2022-2023学年湖北省黄冈市黄梅县国际育才高级中学高二（上）期中数学试卷

这是一份2022-2023学年湖北省黄冈市黄梅县国际育才高级中学高二（上）期中数学试卷，共25页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（5分）圆x2+y2﹣2x+6y+6＝0的圆心坐标和半径分别为（ ）
A．（1，3），2B．（1，﹣3），2C．（﹣1，3），4D．（1，﹣3），4
2．（5分）若直线（a+2）x+（1﹣a）y﹣3＝0与直线（a﹣1）x+（2a+3）y+2＝0互相垂直．则a的值为（ ）
A．1B．﹣1C．±1D．
3．（5分）如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E在面对角线A1B上，满足，点F为面对角线B1D1的中点，若，，，则（ ）
A．B．
C．D．
4．（5分）长轴长为10，焦点坐标为（0，﹣3）（0，3）的椭圆方程为（ ）
A．B．
C．D．
5．（5分）若a，b∈{﹣1，0，1，2}，则函数f（x）＝ax2+2x+b有零点的概率为（ ）
A．B．C．D．
6．（5分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知asinA﹣bsinB＝4csinC，csA，则（ ）
A．6B．5C．4D．3
7．（5分）若过椭圆内一点P（1，1）的弦被该点平分，则该弦所在的直线方程为（ ）
A．x﹣2y+1＝0B．x﹣2y﹣3＝0C．x+2y﹣3＝0D．x+2y+3＝0
8．（5分）曲线y＝1与直线y＝k（x﹣2）+4有两个交点，则实数k的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分.在每小题有多项符合题目要求）
（多选）9．（5分）有一道数学难题，学生甲解出的概率为，学生乙解出的概率为，学生丙解出的概率为．若甲，乙，丙三人独立去解答此题，则（ ）
A．恰有一人解出的概率为
B．没有人能解出的概率为
C．至多一人解出的概率为
D．至少两个人解出的概率为
（多选）10．（5分）下面叙述错误的是（ ）
A．经过点P（1，1），倾斜角为θ的直线方程为y﹣1＝tanθ（x﹣1）
B．若方程x2+y2﹣2x+2y+m＝0表示圆，则m＜2
C．直线3x+4y﹣1＝0和直线6x+8y+3＝0间的距离为
D．若椭圆的一个焦点坐标为（0，3），则长轴长为10
（多选）11．（5分）给出下列命题，其中正确的是（ ）
A．若是空间的一个基底，则也是空间的一个基底
B．在空间直角坐标系中，点P（﹣2，4，3）关于坐标平面yOz的对称点是（﹣2，﹣4，﹣3）
C．若空间四个点P，A，B，C满足，则A，B，C三点共线
D．平面α的一个法向量为，平面β的一个法向量为．若α∥β，则k＝8
（多选）12．（5分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AD∥BC，点E为PA的中点，AB＝BC＝1，AD＝2，PA，则（ ）
A．
B．异面直线BE与CD所成角的余弦值为
C．点B到平面PCD的距离为
D．BC与平面PCD所成的角为
三、填空题（本大题共4小题，共20分）
13．（5分）已知平面α的一个法向量，平面β的一个法向量，若α⊥β，则y﹣x＝ ．
14．（5分）椭圆的焦距为2，则m＝ ．
15．（5分）求过点p（2，3），并且在两轴上的截距相等的直线方程 ．
16．（5分）甲乙两人进行乒乓球比赛，约定先连胜两局者赢得比赛，假设每局甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，各局比赛相互独立，则恰好进行了4局比赛结束且甲赢得比赛的概率为 ．
