辽宁省鞍山市铁西区2021-2022学年九年级上学期期中数学试卷

这是一份辽宁省鞍山市铁西区2021-2022学年九年级上学期期中数学试卷，共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题，解答题题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）关于x的一元二次方程ax2﹣2x+2＝0有实数根，则a的取值范围是（ ）
A．a≤且a≠0B．a＜且a≠0C．a≥D．a＞
2．（3分）如图，在△ABC中，∠BAC＝70°，分别以点A和点C为圆心，大于，两弧相交于点M，N，作直线MN交BC于点D，则∠BAD的度数为（ ）
A．40°B．50°C．60°D．70°
3．（3分）方程（x+1）2＝x+1的解是（ ）
A．x＝0B．x＝1
C．x1＝1，x2＝0D．x1＝0，x2＝﹣1
4．（3分）如图所示，△ABC的顶点在正方形网格的格点上，则tanA的值为（ ）
A．B．C．2D．2
5．（3分）下列关于二次函数y＝﹣x2+4x+3的说法正确的是（ ）
A．该函数图象的开口向上
B．该函数图象的顶点坐标为（2，3）
C．当x＜2时，y随x的增大而减小
D．该函数的最大值为7
6．（3分）如图，某商场准备改善原有楼梯的安全性能，把坡角由37°减至30°，调整后的楼梯AC会加长（ ）（参考数据：sin37°≈，cs37°≈，tan37°≈）．
A．0.5米B．1米C．1.5米D．2米
7．（3分）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表：
从上表可知，下列说法中正确的有（ ）个．
①方程ax2+（b﹣1）x+c＝0的一个解为x＝1；
②函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的最大值为5；
③在对称轴左侧，y随x增大而减小；
④3a+c＝0．
A．1B．2C．3D．4
8．（3分）如图，在△ABC中，DE∥BC，点D、E、F分别在边AB、AC、BC上，那么下列等式不正确的是（ ）
A．B．C．D．
二、填空题：（8个小题，每题3分，共24分）
9．（3分）已知二次函数y＝x2﹣（m﹣2）x+4的图象的顶点在x轴上，则m的值是 ．
10．（3分）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，连接BE，若OE＝2，则矩形ABCD的面积为 ．
11．（3分）已知y＝a（x+h）2+k是由抛物线y＝﹣x2向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度得到的，则a＝ ，h＝ ，k＝ ．
12．（3分）如图，已知正方形ABCD中，E、G分别是AD、BC的中点，线段CE分别交BD、DG于点F，H． ．
13．（3分）如图，在长为32米，宽为12米的矩形地面上修建如图所示的道路（图中的阴影部分），要使得草坪的面积为300平方米，则可列方程为 ．
14．（3分）如图，在一笔直的海岸线l上有A、B两个观测站，AB＝4km，从B测得船C在北偏东22.5°的方向，则船C离海岸线l的距离（即CD的长） km．
15．（3分）点P（a，b）在以y轴为对称轴的二次函数y＝x2+mx+7的图象上，则4a﹣b的最大值等于 ．
16．（3分）如图，四边形ABCD中，对角线AC，若∠BAC＝∠BDC，则下列结论中
①；
②△ABE与△DCE的周长比为；
③∠ADE＝∠ABC；
④S△ABE•S△DCE＝S△ADE•S△BCE．
正确的序号是 ．
三、解答题：（17题12分，18题6分，共18分）
17．（12分）解方程．
（1）（﹣2x﹣1）2＝3（2x+1）；
（2）t2﹣t+＝0；
（3）2x2﹣x﹣15＝0．
18．（6分）如图，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣A，6），B（﹣8，0），C（﹣2，2）．
（1）在y轴上确定一个点P，使PA+PC的值最小（要求保留画图痕迹），最小值是 ．
（2）画出△ABC关于原点O的位似△A′B′C′，要求新图形与原图形的位似比为1：2，并写出所画图中点C的坐标（只需画出一个满足题意的△A′B′C′即可）．
四、解答题：（19题8分，20题10分，共18分）
19．（8分）已知，抛物线y＝a（x+1）2的顶点为A，图象与y轴负半轴交点为B，且OB＝OA（﹣4，b）在抛物线上，请画出草图并求△ABC的面积．
