2022-2023学年湖北省黄冈市黄梅县国际育才高级中学高一（上）期中数学试卷

这是一份2022-2023学年湖北省黄冈市黄梅县国际育才高级中学高一（上）期中数学试卷，共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（5分）已知集合M＝{x|x＜1或x＞4}，N＝[﹣1，+∞），则M∩N等于（ ）
A．（﹣∞，+∞）B．（﹣1，1）⋃（4，+∞）
C．∅D．[﹣1，1）⋃（4，+∞）
2．（5分）不等式（x+2）（5﹣x）＜0的解集为（ ）
A．{x|x＞5}B．{x|x＜﹣2}
C．{x|x＜﹣2或x＞5}D．{x|﹣2＜x＜5}
3．（5分）已知集合P，集合Q，则P与Q的关系是（ ）
A．P＝QB．P⊆QC．P⊇QD．P∩Q＝∅
4．（5分）已知全集U＝Z，集合A＝{﹣1，2，3}，B＝{3，4}，则（∁UA）∩B＝（ ）
A．{4}B．{3}C．{1，2}D．∅
5．（5分）命题“∀x∈R，都有x2+x+1＞0”的否定是（ ）
A．不存在x∈R，x2+x+1＞0
B．存在x0∈R，x02+x0+1＞0
C．存在x0∈R，x02+x0+1≤0
D．对任意的x∈R，x2+x+1≤0
6．（5分）已知命题“存在x∈{x|﹣2＜x＜3}，使得等式2x﹣m＝0成立”是假命题，则实数m的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，﹣4]∪（6，+∞）B．（﹣∞，﹣4）∪（6，+∞）
C．（﹣∞，﹣4）∪[6，+∞）D．（﹣∞，﹣4]∪[6，+∞）
7．（5分）函数yx的图象是（ ）
A．B．
C．D．
8．（5分）已知函数f（x），g（x）是定义在R上的函数，其中f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，且f（x）+g（x）＝ax2+x+2，若对于任意1＜x1＜x2＜2，都有，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．（0，+∞）
C．D．
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分.在每小题有多项符合题目要求）
（多选）9．（5分）下列说法正确的有（ ）
A．若a＞b，则B．若a＞b，则a3＞b3
C．若ab＝1，则a+b≥2D．若a2+b2＝1，则ab
（多选）10．（5分）已知集合A＝{﹣2，1}，B＝{x|ax+1＝0}，若A⋂B＝B，则实数a的取值可能为（ ）
A．﹣1B．0C．1D．
（多选）11．（5分）下列各小题中，最大值是的是（ ）
A．B．
C．D．
（多选）12．（5分）下列命题中为真命题的是（ ）
A．“a﹣b＝0”的充要条件是“”
B．“a＞b”是“”的既不充分也不必要条件
C．命题“∃x∈R，x2﹣2x＜0”的否定是∀x∉R，x2﹣2x≥0”
D．“a＞2，b＞2”是“ab＞4”的充分条件
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13．（5分）设集合A＝{2，3}，B＝{1，a，a2+2}，若A∩B＝{3}，则实数a＝ ．
14．（5分）若函数y＝f（x）的定义域是[0，2]，则函数g（x）的定义域是 ．
15．（5分）已知函数f（x）是奇函数，且当x＜0时，f（x）＝x2+x﹣2，则不等式0的解集为 ．
16．（5分）已知x＞0，y＞0，若m2+2m恒成立，则实数m的取值范围是 ．
四、解答题（本大题共6小题，共72.0分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（10分）已知全集U＝{0，1，2，3，4，5，6}，集合A＝{x∈N|1＜x≤4}，B＝{x∈R|x2﹣3x+2＝0}．
（1）用列举法表示集合A与B；
（2）求A∩B及∁U（A∪B）．
18．（12分）已知集合A＝{x|x﹣2＞0}，B＝{x|﹣2x+8＞0}，M＝A∩B．
（1）求集合∁RM；
（2）设集合N＝{x|a＜x＜3a}，若x∈N是x∈M的必要不充分条件，求实数a的取值范围．
19．（12分）设a＞0，b＞0，且a+2b＝3．
（1）求ab的最大值；
