第03讲 圆中的切线问题及圆系方程（高阶拓展）（2类核心考点精讲精练）-备战2024年高考数学一轮复习（新教材新高考）

这是一份第03讲 圆中的切线问题及圆系方程（高阶拓展）（2类核心考点精讲精练）-备战2024年高考数学一轮复习（新教材新高考），共4页。试卷主要包含了 4年真题考点分布， 命题规律及备考策略， 过圆外一点引圆的切线长度等内容，欢迎下载使用。

1. 4年真题考点分布
2. 命题规律及备考策略
【命题规律】本节内容是新高考卷的选考内容，设题不定，难度中等，分值为5分
【备考策略】1.熟练掌握圆中切线问题的快速求解
2.熟练掌握圆系方程的快速求解
【命题预测】本节内容是新高考卷的拓展内容，需要大家掌握二级结论来快速解题，需强化练习
知识讲解
一、圆中切线问题
已知圆方程为:,
若已知切点在圆上,则切线只有一条,其方程是:
已知圆方程为:,
若已知切点在圆上,则该圆过点的切线方程为;
已知圆方程为圆:.
(1)过圆上的点的切线方程为.
(2)过圆外一点作圆的两条切线,则切点弦方程为.
4. 过圆外一点引圆(标准方程,一般方程)的切线长度
一般方程(标准方程)
二、常见的圆系方程
1、同心圆圆系
(1)以为圆心的同心圆圆系方程:;
(2)与圆同心圆的圆系方程为:;
2、过线圆交点的圆系
过直线与圆交点的圆系方程为:
;
3、过两圆交点的圆系
过两圆
交点的圆系方程为,此圆系不含)
(1)特别地,当时,上述方程为一次方程,两圆相交时,表示公共弦方程;两圆相切时,表示公切线方程.
(2)为了避免利用上述圆系方程时讨论圆过,可等价转化为过圆和两圆公共弦所在直线交点的圆系方程:
考点一、圆中切线问题
1．（2023秋·浙江·高三校联考阶段练习）过圆上点的切线方程为 ．
【答案】
【分析】由圆的切线性质求出切线斜率，利用点斜式方程即可得.
【详解】由题知，，则切线斜率，
所以切线方程为，整理为．
故答案为：
2．（2023·江苏·高三专题练习）过点引圆切线，则切线长是 .
【答案】3
【分析】根据切线的垂直关系即可由勾股定理求解.
【详解】把圆的方程化为标准方程得：，
得到圆心坐标为，圆的半径，
，
切线长是，
故答案为：3
3．（2023秋·安徽宣城·高三统考期末）过点作圆的两条切线，切点分别为A、B，则直线AB方程是 .
【答案】
【分析】求出以 为直径的圆的方程, 将两圆的方程相减, 即可求解.
【详解】圆 的圆心为 , 半径为 2，
以 为直径的圆的方程为 ,
将两圆的方程相减可得公共弦所在直线的方程 .
故答案为: .
4．（2023春·湖北·高三统考阶段练习）过直线上一点作圆的两条切线，切点分别为，，则的最小值为 .
【答案】/
【分析】设，利用与圆的关系，得到，，进而得到点均在以为直径的圆上，进而得到圆的方程，则直线为两圆的公共弦，进而可求出直线以及该直线所过的定点，即可求得的最小值
【详解】设，则有①，
又由圆的圆心为，直线，是圆的两条切线，为切点，则，，
则点均在以为直径的圆上，设的中点为，
则圆的方程为，
化简得；
直线即为两圆的公共弦，所以对于和，
两式相减可得直线的方程为，
由①可得，，整理得，
由得
故直线过定点，
因为，说明在圆内，
当时，此时最小，为
故答案为：
5．（2023秋·湖北·高三校联考开学考试）已知过点作圆的切线，则切线长为 .
【答案】
【分析】根据题意，利用圆的切线长公式，即可求解.
【详解】由圆，可得圆心，半径，
设切点为，因为，可得，
所以切线长为.
故答案为：.