20．（10分）如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD和∠DCB的平分线AE，AD于点E，F，点M，CF的中点，连接FM
（1）求证：BE＝DF；
（2）求证：四边形FMEN是平行四边形．
五、解答题题：（2个小题，每题10分，共20分）
21．（10分）如图，某大楼AB正前方有一栋小楼ED，小明从大楼顶端A测得小楼顶端E的俯角为45°，小楼底端D到大楼前梯坎BC的底端C有80米，梯坎BC长65米．梯坎BC的坡度i＝1：2.4
（结果精确到1米，参考数据：≈1.73，sin24°≈0.41，cs24°≈0.91，tan24°≈0.45）
22．（10分）水果店销售某种水果，已知该水果的进价为4.1元/斤，售价为8.1元/斤（x为整数）的销量及储藏和损耗费用的相关信息如表所示，若销售该水果第x（天）（1≤x＜10）（元），求x的值．
六、解答题：（2个小题，每题10分，共20分）
23．（10分）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，CE平分∠DCB，AE＝3，求CE的长．
24．（10分）某服装批发市场销售一种衬衫，衬衫每件进货价为50元．规定每件售价不低于进货价，经市场调查，每月的销售量为700件，每件售价每涨1元每月的销售量就下降20件（件），每件的售价为x（元）．
（1）求出y与x之间的函数表达式；（不需要求自变量x的取值范围）
（2）物价部门规定，该衬衫的每件利润不允许高于进货价的30%，设销售这种衬衫每月的总利润为w（元），x为多少时，w有最大值
七、解答题：（1个小题，12分）
25．（12分）已知：在△AOB与△COD中，OA＝OB，OC＝OD
（1）如图1，点C、D分别在边OA、OB上，连结AD、BC，连结OM，线段AD与OM之间的数量关系是 ；
（2）如图2，将图1中的△COD绕点O逆时针旋转，使△COD的一边OD恰好与△AOB的边OA在同一条直线上时，点M为线段BC的中点，确定AD与OM之间的数量关系；
（3）如图3，将图1中的△COD绕点O逆时针旋转，旋转角为α（0°＜α＜90°），点M为线段BC的中点，连结OM，并证明．
（4）将△COD绕点O旋转一周，若，当B、C、D三点共线时，BD的长为 ．
八、解答题：（1个小题，14分）
26．（14分）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于点A（﹣1，0）、B（3，0），交y轴于点C（0，3）．
（1）求此二次函数的解析式；
（2）若点M是该二次函数图象上一点，且△BCM是以BC为直角边的直角三角形，求点M的坐标；
（3）P为x轴上一点，N为抛物线上一点，是否存在这样的点P，若存在，请直接写出点P的坐标，请说明理由．
2021-2022学年辽宁省鞍山市铁西区九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：（8个小题，每题3分，共24分）
1．（3分）关于x的一元二次方程ax2﹣2x+2＝0有实数根，则a的取值范围是（ ）
A．a≤且a≠0B．a＜且a≠0C．a≥D．a＞
【分析】利用一元二次方程根的定义和判别式的意义得到a≠0且Δ＝4﹣4×2a≥0，然后求出两不等式的公共部分即可．
【解答】解：根据题意得a≠0且Δ＝4﹣7×2a≥0，
解得a≤且a≠0．
故选：A．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．
2．（3分）如图，在△ABC中，∠BAC＝70°，分别以点A和点C为圆心，大于，两弧相交于点M，N，作直线MN交BC于点D，则∠BAD的度数为（ ）
A．40°B．50°C．60°D．70°
【分析】根据线段垂直平分线的性质得出∠DAC＝∠C＝30°，进而求出∠BAD的度数．
【解答】解：由作图可知：MN垂直平分线段AC，
可得DA＝DC，
则∠DAC＝∠C＝30°，
故∠BAD＝70°﹣30°＝40°，
故选：A．
【点评】本题考查作图﹣基本作图，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
3．（3分）方程（x+1）2＝x+1的解是（ ）
A．x＝0B．x＝1
C．x1＝1，x2＝0D．x1＝0，x2＝﹣1
【分析】利用因式分解法求解即可．
【解答】解：∵（x+1）2＝x+5，
∴（x+1）2﹣（x+4）＝0，
则x（x+1）＝5，
∴x＝0或x+1＝2，
解得x1＝0，x8＝﹣1，
故选：D．
【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