四、解答题（本大题共6小题，共70分，其中17题满分70分，其余各题满分70分）
17．（10分）如图，在三棱柱ABC﹣A'B'C'中，A'A⊥平面ABC，AC＝BC＝AA'，∠ACB＝90°，D，E分别为AB，BB'的中点．
（1）求证：CE⊥A'D；
（2）求异面直线CE与AC'所成角的余弦值．
18．（12分）已知①a＝2，，在这三个条件中任选两个，补充在下面的问题中，并解决该问题．
在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足．
（1）求角A的大小；
（2）已知_____，_____，若△ABC存在，求△ABC的面积；若不存在，说明理由．
19．（12分）已知圆C经过点（2，5），（5，2），（2，﹣1）．
（1）求圆C的方程；
（2）设点P（x，y）在圆C上运动，求（x+2）2+（y+1）2的最大值与最小值．
20．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AC∩BD＝O，底面ABCD为菱形，边长为2，PC⊥BD，PA＝PC，且∠ABC＝60°，异面直线PB与CD所成的角为60°．
（1）求证：PO⊥平面ABCD；
（2）若E是线段OC的中点，求点E到直线BP的距离．
（3）求平面APB与平面PBC夹角的余弦值．
21．（12分）已知椭圆E：1（a＞b＞0）的离心率为，上顶点为A（0，1）．
（1）求椭圆E的方程；
（2）过点且斜率为k的直线l与椭圆E交于不同的两点M，N，且|MN|，求k的值．
22．（12分）随着小汽车的普及，“驾驶证”已经成为现代人“必考”证件之一，若某人报名参加了驾驶证考试，要顺利地拿到驾驶证，需要通过四个科目的考试，其中科目二为场地考试．在每一次报名中，每个学员有5次参加科目二考试的机会（这5次考试机会中任何一次通过考试，就算顺利通过，即进入下一科目考试，若5次都没有通过，则需要重新报名），其中前2次参加科目二考试免费，若前2次都没有通过，则以后每次参加科目二考试都需要交200元的补考费，某驾校通过几年的资料统计，得到如下结论：男性学员参加科目二考试，每次通过的概率均为，女性学员参加科目二考试，每次通过的概率均为，现有这个驾校的一对夫妻学员同时报名参加驾驶证科目二考试，若这对夫妻每人每次是否通过科目二考试相互独立，他们参加科目二考试的原则为：通过科目二考试或者用完所有机会为止．
（Ⅰ）求这对夫妻在本次报名参加科目二考试通过且都不需要交补考费的概率；
（Ⅱ）求这对夫妻在本次报名参加科目二考试通过且产生的补考费用之和为200元的概率．
2022-2023学年湖北省黄冈市黄梅县国际育才高级中学高二（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分.在每小题4个选项中，选出正确的一项）
1．（5分）圆x2+y2﹣2x+6y+6＝0的圆心坐标和半径分别为（ ）
A．（1，3），2B．（1，﹣3），2C．（﹣1，3），4D．（1，﹣3），4
【解答】解：圆x2+y2﹣2x+6y+6＝0化为标准形式：
（x﹣1）2+（y+3）2＝4，
所以圆心C（1，﹣3），半径为r＝2．
故选：B．
2．（5分）若直线（a+2）x+（1﹣a）y﹣3＝0与直线（a﹣1）x+（2a+3）y+2＝0互相垂直．则a的值为（ ）
A．1B．﹣1C．±1D．
【解答】解：由题意，∵直线（a+2）x+（1﹣a）y﹣3＝0与（a﹣1）x+（2a+3）y+2＝0互相垂直
∴（a+2）（a﹣1）+（1﹣a）（2a+3）＝0
∴（a﹣1）（a+2﹣2a﹣3）＝0
∴（a﹣1）（a+1）＝0
∴a＝1，或a＝﹣1
故选：C．
3．（5分）如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E在面对角线A1B上，满足，点F为面对角线B1D1的中点，若，，，则（ ）