6．（2023·全国·高三专题练习）已知圆：，为过的圆的切线，为上任一点，过作圆：的切线，则切线长的最小值是 .
【答案】
【分析】先求得的方程，再根据圆心到切线的距离，半径和切线长的勾股定理求最小值即可
【详解】由题，直线的斜率为，故直线的斜率为，故的方程为，即.又到的距离，故切线长的最小值是
故答案为：
1．（2023秋·四川成都·高三成都外国语学校校考期末）已知直线是圆在点处的切线，则直线的方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】设出切线方程，对斜率k是否存在进行讨论，利用圆心到直线的距离等于半径即可求解.
【详解】当直线的斜率不存在时，直线l：，此时，圆心到直线的距离为3<5,不合题意；
当直线的斜率存在时，可设直线l：，
因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径，
即，解得：，
所以直线l：，即.
故选：D
【点睛】求圆的切线方程的思路通常有两种:
（1）几何法:用圆心到直线的距离等于半径；
（2）代数法:直线方程与圆的方程联立,利用Δ=0．
2．（2023秋·河北张家口·高三统考期末）过点作圆的切线，则切线方程为（ ）
A．B．
C．D．或
【答案】C
【分析】由题意可得点在圆上，根据切线的性质求切线斜率，进而求切线方程.
【详解】由题意可知：圆的圆心，半径，
∵，
∴点在圆上，
又∵，则切线的斜率，
∴切线方程为，即.
故选：C.
3．（2023·全国·高三专题练习）过点作圆C：的两条切线，切点分别为A，B，则直线的方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据题意，可知圆的圆心为，半径，由切线长公式求出的长，进而可得以为圆心，为半径为圆，则为两圆的公共弦所在的直线，联立两个圆的方程，两方程作差后计算可得答案．
【详解】根据题意，可知圆的圆心为，半径，
过点作圆的两条切线，设切点分别为、，
而，则，
则以为圆心，为半径为圆为，即圆，
所以为两圆的公共弦所在的直线，则有，
作差变形可得：；
即直线的方程为.
故选：B.
4．（2023·全国·高三专题练习）已知点在直线上，过点作圆的两条切线，切点分别为，则圆心到直线的距离的最大值为（ ）
A．B．C．1D．
【答案】B
【分析】根据题意，设为直线上的一点，由圆的切线的性质得点在以为直径的圆上，求出该圆的方程，与圆C的方程联立可得直线的方程，将其变形分析可得直线恒过的定点，由点到直线的距离分析可得答案．
【详解】由题意可得的圆心到直线的距离为，
即与圆相离；
设为直线上的一点，则，
过点P作圆的切线，切点分别为，则有，
则点在以为直径的圆上，
以为直径的圆的圆心为 ，半径为，
则其方程为，变形可得 ，
联立，可得：，
又由，则有 ，
变形可得 ，
则有，可得，故直线恒过定点，
设，由于，故点在内，
则时，C到直线的距离最大，
其最大值为,
故选∶B
考点二、圆系方程
1．（2023秋·河南南阳·高三南阳中学校考阶段练习）经过直线与圆的两个交点，且面积最小的圆的方程是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】当所求圆的直径就是已知圆与直线相交的弦时，所求圆的面积最小.由已知圆可得圆心半径，可得弦长，再求出过圆心且垂直于已知直线的直线方程，解方程组可得圆心，可得圆的方程．
【详解】由题可知，当所求圆的直径就是已知圆与直线相交的弦时，所求圆的面积最小.
