辽宁省沈阳市大东区第一协作体2023-2024学年八年级上学期期中数学试卷

这是一份辽宁省沈阳市大东区第一协作体2023-2024学年八年级上学期期中数学试卷，共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（2分）下列数是无理数的是（ ）
A．B．πC．0D．
2．（2分）以下列各组数为边长，能构成直角三角形的是（ ）
A．4、5、6B．1、2、3C．1、2、D．1、3、5
3．（2分）下列根式是最简二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
4．（2分）在平面直角坐标系中，下列各点属于第四象限的是（ ）
A．（1，2）B．（﹣3，8）C．（﹣3，﹣5）D．（6，﹣7）
5．（2分）下列各点中，在函数y＝﹣2x+5的图象上的是（ ）
A．（0，﹣5）B．（2，9）C．（﹣2，﹣9）D．（4，﹣3）
6．（2分）已知点A（﹣2，y1），B（3，y2）在函数y＝﹣3x+2的图象上，则y1与y2的大小关系是（ ）
A．y1＞y2B．y1＝y2C．y1＜y2D．无法确定
7．（2分）如图，有一个绳索拉直的木马秋千，绳索AB的长度为5米（即DE＝3米），且绳索保持拉直的状态，则此时木马上升的高度为（ ）
A．1米B．米C．2米D．4米
8．（2分）如图，长方体的高为9dm，底面是边长为6dm的正方形．一只蚂蚁从顶点A开始爬向顶点B（ ）
A．10dmB．12dmC．15dmD．20dm
9．（2分）如图，矩形ABCD中，AB＝3，AB在数轴上，若以点A为圆心，则点M表示的实数为（ ）
A．2.5B．C．D．﹣1
10．（2分）已知一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象如图所示，则y＝﹣bx﹣k的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
二、填空题（每小题3分，共18分）
11．（3分）﹣125的立方根是 ．
12．（3分）的整数部分是a，的小数部分是b，则ab＝ ．
13．（3分）比较大小： ．
14．（3分）中国象棋是中华民族的文化瑰宝，因趣味性强，深受大众喜爱．如图，使“帅”位于点（0，﹣2），“马”位于点（4，﹣2） 点．
15．（3分）如图，直线y＝kx+b（k≠0）与x轴交于点（﹣4，0） ．
16．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点A（0，3）（3，1），点P是x轴正半轴上一动点，给出4个结论：①线段AB的长为，若AP＝，则△APB的面积是△ABP＝时，点P的坐标为（1，0）；④设点P的坐标为（x，0），则 ．
三、解答题（第17小题8分，第18小题6分，第19小题8分，共22分）
17．（8分）计算：
（1）3+﹣；
（2）÷×．
18．（6分）已知：x＝2+，y＝2﹣，求代数式x2﹣3xy+y2的值．
19．（8分）如图，在四边形ABCD中，AB＝1，CD＝2，AD＝3
20．（8分）如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的三个顶点坐标为A（﹣3，0），B（﹣3，﹣3），C（﹣1，﹣3）．
（1）△ABC的周长是 ，面积是 ，AC边上的高是 ；
（2）画出△ABC关于x轴对称的图形△A1B1C1，并写出△A1B1C1顶点坐标 ；
（3）请在y轴上找点P，使得PA+PC的值最小，最小值是 ．
21．（8分）如图，直线y＝2x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B．
（1）求A、B两点的坐标；
（2）过B点作直线BP与x轴交于点P，且使OP＝2OA，求△ABP的面积．
