河南省信阳高级中学2023-2024学年高二数学上学期10月月考试题（Word版附解析）

这是一份河南省信阳高级中学2023-2024学年高二数学上学期10月月考试题（Word版附解析），共3页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
分值:150分 时长：120分钟
一、单选题
1. 对于集合，定义，，设，，则（ ）
A. B.
C D.
2. 复数，则以下为实数的是（ ）
A. B.
C. D.
3. 对于任意实数，用表示不大于的最大整数，例如：，，，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
4. 若向量的夹角为锐角，则实数的范围是（ ）
A. B. (，4)
C. D. ( ，1 )
5. 如图，，线段AC，BD相互垂直平分，在扇形OAB中，OA=1，将扇形OAB和绕AC所在直线旋转一周所得几何体的表面积为（ ）
A. B. C. D.
6. 已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，直线与C交于M，N两点（其中M在第一象限），若四边形为矩形，且，则C的离心率e的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
二、多选题
7. 某公司对2021年的营收来源进行了统计，并绘制饼图如图所示．在华中地区的三省中，湖北省的营收额最多，河南省的营收额最少，湖南省的营收额约1421万元．则下列说法错误的是（ ）
A. 该公司在华东地区的营收额，约为东北地区营收额的三倍
B. 该公司在华南地区的营收额，比西南地区的营收额和河南省的营收额之和还要多
C. 该公司2021年营收总额约为20300万元
D. 该公司在湖南省的营收额，在华中地区的营收额的占比约为34.18%
8. 如图，正四面体ABCD的顶点A，B，C分别在两两垂直的三条射线Ox，Oy，Oz上，则下列结论错误的为（ ）