A．B．
C．D．
【解答】解：∵点E在面对角线A1B上，满足，
∴，
∵点F为面对角线B1D1的中点，
∴，，，，
∴．
故选：A．
4．（5分）长轴长为10，焦点坐标为（0，﹣3）（0，3）的椭圆方程为（ ）
A．B．
C．D．
【解答】解：因为椭圆的长轴长为10，焦点坐标为（0，﹣3）（0，3），
所以a＝5，c＝3，并且椭圆的焦点在y轴上，
所以根据椭圆的标准方程可得其方程为：．
故选：B．
5．（5分）若a，b∈{﹣1，0，1，2}，则函数f（x）＝ax2+2x+b有零点的概率为（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：∵a，b∈{﹣1，0，1，2}，
∴列举可得总的方法种数为：
（﹣1，﹣1），（﹣1，0），（﹣1，1），（﹣1，2），
（0，﹣1），（0，0），（0，1），（0，2），
（1，﹣1），（1，0），（1，1），（1，2），
（2，﹣1），（2，0），（2，1），（2，2）共16个，
其中满足f（x）＝ax2+2x+b有零点的为：
（﹣1，﹣1），（﹣1，0），（﹣1，1），（﹣1，2），
（0，﹣1），（0，0），（0，1），（0，2），
（1，﹣1），（1，0），（1，1），（2，﹣1），（2，0）共13个
∴所求概率P
故选：A．
6．（5分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知asinA﹣bsinB＝4csinC，csA，则（ ）
A．6B．5C．4D．3
【解答】解：∵△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，
asinA﹣bsinB＝4csinC，csA，
∴由正弦定理得：
，
解得3c2，
∴6．
故选：A．
7．（5分）若过椭圆内一点P（1，1）的弦被该点平分，则该弦所在的直线方程为（ ）
A．x﹣2y+1＝0B．x﹣2y﹣3＝0C．x+2y﹣3＝0D．x+2y+3＝0
【解答】解：设该弦所在的直线方程与椭圆交于A、B两点，
且A（x1，y1），B（x2，y2），
则，，
则，①
，②
①﹣②得：，
则，
即该弦所在的直线方程为：，
即x+2y﹣3＝0，
故选：C．
8．（5分）曲线y＝1与直线y＝k（x﹣2）+4有两个交点，则实数k的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：根据题意画出图形，如图所示：
由题意可得：直线l过A（2，4），B（﹣2，1），
又曲线图象为以（0，1）为圆心，2为半径的半圆，
当直线l与半圆相切，C为切点时，圆心到直线l的距离d＝r，即2，
解得：k；
当直线l过B点时，直线l的斜率为，
则直线l与半圆有两个不同的交点时，实数k的范围为．
故选：D．
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分.在每小题有多项符合题目要求）
（多选）9．（5分）有一道数学难题，学生甲解出的概率为，学生乙解出的概率为，学生丙解出的概率为．若甲，乙，丙三人独立去解答此题，则（ ）
A．恰有一人解出的概率为
B．没有人能解出的概率为
C．至多一人解出的概率为
D．至少两个人解出的概率为
【解答】解：A：∵P（恰有一人解出试题）（1）×（1）+（1）（1）
+（1）（1），∴A正确，
B：∵P（没有人解出试题）＝（1）×（1）×（1），∴B错误，
C：∵P（至多一人解出试题）＝P（恰有一人解出试题）+P（没有人解出试题），∴C正确，
D：∵P（至少两个人解出试题）＝1﹣P（至多一人解出试题）＝1，∴D错误．
故选：AC．