22．（10分）如图，lA、lB分别表示A步行与B骑车在同一路上行驶的路程S与时间t的关系．
（1）B出发时与A相距 千米．
（2）B走了一段路后，自行车发生故障，进行修理 小时．
（3）B出发后 小时与A相遇．
（4）求出A行走的路程S与时间t的函数关系式．
（5）若B的自行车不发生故障，保持出发时的速度前进， 小时与A相遇，相遇点离B的出发点 千米．在图中表示出这个相遇点C．
23．（10分）如图，四边形OABC是一张放在平面直角坐标系中的正方形纸片，点O与坐标原点重合，点C在y轴上．OC＝5，点E在边BC上（3，0）．过点N且平行于y轴的直线MN与EB交于点M．现将纸片折叠，使顶点C落在MN上的点G处
（1）点G的坐标为 ；
（2）求折痕OE所在直线的表达式；
（3）若直线l：y＝mx+n平行于直线OE，且与长方形ABMN有公共点，请直接写出n的取值范围．
24．（12分）（1）问题发现：如图1，△ABC与△CDE均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90° ，AE、BD所在直线的位置关系为 ；
（2）深入探究：在（1）的条件下，若点A，E，CM为△DCE中DE边上的高，请判断∠ADB的度数及线段CM，BD之间的数量关系，并说明理由；
（3）解决问题：如图3，已知△ABC中，AB＝7，∠ABC＝45°，以AC为直角边作等腰直角△ACD，AC＝AD，连接BD ．
25．（12分）如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝kx+1交y轴于点A，交x轴于点B（4，0），过点E（2，0）2平行于y轴，交直线l1于点D，点P是直线l2上一动点（异于点D），连接PA、PB．
（1）直线l1的表达式为 ，点D的坐标为 ；
（2）设P（2，m），当点P在点D的下方时，求△ABP的面积S的表达式（用含m的代数式表示）；
（3）当△ABP的面积为3时，则以点B为直角顶点作等腰直角△BPC，请直接写出点C的坐标．
2023-2024学年辽宁省沈阳市大东区第一协作体八年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（下列各题的备选答案中，只有一个答案是正确的.每小题2分，共20分）
1．（2分）下列数是无理数的是（ ）
A．B．πC．0D．
【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．
【解答】解：A．是分数，故本选项不合题意；
B．π是无理数；
C．0是整数，故本选项不合题意；
D．，是整数，故本选项不合题意；
故选：B．
【点评】本题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．
2．（2分）以下列各组数为边长，能构成直角三角形的是（ ）
A．4、5、6B．1、2、3C．1、2、D．1、3、5
【分析】根据勾股定理的逆定理可以判断各个选项的三条线段能否构成直角三角形，本题得以解决．
【解答】解：42+22≠66，故选项A中的三条线段不能构成直角三角形；
12+62≠33，故选项B中的三条线段不能构成直角三角形；
12+22＝（）5，故选项C中的三条线段能构成直角三角形；
12+72≠55，故选项D中的三条线段不能构成直角三角形；
故选：C．
【点评】本题考查勾股定理的逆定理，解答本题的关键是明确题意，利用勾股定理的逆定理解答．
3．（2分）下列根式是最简二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】利用最简二次根式定义判断即可．
【解答】解：A、＝2；
B、原式＝3；
C、是最简二次根式；
D、原式＝，
故选：C．
【点评】此题考查了最简二次根式，熟练掌握最简二次根式定义是解本题的关键．