圆配方可得，
圆心坐标为，半径为2，
弦心距，弦长为，
过圆的圆心和直线垂直的直线方程为，即．
最小的圆的圆心为与直线的交点，解方程组可得，，
所求面积最小的圆方程为：，
故选：C．
2．（2022·全国·高三专题练习）圆心在直线x﹣y﹣4＝0上，且经过两圆x2+y2﹣4x﹣3＝0，x2+y2﹣4y﹣3＝0的交点的圆的方程为（ ）
A．x2+y2﹣6x+2y﹣3＝0B．x2+y2+6x+2y﹣3＝0
C．x2+y2﹣6x﹣2y﹣3＝0D．x2+y2+6x﹣2y﹣3＝0
【答案】A
【分析】求出两个圆的交点，再求出中垂线方程，然后求出圆心坐标，求出半径，即可得到圆的方程．
【详解】由解得两圆交点为与
因为，所以线段的垂直平分线斜率；MN中点P坐标为（1，1）
所以垂直平分线为y＝﹣x+2
由
解得x＝3，y＝﹣1，所以圆心O点坐标为（3，﹣1）
所以r
所以所求圆的方程为（x﹣3）2+（y+1）2＝13即：x2+y2﹣6x+2y﹣3＝0
故选：A
3．（2023秋·河南焦作·高三校考阶段练习）已知圆的方程，圆与圆是同心圆且过点，则圆的标准方程为 ．
【答案】
【分析】求出圆心坐标，再求出圆的半径即可.
【详解】依题意，圆的圆心，则半径，
所以圆的标准方程为.
故答案为：
4．（2021秋·江苏泰州·高三校考阶段练习）求满足下列条件的各圆的方程：
（1）圆心为点，且经过点．
（2）经过两点，且圆心C在直线上．
（3）圆心在直线上，且过圆与圆的交点．
【答案】（1）；（2）；（3）
【分析】（1）直接求出半径即可得出方程；
（2）求出直线的中垂线方程，与直线联立可求得圆心坐标，再求出半径即可得出；
（3）联立两圆方程，求出交点坐标，设出圆心，即可建立关系求出.
【详解】（1）可得半径为，
所以所求圆的方程为；
（2）直线的斜率为，中点为，
则直线的中垂线方程为，即，
联立方程组可得，即圆心为，
半径，
故所求圆的方程为；
（3）联立方程组解得或，
即交点坐标为，
因为圆心在直线上，则可设圆心为，则它到两个交点的距离相等，
即，解得，即圆心为，
则半径，
故所求圆的方程为.
5．（2023·全国·高三专题练习）（多选）已知圆和圆相交于两点，下列说法正确的是（ ）
A．所有过点的圆系的方程可以记为（其中，）
B．直线的方程为
C．线段的长为
D．两圆有两条公切线与
【答案】CD
【分析】根据圆系方程的条件，可判定A错误；利用两圆相减，求得公共弦的方程，可判定B错误；利用圆的弦长公式，求得弦长，可判定C正确；根据得到为两圆的公切线，得到关于两圆圆心所在直线对称的直线得到另一条公切线，求得公切线的方程，可判定D正确.
【详解】对于A中，圆系方程（其中，）此时不含圆M，所以A错误．
对于B选项，联立方程组，
两式相减得到直线AB的方程为，所以B错误．
对于C中，原点O到直线AB的距离为，
根据勾股定理得，所以C正确．
对于D中，由圆，可得，
可得圆的圆心坐标为，半径为，
又由圆，可得圆心，半径为，
可得直线与两圆相切，即为两圆的公切线，
则关于两圆圆心所在直线对称的直线即为另一条公切线，
由和，可得两圆心所在直线为，即，
联立方程组，解得，即交点坐标为，
在直线上任取一点，
设点关于直线对称点为，可得，
解得，即对称点的坐标为，
所求的另一条切线过点，，可得其方程为，
故所求切线方程为或，所以D正确.
故选：CD.

1．（2023·高三课时练习）求经过两圆与的交点，且圆心在直线上的圆的方程．
【答案】
【分析】先求两圆交点坐标，再求得圆心和半径，从而求得所求圆的方程..
【详解】由解得或，
设.
设所求圆的圆心为，
由得，即，
解得，所以圆心，半径，
所以所求圆的方程为.
2．（2023·江苏·高三专题练习）已知一个圆经过直线与圆的两个交点，并且有最小面积，则此圆的方程为 .
【答案】
【分析】设出所求圆的方程为，找出此时圆心坐标，当圆心在直线上时，圆的半径最小，可得此时面积最小，把表示出的圆心坐标代入中，得到关于的方程，求出方程的解得到的值，进而确定出所求圆的方程.