4．（3分）如图所示，△ABC的顶点在正方形网格的格点上，则tanA的值为（ ）
A．B．C．2D．2
【分析】根据网格构造直角三角形，由勾股定理可求AD、BD，再根据三角函数的意义可求出tanA的值．
【解答】解：如图，连接BD，BD⊥AC，
AD＝＝2＝，
∴tanA＝＝＝，
故选：A．
【点评】本题考查直角三角形的边角关系，掌握直角三角形的边角关系是解决问题的前提，利用网格构造直角三角形是解决问题的关键．
5．（3分）下列关于二次函数y＝﹣x2+4x+3的说法正确的是（ ）
A．该函数图象的开口向上
B．该函数图象的顶点坐标为（2，3）
C．当x＜2时，y随x的增大而减小
D．该函数的最大值为7
【分析】根据二次函数的性质判断即可．
【解答】解：∵二次函数y＝﹣x2+4x+5中，a＝﹣1＜0，
∴该函数图象的开口向下，故选项A错误；
∵y＝﹣x5+4x+3＝﹣（x﹣8）2+7，
∴该函数图象的顶点坐标为（2，7），不符合题意；
∵抛物线y＝﹣x2+2x+3开口向下，对称轴为直线x＝2，
∴当x＜5时，y随x的增大而增大，不符合题意；
∵抛物线y＝﹣x2+4x+7开口向下，顶点坐标为（2，
∴该函数的最大值为7，故选项D正确；
故选：D．
【点评】本题考查了二次函数的图象与性质，主要利用了开口方向，顶点坐标，对称轴以及二次函数的增减性．
6．（3分）如图，某商场准备改善原有楼梯的安全性能，把坡角由37°减至30°，调整后的楼梯AC会加长（ ）（参考数据：sin37°≈，cs37°≈，tan37°≈）．
A．0.5米B．1米C．1.5米D．2米
【分析】先根据正弦的定义求出AD，再根据含30°角的直角三角形的性质求出AC，计算即可．
【解答】解：在Rt△ADB中，∠ABD＝37°，
∵sin∠ABD＝，
∴AD＝AB•sin∠ABD≈5×＝3（米），
在Rt△ACB中，∠ACD＝30°，
则AC＝2AD＝5×3＝6（米），
∵5﹣5＝1，
∴调整后的楼梯AC会加长4米，
故选：B．
【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
7．（3分）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表：
从上表可知，下列说法中正确的有（ ）个．
①方程ax2+（b﹣1）x+c＝0的一个解为x＝1；
②函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的最大值为5；
③在对称轴左侧，y随x增大而减小；
④3a+c＝0．
A．1B．2C．3D．4
【分析】利用图表结合二次函数对称性，确定抛物线的对称轴，即可得出判断．
【解答】解：①方程ax2+（b﹣1）x+c＝2可以看成y＝ax2+bx+c＝x，即x＝y，
从表格看，此时，
故①正确，符合题意；
②从表格看，抛物线的对称轴为：x＝﹣1，
对称轴的右侧，y随x的增大而减小，
故抛物线在对称轴处取得最大值为6，
故②正确，符合题意；
③由②知，在对称轴左侧，
故③错误，不符合题意；
④当x＝1时，y＝a+b+c＝1，
由抛物线的对称轴为x＝﹣4，则b＝2a，
则3a+c＝8，故④错误；
故选：B．
【点评】此题主要考查了抛物线的性质，二次函数对称性是解题关键．
8．（3分）如图，在△ABC中，DE∥BC，点D、E、F分别在边AB、AC、BC上，那么下列等式不正确的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据相似三角形的判定和性质判断即可．
【解答】解：∵DE∥BC，DF∥AC，
∴△ADE∽△ABC，△BDF∽△BAC，
∴＝＝，＝，＝，＝，
故A，B，D正确；
故选：C．
【点评】此题考查了相似三角形的判定和性质．解题的关键是根据相似三角形的判定与性质求解．
二、填空题：（8个小题，每题3分，共24分）
9．（3分）已知二次函数y＝x2﹣（m﹣2）x+4的图象的顶点在x轴上，则m的值是 6或﹣2 ．
【分析】根据二次函数y＝x2﹣（m﹣2）x+4的图象的顶点在x轴上，可知该函数顶点的纵坐标为0，即＝0，然后求解即可．
【解答】解：∵二次函数y＝x2﹣（m﹣2）x+4的图象的顶点在x轴上，
∴＝0，
解得m4＝6，m2＝﹣4，
故答案为：6或﹣2．
【点评】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确二次函数图象顶点在x轴上时，顶点的纵坐标都是0．