4．（2分）在平面直角坐标系中，下列各点属于第四象限的是（ ）
A．（1，2）B．（﹣3，8）C．（﹣3，﹣5）D．（6，﹣7）
【分析】根据第四象限点的坐标特点，横坐标为正，纵坐标为负，即可得出答案．
【解答】解：A、点（1，故本选项不合题意；
B、点（﹣3，故本选项不合题意；
C、点（﹣2，故本选项不合题意；
D、点（6，故本选项符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（﹣，+）；第三象限（﹣，﹣）；第四象限（+，﹣）．
5．（2分）下列各点中，在函数y＝﹣2x+5的图象上的是（ ）
A．（0，﹣5）B．（2，9）C．（﹣2，﹣9）D．（4，﹣3）
【分析】把选项中的各点代入解析式，通过等式左右两边是否相等来判断点是否在函数图象上．
【解答】解：∵一次函数y＝﹣2x+5图象上的点都在函数图象上，
∴函数图象上的点都满足函数的解析式y＝﹣8x+5；
A、当x＝0时，即点（7；故本选项错误；
B、当x＝2时，即点（2；故本选项错误；
C、当x＝﹣6时，即点（﹣2；故本选项错误；
D、当x＝4时，即点（5；故本选项正确；
故选：D．
【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征．用到的知识点是：在这条直线上的各点的坐标一定适合这条直线的解析式．
6．（2分）已知点A（﹣2，y1），B（3，y2）在函数y＝﹣3x+2的图象上，则y1与y2的大小关系是（ ）
A．y1＞y2B．y1＝y2C．y1＜y2D．无法确定
【分析】由一次函数y＝﹣3x+2可知，k＝﹣3＜0，y随x的增大而减小，由此即可得出答案．
【解答】解：∵一次函数y＝﹣3x+2可知，k＝﹣5＜0，
∵﹣2＜7，
∴y1＞y2．
故选：A．
【点评】本题考查的是一次函数的性质，熟知一次函数y＝kx+b（k≠0）中，当k＜0时y随x的增大而减小是解答此题的关键．
7．（2分）如图，有一个绳索拉直的木马秋千，绳索AB的长度为5米（即DE＝3米），且绳索保持拉直的状态，则此时木马上升的高度为（ ）
A．1米B．米C．2米D．4米
【分析】作CF⊥AB，根据勾股定理求得AF的长，可得BF的长度．
【解答】解：过点C作CF⊥AB于点F，
根据题意得：AB＝AC＝5，CF＝DE＝3，
由勾股定理可得AF7+CF2＝AC2，
∴AF＝，
∴BF＝AB﹣AF＝5﹣4＝5，
∴此时木马上升的高度为1米，
故选：A．
【点评】本题主要考查勾股定理的应用，添加辅助线构建直角三角形是解题的关键．
8．（2分）如图，长方体的高为9dm，底面是边长为6dm的正方形．一只蚂蚁从顶点A开始爬向顶点B（ ）
A．10dmB．12dmC．15dmD．20dm
【分析】将立体图形展开，有三种不同的展法，连接AB，利用勾股定理求出AB的长，找出最短的即可．
【解答】解：①如图，将长方体的正面和上面展开在同一平面内，BD＝6+9＝15，
AB＝＝（dm）；
②如图，将长方体的正面和右面展开在同一平面内，BC＝5，
AB＝＝15（dm），
③将长方体的正面和左面展开在同一平面内，同理可得AB＝，
由于15＜3，
所以蚂蚁爬行的最短路程为15dm．
故选：C．
【点评】本题考查的是平面展开﹣最短路径问题，此类问题先根据题意把立体图形展开成平面图形后，再确定两点之间的最短路径．一般情况是利用两点之间，线段最短．关键是在平面图形上构造直角三角形解决问题．
9．（2分）如图，矩形ABCD中，AB＝3，AB在数轴上，若以点A为圆心，则点M表示的实数为（ ）
A．2.5B．C．D．﹣1
【分析】先利用勾股定理求出AC，根据AC＝AM，求出OM，由此即可解决问题，
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝90°，
∵AB＝3，AD＝BC＝1，
∴AC＝＝＝，