（2）求的最小值．
20．（12分）设f（x）＝x2+bx+c，不等式x2+bx+c≤0的解集为[1，3]．
（1）求实数b，c的值；
（2）x∈[﹣1，3]时，求f（x）的值域．
21．（12分）若函数是定义在[﹣1，1]上的奇函数，
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）用定义证明：f（x）在[﹣1，1]上是递减函数；
（3）若f（2+3m）+f（m）＞0，求实数m的范围．
22．（12分）某公司决定对旗下的某商品进行一次评估，该商品原来每件售价为25元，年销售8万件．
（1）据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？
（2）为了扩大该商品的影响力，提高年销售量．公司决定立即对该商品进行全面技术革新和销售策略调整，并提高定价到x元．公司拟投入万元．作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入万元作为浮动宣传费用．试问：当该商品改革后的销售量a至少达到多少万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和？并求出此时每件商品的定价．
2022-2023学年湖北省黄冈市黄梅县国际育才高级中学高一（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分.在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1．（5分）已知集合M＝{x|x＜1或x＞4}，N＝[﹣1，+∞），则M∩N等于（ ）
A．（﹣∞，+∞）B．（﹣1，1）⋃（4，+∞）
C．∅D．[﹣1，1）⋃（4，+∞）
【解答】解：由题意可得M⋂N＝[﹣1，1）⋃（4，+∞）．
故选：D．
2．（5分）不等式（x+2）（5﹣x）＜0的解集为（ ）
A．{x|x＞5}B．{x|x＜﹣2}
C．{x|x＜﹣2或x＞5}D．{x|﹣2＜x＜5}
【解答】解：∵（x+2）（5﹣x）＜0，
∴（x+2）（x﹣5）＞0，
∴x＜﹣2或x＞5，
∴不等式的解集为{x|x＜﹣2或x＞5}．
故选：C．
3．（5分）已知集合P，集合Q，则P与Q的关系是（ ）
A．P＝QB．P⊆QC．P⊇QD．P∩Q＝∅
【解答】解：根据题意，集合P表示函数y的定义域，即P＝[﹣1，+∞），
集合Q表示函数y的值域，即Q＝[0，+∞）；
分析可得Q是P的子集，即P⊇Q；
故选：C．
4．（5分）已知全集U＝Z，集合A＝{﹣1，2，3}，B＝{3，4}，则（∁UA）∩B＝（ ）
A．{4}B．{3}C．{1，2}D．∅
【解答】解：∵全集U＝Z，集合A＝{﹣1，2，3}，B＝{3，4}，
∴（∁UA）∩B＝{4}，
故选：A．
5．（5分）命题“∀x∈R，都有x2+x+1＞0”的否定是（ ）
A．不存在x∈R，x2+x+1＞0
B．存在x0∈R，x02+x0+1＞0
C．存在x0∈R，x02+x0+1≤0
D．对任意的x∈R，x2+x+1≤0
【解答】解：由含有量词的命题的否定方法：先改变量词，然后再否定结论，
则命题“∀x∈R，都有x2+x+1＞0”的否定是：存在x0∈R，x02+x0+1≤0．
故选：C．
6．（5分）已知命题“存在x∈{x|﹣2＜x＜3}，使得等式2x﹣m＝0成立”是假命题，则实数m的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，﹣4]∪（6，+∞）B．（﹣∞，﹣4）∪（6，+∞）
C．（﹣∞，﹣4）∪[6，+∞）D．（﹣∞，﹣4]∪[6，+∞）
【解答】解：命题“存在x∈{x|﹣2＜x＜3}，使得等式2x﹣m＝0成立”是假命题，
所以它的否定命题“任意x∈{x|﹣2＜x＜3}，都有等式2x﹣m≠0成立”是真命题，
即m≠2x，所以m≤﹣4或m≥6，
即实数m的取值范围是（﹣∞，﹣4]∪[6，+∞）．
故选：D．
7．（5分）函数yx的图象是（ ）
A．B．
C．D．
【解答】解：函数可化为：
当x＞0时，y＝1+x；它的图象是一条过点（0，1）的射线；
当x＜0时，y＝﹣1+x．它的图象是一条过点（0，﹣1）的射线；
对照选项，