（多选）10．（5分）下面叙述错误的是（ ）
A．经过点P（1，1），倾斜角为θ的直线方程为y﹣1＝tanθ（x﹣1）
B．若方程x2+y2﹣2x+2y+m＝0表示圆，则m＜2
C．直线3x+4y﹣1＝0和直线6x+8y+3＝0间的距离为
D．若椭圆的一个焦点坐标为（0，3），则长轴长为10
【解答】解：对A：当θ时，直线斜率不存在，此时直线方程不能表示为y﹣1＝tanθ（x﹣1），A错误；
对B：若方程x2+y2﹣2x+2y+m＝0表示圆，必有D2+E2﹣4F＝4+4+4m＞0，即2²+2²﹣4m＞0，解可得m＜2，故B正确；
对C：直线3x+4y﹣1＝0 即6x+8y﹣2＝0，两直线之间的距离d，故C错误；
对D：因为椭圆一个焦点坐标为（0，3），所以m﹣16＝9，解得m＝25，所以长轴长为10，故D正确；
故选：AC．
（多选）11．（5分）给出下列命题，其中正确的是（ ）
A．若是空间的一个基底，则也是空间的一个基底
B．在空间直角坐标系中，点P（﹣2，4，3）关于坐标平面yOz的对称点是（﹣2，﹣4，﹣3）
C．若空间四个点P，A，B，C满足，则A，B，C三点共线
D．平面α的一个法向量为，平面β的一个法向量为．若α∥β，则k＝8
【解答】解：对于A，因为是空间的一个基底，
则不共面，所以也不共面，
则也是空间的一个基底，
故选项A正确；
对于B，点P（﹣2，4，3）关于坐标平面yOz的对称点是（2，4，3），
故选项B错误；
对于C，因为空间四个点P，A，B，C满足，
所以，
则，
所以点A，B，C三点共线，
故选项C正确；
对于D，因为平面α的一个法向量为，平面β的一个法向量为，且α∥β，
所以，
则（﹣2，﹣6，k）＝λ（1，3，﹣4），
所以，解得k＝8，
故选项D正确．
故选：ACD．
（多选）12．（5分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AD∥BC，点E为PA的中点，AB＝BC＝1，AD＝2，PA，则（ ）
A．
B．异面直线BE与CD所成角的余弦值为
C．点B到平面PCD的距离为
D．BC与平面PCD所成的角为
【解答】解：以A为坐标原点，以AB，AD，AP所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，
则A（0，0，0），B（1，0，0），C（1，1，0），D（0，2，0），P（0，0，），E（0，0，），
则（﹣1，1，0），（﹣1，﹣1，），（﹣1，0，），（0，1，0），
∴1+0+1＝2，故A错误；
|cs|，
∴异面直线BE与CD所成角的余弦值为，故B正确；
设平面PCD的法向量（x，y，z），
则，取x＝1，得（1，1，），
∴点B到平面PCD的距离为：，故C正确；
设BC与平面PCD所成的角为θ，则sinθ，
∴BC与平面PCD所成的角为，故D正确．
故选：BCD．
三、填空题（本大题共4小题，共20分）
13．（5分）已知平面α的一个法向量，平面β的一个法向量，若α⊥β，则y﹣x＝ 1 ．
【解答】解：∵平面α的一个法向量，
平面β的一个法向量，α⊥β，
∴x+y﹣1＝0，
解得y﹣x＝1．
故答案为：1．
14．（5分）椭圆的焦距为2，则m＝ 3或5 ．
【解答】解：因为椭圆的焦距为2，所以c＝1，
若焦点在x轴上，则有m＝4+c2，解得m＝5；
若焦点在y轴上，则有4＝m+c2，解得m＝3；
综上所述，m＝3或5．
故答案为：3或5．
15．（5分）求过点p（2，3），并且在两轴上的截距相等的直线方程 3x﹣2y＝0或x+y﹣5＝0 ．
【解答】解：当直线经过原点时，直线的方程为，化为3x﹣2y＝0．
当直线不经过原点时，设直线的截距式为x+y＝a，把点p（2，3）代入可得：2+3＝a，∴a＝5．
∴直线的方程为：x+y＝5．
