天津市新四区示范校2022-2023学年高一下学期期末联考数学试题(含答案)

这是一份天津市新四区示范校2022-2023学年高一下学期期末联考数学试题(含答案)，共4页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1、在复平面内,复数,对应的向量分别是,,则复数对应的点位于( )
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
2、复数z满足,i为虚数单位,则复数z的虚部为( )
A.B.C.D.
3、某校为了解高三年级学生在线学习情况,统计了2020年4月18日～27日（共10天）学生在线学习人数及其增长比例数据,并制成如图所示的条形图与折线图的组合图.
根据组合图判断,下列结论正确的是( )
A.这10天学生在线学习人数的增长比例在逐日减小
B.前5天在线学习人数的方差大于后5天在线学习人数的方差
C.这10天学生在线学习人数在逐日增加
D.前5天在线学习人数增长比例的极差大于后5天在线学习人数增长比例的极差
4、下列命题中是真命题的是( )
A.一组数据2，1，4，3，5，3的平均数、众数、中位数相同；
B.有A、B、C三种个体按的比例分层抽样调查，如果抽取的A个体数为9，则样本容量为30
C.若甲组数据的方差为5，乙组数据为5，6，9，10，5，则这两组数据中较稳定的是甲；
D.一组数1，2，2，2，3，3，3，4，5，6的分位数为4.
5、端午节是我国传统节日，甲，乙，丙3人端午节来徐州旅游的概率分别是，，，假定3人的行动相互之间没有影响，那么这段时间内至少有1人来徐州旅游的概率为( )
A.B.C.D.
6、下列叙述正确的是( )
A.随着试验次数的增加，概率一般会越来越接近一个数值
B.若随机事件A发生的概率为，则
C.口袋里有两个白色乒乓球一个黄色乒乓球，除颜色外完全相同.任取两个球，则一黄一白与两白的概率相同.
D.事件A与事件B相互独立，则
7、设a，b，c分别是的内角A，B，C的对边，已知，设D是BC边的中点，且的面积为1，则等于( )
A.2B.C.D.
8、已知三个不共线的向量，，，满足，则O为的( )
A.内心B.外心C.重心D.垂心
9、已知向量,满足,若,则的最小值为( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
10、设m，n是两条不同的直线，，是两个不同的平面，给出下列四个命题：①若，则；②若，则；③若，，，则；④若，，，，，则.其中真命题的个数是( )
A.1B.2C.3D.4
11、如图，已知正方体的棱长为2，M，N分别为，CD的中点.有下列结论：
①三棱锥在平面上的正投影图为等腰三角形；
②直线平面；
③在棱BC上存在一点E，使得平面平面MNB；
④若F为棱AB的中点，且三棱锥的各顶点均在同一球面上，则该球的体积为.
其中正确结论的个数是( )
A.0B.1C.2D.3
12、在棱长为2的正方体中，点M是对角线上的点（点M与A、不重合），则下列结论正确的个数为( )
①存在点M，使得平面平面；
②存在点M，使得平面；
③若的面积为S，则；
④若、分别是在平面与平面的正投影的面积，则存在点M，使得.
A.1个B.2个C.3个D.4个
三、填空题
13、已知复数z在复平面内对应的点在射线上，且，则复数的虚部为__________.
14、两个实习生每人加工一个零件，加工为一等品的概率分别为和，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为__________.
15、有6个相同的球,分别标有数字1,2,3,4,5,6.从中有放回的随机取两次,每次取1个球,A表示事件“第一次取出的球的数字是1”,B表示事件“第二次取出的球的数字是2”.C表示事件“两次取出的球的数字之和是8”,D表示事件“两次取出的球的数字之和是7”,则下列命题正确的序号有_____________.
①A与C互斥;②;③A与D相互独立;④B与C相互独立.
16、某学校有男生400人，女生600人.为了调查该校全体学生每天睡眠时间，采用分层抽样的方法抽取样本，计算得男生每天睡眠时间均值为7.5小时，方差为1，女生每天睡眠时间为7小时，方差为0.5.若男、女样本量按比例分配，则可估计总体方差为__________.
17、已知平面向量,,满足,,,,则的最大值为______________.
四、解答题
18、已知i是虚数单位,复数z的共轭复数是,且满足.
（1）求复数z的模;
（2）若复数在复平面内对应的点在第一象限,求实数m的取值范围.
19、已知向量，，，且，.
