第08讲 圆锥曲线中的焦点弦、焦半径及定比分点问题（高阶拓展、竞赛适用）（5类核心考点精讲精练）-备战2024年高考数学一轮复习（新教材新高考）

这是一份第08讲 圆锥曲线中的焦点弦、焦半径及定比分点问题（高阶拓展、竞赛适用）（5类核心考点精讲精练）-备战2024年高考数学一轮复习（新教材新高考），共4页。试卷主要包含了 4年真题考点分布， 命题规律及备考策略等内容，欢迎下载使用。

（核心考点精讲精练）
1. 4年真题考点分布
2. 命题规律及备考策略
【命题规律】本节内容是新高考卷的常考内容，设题不定，难度中等或偏难，分值为5-12分
【备考策略】1.理解、掌握圆锥曲线的焦点弦及其相关计算
2.理解、掌握圆锥曲线的焦半径及其相关计算
3.理解、掌握圆锥曲线的定比分点及其相关计算
【命题预测】本节内容是新高考卷的常考内容，小题和大题都会作为载体命题，同学们要会结合公式运算，需强化训练复习
知识讲解
椭圆的斜率式焦点弦长公式
(1)为椭圆的左、右焦点，过(或)斜率为的直线与椭圆交于两点，则
(2)为椭圆的下、上焦点，过(或斜率为的直线与椭圆交于两点，则
双曲线的斜率式焦点弦长公式
(1)F1，F2为双曲线C:x2a2−y2b2=1a>0,b>0的左、右焦点，过F1斜率为k的直线l与双曲线交于A,B两点，则
(1)A，B在同支弦，AB=2ab21+k2a2k2−b2
(2)A，B在异支弦，AB=2ab21+k2b2−a2k2
综合(1)(2)可统一为:AB=2ab21+k2a2k2−b2
(2)F1，F2为双曲线C:y2a2−x2b2=1a>0,b>0的上、下焦点，过F1斜率为k的直线l与双曲线交于A,B两点，则
(1)A，B在同支弦，AB=2ab21+k2a2−b2k2
(2)A，B在异支弦，AB=2ab21+k2b2k2−a2
综合(1)(2)可统一为:AB=2ab21+k2a2−b2k2
椭圆的倾斜角式焦点弦长公式
(1)F1,F2为椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0的左、右焦点，过F1倾斜角为θ的直线l与椭圆C交于A,B两点，则AB=2ab2a2−c2cs2θ=2ep1−e2cs2θ
其中，焦准距（焦点到相应准线的距离）为p=a2c−c=b2c
(2)F1,F2为椭圆C:y2a2+x2b2=1a>b>0的上、下焦点，过F1倾斜角为θ的直线l与椭圆C交于A,B两点，则AB=2ab2a2−c2sin2θ=2ep1−e2sin2θ
其中，焦准距（焦点到相应准线的距离）为p=a2c−c=b2c
特殊情形，对于焦点在x轴上的椭圆，当倾斜角为θ=90∘时，即为椭圆的通径，通径长AB=2ep=2b2a.
双曲线的倾斜角式焦点弦长公式
(1)F1，F2为双曲线C:x2a2−y2b2=1a>0,b>0的左、右焦点，过F1倾斜角为θ的直线l与双曲线交于A,B两点，则AB=2ab2a2−c2cs2θ=2ep1−e2cs2θ
其中，焦准距(焦点到相应准线的距离)为p=a2c−c=b2c
(2)F1，F2为双曲线C:y2a2−x2b2=1a>0,b>0的上、下焦点，过F1倾斜角为θ的直线l与双曲线交于A,B两点，则AB=2ab2a2−c2sin2θ=2ep1−e2sin2θ
其中，焦准距(焦点到相应准线的距离)为p=a2c−c=b2c
特殊情形，对于焦点在x轴上的双曲线，当倾斜角为θ=90∘时，即为椭圆的通径，通径长AB=2ep=2b2a.