【详解】可设圆的方程为,
即,
此时圆心坐标为,
当圆心在直线上时，圆的半径最小，从而面积最小，
,
解得,
则所求圆的方程为，
故答案为.
【点睛】本题主要考查圆的方程和性质，属于难题.求圆的方程常见思路与方法有:①直接设出动点坐标 ，根据题意列出关于的方程即可；②根据几何意义直接找到圆心坐标和半径，写出方程；③待定系数法，可以根据题意设出圆的标准方程或一般式方程，再根据所给条件求出参数即可.
3．（2022·全国·高三专题练习）求经过两圆与的两个交点且半径最小的圆的方程.
【答案】
【分析】根据两圆的方程求出两圆相交弦所在的直线方程，结合待定系数法、圆的几何性质进行求解即可.
【详解】设圆和圆的两个交点为，，则直线的方程为
，
即，设所求圆方程为.
化简得：
则半径最小时，圆心在直线上.
解得.
故所求圆的方程为.
【点睛】本题考查了过两圆交点且半径最小的圆的方程，考查了圆的几何性质，考查了数学运算能力.
4．（2023·吉林长春·高三校考阶段练习）已知两圆和．
（1）求公共弦所在的直线方程；
（2）求公共弦的长度；
（3）求经过原点以及圆和圆交点的圆的方程．
【答案】（1）；（2）；（3）．
【分析】（1）由两圆公共弦的直线方程为两圆方程相减即可得；（2）法一：联立公共弦所在直线方程与其中一圆的方程求得交点坐标，根据两点距离公式即可求公共弦的长度；法二：求其中一圆的圆心到公共弦的距离，它与圆的半径、公共弦的一半的关系：即可求公共弦的长度；（3）设圆的方程为，由它过原点以及圆和圆交点，将点坐标代入求参数，即可得圆的方程.
【详解】（1）将两圆方程相减，有公共弦所在直线方程为．
（2）法一：由（1）有：，代入圆得，有，．
∴或，交点坐标为和．
∴两圆的公共弦长为．
法二：由（1）有两圆相交弦所在直线为，且圆心，
圆心到直线的距离，
设公共弦长为，由勾股定理，得，解得，所以公共弦长．
（3）设经过原点以及圆和圆交点的圆的方程为，
∴结合（1）（2），，得，
∴，
【点睛】本题考查了圆的位置关系，根据两圆相交求公共弦所在直线方程及长度，并求过原点、两圆交点的圆的方程，属于基础题.
【能力提升】
1．（2023·全国·高三专题练习）圆在点处的切线方程为 ．
【答案】
【分析】计算，根据垂直关系得到斜率为，得到切线方程.
【详解】圆的圆心为，即，则，
则切线斜率为，故切线方程为：，
即.
故答案为：
2．（2023秋·吉林长春·高三长春市第二中学校考期末）过点作圆的两条切线，切点分别为A，B，则的直线方程为 .
【答案】
【分析】根据题意以为圆心，为半径作圆，两圆方程作差即可得直线的方程.
【详解】圆的圆心，半径，
方程化为一般式方程为，
则，
以为圆心，为半径作圆，
其方程为，方程化为一般式方程为，
∵，则是圆与圆的交点，
两圆方程作差可得：，
∴直线的方程为.
故答案为：
【点睛】关键点睛：根据两圆相交进行求解是解题的关键.
3．（2023·全国·高三专题练习）过点作圆：的切线，则切线方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】首先将圆的方程化为标准式，即可得到圆心坐标与半径，从而判断点在圆上，再求出，即可得到切线的斜率，最后利用点斜式计算可得.
【详解】圆：，即，圆心为，半径，
又，所以点在圆上，且，
所以切线的斜率，所以切线方程为，即.