A. 是正三棱锥
B. 直线平面ACD
C. 直线AD与OB所成的角是45°
D. 二面角为45°
9. 设，过定点的动直线：，和过定点的动直线：交于点，是圆：上的任意一点，则下列说法正确的有（ ）
A 直线与圆相切时
B. 到距离的最大值是
C. 直线与圆相交的最短弦长为
D. 的最大值为
10. 记的内角的对边分别为，已知的周长为，，则（ ）
A. 存在非等边满足
B. 存满足
C. 内部可以放入的最大圆的半径为
D. 可以完全覆盖的最小圆的半径为
三、填空题
11. 直线xsinα＋y＋2＝0倾斜角的取值范围是________________．
12. 已知函数，则函数的值域是______．
13. 在正三棱锥中，，，若球O与三棱锥的六条棱均相切，则球O的表面积为______．
14. 已知中心在原点的椭圆的左焦点恰好为圆的圆心，有两顶点恰好是圆与轴的交点，若椭圆上恰好存在两点关于直线对称，则实数的取值范围是___________．
四、解答题
15. 已知函数满足．
（1）求的解析式；
（2）若对于任意的，不等式恒成立，求实数m的取值范围．
16. 已知的周长为，且.
（1）求的长：
（2）若的面积为.求.
17. 在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，平面ABCD，.以AC的中点O为球心，AC为直径的球面交PD于点M.
（1）证明：M为PD的中点.
（2）若二面角B-AM-C的余弦值为，求AB.
18. 已知圆M与圆N：相外切，与y轴相切原点O．
（1）求圆M的方程；
（2）若圆M与圆N切点在第一象限，过原点O的两条直线与圆M分别交于P，Q两点，且两直线互相垂直，求证：直线PQ过定点，并求出该定点坐标．
19. 甲､乙进行射击比赛，两人轮流朝一个靶射击，若击中靶心得分，击中靶心以外的区域得分，两人得分之和大于或等于分即结束比赛，且规定最后射击的人获胜，假设他们每次击中靶心的概率均为且不会脱靶，经过抽签，甲先射击.
（1）求甲需要射击三次的概率.
（2）比赛结束时两人得分之差最大为多少？求这个最大值发生的概率.
（3）求乙获胜的概率.
20. 已知椭圆的离心率为，点在椭圆上．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若椭圆过原点的弦相互垂直，求四边形面积的最大值．
河南省信阳高级中学2023-2024学年高二上期10月月考
数学试题
分值:150分 时长：120分钟
一、单选题
1. 对于集合，定义，，设，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据题中集合新定义的特性结合集合的基本运算可求解出结果.
【详解】集合，，
则，，
由定义可得：且，
且，
所以，选项 ABD错误，选项C正确.
故选：C．
2. 复数，则以下为实数的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据复数的乘方和四则运算即可得到答案.
【详解】对A，，其不是实数，故A错误；
对B，，则其为实数，故B正确；
对C，，其不是实数，故C错误；
对D，，其不是实数，故D错误.
故选：B.
3. 对于任意实数，用表示不大于的最大整数，例如：，，，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】对任意的，记，则，利用题中定义、不等式的基本性质、特殊值法结合充分条件、必要条件的定义判断可得出结论.
【详解】对任意的，记，则，
若，则，即，则，
因为，，则，由不等式的基本性质可得，
所以，，所以，，即，
所以，“”“”；
若，如取，，则，故“” “”.
因此，“”是“”的充分不必要条件.
故选：A.
4. 若向量的夹角为锐角，则实数的范围是（ ）
A. B. (，4)
C. D. ( ，1 )
【答案】A
【解析】
【分析】由题且不共线，据此可得答案.
【详解】因向量的夹角为锐角，则，
且不共线，即.
综上可知，或.
故选：A
5. 如图，，线段AC，BD相互垂直平分，在扇形OAB中，OA=1，将扇形OAB和绕AC所在直线旋转一周所得几何体的表面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据旋转体特征可知所得几何体是一个半球体和一个圆锥构成的组合体，结合球的表面积和圆锥侧面积公式可求得结果.
【详解】由题意知：所得几何体是一个以为半径的半球体和一个底面半径为，高为的圆锥构成的组合体；
半球体表面积；圆锥侧面积；
所得几何体的表面积.
故选：B.
6. 已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，直线与C交于M，N两点（其中M在第一象限），若四边形为矩形，且，则C的离心率e的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】设椭圆的半焦距为，依题意以为直径的圆与椭圆有公共点，得到和的关系，再利用，结合椭圆的定义，得到关于，的不等关系，求解即可得到答案．
【详解】解：设椭圆的半焦距为，因为四边形为矩形，
所以以为直径的圆与椭圆有公共点，
则，所以，又，即，即
所以，
故，
因为，又，
所以，
则，
又，即，且，
所以，
故，即，即
解得，
所以椭圆的离心率的取值范围是．
故选：C．
二、多选题
7. 某公司对2021年的营收来源进行了统计，并绘制饼图如图所示．在华中地区的三省中，湖北省的营收额最多，河南省的营收额最少，湖南省的营收额约1421万元．则下列说法错误的是（ ）
A. 该公司在华东地区的营收额，约为东北地区营收额的三倍
B. 该公司在华南地区的营收额，比西南地区的营收额和河南省的营收额之和还要多
C. 该公司2021年营收总额约为20300万元
D. 该公司在湖南省的营收额，在华中地区的营收额的占比约为34.18%
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据饼图，结合选项逐一判断即可.
【详解】A：因为，所以本选项正确；
B：因为在华中地区的三省中，河南省的营收额最少，
所以河南省的营收额为，
因为，
所以本选项不正确；
C：因为在华中地区的三省中，湖北省的营收额最多，河南省的营收额最少，湖南省的营收额约1421万元．所以有，因此本选项正确；
D：因为在华中地区的三省中，河南省的营收额最少，
所以公司在湖南省的营收额，在华中地区的营收额的占比为，因此本选项说法正确；
故选：ACD
8. 如图，正四面体ABCD的顶点A，B，C分别在两两垂直的三条射线Ox，Oy，Oz上，则下列结论错误的为（ ）

A. 是正三棱锥
B. 直线平面ACD
C. 直线AD与OB所成的角是45°
D. 二面角为45°
【答案】BD
【解析】
【分析】根据题设有为正三角形，结合勾股定理得到判断A；将几何体补全为正方体，为的中点，连接，由正方体性质、异面直线、二面角的定义判断B、C、D.
【详解】由为正四面体，则为正三角形，又两两垂直，
所以，则，
综上，是正三棱锥，A对；
将上图几何体补全为正方体如下：

显然，而面，故直线平面ACD不成立，B错；
直线AD与OB所成的角，即为，C对；
为的中点，连接，结合题设易知：，
所以二面角的平面角为，
若正方体的棱长为2，则，
中，显然不等于，D错.
故选：BD
9. 设，过定点的动直线：，和过定点的动直线：交于点，是圆：上的任意一点，则下列说法正确的有（ ）
A. 直线与圆相切时
B. 到距离的最大值是
C. 直线与圆相交的最短弦长为
D. 的最大值为
【答案】BCD
【解析】
【分析】对于A，根据直线与圆相切判定，利用点到直线的距离公式，建立方程，可得答案；
对于B，根据圆上点到圆外直线最值问题，作图，根据图中几何性质，可得答案；
对于C，根据点到过定点直线的距离问题，作图，利用弦长公式，可得答案；
对于D，根据直线的方程明确直线的位置关系，利用基本不等式，可得答案.
【详解】对于A，由圆，则圆心，半径，
圆心到直线的距离为，由圆与直线相切，则，
化简可得：，解得或，故A错误；
对于B，由直线，当时，，则，
当时到的距离最大，如下图：