∴AM＝AC＝，
∵OA＝5，
∴OM＝AM﹣OA＝﹣1，
∴点M表示点数为﹣1．
故选：D．
【点评】本题考查实数与数轴、勾股定理等知识，解题的关键是灵活应用勾股定理求出AC、AM的长，属于中考常考题型．
10．（2分）已知一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象如图所示，则y＝﹣bx﹣k的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据是一次函数y＝kx+b的图象经过一、三、四象限得出k，b的取值范围解答即可．
【解答】解：因为一次函数y＝kx+b的图象经过一、三、四象限，
可得：k＞0，b＜0，
所以直线y＝﹣bx﹣k的图象经过一、三、四象限，
故选：C．
【点评】此题考查一次函数图象，关键是根据是一次函数y＝kx+b的图象经过一、三、四象限得出k，b的取值范围．
二、填空题（每小题3分，共18分）
11．（3分）﹣125的立方根是 ﹣5 ．
【分析】直接利用立方根的定义即可求解．
【解答】解：∵﹣5的立方等于﹣125，
∴﹣125的立方根是﹣5．
故答案为﹣3．
【点评】此题主要考查了立方根的定义，求一个数的立方根，应先找出所要求的这个数是哪一个数的立方．由开立方和立方是互逆运算，用立方的方法求这个数的立方根．注意一个数的立方根与原数的性质符号相同．
12．（3分）的整数部分是a，的小数部分是b，则ab＝ ﹣2 ．
【分析】估算，的大小，确定a，b的值，代入计算即可．
【解答】解：∵1＜＜6＜3，
∴a＝7，b＝，
∴ab＝﹣8，
故答案为：﹣2．
【点评】本题考查估算无理数的大小，掌握算术平方根的意义是求出a、b的前提．
13．（3分）比较大小： ＞ ．
【分析】先把2、3分别化为、的形式，再根据两正数比较大小的法则进行比较即可．
【解答】解：∵2＝，5＝，28＞27，
∴＞，即2．
故答案为：＞．
【点评】本题考查的是实数的大小比较，解答此题的关键是熟知二次根式的化简法则及实数大小比较的法则．
14．（3分）中国象棋是中华民族的文化瑰宝，因趣味性强，深受大众喜爱．如图，使“帅”位于点（0，﹣2），“马”位于点（4，﹣2） （﹣1，1） 点．
【分析】直接利用已知点坐标建立平面直角坐标系，进而得出点的坐标．
【解答】解：如图所示：“兵”位于点（﹣1，1）．
故答案为：（﹣8，1）．
【点评】此题主要考查了坐标确定位置，正确得出原点位置是解题关键．
15．（3分）如图，直线y＝kx+b（k≠0）与x轴交于点（﹣4，0） ﹣4 ．
【分析】方程kx+b＝0的解其实就是当y＝0时一次函数y＝kx+b与x轴的交点横坐标．
【解答】解：由图知：直线y＝kx+b与x轴交于点（﹣4，0），
即当x＝﹣4时，y＝kx+b＝0；
因此关于x的方程kx+b＝0的解为：x＝﹣4．
故答案为：﹣4
【点评】本题主要考查了一次函数与一次方程的关系，关键是根据方程kx+b＝0的解其实就是当y＝0时一次函数y＝kx+b与x轴的交点横坐标解答．
16．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点A（0，3）（3，1），点P是x轴正半轴上一动点，给出4个结论：①线段AB的长为，若AP＝，则△APB的面积是△ABP＝时，点P的坐标为（1，0）；④设点P的坐标为（x，0），则 ①④ ．
【分析】①正确．利用勾股定理求解；
②错误．△APB的面积是3.5；
③错误．通过计算点P（，0）；
④正确．作A关于x轴的对称点A'，连接A'B交x轴于P，则PA＝PA'AP+PB＝A'P+PB＝A'B，此时AP+PB的值最小，求出BA′，可得结论．
【解答】解：∵A（0，3），2），
∴AB＝＝，故①正确，
在Rt△AOP中，OP＝＝，
∴P（1，4），
过点B作BD⊥x轴于点D．