故答案为：3x﹣2y＝0或x+y﹣5＝0．
16．（5分）甲乙两人进行乒乓球比赛，约定先连胜两局者赢得比赛，假设每局甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，各局比赛相互独立，则恰好进行了4局比赛结束且甲赢得比赛的概率为 ．
【解答】解：甲乙两人进行乒乓球比赛，约定先连胜两局者赢得比赛，
假设每局甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，各局比赛相互独立，
则恰好进行了4局比赛结束且甲赢得比赛是指第一局甲胜，第二局乙胜，第三局、第四局甲连胜，
∴恰好进行了4局比赛结束且甲赢得比赛的概率为：
P．
故答案为：．
四、解答题（本大题共6小题，共70分，其中17题满分70分，其余各题满分70分）
17．（10分）如图，在三棱柱ABC﹣A'B'C'中，A'A⊥平面ABC，AC＝BC＝AA'，∠ACB＝90°，D，E分别为AB，BB'的中点．
（1）求证：CE⊥A'D；
（2）求异面直线CE与AC'所成角的余弦值．
【解答】解：（1）证明：建系如图，设AC＝BC＝AA'＝2，
则根据题意可得：C（0，0，0），E（0，2，1），A′（2，0，2），
D（1，1，0），A（2，0，0），C′（0，0，2），
∴，，
∴2﹣2＝0，
∴CE⊥A'D；
（2）由（1）知，又，
设异面直线CE与AC'所成角为θ，
则csθ＝|cs|．
18．（12分）已知①a＝2，，在这三个条件中任选两个，补充在下面的问题中，并解决该问题．
在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足．
（1）求角A的大小；
（2）已知_____，_____，若△ABC存在，求△ABC的面积；若不存在，说明理由．
【解答】解：（1）因为，由正弦定理可得（b﹣a）（b+a）＝c（b﹣c），
所以b2+c2﹣a2bc，
则csA，
由0＜A＜π，得A；
（2）方案一：选择条件①和②，
由正弦定理，可得b2，
可得△ABC的面积SabsinCsin（π）＝2sin（）1；
方案二：选择条件①和③，
由余弦定理a2＝b2+c2﹣2bccsA，可得4＝b2+12b2﹣6b2，可得b，
则c，△ABC的面积SbcsinA．
方案三：选择条件②和③，这样的三角形不存在，理由如下：
由（1）可得C＝π
在三角形中，由正弦定理，
由③可得，，
则，所以这样的三角形不存在．
19．（12分）已知圆C经过点（2，5），（5，2），（2，﹣1）．
（1）求圆C的方程；
（2）设点P（x，y）在圆C上运动，求（x+2）2+（y+1）2的最大值与最小值．
【解答】解：（1）∵圆C经过点（2，5），（5，2），（2，﹣1），
设圆C的方程为 x2+y2+dx+ey+f＝0，把ABC三点的坐标代入，可得
，
求得，可得圆C的方程为 x2+y2﹣4x﹣4y﹣1＝0，即 （x﹣2）2+（y﹣2）2＝9，
表示以C（2，2）为圆心，半径等于3的圆．
（2）由题意可得C（2，2），
而（x+2）2+（y+1）2的表示圆上的点P到点M（﹣2，﹣1）的距离的平方，
CM5，
故（x+2）2+（y+1）2的最大值为（CM+3）2＝64，
（x+2）2+（y+1）2的最小值为（CM﹣3）2＝4．
20．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AC∩BD＝O，底面ABCD为菱形，边长为2，PC⊥BD，PA＝PC，且∠ABC＝60°，异面直线PB与CD所成的角为60°．
（1）求证：PO⊥平面ABCD；
（2）若E是线段OC的中点，求点E到直线BP的距离．
（3）求平面APB与平面PBC夹角的余弦值．