10．（3分）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，连接BE，若OE＝2，则矩形ABCD的面积为 24 ．
【分析】根据矩形性质可得OB＝OD＝OA＝OC，∠BAD＝90°，由OE⊥AD，可得AE＝DE，所以OE是△ABD的中位线，再根据勾股定理可得AE的长，进而可得矩形的面积．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴OB＝OD＝OA＝OC，∠BAD＝90°，
∵OE⊥AD，
∴AE＝DE，
∴OE是△ABD的中位线，
∴AB＝2OE＝4，
∵BE＝4，
∴AE＝＝4，
∴AD＝2AE＝6，
∴矩形ABCD的面积＝AB•AD＝6×6＝24．
故答案为：24．
【点评】本题考查了矩形的性质，三角形中位线定理，勾股定理，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．
11．（3分）已知y＝a（x+h）2+k是由抛物线y＝﹣x2向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度得到的，则a＝ ﹣1 ，h＝ ﹣2 ，k＝ 3 ．
【分析】直接根据“上加下减，左加右减”的原则得到平移后的二次函数的顶点式，进而即可得到结论．
【解答】解：∵抛物线y＝﹣x2向上平移3个单位长度，再向右平移5个单位长度得到抛物线y＝﹣（x﹣2）2+8，
∴a＝﹣1，h＝﹣2，
故答案为：﹣2，﹣2，3．
【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键．
12．（3分）如图，已知正方形ABCD中，E、G分别是AD、BC的中点，线段CE分别交BD、DG于点F，H． ．
【分析】因为E是AD的中点，所以，因为四边形ABCD是正方形，所以AD＝BC，AD∥BC，则，△DEF﹣△BCF，所以 ，，又因为G是BC的中点，则 ，推出CG＝DE，因为AD∥BC，△DEH∽△GCH，则，推出，因为，所以，则．
【解答】解：∵E是AD的中点，
∴，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝BC，AD∥BC，
∴，△DEF﹣△BCF，
∴，，
∵G是BC的中点，
∴，
∴CG＝DE，
∵AD∥BC，
∴△DEH﹣△GCH，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：．
【点评】本题考查相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，正方形的性质，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．
13．（3分）如图，在长为32米，宽为12米的矩形地面上修建如图所示的道路（图中的阴影部分），要使得草坪的面积为300平方米，则可列方程为 （32﹣x）（12﹣x）＝300 ．
【分析】根据平行四边形的面积计算公式及道路的铺设方式，可得出铺设草坪的面积等于长为（32﹣x）米、宽（12﹣x）米的矩形面积，结合草坪的面积为300平方米，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：∵道路的宽为x米，
∴铺设草坪的面积等于长为（32﹣x）米、宽（12﹣x）米的矩形面积．
∵草坪的面积为300平方米，
∴（32﹣x）（12﹣x）＝300．
故答案为：（32﹣x）（12﹣x）＝300．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
14．（3分）如图，在一笔直的海岸线l上有A、B两个观测站，AB＝4km，从B测得船C在北偏东22.5°的方向，则船C离海岸线l的距离（即CD的长） （4+2） km．
【分析】通过作垂线构造直角三角形，利用等腰直角三角形的性质和角平分线的性质得出答案．
【解答】解：由题意可得，∠CAB＝∠ACD＝45°
∴AD＝CD，
过点B作BE⊥AC，垂足为E，
在Rt△ABE中，
AE＝BE＝AB•sin45°＝2（km），
由题意可得∠BCA＝∠BCD＝22.8°，BD⊥CD，
∴BD＝BE＝AE＝2（km），
∴AD＝CD＝AB+BD＝（2+2）km，
故答案为：（2+2）．
【点评】本题考查直角三角形的边角关系，掌握直角三角形的边角关系、角平分线的性质是正确解答的前提．
15．（3分）点P（a，b）在以y轴为对称轴的二次函数y＝x2+mx+7的图象上，则4a﹣b的最大值等于 ﹣3 ．