∴S△ABP＝S四边形AODB﹣S△AOP﹣S△PDB＝×（3+3）×3﹣×1×2＝4.5，
设P（t，0）×（1+4）×3﹣×（5﹣t）×1＝×，
∴t＝，
∴P（，0）．
由勾股定理得：AP＝＝，PB＝，
作A关于x轴的对称点A'，连接A'B交x轴于P，
∴AP+PB＝A'P+PB＝A'B，此时AP+PB的值最小，
过B作BC⊥OA于C，
则A'C＝3+8﹣2＝4，BC＝5，
由勾股定理得：A'B＝＝5，
∴AP+PB的最小值是2，
即设点P的坐标为（x，0），则+．故④正确；
综上所述，其中正确的结论有：①④；
故答案为：①④．
【点评】本题考查了轴对称的最短路径问题、等腰三角形的判定、图形与坐标特点、勾股定理，是一个不错的综合题，难度适中，有等腰三角形和轴对称的作图问题，也有求最值问题，第4问中，熟练掌握并能灵活运用轴对称的最短路径问题是关键．
三、解答题（第17小题8分，第18小题6分，第19小题8分，共22分）
17．（8分）计算：
（1）3+﹣；
（2）÷×．
【分析】（1）先把二次根式化为最简二次根式，然后合并即可；
（2）根据二次根式的乘除法则运算．
【解答】解：（1）原式＝3+6+7
＝5+2；
（2）原式＝
＝5．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
18．（6分）已知：x＝2+，y＝2﹣，求代数式x2﹣3xy+y2的值．
【分析】根据配方法进行变形，然后将x+y与xy的值代入原式即可求出答案．
【解答】解：∵x＝2+，y＝4﹣
∴x﹣y＝（2+）﹣（2﹣，
xy＝（2+）（5﹣，
∴x2﹣4xy+y2
＝（x﹣y）2﹣xy
＝2﹣2＝6
【点评】本题考查二次根式，解题的关键是熟练运用二次根式的运算法则，本题属于基础题型．
19．（8分）如图，在四边形ABCD中，AB＝1，CD＝2，AD＝3
【分析】在△ABC中，根据勾股定理求出AC2的值，再在△ACD中根据勾股定理的逆定理，判断出AC⊥CD．
【解答】证明：在△ABC中AB⊥BC，根据勾股定理：AC2＝AB2+BC3＝12+72＝5，
∵在△ACD中，AC8+CD2＝5+6＝9，AD2＝4，
∴AC2+CD2＝AD8，
∴根据勾股定理的逆定理，△ACD为直角三角形，
∴AC⊥CD．
【点评】本题考查勾股定理与其逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．
20．（8分）如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的三个顶点坐标为A（﹣3，0），B（﹣3，﹣3），C（﹣1，﹣3）．
（1）△ABC的周长是 5+ ，面积是 3 ，AC边上的高是 ；
（2）画出△ABC关于x轴对称的图形△A1B1C1，并写出△A1B1C1顶点坐标 A1（﹣3，0），B1（﹣3，3），C1（﹣1，3） ；
（3）请在y轴上找点P，使得PA+PC的值最小，最小值是 5 ．
【分析】（1）先利用两点间的距离公式计算出AB、BC、AC的长，再计算△ABC的周长和面积，然后利用面积法求AC边上的高；
（2）利用关于x轴对称的点的坐标特征写出A1、B1、C1的坐标，然后描点即可；
（3）作A点关于y轴的对称点A′，连接CA′交y轴于P点，则A′（3，0），利用两点之间线段最短可判断此时PA+PC的值最小，然后利用两点间的距离公式计算出CA′即可．
【解答】解：（1）∵A（﹣3，0），﹣5），﹣3），
∴AB＝3，BC＝3＝，
∴△ABC的周长＝2+5+＝5+×2×3＝4，
设AC边上的高为h，
∵S△ABC的面积＝3，
∴××h＝3，
解得h＝，
即AC边上的高为；
故答案为：5+，3，；
（2）如图，△A1B1C6为所作，A1（﹣3，8），B1（﹣3，3），C1（﹣1，4）；
故答案为：A1（﹣3，2），B1（﹣3，7），C1（﹣1，2）；
