，
∴点A（a，b）与点A′关于点C（0，2）对称，
∴＝0，＝2，
∴m＝﹣a，n＝4﹣b，
∴点A′的坐标为（﹣a，4﹣b），
故选：D．
【点评】本题考查了坐标与图形变化﹣旋转，熟练掌握中点坐标公式是解题的关键．
24．（2022秋•汝南县期中）如图，△ABC的顶点A，B分别在x轴，y轴上，∠ABC＝90°，OA＝OB＝1，BC＝2，将△ABC绕点O顺时针旋转，每次旋转90°，则第2022次旋转结束时，点C的坐标为 （﹣2，﹣3） ．
【分析】探究规律，利用规律解决问题即可．
【解答】解：由题意C（2，3），
第一次旋转得到的坐标为（3，﹣2），
第二次旋转得到的坐标为（﹣2，﹣3），
第三次旋转得到的坐标为（﹣3，2），
第四次旋转得到的坐标为（2，3），
•••，
四次一个循环，
∵2022÷4＝505•••2，
∴则第2022次旋转结束时，点C的坐标为（﹣2，﹣3），
故答案为：（﹣2，﹣3）．
【点评】本题考查图形的旋转，通过旋转角度找到旋转规律，从而确定第2022次旋转后矩形的位置是解题的关键．
25．（2022秋•拜泉县校级期中）如图，直线y＝﹣x+3与x轴、y轴分别交于A、B两点，把△AOB绕点A旋转90°后得到△AO′B′，则点B′的坐标是 （﹣1，﹣2）或（5，2） ．
【分析】根据直线解析式求出点A、B的坐标，从而得到OA、OB的长度，再根据旋转性质可得△AOB≌△AO′B′，根据全等三角形对应边相等可得AO′、O′B′的长度，然后分顺时针旋转与逆时针旋转两种情况解答．
【解答】解：当y＝0时，﹣x+3＝0，解得x＝2，
当x＝0时，y＝3，
所以，点A（2，0），B（0，3），
所以，OA＝2，OB＝3，
根据旋转不变性可得△AOB≌△AO′B′，
∴AO′＝OA＝2，O′B′＝OB＝3，
①如果△AOB是逆时针旋转90°，则点B′（﹣1，﹣2），
②如果△AOB是顺时针旋转90°，则点B′（5，2），
综上，点B′的坐标是（﹣1，﹣2）或（5，2）．
故答案为：（﹣1，﹣2）或（5，2）．
【点评】本题考查了坐标与图形的变化﹣旋转，根据旋转变换只改变图形的位置不改变图形的性质与大小求解是解题的关键，注意要分顺时针旋转与逆时针旋转两种情况解答．
七．作图-旋转变换（共3小题）
26．（2022秋•朝阳区校级期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（3，3），B（4，0），C（0，﹣1）．
（1）以点C为旋转中心，把△ABC逆时针旋转90°，画出旋转后的△A'B'C；
（2）在（1）的条件下，
①点A经过的路径AA'的长度为 （结果保留π）；
②点B'的坐标为 （﹣1，3） ．
【分析】（1）根据旋转的定义作出点A、B绕点C逆时针旋转90°得到的对应点，再顺次连接可得；
（2）①根据弧长公式列式计算即可；②根据（1）中所作图形可得点B'的坐标．
【解答】解：（1）如图所示，△A′B′C即为所求；
（2）①∵AC＝＝5，∠ACA′＝90°，
∴点A经过的路径的长为＝，
故答案为：；
②由图知点B′的坐标为（﹣1，3），
故答案为：（﹣1，3）．
【点评】本题主要考查作图﹣旋转变换，解题的关键是根据旋转角度、旋转方向、旋转中心作出对应点．
27．（2022秋•天河区校级期中）如图所示的正方形网格中，△ABC的顶点均在格点上，请在所给直角坐标系中按要求画图
（1）以A点为旋转中心，将△ABC绕点A顺时针旋转90°得△AB1C1，画出△AB1C1；
（2）作出△ABC关于坐标原点O成中心对称的△A2B2C2．
【分析】（1）依据△ABC绕点A顺时针旋转90°，即可得到△AB1C1；
（2）依据中心对称的性质进行作图，即可得到△ABC关于坐标原点O成中心对称的△A2B2C2．
【解答】解：（1）△AB1C1如图所示；
（2）△A2B2C2如图所示．
【点评】本题主要考查了利用旋转变换进行作图，解题时注意：旋转作图有自己独特的特点，决定图形位置的因素有旋转角度、旋转方向、旋转中心，任意不同，位置就不同，但得到的图形全等．
28．（2022秋•浦江县月考）在平面直角坐标系中，△ABC的位置如图所示（每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形）
