2022-2023学年广东省深圳市六校联盟高一（上）期中数学试卷

这是一份2022-2023学年广东省深圳市六校联盟高一（上）期中数学试卷，共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（5分）已知集合A＝{x|1≤x＜4}，B＝{x|x＞2}，则A∩B＝（ ）
A．{x|x≥1}B．{x|1＜x＜4}C．{x|1≤x＜4}D．{x|2＜x＜4}
2．（5分）函数f（x）的定义域是（ ）
A．（﹣∞，2）∪（2，+∞）B．[﹣2，+∞）
C．（﹣2，2）∪（2，+∞）D．（2，+∞）
3．（5分）已知函数f（x）则f[f（）]等于（ ）
A．B．C．或D．
4．（5分）下列函数中，与函数y＝x﹣1是同一函数的是（ ）
A．y＝（）2B．yC．yD．y
5．（5分）已知正实数x，y满足1，则x+y的最小值为（ ）
A．9B．8C．7D．6
6．（5分）若a，b都是实数，则“”是“a2﹣b2＞0”的（ ）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
7．（5分）已知函数f（x）＝（m2﹣2m+1）x是幂函数，则实数m的取值为（ ）
A．1B．0或2C．1或2D．无解
8．（5分）定义在（0，+∞）上的函数f（x）满足：0，且f（2）＝4，则不等式f（x）0的解集为（ ）
A．（2，+∞）B．（0，2）C．（0，4）D．（4，+∞）
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分。
（多选）9．（5分）已知实数a，b满足a＞b＞0，则下列不等式一定成立的有（ ）
A．a2＜b2B．﹣a＜﹣bC．D．a+b＞ab
（多选）10．（5分）下列函数中，在区间（﹣∞，0）上为增函数的是（ ）
A．y＝xB．y＝﹣x2C．yD．y＝1﹣x
（多选）11．（5分）若函数f（x）在R上是单调函数，则a的取值可能是（ ）
A．0B．1C．D．3
（多选）12．（5分）已知奇函数f（x）是定义在R上的减函数，且f（2）＝﹣1，若g（x）＝f（x﹣1），则下列结论一定成立的是（ ）
A．g（1）＝0B．
C．g（﹣x）+g（x）＞0D．g（﹣x+1）+g（x+1）＜0
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．（5分）命题“∃x∈R，x2﹣4x+4≤0”的否定为 ．
14．（5分）关于x的不等式﹣x2+3x+10＜0的解集为 ．
15．（5分）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）＝x2﹣x﹣1，则f（﹣3）＝ ．
16．（5分）记max{x，y，z}表示x，y，z中的最大者，设函数f（x）＝max{﹣x2+4x﹣2，﹣x，x﹣3}，若f（m）＞1，则实数m的取值范围是 ．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（10分）已知集合A＝{x|x2﹣9＜0}，B＝{x|2≤x+1≤4}．
（1）求A∩B；
（2）若集合C＝{x|m≤x≤m+1，m∈R}，A∩C＝∅，求实数m的取值范围．
18．（12分）已知p：（x+1）（2﹣x）≥0，q：x2+2mx﹣3m2≤0．若p是q的充分不必要条件，求实数m的取值范围．
19．（12分）已知二次函数f（x）＝x2﹣mx+m﹣1（m∈R）．
（1）若f（0）＝f（2），求m的值；
（2）讨论f（x）在区间[﹣2，2]上的最小值．
20．（12分）某商场预计全年分批购入每台价值为2000元的电视机共3600台．每批都购入x台（x∈N*），且每批均需付运费400元．贮存购入所有的电视机全年所付保管费与每批购入电视机的总价值（不含运费）成正比，比例系数为k（k＞0），若每批购入400台，则全年需用去运输和保管总费用43600元．
（1）求k的值；
（2）现在全年只有24000元资金用于支付这笔费用，请问能否恰当安排每批进货的数量使资金够用？写出你的结论，并说明理由．
21．（12分）已知函数f（x）是定义在[﹣1，1]上的奇函数，且f（1）＝1．
（1）求f（x）的解析式；
（2）判断函数f（x）在[﹣1，1]上的单调性，并证明；
（3）求使f（2m+1）+f（m2﹣1）＜0成立的实数m的取值范围．