【解答】解：（1）证明：在四棱锥P﹣ABCD中，AC∩BD＝O，底面ABCD为菱形，
边长为2，PC⊥BD，PA＝PC，且∠ABC＝60°，异面直线PB与CD所成的角为60°，
∵四边形ABCD为菱形，∴O为AC中点，AC⊥BD，
∵PA＝PC，∴PO⊥AC；∵PC⊥BD，AC，PC⊂平面PAC，AC∩PC＝C，
∴BD⊥平面PAC，又PO⊂平面PAC，∴PO⊥BD，
∵AC∩BD＝O，AC，BD⊂平面ABCD，
∴PO⊥平面ABCD；
（2）∵AC，BD，PO两两互相垂直，
∴以O为坐标原点，为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
∵∠ABC＝60°，AB＝BC，∴△ABC为等边三角形，∴OA＝1，，
不妨设OP＝a，则AP2＝a2+1，BP2＝3+a2，
∵异面直线PB与CD所成的角为60°，AB∥CD，∴∠PBA＝60°，
∴PA2＝PB2+AB2﹣2BP⋅ABcs∠PBA，即，
解得，∴A（0，﹣1，0），，C（0，1，0），，，
∴，，∴，，
∴E是线段OC的中点，则点E到直线BP的距离为；
（3）∵，A（0，﹣1，0），，C（0，1，0），
∴，，，
设平面PAB的法向量（x，y，z0，
则，令z＝1，得（，，1），
设平面PBC的法向量（a，b，c），
则，令c＝1，（，，1），
∴|cs|，
∴平面APB与平面PBC夹角的余弦值为．
21．（12分）已知椭圆E：1（a＞b＞0）的离心率为，上顶点为A（0，1）．
（1）求椭圆E的方程；
（2）过点且斜率为k的直线l与椭圆E交于不同的两点M，N，且|MN|，求k的值．
【解答】解：（1）由离心率e，则ac，
又上顶点A（0，1），知b＝1，又b2＝a2﹣c2＝1，可知c＝1，a，
∴椭圆E的方程为；
（2）设直线1：y＝kx，设M（x1，y1），N（x2，y2），
则，整理得：（1+2k2）x2+4kx+4＝0，
Δ＝（4k）2﹣4×4×（1+2k2）＞0，即k2＞1，
∴x1+x2，x1x2，
∴|MN|•，
即17k4﹣32k2﹣57＝0，解得：k2＝3或﹣17（舍去），
∴k＝±．
22．（12分）随着小汽车的普及，“驾驶证”已经成为现代人“必考”证件之一，若某人报名参加了驾驶证考试，要顺利地拿到驾驶证，需要通过四个科目的考试，其中科目二为场地考试．在每一次报名中，每个学员有5次参加科目二考试的机会（这5次考试机会中任何一次通过考试，就算顺利通过，即进入下一科目考试，若5次都没有通过，则需要重新报名），其中前2次参加科目二考试免费，若前2次都没有通过，则以后每次参加科目二考试都需要交200元的补考费，某驾校通过几年的资料统计，得到如下结论：男性学员参加科目二考试，每次通过的概率均为，女性学员参加科目二考试，每次通过的概率均为，现有这个驾校的一对夫妻学员同时报名参加驾驶证科目二考试，若这对夫妻每人每次是否通过科目二考试相互独立，他们参加科目二考试的原则为：通过科目二考试或者用完所有机会为止．
（Ⅰ）求这对夫妻在本次报名参加科目二考试通过且都不需要交补考费的概率；
（Ⅱ）求这对夫妻在本次报名参加科目二考试通过且产生的补考费用之和为200元的概率．
【解答】解：（Ⅰ）设ξ表示“这对夫妻在本次报名中参加科目二考试都不需要交补考费的事件”，Ai表示“丈夫在第i次参加科目二考试中通过”，
Bi表示“妻子在第i次参加科目二考试中通过”，则，
则P（ξ）＝P（A1B1）+P（）+P（）+P（），
所以这对夫妻在本次报名参加科目二考试通过且都不需要交补考费的概率是．
（Ⅱ）由（1）知，夫妻二人共交200元补考费的事件，
则，
所以这对夫妻在本次报名参加科目二考试通过且产生的补考费用之和为200元的概率．
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