抛物线的的倾斜角式焦点弦长公式
(1) 焦点在 x 轴上, AB=2psin2θ
(2) 焦点在 y 轴上, AB=2pcs2θ
椭圆的角度式焦半径公式
设P是椭圆x2a2+y2b2=1上任意一点，F为它的一个焦点，∠PFO=θ，则PF=b2a−ccsθ
注:上述公式定义∠PFO=θ,P为圆锥曲线上的点,F为焦点
双曲线的角度式焦半径公式
设 P 是双曲线 x2a2−y2b2=1a>0,b>0 上任意一点， F为它的一个焦点， ∠PFO=θ ，则PF=b2ccsθ±a
式中“ 的记忆规律: 同正异负.即当 P 与 F 位于 y 轴的同侧时取正，否则取负.
取 ∠PFO=θ ，无需讨论焦点位置
抛物线的角度式焦半径公式
已知 A 是抛物线 C:y2=2pxp>0 上任意一点， F 为它的一个焦点， ∠AFO=θ ，则AF=p1+csθ
定比分点的定义
若 AP=λPB, 则称点 P 为线段 AB 的定比分点, λ 为点 P 分 AB 的比.
一般地, 设点 Ax1,y1,Bx2,y2, 且 AP=λPB, 则点 P 的坐标为 x1+λx21+λ,y1+λy21+λ.
考点一、椭圆、双曲线、抛物线的通径问题
1．（2023秋·四川内江·高三期末）椭圆的焦点为、，点在椭圆上且轴，则到直线的距离为（ ）
A．B．3C．D．
2．（2022·全国·高三专题练习）过双曲线的一个焦点且与双曲线的实轴垂直的弦叫做双曲线的通径，则双曲线的通径长是（ ）
A．B．C．D．
3．（2022秋·江西·高三校联考阶段练习）已知点到抛物线的准线的距离为4，那么抛物线的通径（过焦点并垂直于轴的弦）长是（ ）
A．8B．8或24C．12D．12或24
4．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆的左、右焦点分别是、，点在椭圆上.若、、是一个直角三角形的三个顶点，则点到轴的距离为（ ）
A．B．C．D．或
1．（2022·全国·高三专题练习）抛物线的通径（过抛物线的焦点且与其对称轴垂直的弦）的长为 ．
2．（2023·全国·模拟预测）已知抛物线C：x2＝2py的焦点为F，过F且垂直于y轴的直线与C相交于A，B两点，若△AOB(O为坐标原点)的面积为18，则p＝ ．
3．（2022·全国·高三专题练习）已知抛物线的焦点为F，过F的直线l交抛物线C于AB两点，且，则p的值为 ．
4．（2022·全国·高三专题练习）过椭圆的焦点的弦中最短弦长是（ ）
A．B．C．D．
考点二、椭圆中的焦点弦及焦半径问题
1．（2023·湖北武汉·华中师大一附中校考模拟预测）已知椭圆的左焦点为，离心率为．倾斜角为的直线与交于两点，并且满足，则的离心率为（ ）
A．B．C．D．
2．（2023秋·浙江·高三校联考期末）已知为坐标原点，椭圆的左、右焦点分别为、，为第一象限内上一点．若，则直线的斜率为（ ）
A．B．C．D．
3．（2023·全国·高三对口高考）已知、分别是椭圆的左、右焦点，过的直线交椭圆于A、B两点，若，则 ．
4．（2023·全国·高三对口高考）如图，把椭圆的长轴分成等份，过每个分点作轴的垂线交椭圆的上半部分于七个点，是椭圆的一个焦点，则___
1．（2023·全国·高三专题练习）设，分别是椭圆的左、右焦点，过点的直线交椭圆E于A，B两点．若，轴，则椭圆E的方程为 ．
2．（2022秋·四川乐山·高三期末）设、分别为椭圆：的左、右两个焦点，过作斜率为1的直线，交于、两点，则
3．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆的左、右焦点分别为、，上顶点为，且，若第一象限的点、在上，，，，则直线的斜率为 .