【分析】根据二次函数以y轴为对称轴可得y＝x2+7，把点P（a，b）代入，b＝a2+7，所以4a﹣b＝﹣a2+4a﹣7，最后求关于a的二次函数的最值即可．
【解答】解：∵P（a，b）在以y轴为对称轴的二次函数y＝x2+mx+7的图象上，
∴m＝5，b＝a2+7，
∴5a﹣b＝﹣a2+4a﹣5＝﹣（a﹣2）2﹣8，
∴当a＝2时，4a﹣b取得最大值为﹣6，
故4a﹣b的最大值等于﹣3，
故答案为：﹣4．
【点评】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的最值，通过转化得出关于a的二次函数是解题的关键．
16．（3分）如图，四边形ABCD中，对角线AC，若∠BAC＝∠BDC，则下列结论中
①；
②△ABE与△DCE的周长比为；
③∠ADE＝∠ABC；
④S△ABE•S△DCE＝S△ADE•S△BCE．
正确的序号是 ①②④ ．
【分析】①根据相似三角形的判定和性质即可判断；
②根据相似三角形周长的比等于相似比即可判断；
③根据∠BAC＝∠BDC，可得A，B，C，D共圆，根据已知条件可得∠ABC＝∠ACB，但这两个角不一定相等，进而可以判断；
④假设S△ABE•S△DCE＝S△ADE•S△BCE．根据共高的两个三角形面积之比即可判断．
【解答】解：①∵∠BAC＝∠BDC，∠AEB＝∠DEC，
∴△AEB∽△DEC，
∴；故①正确；
②∵△AEB∽△DEC，
∴△ABE与△DCE的周长比；故②正确；
③∵∠BAC＝∠BDC，
∴A，B，C，D共圆，
∴∠ADE＝∠ACB，
如果∠ADE＝∠ABC，
∴∠ABC＝∠ACB，
但这两个角不一定相等，故③错误；
④假设S△ABE•S△DCE＝S△ADE•S△BCE．
∴，
∵△ABE和△ADE共高，
∴＝，
∵△BCE和△DCE共高，
∴＝，
∴，故④正确．
∴结论中正确的是①②④，
故答案为：①②④．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握相似三角形的判定与性质．
三、解答题：（17题12分，18题6分，共18分）
17．（12分）解方程．
（1）（﹣2x﹣1）2＝3（2x+1）；
（2）t2﹣t+＝0；
（3）2x2﹣x﹣15＝0．
【分析】（1）先移项，再利用因式分解法把方程转化为2x+1＝0或2x+1﹣3＝0，然后解两个一次方程即可；
（2）先把方程的系数化为整系数，再计算出根的判别式的值，然后根据求根公式得到方程的解；
（3）先利用因式分解法把方程转化为2x+5＝0或x﹣3＝0，然后解两个一次方程即可．
【解答】解：（1）（﹣2x﹣1）2＝3（2x+7）；
方程变形为（2x+1）2﹣3（2x+6）＝0，
（2x+4）（2x+1﹣4）＝0，
2x+4＝0或2x+5﹣3＝0，
所以x2＝﹣，x2＝1；
（2）t2﹣t+；
方程变形为8t2﹣4t+1＝8，
∵a＝8，b＝﹣4，
∴Δ＝（﹣4）6﹣4×8×8＝0，
∴t＝＝，
∴t4＝t2＝；
（3）2x2﹣x﹣15＝5，
（2x+5）（x﹣6）＝0，
2x+4＝0或x﹣3＝5，
所以x1＝﹣，x2＝3．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了公式法．
18．（6分）如图，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣A，6），B（﹣8，0），C（﹣2，2）．
（1）在y轴上确定一个点P，使PA+PC的值最小（要求保留画图痕迹），最小值是 3 ．
（2）画出△ABC关于原点O的位似△A′B′C′，要求新图形与原图形的位似比为1：2，并写出所画图中点C的坐标（只需画出一个满足题意的△A′B′C′即可）．
【分析】（1）利用基本作图，作点A关于y轴的对称点A″，连接CA′与y轴的交点即为P点；
（2）在第四象限画出△A'B'C'，把点A、B、C的横纵坐标都乘以﹣得到A′、B′、C′的坐标，然后描点即可．
【解答】解：（1）如图，点P为所作；
PA+PC最小值为＝3；
（2）如图，△A'B'C'为所作，﹣1）．
【点评】本题考查了作图﹣位似变换，熟练掌握关于以原点为位似中心的对应点的坐标特征．也考查了垂直平分线的性质．
四、解答题：（19题8分，20题10分，共18分）
19．（8分）已知，抛物线y＝a（x+1）2的顶点为A，图象与y轴负半轴交点为B，且OB＝OA（﹣4，b）在抛物线上，请画出草图并求△ABC的面积．
【分析】先根据二次函数的性质确定A点坐标得到OA＝1，再确定B点坐标，则把B点坐标代入y＝a（x+1）2中求出a得到抛物线解析式，接着确定C点坐标，过C点作CD⊥x轴于D点，根据三角形面积公式，利用S△ABC＝S梯形OBCD﹣S△ACD﹣S△OAB进行计算．