（1）求向量、；
（2）若，，求向量，的夹角的大小.
20、一名学生骑自行车上学，从他家到学校的途中有5个交通岗，假设他在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是.求：
（1）这名学生只在前2个交通岗遇到红灯的概率；
（2）这名学生在首次停车前经过了3个路口的概率；
（3）这名学生至少遇到1次红灯的概率.
21、如图所示，正四棱锥中，O为底面正方形的中心，侧棱PA与底面ABCD所成的角的正切值为.
（1）求侧面PAD与底面ABCD所成的二面角的大小；
（2）若E是PB的中点，求异面直线PD与AE所成角的正切值；
（3）在（2）的条件下，问在棱AD上是否存在一点F，使侧面PBC，若存在，试确定点F的位置；若不存在，说明理由.
22、在中，D是BC的中点，，，.
（1）求的面积.
（2）若E为BC上一点，且，求值.
参考答案
1、答案：B
解析：因复数,对应的向量分别是,,则,,,
于是得,
所以复数对应的点位于第二象限.
故选：B.
2、答案：D
解析：因为,所以,所以,
即,所以复数的虚部为：.
故选：D.
3、答案：C
解析：对于A,由折线图很明显,23-24的增长比例在下降,故A错误;
对于B,由柱状图可得前5天学习人数的变化幅度明显比后5天的小,故方差也小,故B错误;
对于C,由柱状图,可得学习人数在逐日增加,故C正确;
对于D,前5天增长比例的极差小于后5天增长比例的极差,故D错误,
故选：C.
4、答案：A
解析：对于A：平均数为，众数为3，中位数为，故A正确；
对于B：设样本容量为n，则，解得，故B错误；
对于C：乙组数据平均数为，其方差为，则这两组数据中较稳定的是乙，故C错误；
对于D：因为，所以这组数据的分位数为，故D错误；故选：A
5、答案：D
解析：由题意可得3人中没有人来徐州旅游的概率为，
所以这段时间内至少有1人来徐州旅游的概率为：.
故选：D.
6、答案：D
解析：A选项，随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近一个数值，
概率是固定值，所以A选项错误.
B选项，随机事件A发生的概率满足，
所以B选项错误.
C选项，白乒乓球记为1，2，黄乒乓球记为3，
任取2个，基本事件为，，，
一黄一白的概率为，两白的概率为，所以C选项错误.
D选项，事件A与事件B相互独立，
则
，所以D选项正确.
故选：D
7、答案：B
解析：，
由正弦定理可得：，整理可得：，
由余弦定理可得：，由，可得：，
又ABC的面积为1，即，
又
故选：B
8、答案：A
解析：如图所示，在AB上取点D，在CA延长线上取点E，使得，，
可得，以AD，AE为邻边作平行四边形ADFE，
则，
因为，所以平行四边形ADFE是菱形，所以，
过点A作DE的平行线AG交BC于点G，
因为，即，所以，所以点O在AG上，
因为，所以，
由菱形的性质可得，所以，
所以AG为的角平分线，所以O在的角平分线上，
同理可得：O在的角平分线上，故O在的角平分线上，
所以O为的内心.
故选：A.
9、答案：D
解析：建立如图所示直角坐标系,其中,,
则令,,
设,则,
,,
,
问题等价于当点M在线段上运动时,求的最小值,
设点关于的对称点为,
则,解得,
,
当且仅当M为直线OD与线段AB的交点时取得最小值.
这时由,得,符合题意.
故选：D.
10、答案：C
解析：①若，则，命题为真命题；
②若，则或，所以命题为假命题；
③若，所以，又因为，则，所以命题为真命题；
④若，，，，，则，命题为真命题.
故选：C.
11、答案：D
解析：对于①，设的中点为，连接，，，
如图，
M为的中点，，
又平面，平面，
点，M在平面上的正投影分别为，，
且点，N在平面上的正投影分别为其本身，
三棱锥在平面上的正投影图为，
又，
即为等腰三角形，①正确；
对于②，以点D为原点，分别以DA，DC，所在直线为x，y，z轴，
建立空间直角坐标系，如图，
则，，，，，，，
，，，，
，，即，
，，即，
又，平面，平面，
平面，
即是平面的一个法向量，
而，
与不垂直，MN不与平面平行，②错误；
对于③，如图
设BC的中点为E，连接AE，由②知，，
，，
，，即，
，，即，
又，平面MNB，平面MNB，
平面MNB，又平面，平面平面MNB，③正确；
对于④，如图，
若F为棱AB的中点，又N为棱CD的中点，，
平面，平面，
平面，，
又，和有公共的斜边MN，
设MN的中点为O，则点O到M，N，B，F的距离相等，
为三棱锥外接球的球心，MN为该球的直径，
，，
该球的体积为，④正确.