故选：C
4．（2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学校考模拟预测）已知圆为圆O上位于第一象限的一点，过点M作圆O的切线l．当l的横纵截距相等时，l的方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】利用过圆上点的切线的性质可得，利用点表示出切线方程，结合l的横纵截距相等，即得解
【详解】由题意，点在第一象限，故过点M的的切线l斜率存在；
点在圆上，故，即
故直线l的方程为：
令令
当l的横纵截距相等时，
又
解得：
即，即
故选：A
5．（2023秋·安徽·高三校联考阶段练习）已知圆在点处的切线上一点在第一象限内，则的最小值为（ ）
A．B．5C．D．9
【答案】C
【分析】利用圆的切线方程及基本不等即可求解．
【详解】易知圆在点处的切线的方程为，
所以，，，
所以，
当且仅当，时，等号成立．
所以的最小值为.
故选：C.
6．（2023·全国·高三专题练习）已知直线与圆，过直线上的任意一点向圆引切线，设切点为，若线段长度的最小值为，则实数的值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】设，则，可得，而的最小值是圆心到直线的距离，然后列方程可求出实数m的值.
【详解】圆，设，
则，则，，
则，所以圆心到直线的距离是，
，得，．
故选：A．
7．（2022秋·全国·高二专题练习）经过直线与圆的两个交点，且面积最小的圆的方程是 ．
【答案】
【分析】由题意可知面积最小的圆是以交点所在线段为直径的圆，求圆心和半径.
【详解】∵圆的方程可化为．
∴圆心坐标为，半径为，∴圆心到直线的距离为．
设直线和圆的交点为，．
则．
∴过点，的最小圆半径为．
联立得，
故，则圆心的横坐标为：，纵坐标为，∴最小圆的圆心为，
∴最小圆的方程为，即．
故答案为：.
【点睛】本题考查直线与圆相交的综合问题，意在考查圆的几何问题和坐标系法解决几何问题的综合问题，属于中档题型.
8．（2023·江苏·高二专题练习）经过直线与圆的交点，且过点的圆的方程为 .
【答案】
【分析】根据题意设出过直线和圆的交点的圆系方程，代入已知点坐标，可求出的值，即可确定所求圆的方程.
【详解】设过已知直线和圆的交点的圆系方程为：
∵所求圆过点
∴
解得
所以圆的方程为，化简得.
故答案为：.
【点睛】本题主要考查求解圆的方程，设出过已知直线和圆的交点的圆系方程是解本题的关键.
9．（上海宝山·高二校考期中）（1）求以为圆心，且与直线相切的圆的方程．
（2）经过直线与圆的两个交点，且面积最小的圆的方程．
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）由点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，可得半径，即可求得圆的方程；
（2）依题意可知，弦长为直径的圆的面积最小，联立直线与圆的方程，利用根与系数的关系求得圆心坐标，由弦长公式求出圆的半径，则圆的方程可求．
【详解】解：（1）∵到直线的距离，
∴以为圆心，且与直线相切的圆的方程为；
（2）设直线与圆的两个交点为，
由得，，，
设中点为，则，，即中点为．
∴．
∴最小圆的方程为．
【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，考查求圆的标准方程．求出圆心坐标和圆的半径得圆的标准方程是求圆方程的基本方法．
10．（2023·江苏·高三专题练习）求经过直线与圆的交点，且经过点的圆的方程．
【答案】
【分析】法一：联立直线与圆的方程求交点，根据三点在圆上，应用待定系数法求圆的方程；法二：设所求圆的方程为，由点在圆上求得，即可得方程.
【详解】法一：解方程组，得或，
∴直线与圆交于点．
设所求圆的方程为()，
将A，B，P的坐标代入，得，解得，满足，
故所求圆的方程为．
法二：设所求圆的方程为，
又在圆上，则，解得，
故所求圆的方程为，即．

【真题感知】
一、单选题
1．（全国·高考真题）过原点的直线与圆相切，若切点在第三象限，则该直线的方程是
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由直线与圆相切可知圆心到直线距离等于半径，构造方程解出斜率；再根据切点在第三象限求得结果.
【详解】易知切线的斜率存在，设切线方程为
圆的方程可化为：，圆心为，半径
，解得：
又切点在第三象限
本题正确选项：
【点睛】本题考查圆的切线方程的求解，关键是明确直线与圆相切时，圆心到直线距离等于半径.