【解答】解：∵抛物线y＝a（x+1）2的顶点A的坐标为（﹣7，0），
∴OA＝1，
∵OB＝OA＝4，
∴B（0，﹣1），
把B（4，﹣1）代入y＝a（x+1）7得a＝﹣1，
∴抛物线解析式为y＝﹣（x+1）2，
把C（﹣4，b）代入得b＝﹣（﹣4+4）2＝﹣9，
∴C点坐标为（﹣4，﹣9），
如图，过C点作CD⊥x轴于D点，
S△ABC＝S梯形OBCD﹣S△ACD﹣S△OAB
＝×（1+9）×7﹣×1×7
＝6．
【点评】本题考查了二次函数的性质：抛物线y＝a（x﹣h）2+k，a＞0，x＝h时，y取得最小值k；当a＜0时，抛物线的开口向下，x＝h时，y取得最大值k．也考查了二次函数的图象上点的坐标特征．
20．（10分）如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD和∠DCB的平分线AE，AD于点E，F，点M，CF的中点，连接FM
（1）求证：BE＝DF；
（2）求证：四边形FMEN是平行四边形．
【分析】（1）由平行四边形的性质得出AD∥BC，AB＝CD，∠BAD＝∠DCB，∠B＝∠D，证出∠BAE＝∠DCF，由ASA证明△BAE≌△DCF，即可得出结论；
（2）由全等三角形的性质得出得出AE＝CF，∠AEB＝∠DFC，证出AE∥CF，由已知得出ME∥FN，ME＝FN，即可证出四边形MENF是平行四边形．
【解答】（1）证明；∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB＝CD，∠B＝∠D，∠DFC＝∠BCF，
∵∠BAD和∠DCB的平分线AE、CF分别交BC、F，
∴∠BAE＝∠DAE＝∠BAD∠DCB，
∴∠BAE＝∠DCF，
在△BAE和△DCF中，，
∴△BAE≌△DCF（ASA），
∴BE＝DF；
（2）证明：∵△BAE≌△DCF，
∴AE＝CF，∠AEB＝∠DFC，
∴∠AEB＝∠BCF，
∴AE∥CF，
∵点M、N分别为AE，
∴ME∥FN，ME＝FN，
∴四边形FMEN是平行四边形．
【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行线的判定与性质；熟练掌握平行四边形的性质与判定，证明三角形全等是解决问题的关键．
五、解答题题：（2个小题，每题10分，共20分）
21．（10分）如图，某大楼AB正前方有一栋小楼ED，小明从大楼顶端A测得小楼顶端E的俯角为45°，小楼底端D到大楼前梯坎BC的底端C有80米，梯坎BC长65米．梯坎BC的坡度i＝1：2.4
（结果精确到1米，参考数据：≈1.73，sin24°≈0.41，cs24°≈0.91，tan24°≈0.45）
【分析】根据题意可得：EF⊥AB，EF＝DH，AE∥EF∥BG，从而可得∠EAF＝∠AEF＝45°，∠FEB＝∠EBG＝24°，再根据已知易得＝，从而设BH＝5x米，则CH＝12x米，然后在Rt△BCH中，利用勾股定理可求出CH，BH的长，从而求出DH，EF的长，最后分别在Rt△EFB和Rt△AEF中，利用锐角三角函数的定义求出BF和AF的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答．
【解答】解：如图：
由题意得：EF⊥AB，EF＝DH，
∴∠EAF＝∠AEF＝45°，∠FEB＝∠EBG＝24°，
∵梯坎BC的坡度i＝1：2.8，
∴＝＝，
∴设BH＝5x米，则CH＝12x米，
在Rt△BCH中，BC＝＝，
∵BC＝65米，
∴13x＝65，
∴x＝5，
∴BH＝25米，CH＝60米，
∵CD＝80米，
∴EF＝DH＝CH+CD＝60+80＝140（米），
在Rt△EFB中，BF＝EF•tan24°≈140×7.45＝63（米），
在Rt△AEF中，AF＝EF•tan45°＝140（米），
∴AB＝AF+BF＝140+63＝203（米），
∴大楼AB的高度约为203米．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
22．（10分）水果店销售某种水果，已知该水果的进价为4.1元/斤，售价为8.1元/斤（x为整数）的销量及储藏和损耗费用的相关信息如表所示，若销售该水果第x（天）（1≤x＜10）（元），求x的值．
【分析】利用销售该水果第x（天）（1≤x＜10）的利润＝（售价﹣进价）×日销售量﹣储藏和损耗费用，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．