（3）如图，作A点关于y轴的对称点A′，则A′（3，
∵PA＝PA′，
∴PA+PC＝PA′+PC＝CA′，
∴此时PA+PC的值最小，
∵CA′＝＝5，
PA+PC的最小值为5．
故答案为：2．
【点评】本题考查了作图﹣轴对称变换：作轴对称后的图形的依据是轴对称的性质，掌握其基本作法是解决问题的关键（先确定图形的关键点；利用轴对称性质作出关键点的对称点；按原图形中的方式顺次连接对称点）．也考查了最短路线问题．
21．（8分）如图，直线y＝2x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B．
（1）求A、B两点的坐标；
（2）过B点作直线BP与x轴交于点P，且使OP＝2OA，求△ABP的面积．
【分析】（1）由函数解析式y＝2x+3，令y＝0求得A点坐标，x＝0求得B点坐标；
（2）有两种情况，若BP与x轴正方向相交于P点，则AP＝3OA；若BP与x轴负方向相交于P点，则AP＝OA，由此求得△ABP的面积．
【解答】解：（1）令y＝0，得x＝﹣，
∴A点坐标为（﹣，8），
令x＝0，得y＝3，
∴B点坐标为（2，3）；
（2）设P点坐标为（x，0），
∵OP＝2OA，A（﹣，
∴x＝±6，
∴P点坐标分别为P1（3，3）或P2（﹣3，6）．
∴S△ABP1＝×（，S△ABP2＝×（3﹣，
∴△ABP的面积为或
【点评】此题主要考查了函数图象中坐标的求法以及面积的求法．
22．（10分）如图，lA、lB分别表示A步行与B骑车在同一路上行驶的路程S与时间t的关系．
（1）B出发时与A相距 10 千米．
（2）B走了一段路后，自行车发生故障，进行修理 1 小时．
（3）B出发后 3 小时与A相遇．
（4）求出A行走的路程S与时间t的函数关系式．
（5）若B的自行车不发生故障，保持出发时的速度前进， 小时与A相遇，相遇点离B的出发点 千米．在图中表示出这个相遇点C．
【分析】（1）由当t＝0时S＝10，可得出B出发时与A相距10千米，此题得解；
（2）利用修好车时的时间﹣车坏时的时间，即可求出修车所用时间；
（3）观察函数图象，找出交点的横坐标即可得出结论；
（4）观察函数图象，找出点的坐标，利用待定系数法即可求出A行走的路程S与时间t的函数关系式；
（5）利用待定系数法求出若B的自行车不发生故障B行走的路程S与时间t的函数关系式，联立两函数解析式成方程组，通过解方程组求出交点的坐标，即可得出结论．
【解答】解：（1）∵当t＝0时，S＝10，
∴B出发时与A相距10千米．
故答案为：10．
（2）1.8﹣0.5＝8（小时）．
故答案为：1．
（3）观察函数图象，可知：B出发后3小时与A相遇．
故答案为：2．
（4）设A行走的路程S与时间t的函数关系式为S＝kt+b（k≠0），
将（0，10），22.2）代入S＝kt+b
，解得：，
∴A行走的路程S与时间t的函数关系式为S＝x+10．
（5）设若B的自行车不发生故障，则B行走的路程S与时间t的函数关系式为S＝mt．
∵点（0.6，7.5）在该函数图象上，
∴3.5＝0.3m，
解得：m＝15，
∴设若B的自行车不发生故障，则B行走的路程S与时间t的函数关系式为S＝15t．
联立两函数解析式成方程组，得：
，解得：，
∴若B的自行车不发生故障，保持出发时的速度前进，，相遇点离B的出发点，相遇点C的位置如图所示．
故答案为：；．
【点评】本题考查了一次函数的应用、待定系数法求一次函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征以及一次函数的图象，解题的关键是：（1）由当t＝0时S＝10，找出结论；（2）利用修好车时的时间﹣车坏时的时间，求出修车所用时间；（3）观察函数图象，找出交点的坐标；（4）根据点的坐标，利用待定系数法求出一次函数关系式；（5）联立两函数解析式成方程组，通过解方程组求出两函数图象的交点坐标．