最大值为，
此时到距离的最大值为，故B正确；
对于C，由选项A所得：圆心，半径，
由直线，整理可得：，当时，，则，
当时所得弦长最短，如下图：

则到直线的距离为，
所以弦长为，故C正确；
对于D，由，，
当时，的斜率不存在，的斜率为零，则；
当时，的斜率为，的斜率为，由，则.
所以，如下图：

在中，，由，
则，
所以，当且仅当时等号成立，故D正确.
故选：BCD.
10. 记的内角的对边分别为，已知的周长为，，则（ ）
A. 存在非等边满足
B. 存在满足
C. 内部可以放入的最大圆的半径为
D. 可以完全覆盖的最小圆的半径为
【答案】BCD
【解析】
【分析】由，结合余弦定理，求得，可判定A错误；由，结合余弦定理，求得，可判定B正确；根据题意，得到，结合基本不等式，求得的面积，进而求得放入的最大圆的半径为，可判定C正确；设外接圆的半径为，利用基本不等式求得，进而得到，再由正弦定理，求得完全覆盖的最小圆的半径为，可判定D正确．
【详解】因为的周长为，且，可得，
由余弦定理得，
对于A中，因为，所以，
即，则，所以A错误；
对于B中，因为，所以，即，则，
此时为等边三角形，所以B正确；
对于C中，由，可得，
当且仅当时等号成立，解得或（舍去），
所以的面积，的内切圆半径，
所以内部可以放入最大圆的半径为，所以C正确；
对于D中，设外接圆的半径为，因为，
所以，解得或（舍去），
由，可得，
因为，所以，所以可以完全覆盖的最小圆的半径为，
所以D正确．
故选：BCD.
三、填空题
11. 直线xsinα＋y＋2＝0的倾斜角的取值范围是________________．
【答案】
【解析】
【详解】因为sin α∈[－1，1]，
所以－sin α∈[－1，1]，
所以已知直线斜率范围为[－1，1]，由倾斜角与斜率关系得倾斜角范围是．
答案：
12. 已知函数，则函数的值域是______．
【答案】
【解析】
【分析】根据题意，把原函数转化为两点间的斜率问题，结合直线与圆的位置关系，即可求解.
【详解】函数表示单位圆上的点与点连线的斜率.
设过点的与单位圆相切的方程为，
由圆心到切线的距离等于半径，可得，解得，
故点与点连线的斜率范围是，
因此 函数的值域是.
故答案为：.
13. 在正三棱锥中，，，若球O与三棱锥的六条棱均相切，则球O的表面积为______．
【答案】
【解析】
【分析】先判断出球心和半径，利用表面积公式直接求解.
【详解】如图示：
取的中心E，连接PE，则平面ABC，且与棱均相切的球的球心O在PE上.
连接AE并延长交BC于D，则D为BC的中点，，连接OD.
因为平面ABC，所有 .
因为平面，平面，，所有平面.
因为平面，所有
.过O作，交PA于点F.
球O的半径为r，则.
由题意：为正三角形，因为，所以，，.
因为，，所以，所以.
设，所以，因为，所以，解得:，所以，故球O的表面积为．
故答案为：
14. 已知中心在原点的椭圆的左焦点恰好为圆的圆心，有两顶点恰好是圆与轴的交点，若椭圆上恰好存在两点关于直线对称，则实数的取值范围是___________．
【答案】
【解析】
【分析】求得圆的圆心，可得椭圆的，求得圆与轴的交点，可得，进而得到，可得椭圆方程，设出椭圆上关于直线对称的两点连线AB的方程为，设两点的坐标为联立椭圆方程，运用判别式大于，以及韦达定理和中点坐标公式，可得中点坐标代入已知直线，可得的关系，进而得到所求范围.
【详解】圆的圆心为，得椭圆的，
圆与轴的交点为，可得椭圆的，故，
椭圆的方程为，
设椭圆上关于直线对称两点连线方程为，
设，
由，得，
，
，
，
设的中点，则，，
中点在，，
，
即.
故答案为：.
【点睛】本题主要考查的是椭圆方程的求法和性质的应用，考查直线方程和椭圆的位置关系，椭圆与直线联立，运用韦达定理和中点坐标公式，考查化简整理的运算能力，是中档题.
四、解答题
15. 已知函数满足．
（1）求的解析式；
（2）若对于任意的，不等式恒成立，求实数m的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由①，可得解方程组即可得出结果；
（2）由（1）可得等价于，只需证明恒成立，求得的最小值即可得出结果.
【小问1详解】
因为①，
所以
①②得：
所以
【小问2详解】
因为
所以
因为（当且仅当时等号成立）
所以
即对恒成立
因（当且仅当时等号成立）
所以，所求实数m的取值范围为
16. 已知的周长为，且.
（1）求的长：
（2）若的面积为.求.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由，得到，再由 的周长为求解；
（2）由的面积为，得到，再由结合余弦定理求解.
【小问1详解】