4．（2022秋·上海普陀·高三曹杨二中校考阶段练习）已知F1，F2分别是椭圆的左，右焦点，点A，B是椭圆C上异于长轴端点的两点，且满足，则下列结论错误的是（ ）
A．△ABF2的周长为定值B．AB的长度最小值为2
C．若AB⊥AF2，则D．λ的取值范围是
考点三、双曲线中的焦点弦及焦半径问题
1．（2022·全国·高三专题练习）过双曲线的右焦点作倾斜角为直线，交双曲线于两点，求弦长．
2．（2021·全国·高三专题练习）分别是双曲线的左、右焦点，过的直线分别交该双曲线的左、右两支于A、B两点，若，则（ ）
A．2B．C．4D．
3．（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线的左､右焦点分别为，，一条渐近线方程为，过双曲线C的右焦点作倾斜角为的直线交双曲线的右支于A，B两点，若的周长为36，则双曲线C的标准方程为（ ）
A．B．C．D．
4．（2023春·重庆沙坪坝·高三重庆八中校考阶段练习）（多选）在平面直角坐标系中，已知，过点可作直线与曲线交于，两点，使，则曲线可以是（ ）
A．B．
C．D．
1．（2022·全国·高三专题练习）已知，为双曲线的左、右焦点，以，为直径的圆与双曲线在第一象限的交点为，，，则双曲线的标准方程为 ．
2．（2022·全国·高三专题练习）若分别是双曲线的左、右焦点，是双曲线左支上过点的弦，且，的周长是20，则m= ．
3．（2023秋·江西·高三统考开学考试）（多选）已知、是双曲线的左、右焦点，以为圆心，为半径的圆与的一条渐近线切于点，过的直线与交于、两个不同的点，若的离心率，则（ ）
A．
B．的最小值为
C．若，则
D．若、同在的左支上，则直线的斜率
考点四、抛物线中的焦点弦及焦半径问题
1．（全国·高考真题）已知直线与抛物线相交于A、B两点，F为C的焦点，若,则k=
A．B．C．D．
2．（2023·全国·统考高考真题）（多选）设O为坐标原点，直线过抛物线的焦点，且与C交于M，N两点，l为C的准线，则（ ）．
A．B．
C．以MN为直径的圆与l相切D．为等腰三角形
3．（山东·统考高考真题）斜率为的直线过抛物线C：y2=4x的焦点，且与C交于A，B两点，则= ．
4．（重庆·高考真题）过抛物线的焦点作直线交抛物线于两点，若则= ．
5．（2023·浙江·校联考模拟预测）（多选）如图，已知抛物线，过抛物线焦点的直线自上而下，分别交抛物线与圆于四点，则（ ）．
A．B．
C．D．
1．（2023·湖南郴州·安仁县第一中学校联考模拟预测）经过抛物线的焦点，作斜率为的直线与抛物线交于两点，若，则（ ）
A．B．或3C．或2D．3
2．（2023·陕西商洛·镇安中学校考模拟预测）已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线及其准线分别交于两点，，则直线的斜率为（ ）
A．B．C．D．
3．（2023·云南昭通·校联考模拟预测）（多选）已知A，B是抛物线：上两动点，为抛物线的焦点，则（ ）
A．直线AB过焦点F时，最小值为4
B．直线AB过焦点F且倾斜角为时，
C．若AB中点M的横坐标为2，则最大值为5
D．
4．（2023·北京·人大附中校考三模）已知抛物线的焦点为F，过点F的直线与该抛物线交于A，B两点，，AB的中点横坐标为4，则 ．
5．（2023·内蒙古赤峰·统考二模）已知抛物线与圆，过圆心的直线与抛物线和圆分别交于，，，，其中，在第一象限，，在第四象限，则最小值是 .
考点五、定比分点问题
1 已知过定点 P0,3 的直线与椭圆 x29+ y24=1 交于两个不同的点 A,B, 且满足 AP=λPB, 求 λ 的取值范围.
解: 设点 Ax1,y1,Bx2,y2, 则由 AP=λPB知点 Px1+λx21+λ,y1+λy21+λ,
又已知点 P0,3, 所以 x1+λx2=0,y1+λy2=31+λ (1).
由点 A,B 在脒圆上得 x129+y124=1,λ2x229+λ2y224=λ2,
两式作差得 x1+λx2x1−λx29+y1+λy2y1−λy24=1− λ22.
于是, 将(1) 代入 (2) 化简得 y1−λy2=43(1− λ).