【解答】解：根据题意得：（8.1﹣5.1）（120﹣x）﹣（3x8﹣64x+400）＝368，
整理得：x2﹣20x+96＝0，
解得：x5＝8，x2＝12（不符合题意，舍去）．
答：x的值为7．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
六、解答题：（2个小题，每题10分，共20分）
23．（10分）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，CE平分∠DCB，AE＝3，求CE的长．
【分析】根据直角三角形的性质求出∠ACD＝∠B，求出∠ACE＝∠AEC，求出AC＝AE＝3，根据勾股定理求出AB，根据三角形的面积求出CD，根据线段的和差及勾股定理求解即可．
【解答】解：∵CD⊥AB，
∴∠ADC＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠A+∠ACD＝∠A+∠B＝90°，
∴∠ACD＝∠B，
∵CE平分∠DCB，
∴∠DCE＝∠BCE，
∴∠ACD+∠DCE＝∠B+∠BCE，
即∠ACE＝∠AEC，
∴AC＝AE，
∵AE＝3，
∴AC＝3，
在Rt△ACB中，由勾股定理得：AB＝，
∵S△ABC＝AC•BC＝，
∴CD＝，
在Rt△ADC中，由勾股定理得：AD＝＝，
∵AE＝3，
∴DE＝AE﹣AD＝，
∴CE＝＝，
故答案为：．
【点评】本题考查了等腰三角形的判定，三角形的外角性质，直角三角形的性质等知识点，能灵活运用知识点进行推理和计算是解此题的关键，注意：直角三角形的两锐角互余．
24．（10分）某服装批发市场销售一种衬衫，衬衫每件进货价为50元．规定每件售价不低于进货价，经市场调查，每月的销售量为700件，每件售价每涨1元每月的销售量就下降20件（件），每件的售价为x（元）．
（1）求出y与x之间的函数表达式；（不需要求自变量x的取值范围）
（2）物价部门规定，该衬衫的每件利润不允许高于进货价的30%，设销售这种衬衫每月的总利润为w（元），x为多少时，w有最大值
【分析】（1）根据当每件售价为55元时，每月的销售量为700件，每件售价每涨1元每月的销售量就下降20件，可以写出y与x的函数解析式；
（2）根据题意和（1）中的结果，可以写出w与x的函数解析式，然后根据二次函数的性质和该衬衫的每件利润不允许高于进货价的30%，可以求得w的最大值．
【解答】解：（1）由题意可得，
y＝700﹣（x﹣55）×20＝﹣20x+1800，
即y与x之间的函数表达式为y＝﹣20x+1800；
（2）由题意可得，
w＝（x﹣50）（﹣20x+1800）＝﹣20x2+2800x﹣90000＝﹣20（x﹣70）2+8000，
∵该衬衫的每件利润不允许高于进货价的30%，
∴x≤50+（7+30%），
即x≤65，
∴当x＝65时，w取得最大值，
答：w与x之间的函数关系式是w＝﹣20x2+2800x﹣90000，x为65时，最大利润是7500元．
【点评】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，写出相应的函数解析式，利用二次函数的性质求最值．
七、解答题：（1个小题，12分）
25．（12分）已知：在△AOB与△COD中，OA＝OB，OC＝OD
（1）如图1，点C、D分别在边OA、OB上，连结AD、BC，连结OM，线段AD与OM之间的数量关系是 AD＝2OM ；
（2）如图2，将图1中的△COD绕点O逆时针旋转，使△COD的一边OD恰好与△AOB的边OA在同一条直线上时，点M为线段BC的中点，确定AD与OM之间的数量关系；
（3）如图3，将图1中的△COD绕点O逆时针旋转，旋转角为α（0°＜α＜90°），点M为线段BC的中点，连结OM，并证明．
（4）将△COD绕点O旋转一周，若，当B、C、D三点共线时，BD的长为 +1或﹣1 ．
【分析】（1）先通过SAS证明△OCB≌△ODA，得AD＝BC，再由直角三角形的性质可知BC＝2OM，即可证明结论；
（2）延长DC交AB于E，连接ME，过点E作EN⊥AD于N，可证△ADE、△BCE都是等腰直角三角形，从而AD＝2EN，而四边形MONE是矩形，得OM＝NE，从而证明结论；
（3）延长BO到F，使FO＝BO，连接CF，则MO为△BCF的中位线，得FC＝2OM，再通过SAS证明△AOD≌△FOC，得FC＝AD，即可解决问题
（4）根据点B、C、D的位置关系，分两种情况考虑，依据旋转的性质解答即可得解．
【解答】解：（1）∵OC＝OD，OA＝OB，
∴△OCB≌△ODA（SAS），
∴AD＝BC，