解：设内角，，所对的边分别为，，.
因为，所以.
因为，所以；
【小问2详解】
因为的面积为，且，
所以.
由（1）可得.
则.
由余弦定理可得.
因为，所以.
17. 在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，平面ABCD，.以AC的中点O为球心，AC为直径的球面交PD于点M.
（1）证明：M为PD的中点.
（2）若二面角B-AM-C的余弦值为，求AB.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）由几何关系依次证、、平面PAD 、、平面PCD、，结合即可得证
（2）以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设，由向量法建立二面角B-AM-C余弦值的方程，即可求解.
【小问1详解】
证明：因为AC是所作球面的直径，所以.
因为平面ABCD，平面ABCD，所以.
因为，平面PAD，所以平面PAD，
因为平面PAD，所以，
因为平面PCD，所以平面PCD，
因为平面PCD，所以.
因为，所以M为PD的中点.
【小问2详解】
以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
设，则
设平面ABM的法向量为，因为，，
所以令，则.
设平面ACM的法向量为，因为，，
所以令，得.
设二面角B-AM-C为α，
则，
解得，即.
18. 已知圆M与圆N：相外切，与y轴相切原点O．
（1）求圆M的方程；
（2）若圆M与圆N的切点在第一象限，过原点O的两条直线与圆M分别交于P，Q两点，且两直线互相垂直，求证：直线PQ过定点，并求出该定点坐标．
【答案】（1）M：或M：
（2）证明见解析，
【解析】
【分析】（1）由题意可设圆M的方程为，由两圆外切建立等式：，求解值可得圆的方程.（2）由切点在第一象限可知圆M：，设OP所在直线方程为，与圆联立求出点坐标，把k换做，可求出点坐标，点斜式计算直线PQ方程化简可求出过定点.
【小问1详解】
由题意知，圆M与y轴相切原点O，所以设圆M的方程为，
因为圆M与圆N：相外切，且N：，
所以，所以或，
所以M：或M：；
【小问2详解】
由题意知M：，
设OP所在直线方程为，联立，
得，，
同理把k换做，可得，，
所以PQ所在直线方程为，
化简为：
故直线PQ过定点．
19. 甲､乙进行射击比赛，两人轮流朝一个靶射击，若击中靶心得分，击中靶心以外的区域得分，两人得分之和大于或等于分即结束比赛，且规定最后射击的人获胜，假设他们每次击中靶心的概率均为且不会脱靶，经过抽签，甲先射击.
（1）求甲需要射击三次的概率.
（2）比赛结束时两人得分之差最大为多少？求这个最大值发生的概率.
（3）求乙获胜的概率.
【答案】（1）；（2）；（3）.
【解析】
【分析】（1）依题意甲需要射击三次，则两人前四次射击均只得分，根据相互独立事件的概率公式计算可得；
（2）比赛结束时，两人得分之差最大为分，即甲分，乙分，甲分，再根据相互独立事件的概率公式计算可得；
（3）要使乙获胜，即到乙射击之和积分之和恰好满足大于或等于分，分四种情况讨论，分别计算所对应的概率，最后相加即可；
【详解】解：（1）甲需要射击三次，则两人前四次射击均只得分，
所以甲需要射击三次的概率为.
（2）比赛结束时，两人得分之差最大为分，
他们得分情况为：甲，乙，甲，
所以这个最大值发生的概率为.
（3）根据他们轮流射击的得分，分四种情况：
甲，乙，概率为；
甲，乙，甲，乙，概率为；
前三次射击中有一次分，两次分，概率为；
前五次射击均得分，概率为.
所以乙获胜的概率为.
20. 已知椭圆的离心率为，点在椭圆上．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若椭圆过原点的弦相互垂直，求四边形面积的最大值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）通过离心率，可得与的关系；再利用点，得到与的关系；通过方程组求得椭圆方程；
（2）先分斜率是否存在分类讨论，再设直线方程，与椭圆方程联立，通过根与系数关系可利用弦长公式和点到直线距离公式得,再结合椭圆的对称性将四边形面积转化为求解,结合不等式求四边形面积的最大值．
【小问1详解】
由，得，
则，
故椭圆方程可化为，
将代入上式得，
则，
故椭圆的标准方程为．
【小问2详解】
由题意得，四边形为菱形，
则菱形的面积
当直线的斜率不存在或为0时，易得
当直线的斜率存在且不为0时，
设直线的方程为，则的方程为，
设，
将代入，
得，
则，
则
．
综上，的最大值为．