2．（全国·高考真题）圆过点的切线方程是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】先求圆心与切点连线的斜率，再利用切线与连线垂直求得切线的斜率结合点斜式即可求方程.
【详解】由题意知，圆：，圆心在圆上，
，
所以切线的斜率为 ，
所以在点处的切线方程为 ，
即.
故选：D.
3．（山东·高考真题）过点作圆的两条切线，切点分别为，则直线的方程为
A．B．
C．D．
【答案】A
【详解】画图可知直线的斜率为负，其中一个切点为，代入A,D只有A满足.
【考点定位】本题考查直线和圆的位置关系，通过研究过切点的直线方程，考查快速反映能力，是对三维目标之一的情感态度价值观的有力考查．
4．（江苏·高考真题）下列方程是圆的切线方程的是
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】试题分析：已知圆的圆心为，半径为1，圆心只有到直线的距离为1，即此直线与圆相切．故选C．
考点：直线与圆的位置关系．
5．（全国·统考高考真题）已知⊙M：，直线：，为上的动点，过点作⊙M的切线，切点为，当最小时，直线的方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由题意可判断直线与圆相离，根据圆的知识可知，四点共圆，且，根据 可知，当直线时，最小，求出以 为直径的圆的方程，根据圆系的知识即可求出直线的方程．
【详解】圆的方程可化为，点 到直线的距离为，所以直线 与圆相离．
依圆的知识可知，四点四点共圆，且，所以，而 ，
当直线时，， ，此时最小．
∴即 ，由解得， ．
所以以为直径的圆的方程为，即 ，
两圆的方程相减可得：，即为直线的方程．
故选：D.
【点睛】本题主要考查直线与圆，圆与圆的位置关系的应用，以及圆的几何性质的应用，意在考查学生的转化能力和数学运算能力，属于中档题．
6．（湖北·高考真题）由直线上的点向圆作切线，则切线长的最小值为（ ）
A．1B．C．D．3
【答案】B
【分析】先求圆心到直线的距离，此时切线长最小，由勾股定理不难求解切线长的最小值．
【详解】切线长的最小值是当直线上的点与圆心距离最小时取得，
圆心到直线的距离为，
圆的半径为1，
故切线长的最小值为，
故选：B．
【点睛】本题考查圆的切线方程，点到直线的距离，是基础题．
二、填空题
7．（山东·高考真题）过点作圆的两条切线，切点分别为，则= .
【答案】
【详解】如图，连接，在直角三角形中，所以，，，故.

考点：1.直线与圆的位置关系；2.平面向量的数量积.
8．（湖北·高考真题）过原点作圆的两条切线，切点分别为，，则线段的长为 ．
【答案】
【详解】可得圆方程是又由圆的切线性质及在三角形中运用正弦定理得
9．（上海·高考真题）已知圆和圆外一点，过点P作圆的切线，则两条切线夹角的正切值是 ．
【答案】
【分析】根据题意作出示意图，易知圆和轴相切于原点，利用平面几何知识和直角三角形、二倍角公式进行求解.
【详解】易知圆的圆心为，半径，
且该圆和轴相切，切点为原点，连接，设，
则两条切线的夹角为，，，
即两条切线夹角的正切值是.
故答案为：.
10．（辽宁·高考真题）若经过点的直线与圆相切，则此直线在y轴上的截距是 ．
【答案】1.
【分析】先判断出点P在圆上，求出切线斜率，进而求出切线方程，即可求出纵截距.
【详解】把代入圆成立，所以点P在圆上.
设圆的圆心为C，由可得.
所以.
所以经过点的切线的斜率为1，所以切线方程为：.
当时，.
即切线在y轴上的截距是1.
故答案为：1.
4年考情
考题示例
考点分析
关联考点
2023年新I卷，第6题,5分
圆中切线问题
给值求值型问题
余弦定理解三角形
2022年新I卷，第14题,5分
圆的公切线方程
判断圆与圆的位置关系
2021年新I卷，第11题,5分
切线长
直线与圆的位置关系求距离的最值