22．（12分）已知函数，g（x）＝x2﹣2ax+4a﹣3（a∈R）．
（1）若函数g（x）的值域为[0，+∞），求a的取值集合；
（2）若对于任意的x1∈[﹣1，1]，总存在x2∈[﹣1，1]，使得f（x1）＝g（x2）成立，求实数a的取值范围．
2022-2023学年广东省深圳市六校联盟高一（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。
1．（5分）已知集合A＝{x|1≤x＜4}，B＝{x|x＞2}，则A∩B＝（ ）
A．{x|x≥1}B．{x|1＜x＜4}C．{x|1≤x＜4}D．{x|2＜x＜4}
【解答】解：A＝{x|1≤x＜4}，B＝{x|x＞2}，
则A∩B＝{x|2＜x＜4}．
故选：D．
2．（5分）函数f（x）的定义域是（ ）
A．（﹣∞，2）∪（2，+∞）B．[﹣2，+∞）
C．（﹣2，2）∪（2，+∞）D．（2，+∞）
【解答】解：要使原函数有意义，则，解得x＞﹣2且x≠2．
∴函数f（x）的定义域是（﹣2，2）∪（2，+∞）．
故选：C．
3．（5分）已知函数f（x）则f[f（）]等于（ ）
A．B．C．或D．
【解答】解：∵f（x）
∴f（），
f[f（）]＝f（）＝2；
故选：A．
4．（5分）下列函数中，与函数y＝x﹣1是同一函数的是（ ）
A．y＝（）2B．yC．yD．y
【解答】解：对于A，y＝x﹣1的定义域是R，y＝（）2的定义域为[1，+∞），定义域不同，故A不正确；
对于B，y|x|﹣1，对应法则不同，故B不正确；
对于C，y＝x﹣1的定义域是R，y的定义域为{x|x≠0}，定义域不同，故C错误；
对于D，y＝x﹣1的定义域是R，yx﹣1的定义域为R，故D正确．
故选：D．
5．（5分）已知正实数x，y满足1，则x+y的最小值为（ ）
A．9B．8C．7D．6
【解答】解：∵x＞0，y＞0，1，
∴x+y＝（x+y）（）＝55+29，
当且仅当y＝2x，即x＝3，y＝6时，等号成立，
故x+y的最小值为9，
故选：A．
6．（5分）若a，b都是实数，则“”是“a2﹣b2＞0”的（ ）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
【解答】解：由“”可得 a＞b＞0，故有“a2﹣b2＞0”成立，故充分性成立．
由“a2﹣b2＞0”可得|a|＞|b|，不能推出，故必要性不成立．
故“”是“a2﹣b2＞0”的充分而不必要条件，
故选：A．
7．（5分）已知函数f（x）＝（m2﹣2m+1）x是幂函数，则实数m的取值为（ ）
A．1B．0或2C．1或2D．无解
【解答】解：由幂函数的定义可得，m2﹣2m+1＝1，
解得m＝0或2．
故选：B．
8．（5分）定义在（0，+∞）上的函数f（x）满足：0，且f（2）＝4，则不等式f（x）0的解集为（ ）
A．（2，+∞）B．（0，2）C．（0，4）D．（4，+∞）
【解答】解：定义在（0，+∞）上的函数f（x）满足：0．
∵f（2）＝4，则2f（2）＝8，
f（x）0化简得，
当x＜2时，
⇒成立．
故得x＜2，
∵定义在（0，+∞）上．
∴不等式f（x）0的解集为（0，2）．
故选：B．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分。
（多选）9．（5分）已知实数a，b满足a＞b＞0，则下列不等式一定成立的有（ ）
A．a2＜b2B．﹣a＜﹣bC．D．a+b＞ab
【解答】解：A．因为a＞b＞0，于是a2＞b2，A项不成立；
B．由a＞b＞0得﹣a＜﹣b，B项正确；
C．由基本不等式可知，因为a≠b，所以等号取不到，所以C项正确；
D．当a＝3，b＝2时，D项不成立．
故选：BC．
（多选）10．（5分）下列函数中，在区间（﹣∞，0）上为增函数的是（ ）
A．y＝xB．y＝﹣x2C．yD．y＝1﹣x
【解答】解：对于A，y＝x在区间（﹣∞，0）上为增函数，满足题意；
对于B，y＝﹣x2在区间（﹣∞，0）上为增函数，满足题意；
对于C，y在区间（﹣∞，0）上为增函数，满足题意；
对于D，y＝1﹣x在区间（﹣∞，0）上为减函数，不满足题意．
故选：ABC．
（多选）11．（5分）若函数f（x）在R上是单调函数，则a的取值可能是（ ）
A．0B．1C．D．3
【解答】解：由函数f（x），
当x≤﹣1时，f（x）＝﹣x2+2a是单调增函数，且f（x）≤﹣1+2a；