23．（10分）如图，四边形OABC是一张放在平面直角坐标系中的正方形纸片，点O与坐标原点重合，点C在y轴上．OC＝5，点E在边BC上（3，0）．过点N且平行于y轴的直线MN与EB交于点M．现将纸片折叠，使顶点C落在MN上的点G处
（1）点G的坐标为 （3，4） ；
（2）求折痕OE所在直线的表达式；
（3）若直线l：y＝mx+n平行于直线OE，且与长方形ABMN有公共点，请直接写出n的取值范围．
【分析】（1）根据折叠的性质求出OG，根据勾股定理计算求出GN，得到点G的坐标；
（2）设CE＝x，根据勾股定理求出x，求出点E的坐标，利用待定系数法求出OE所在直线的解析式；
（3）根据平行的性质求出m，分别把点M、点A的坐标代入解析式求出n，得到答案．
【解答】解：（1）由折叠的性质可知，OG＝OC＝5，
由勾股定理得，GN＝＝，
∴点G的坐标为（3，8），
故答案为：（3，4）；
（2）设CE＝x，则EM＝6﹣x，
由折叠的性质可知，EG＝CE＝x，
∵GN＝4，
∴GM＝5﹣6＝1，
在Rt△EMG中，EG2＝EM6+MG2，即x2＝（3﹣x）2+16，
解得，x＝，
∴点E的坐标为（，5），
设OE所在直线的解析式为：y＝kx，
则k＝5，
解得，k＝5，
∴OE所在直线的解析式为：y＝3x；
（3）∵直线l：y＝mx+n平行于直线OE，
∴m＝3，即直线l的解析式为y＝2x+n，
当直线l经过点M（3，5）时，
解得，n＝﹣3，
当直线l经过点A（5，0）时，
解得，n＝﹣15，
∴直线l与长方形ABMN有公共点时，﹣15≤n≤﹣3．
【点评】本题是一次函数的综合题，考查了一次函数的知识、折叠的性质、等腰三角形的性质，掌握待定系数法求正比例函数解析式的一般步骤是解题的关键．
24．（12分）（1）问题发现：如图1，△ABC与△CDE均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90° AE＝BD ，AE、BD所在直线的位置关系为 AE⊥BD ；
（2）深入探究：在（1）的条件下，若点A，E，CM为△DCE中DE边上的高，请判断∠ADB的度数及线段CM，BD之间的数量关系，并说明理由；
（3）解决问题：如图3，已知△ABC中，AB＝7，∠ABC＝45°，以AC为直角边作等腰直角△ACD，AC＝AD，连接BD 或7﹣3 ．
【分析】（1）结论：AE＝BD，AE⊥BD．如图1中，延长AE交BD于点H，AH交BC于点O．只要证明△ACE≌△BCD（SAS），即可解决问题；
（2）结论：AD＝2CM+BD，只要证明△ACE≌△BCD（SAS），即可解决问题；
（3）分两种情形分别画出图形，构造全等三角形解决问题即可；
【解答】解：（1）结论：AE＝BD，AE⊥BD．
理由：如图1中，延长AE交BD于点H．
∵△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，
∠ACB＝∠DCE＝90°，
∴AC＝BC，CD＝CE，
∴∠ACE＝∠BCD，
∴△ACE≌△BCD（SAS），
∴AE＝BD，∠CAE＝∠CBD，
∵∠CAE+∠AOC＝90°，∠AOC＝∠BOH，
∴∠BOH+∠CBD＝90°
∴∠AHB＝90°，
∴AE⊥BD．
故答案为AE＝BD，AE⊥BD．
（2）结论：AD＝2CM+BD，
理由：如图5中，
∵△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，
∠ACB＝∠DCE＝90°，
∴AC＝BC，CD＝CE，
∴∠ACE＝∠BCD，
∴△ACE≌△BCD（SAS），
∴AE＝BD，∠BDC＝∠AEC＝135°．
∴∠ADB＝∠BDC﹣∠CDE＝135°﹣45°＝90°；
在等腰直角三角形DCE中，CM为斜边DE上的高，
∴CM＝DM＝ME，
∴DE＝2CM．