（1）①若△ABC和△A1B1C1关于原点O成中心对称，画出△A1B1C1；
②将△ABC绕着点A顺时针旋转90°，画出旋转后得到的△AB2C2；
（2）在x轴上找一点P，使PB1+PC1最小，此时PB1+PC1的值为 ．
【分析】（1）①根据关于原点中心对称的点的坐标特征写出点A1、B1、C1的坐标，从而得到△A1B1C1；
②利用网格特点和旋转的性质画出点B、C的对应点B2、C2，从而得到△AB2C2；
（2）作C1点关于x轴的对称点C′，连接B1C′交x轴于P点，则PC1＝PC′，则PB1+PC1＝PB1+PC′＝B1C′，利用两点之间线段最短可得到此时PB1+PC1的值最小值，然后利用勾股定理计算出B1C′即可．
【解答】解：（1）①如图，△A1B1C1所作；
②如图，△AB2C2为所作；
（2）如图，作C1点关于x轴的对称点C′，连接B1C′交x轴于P点，连接PC1，
则PC1＝PC′，PB1+PC1＝PB1+PC′＝B1C′＝＝，
所以PB1+PC1的最小值为．
故答案为：．
【点评】本题考查了作图﹣旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．
八．几何变换的类型（共2小题）
29．（2022秋•栾城区期中）如图，将三角尺直立举起靠近墙面，打开手机手电筒照射三角尺，在墙面上形成影子．则三角尺与影子之间属于以下哪种图形变换（ ）
A．平移B．轴对称C．旋转D．位似
【分析】根据位似的定义，即可解决问题．
【解答】解：根据位似的定义可知：三角尺与影子之间属于位似．
故选：D．
【点评】本题考查了生活中位似的现象，解决本题的关键是熟记位似的定义．
30．（2022秋•庆云县期中）在平面直角坐标系中，将图1所示的△ABC按照如图2所示的方式依次进行轴对称变换，若点A坐标是（x，y），则经过第2022次变换后所得的点A2022坐标是 （﹣x，﹣y） ．
【分析】观察图形可知每四次对称为一个循环组依次循环，用2022除以4，然后根据商和余数的情况确定出变换后的点A所在的象限，然后解答即可．
【解答】解：∵点A第一次关于x轴对称后在第四象限，
第二次关于y轴对称后在第三象限，
第三次关于x轴对称后在第二象限，
第四次关于y轴对称后在第一象限，即点A回到原始位置，
∴每4次对称为一个循环组依次循环，
∵2022÷4＝505…2，
∴经过第2022次变换后所得的点A2022与第二次变换的位置相同，在第三象限，点A2022坐标为（﹣x，﹣y），
故答案为：（﹣x，﹣y）．
【点评】本题考查了轴对称变换，点的坐标变换规律，读懂题目信息，观察出每四次对称为一个循环组依次循环是解题的关键，也是本题的难点．
相关试卷
猜题04 图形的相似（易错必刷30题8种题型专项训练）-九年级上学期数学期末考点大串讲（北师大版）： 这是一份猜题04 图形的相似（易错必刷30题8种题型专项训练）-九年级上学期数学期末考点大串讲（北师大版），文件包含猜题04图形的相似易错必刷30题8种题型专项训练原卷版docx、猜题04图形的相似易错必刷30题8种题型专项训练解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共33页， 欢迎下载使用。
猜题03 概率、投影和视图（易错必刷30题7种题型专项训练）-九年级上学期数学期末考点大串讲（北师大版）： 这是一份猜题03 概率、投影和视图（易错必刷30题7种题型专项训练）-九年级上学期数学期末考点大串讲（北师大版），文件包含猜题03概率投影和视图易错必刷30题7种题型专项训练原卷版docx、猜题03概率投影和视图易错必刷30题7种题型专项训练解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共24页， 欢迎下载使用。
猜想06 反比例函数（易错必刷30题6种题型专项训练）-九年级上学期数学期末考点大串讲（人教版）： 这是一份猜想06 反比例函数（易错必刷30题6种题型专项训练）-九年级上学期数学期末考点大串讲（人教版），文件包含猜想06反比例函数易错必刷30题6种题型专项训练原卷版docx、猜想06反比例函数易错必刷30题6种题型专项训练解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共49页， 欢迎下载使用。