由 y1+λy2=31+λ 可得 y1=32(1+ λ)+231−λ=136+56λ∈−2,2,
解得 λ∈ −5,−15.
1．（浙江·高考真题）已知点P(0，1)，椭圆 (m>1)上两点A，B满足，则当m= 时，点B横坐标的绝对值最大．
【能力提升】
一、单选题
1．（2023秋·高三课时练习）抛物线的通径长为（ ）
A．8B．4C．D．
2．（2023·全国·模拟预测）已知抛物线的焦点为，则过点且斜率为的直线截抛物线所得弦长为（ ）
A．B．C．D．
3．（2023秋·陕西西安·高三长安一中校考期末）设经过点的直线与抛物线相交于，两点，若线段中点的横坐标为，则（ ）
A．B．C．D．
4．（2023·全国·高三专题练习）过椭圆的左焦点作直线和椭圆交于A、B两点，且，则这样直线的条数为（ ）
A．0B．1C．2D．3
5．（2022·全国·高三专题练习）设为双曲线：上的点，，分别是双曲线的左，右焦点，，则的面积为（ ）
A．B．C．30D．15
6．（2023秋·高三课时练习）已知抛物线的焦点为，若直线与交于，两点，且，则（ ）
A．4B．5C．6D．7
7．（2023春·山西吕梁·高三统考阶段练习）已知抛物线 直线与交于，两点，直线 与交于，两点，则||+2||的最小值为（ ）
A．B．C．D．
8．（2023·全国·高三专题练习）已知为抛物线的焦点，过的直线交抛物线于两点，若，则（ ）
A．1B．C．3D．4
9．（2023·湖南郴州·安仁县第一中学校联考模拟预测）经过抛物线的焦点，作斜率为的直线与抛物线交于两点，若，则（ ）
A．B．或3C．或2D．3
10．（2023·湖南长沙·雅礼中学校考模拟预测）已知抛物线：的焦点为F，过F且斜率大于零的直线l与及抛物线：的所有公共点从右到左分别为点A，B，C，则（ ）
A．4B．6C．8D．10
11．（2021·全国·模拟预测）如图，椭圆的左､右焦点分别为，，过点，分别作弦，.若，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
12．（2023·陕西·校联考三模）已知定点，直线：与抛物线交于两点A，B，若，则( )
A．4B．6C．8D．10
13．（2022·全国·高三专题练习）已知斜率不为0的直线过椭圆的左焦点且交椭圆于，两点，轴上的点满足，则的取值范围为（ ）
A．，B．，C．，D．，
二、多选题
14．（2022秋·河北衡水·高三校考阶段练习）已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线相交于两点，下列结论正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则的最小值为5
C．以线段为直径的圆与直线相切
D．若，则直线的斜率为
15．（2022·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系xOy中，已知F1，F2分别是椭圆的左，右焦点，点A，B是椭圆C上异于长轴端点的两点，且满足，则（ ）
A．△ABF2的周长为定值B．AB的长度最小值为1
C．若AB⊥AF2，则λ=3D．λ的取值范围是[1，5]
三、填空题
16．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆C的离心率，左右焦点分别为，P为椭圆C上一动点，则的取值范围为 .
17．（2022秋·四川乐山·高三期末）设、分别为椭圆：的左、右两个焦点，过作斜率为1的直线，交于、两点，则
18．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆的左、右焦点分别为、，上顶点为，且，若第一象限的点、在上，，，，则直线的斜率为 .
19．（2022·全国·高三专题练习）已知，分别为双曲线的左、右焦点，点，点的坐标为，为的角平分线，则
20．（2021·全国·高三专题练习）已知，为双曲线的左、右焦点，以，为直径的圆与双曲线在第一象限的交点为，，，则双曲线的标准方程为 ．4年考情
考题示例
考点分析
关联考点
2023年新Ⅱ卷，第10题,5分
抛物线焦点弦有关的几何性质
抛物线定义的理解
根据焦点或准线写出抛物线的标准方程
求直线与抛物线的交点坐标
2020年新I卷，第13题,5分
求抛物线焦点弦长
无
2020年新Ⅱ卷，第14题,5分
求抛物线焦点弦长
无