∵M为BC的中点，∠BOC＝90°，
∴BC＝2OM，
∴AD＝2OM，
故答案为：AD＝7OM；
（2）AD＝2OM，理由如下：
如图2，延长DC交AB于E，过点E作EN⊥AD于N，
∵OA＝OB，OC＝OD，
∴∠A＝∠B＝∠D＝∠BCE＝∠DCO＝45°，
∴AE＝DE，BE＝CE，
∵EN⊥AD，
∴AD＝8EN，
∵BE＝CE，M为BC的中点，
∴EM⊥BC，
∴∠EMC＝∠AOB＝∠ENO＝90°，
∴四边形OMEN为矩形，
∴OM＝EN，
∴AD＝2OM；
（3）AD＝2OM，理由如下：
如图8，延长BO到F，连接CF，
∵M为BC的中点，O为BF的中点，
∴MO为△BCF的中位线，
∴FC＝2OM，
∵∠AOB＝∠AOF＝∠COD＝90°，
∴∠AOB+∠BOD＝∠AOF+∠AOC，
即∠AOD＝∠FOC，
在△AOD和△FOC中，
，
∴△AOD≌△FOC（SAS），
∴FC＝AD，
∴AD＝2OM；
（4）根据点B、C、D的位置关系
①如图7.1，
设OB交AC于点J，过O作OH⊥CD于点H，
∵△AOC≌△BOD，
∴AC＝BD，∠OAC＝∠OBD，
∵∠BJC＝∠AJO，
∴∠BCJ＝∠JOA＝90°，
∵OC＝OD＝，∠COD＝90°，
∴CD＝2，CH＝HD＝OH＝1，
∴BH＝＝＝，
∴BD＝BH+DH＝+1；
②如图4.5，
同理可得：BD＝BH﹣DH＝﹣1．
综上所述，BD的长为﹣1．
故答案为：+1或．
【点评】本题主要考查了旋转的性质，等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，三角形中位线定理等知识，作辅助线构造三角形全等是解题的关键．
八、解答题：（1个小题，14分）
26．（14分）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于点A（﹣1，0）、B（3，0），交y轴于点C（0，3）．
（1）求此二次函数的解析式；
（2）若点M是该二次函数图象上一点，且△BCM是以BC为直角边的直角三角形，求点M的坐标；
（3）P为x轴上一点，N为抛物线上一点，是否存在这样的点P，若存在，请直接写出点P的坐标，请说明理由．
【分析】（1）用待定系数法即可求解；
（2）求出直线MB的表达式为：y＝x﹣3，直线CM的表达式为：y＝x+3，即可求解；
（3）当AC为对角线时，由中点坐标公式列出方程组，即可求解；当AP或AN为对角线时，同理可解．
【解答】解：（1）设抛物线的表达式为：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）＝a（x+8）（x﹣3）＝a（x2﹣5x﹣3），
则﹣3a＝6，
解得：a＝﹣1，
则抛物线的表达式为：y＝﹣x2+7x+3①；
（2）由点B、C的坐标知，
当△BCM是以BC为直角边的直角三角形时，BM和CM和x轴坐标轴的夹角为45°，
则直线MB的表达式为：y＝x﹣3②，直线CM的表达式为：y＝x+8③，
联立①②得：x﹣3＝﹣x2+5x+3，
解得：x＝0（舍去）或5，
即点M（1，4）；
联立①③得：x+8＝﹣x2+2x+3，
解得：x＝3（舍去）或﹣2，
即点M（﹣2，﹣5）；
综上，点M的坐标为：（1，﹣6）；
（3）存在，理由：
设点P（x，0），﹣m2+2m+3），
当AC为对角线时，由中点坐标公式得：
，解得：x＝﹣3（不合题意的值已舍去），
即点P（﹣3，7）；
当AP或AN为对角线时，同理可得：
或，
解得：x＝2或﹣4或﹣4，
即点P（2，0）或（﹣4，7）；
综上，点P的坐标为：（﹣3，6）或（﹣4，0）．
【点评】本题为二次函数综合题，涉及到函数的性质、平行四边形的性质、直角三角形的性质等，分类求解是本题解题的关键．
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﹣2
﹣1
0
1
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5
4
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时间（天）
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销量（斤）
120﹣x
储藏和损耗费用（元）
3x2﹣64x+400
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时间（天）
x
销量（斤）
120﹣x
储藏和损耗费用（元）
3x2﹣64x+400