所以当x＞﹣1时，f（x）＝ax+4也是单调增函数，满足a＞0且f（x）＞﹣a+4；
又f（x）在R上是单调函数，所以﹣1+2a≤﹣a+4，解得a；
综上知，a的取值范围是（0，]，故a的取值可能是1，，
故选：BC．
（多选）12．（5分）已知奇函数f（x）是定义在R上的减函数，且f（2）＝﹣1，若g（x）＝f（x﹣1），则下列结论一定成立的是（ ）
A．g（1）＝0B．
C．g（﹣x）+g（x）＞0D．g（﹣x+1）+g（x+1）＜0
【解答】解：因为f（x）为定义在R上的奇函数，所以f（0）＝0，因为g（x）＝f（x﹣1），所以g（1）＝f（0）＝0，故A正确；
因为f（x）为定义在R上的减函数，且f（2）＝﹣1，f（2）＜f（1）＜f（0），即﹣1＜f（1）＜0．所以﹣1＜g（2）＜0，故B不一定成立；
因为g（x）＝f（x﹣1），所以g（﹣x）＝f（﹣x﹣1）＝﹣f（x+1），所以g（﹣x）+g（x）＝f（x﹣1）﹣f（x+1），因为f（x）是定义在R上的减函数，所以f（x﹣1）＞f（x+1），所以f（x﹣1）﹣f（x+1）＞0，即g（﹣x）+g（x）＞0，故C正确；
因为g（x）＝f（x﹣1），所以g（﹣x+1）＝f（﹣x）＝﹣f（x），g（x+1）＝f（x），所以g（﹣x+1）+g（x+1）＝﹣f（x）+f（x）＝0，故选项D错误．
故选：AC．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．（5分）命题“∃x∈R，x2﹣4x+4≤0”的否定为 ∀x∈R，x2﹣4x+4＞0 ．
【解答】解：根据题意，命题“∃x∈R，x2﹣4x+4≤0”是特称命题，
其否定为：∀x∈R，x2﹣4x+4＞0
故答案为：∀x∈R，x2﹣4x+4＞0．
14．（5分）关于x的不等式﹣x2+3x+10＜0的解集为 {x|x＜﹣2，或x＞5} ．
【解答】解：不等式﹣x2+3x+10＜0可化为
x2﹣3x﹣10＞0，
即（x﹣5）（x+2）＞0；
解得x＜﹣2，或x＞5；
∴原不等式的解集为{x|x＜﹣2，或x＞5}．
故答案为：{x|x＜﹣2，或x＞5}．
15．（5分）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）＝x2﹣x﹣1，则f（﹣3）＝ ﹣5 ．
【解答】解：根据题意，当x＞0时，f（x）＝x2﹣x﹣1，则f（3）＝9﹣3﹣1＝5，
又由函数f（x）是定义在R上的奇函数，则f（﹣3）＝﹣f（3）＝﹣5；
故答案为：﹣5．
16．（5分）记max{x，y，z}表示x，y，z中的最大者，设函数f（x）＝max{﹣x2+4x﹣2，﹣x，x﹣3}，若f（m）＞1，则实数m的取值范围是 {m|m＜﹣1或1＜m＜3或m＞4} ．
【解答】解：函数f（x）＝max{﹣x2+4x﹣2，﹣x，x﹣3}的图象如图，
直线y＝1与曲线交点A（﹣1，1），B（1，1），C（3，1），D（4，1），
故f（m）＞1时，实数m的取值范围是m＜﹣1或1＜m＜3或m＞4．
即{m|m＜﹣1或1＜m＜3或m＞4}．
故答案为：{m|m＜﹣1或1＜m＜3或m＞4}．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（10分）已知集合A＝{x|x2﹣9＜0}，B＝{x|2≤x+1≤4}．
（1）求A∩B；
（2）若集合C＝{x|m≤x≤m+1，m∈R}，A∩C＝∅，求实数m的取值范围．
【解答】解：（1）A＝{x|x2﹣9＜0}＝{x|﹣3＜x＜3}，B＝{x|1≤x≤3}，
则A∩B＝{x|1≤x＜3}．
（2）集合C＝{x|m≤x≤m+1，m∈R}，A∩C＝∅，
则m+1≤﹣3或m≥3，解得m≤﹣4或m≥3，
故实数m的取值范围为（﹣∞，﹣4]∪[3，+∞）．
18．（12分）已知p：（x+1）（2﹣x）≥0，q：x2+2mx﹣3m2≤0．若p是q的充分不必要条件，求实数m的取值范围．
【解答】解：∵p：（x+1）（2﹣x）≥0，∴﹣1≤x≤2，
q：x2+2mx﹣3m2≤0⇔（x+3m）（x﹣m）≤0，
①当m＝0时，则q：x∈{0}，不符合题意，
②当m＞0时，则q：﹣3m≤x≤m，
∵p是q的充分不必要条件，
∴，∴m≥2，
③当m＜0时，则q：m≤x≤﹣3m，
∵p是q的充分不必要条件，
∴，∴m≤﹣1，