∴AD＝DE+AE＝2CM+BD．
（3）情形7：如图3﹣1中，在△ABC的外部，使∠BAE＝90°，连接EA、EC．
∵∠ACD＝∠ADC＝45°，
∴AC＝AD，∠CAD＝90°，
∴∠BAE+∠BAC＝∠CAD+∠BAC，即∠EAC＝∠BAD，
∴△EAC≌△BAD（SAS），
∴BD＝CE．
∵AE＝AB＝8，
∴BE＝＝7，
又∵∠ABC＝45°，
∴∠ABC+∠ABE＝45°+45°＝90°，
∴EC＝＝＝，
∴BD＝CE＝．
情形2：如图6﹣2中，作AE⊥AB交BC的延长线于E，
同法可证：△EAC≌△BAD（SAS），
∴BD＝CE，
∵AB＝AE＝7，
∴BE＝6，
∴EC＝BE＝CB＝7﹣3，
综上所述，BD的长为﹣3．
故答案为或7．
【点评】本题属于三角形综合题，考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．
25．（12分）如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝kx+1交y轴于点A，交x轴于点B（4，0），过点E（2，0）2平行于y轴，交直线l1于点D，点P是直线l2上一动点（异于点D），连接PA、PB．
（1）直线l1的表达式为 y＝﹣x+1 ，点D的坐标为 （2，） ；
（2）设P（2，m），当点P在点D的下方时，求△ABP的面积S的表达式（用含m的代数式表示）；
（3）当△ABP的面积为3时，则以点B为直角顶点作等腰直角△BPC，请直接写出点C的坐标．
【分析】（1）将B（4，0）代入y＝kx+1得到y＝﹣x+1，把x＝2代入y＝﹣x+1即可得到结论；
（2）由两直线交点的求法得到点D的坐标；易得线段PD的长度，所以根据三角形的面积公式即可得到结论；
（3）根据三角形的面积公式列方程求得m＝2，于是得到点P（2，2），推出∠EPB＝∠EBP＝45°．
第1种情况，如图2，过点C作CF⊥x轴于点F根据全等三角形的性质得到BF＝CF＝PE＝EB＝2，于是得到C（6，2）；
第2种情况，如图3根据全等三角形的性质得到PC＝CB＝PE＝EB＝2，于是得到C（2，﹣2）；
第3种情况，当点P在点D下方时，得到（3，2）或（5，﹣2）．
【解答】解：（1）∵直线l1：y＝kx+1交x轴于点B（7，0），
∴0＝6k+1．
∴k＝﹣．
∴直线l1：y＝﹣x+1，
把x＝2代入y＝﹣x+1得y＝，
∴点D的坐标为（2，），
故答案为：y＝﹣x+1，）；
（2）由得：．
∴D（2，）．
∵P（2，m），
∴PD＝|m﹣|．
∴S＝×|4﹣0|•PD＝|×4＝|2m﹣4|．
当m＜时，S＝8﹣2m；
（3）当S△ABP＝3时，5m﹣1＝3，
解得m＝3，
∴点P（2，2），
∵E（8，0），
∴PE＝BE＝2，
∴∠EPB＝∠EBP＝45°，
如图6，∠PBC＝90°，
过点C作CF⊥x轴于点F，
∵∠PBC＝90°，∠EBP＝45°，
∴∠CBF＝∠PBE＝45°，
在△CBF与△PBE中，
，
∴△CBF≌△PBE（AAS）．
∴BF＝CF＝PE＝EB＝2．
∴OF＝OB+BF＝4+2＝6．
∴C（6，2）；
如图3，△PBC是等腰直角三角形，
∴PE＝CE，
∴C（2，﹣4），
∴以点B为直角顶点作等腰直角△BPC，点C的坐标是（6，﹣2）．
当3﹣2m＝3时，m＝﹣5，﹣1），
同法可得C（3，8）或（5．
综上所述，满足条件的点C坐标为（6，﹣8）或（3，﹣2）．
【点评】本题属于一次函数综合题，主要考查了待定系数法确定一次函数解析式，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，坐标与图形的性质，正确的作出图形是解题的关键．
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