综上所述，正确的结论为①③④.
故选：D.
12、答案：C
解析：连接，，
设平面与对角线交于M，由，可得平面，即平面，所以存在点M，使得平面平面，所以①正确；
连接BD，，
由，，利用平面与平面平行的判定，可证得平面平面，设平面与交于M，可得平面，所以②正确；
连接交于点O，过O点作，
在正方体中，平面，所以，所以OM为异面直线与的公垂线，根据，所以，即，
所以的最小面积为，
所以若的面积为S，则，所以③不正确；
在点M从的中点向着点A运动的过程中，从1减少趋向于0，即，从0增大到趋向于2，即，在此过程中，必存在某个点M使得，所以④是正确的，
综上可得①②④是正确的，故选：C
13、答案：-2
解析：设复数z在复平面内对应的点为,，
所以,得，
所以,那么，
所以的虚部是-2.
故答案为：-2.
14、答案：
解析：两个零件中恰有一个一等品的概率为
故答案为：
15、答案： ①③
解析：因为A与C不可能同时发生,所以A与C互斥,故①正确;
C包含：,,,,,共5个基本事件,D包含：,,,,,,共6个基本事件,
故,,,,
则,故③正确;
,故④错误;
,故②错误;
故答案为：①③.
16、答案：0.76
解析：由题意，总体的均值为，
根据分层抽样的性质，则总体的方差为.
故答案为：0.76.
17、答案：
解析：设,,,则.
因为,即,所以,
因此,所以,
以O为坐标原点,的方向为x轴的正方向,建立平面直角坐标系,如下：
设,,则,
因为,所以,
即,因此点C在以,半径为的圆上运动,
所以,
又因为
,
所以由得的最大值为
故答案为：.
18、答案：(1).
(2).
解析：（1）设复数,则,
于是,即,
所以,解得,故.
（2）由（1）得,
由于复数在复平面内对应的点在第一象限,
所以,解得.
19、答案：（1），
（2）
（1）因为，，，且，，
所以，，
所以，，
所以，；
（2）设向量，的夹角的大小为.
由题意可得，，，
所以，
因为，所以.
20、答案：（1）
（2）
（3）
解析：（1）由题该学生碰见绿灯的概率为，该学生前两次遇到红灯，后三次遇到绿灯.
设“这名学生只在前两个交通岗遇到红灯”为事件A，
则.
（2）由题该学生前三次均遇到绿灯，第四次红灯，第五次对概率无影响.
设“这名学生在首次停车前经过了3个路口”为事件B.
则.
（3）设“这名学生至少遇到1次红灯”为事件C.
其对立事件为该学生五次都遇到了绿灯.
则.
21、答案：（1）
（2）
（3）存在，F是AD的4等分点，靠近A点的位置
解析：（1）取AD的中点M，连接OM、PM，
由正四棱锥的性质可知平面ABCD，平面ABCD，则，
依条件可知，则为所求二面角的平面角.
面ABCD，则为侧棱PA与底面ABCD所成的角，则，设，则，所以，，
则，因为，故.
（2）连接AE、OE，
所以，为异面直线PD与AE所成的角.
平面ABCD，平面ABCD，则，
，，平面PBD，
又平面PBD，.
，所以，.
（3）延长MO交BC于N，则N为BC的中点，取PN的中点G，连接EG、MG.
因为，N为BC的中点，则，同理可得，
，故平面PMN，
平面PBC，平面平面PBC，
又，，
所以，为正三角形，G为PN的中点，则，
又因为平面平面，平面平面，平面PMN，
所以，平面PBC，
取AM的中点F，连接EF，
G、E分别为PN、PB的中点，则且，
因为且，M、N分别为AD、BC的中点，则且，
F为AM的中点，则且，故且，
所以，四边形EFMG为平行四边形，则，故平面PBC.
因此，F是AD的4等分点，靠近A点的位置.
22、答案：（1）
（2）
解析：（1）由，可得：.
即：.
求得，.
所以，.
（2）因为，所以
又因为B，C，E三点共线，
所以，解得.