综上，实数m的取值范围为（﹣∞，﹣1]∪[2，+∞）．
19．（12分）已知二次函数f（x）＝x2﹣mx+m﹣1（m∈R）．
（1）若f（0）＝f（2），求m的值；
（2）讨论f（x）在区间[﹣2，2]上的最小值．
【解答】解：（1）若f（0）＝f（2），则m﹣1＝3﹣m，即2m＝4，故m＝2；
（2）f（x）＝x2﹣mx+m﹣1的对称轴为：．
若，即m≤﹣4，则f（x）在区间[﹣2，2]上单调递增，f（x）min＝f（﹣2）＝3m+3；
若，即m≥4，则f（x）在区间[﹣2，2]上单调递减，f（x）min＝f（2）＝3﹣m；
若，即﹣4＜m＜4，，
综上：f（x）在区间[﹣2，2]上的最小值为：．
20．（12分）某商场预计全年分批购入每台价值为2000元的电视机共3600台．每批都购入x台（x∈N*），且每批均需付运费400元．贮存购入所有的电视机全年所付保管费与每批购入电视机的总价值（不含运费）成正比，比例系数为k（k＞0），若每批购入400台，则全年需用去运输和保管总费用43600元．
（1）求k的值；
（2）现在全年只有24000元资金用于支付这笔费用，请问能否恰当安排每批进货的数量使资金够用？写出你的结论，并说明理由．
【解答】解：设全年需用去的运费和保管费的总费用为y元，
题中的比例系数设为k，每批购入x台，则共需分批，
每批费用2000x元．
由题意知y400+k×2000x，
当x＝400时，y＝43600，
解得k
∴y400+100x≥224000（元）
当且仅当400＝100x，即x＝120时等号成立．
故只需每批购入120台，可以使资金够用．
21．（12分）已知函数f（x）是定义在[﹣1，1]上的奇函数，且f（1）＝1．
（1）求f（x）的解析式；
（2）判断函数f（x）在[﹣1，1]上的单调性，并证明；
（3）求使f（2m+1）+f（m2﹣1）＜0成立的实数m的取值范围．
【解答】解：（1）函数f（x）是定义在[﹣1，1]上的奇函数，
∴f（0）＝b＝0，∴f（x），
而f（1）＝1，∴1，解得a＝2，
∴f（x），x∈[﹣1，1]．
（2）函数f（x）在[﹣1，1]上为增函数；
证明如下：任意x1，x2∈[﹣1，1]且x1＜x2，
则f（x1）﹣f（x2），
∵x1＜x2，∴x1﹣x2＜0，又∵x1，x2∈[﹣1，1]，∴1﹣x1x2＞0，
∴f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），
∴函数f（x）在[﹣1，1]上为增函数；
（3）由题意，不等式f（2m+1）+f（m2﹣1）＜0可化为f（2m+1）＜﹣f（m2﹣1），
∴f（2m+1）＜f（1﹣m2），
∴，
解得﹣1≤m＜0，
∴该不等式的解集为[﹣1，0）．
22．（12分）已知函数，g（x）＝x2﹣2ax+4a﹣3（a∈R）．
（1）若函数g（x）的值域为[0，+∞），求a的取值集合；
（2）若对于任意的x1∈[﹣1，1]，总存在x2∈[﹣1，1]，使得f（x1）＝g（x2）成立，求实数a的取值范围．
【解答】解：（1）∵函数g（x）＝x2﹣2ax+4a﹣3的值域为[0，+∞），
∴Δ＝（2a）2﹣4（4a﹣3）＝0，
解得a＝1或3；
（2）由题意可知，对于任意的x1∈[﹣1，1]，总存在x2∈[﹣1，1]，使得f（x1）＝g（x2）成立，
所以，
对于函数在[﹣1，1]上是增函数，
∴f（x）min＝f（﹣1）＝2，f（x）max＝f（1）＝3，
函数g（x）＝x2﹣2ax+4a﹣3图象开口向上，对称轴为直线x＝a，
①当a≤﹣1时，函数g（x）在[﹣1，1]上为增函数，
则g（x）min＝g（﹣1）＝6a﹣2，g（x）max＝g（1）＝2a﹣2，
∴，此时a∈∅；
②当﹣1＜a≤0时，函数g（x）在区间[﹣1，a]上为减函数，在[a，1]上为增函数，
则，g（x）max＝g（1）＝2a﹣2，
∴，此时a∈∅；
③当0＜a＜1时，函数g（x）在区间[﹣1，a]上为减函数，在[a，1]上为增函数，
则，g（x）max＝g（﹣1）＝6a﹣2，
∴，此时；
④当a≥1时，函数g（x）在[﹣1，1]上是减函数，
∴g（x）max＝g（﹣1）＝6a﹣2，g（x）min＝g（1）＝2a﹣2，
∴，此时1≤a≤2．
综上所述，实数a的取值范围是．
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