故选：D．
8．（5分）已知函数f（x），g（x）是定义在R上的函数，其中f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，且f（x）+g（x）＝ax2+x+2，若对于任意1＜x1＜x2＜2，都有，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．（0，+∞）
C．D．
【解答】解：由题得：f（x）是奇函数，所以f（﹣x）＝﹣f（x）；
g（x）是偶函数，所以g（﹣x）＝g（x），
将﹣x代入f（x）+g（x）＝ax2+x+2，得﹣f（x）+g（x）＝ax2﹣x+2，
联立，解得g（x）＝ax2+2，
等价于g（x1）﹣g（x2）＜﹣（x1﹣x2），
即：g（x1）+x1＜g（x2）+x2，令h（x）＝g（x）+x＝ax2+x+2，则h（x）在（1，2）单调递增，
①当a＞0时，函数的对称轴为，所以h（x）在（1，2）单调递增，
②当a＜0时，函数的对称轴为，若h（x）在（1，2）单调递增，则，得，
③当a＝0时，h（x）单调递增，满足题意综上可得：．
故选：D．
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分.在每小题有多项符合题目要求）
（多选）9．（5分）下列说法正确的有（ ）
A．若a＞b，则B．若a＞b，则a3＞b3
C．若ab＝1，则a+b≥2D．若a2+b2＝1，则ab
【解答】解：A．根据a＞b，取a＝0，b＝﹣1，则不成立，故A不正确；
B．若a＞b，则根据不等式的性质可知，a3＞b3，故B正确；
C．根据ab＝1，取a＝b＝﹣1，则a+b≥2不成立，故C不正确；
D．根据a2+b2＝1，可得1＝a2+b2≥2ab，∴ab，故D正确．
故选：BD．
（多选）10．（5分）已知集合A＝{﹣2，1}，B＝{x|ax+1＝0}，若A⋂B＝B，则实数a的取值可能为（ ）
A．﹣1B．0C．1D．
【解答】解：．因为A⋂B＝B，所以B⊆A，当B＝∅时，a＝0；
当B≠∅时，当B＝{﹣2}时，把x＝﹣2代入，解得：，
当B＝{1}时，把x＝1代入，解得：a＝﹣1，
实数a的取值可能为0，和﹣1．
故选：ABD．
（多选）11．（5分）下列各小题中，最大值是的是（ ）
A．B．
C．D．
【解答】解：A．y没有最大值；
B．y2＝x2（1﹣x2），y≥0，∴y，当且仅当x时取等号．
C．x＝0时，y＝0．x≠0时，y，当且仅当x＝±1时取等号．
D．y＝x+22≥22＝2，x＞﹣2，当且仅当x＝0时取等号．
故选：BC．
（多选）12．（5分）下列命题中为真命题的是（ ）
A．“a﹣b＝0”的充要条件是“”
B．“a＞b”是“”的既不充分也不必要条件
C．命题“∃x∈R，x2﹣2x＜0”的否定是∀x∉R，x2﹣2x≥0”
D．“a＞2，b＞2”是“ab＞4”的充分条件
【解答】解：对于A：“a﹣b＝0”“”是“a﹣b＝0”的充分不必要条件，故A错误；
对于B：“a＞b”是“”的既不充分也不必要条件，故B正确；
对于C：命题“∃x∈R，x2﹣2x＜0”的否定是∀x∈R，x2﹣2x≥0”，故C错误；
对于D：“a＞2，b＞2”是“ab＞4”的充分条件，故D正确．
故选：BD．
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13．（5分）设集合A＝{2，3}，B＝{1，a，a2+2}，若A∩B＝{3}，则实数a＝ 3或﹣1 ．
【解答】解：A＝{2，3}，B＝{1，a，a2+2}，
若A∩B＝{3}，则a＝3或a2+2＝3，
①a＝3时，a2+2＝11，符合题意，
②a2+2＝3时，a＝1（舍）或a＝﹣1，
故答案为：3或﹣1．
14．（5分）若函数y＝f（x）的定义域是[0，2]，则函数g（x）的定义域是 （1，] ．
【解答】解：函数y＝f（x）的定义域是[0，2]，
故0≤2x﹣1≤2，解得：x①，
而x﹣1＞0，解得：x＞1②，
综合①②得：1＜x，
故函数的定义域是（1，]，
故答案为：（1，]．
15．（5分）已知函数f（x）是奇函数，且当x＜0时，f（x）＝x2+x﹣2，则不等式0的解集为 （﹣∞，﹣2）∪（2，+∞） ．
【解答】解：由函数f（x）是奇函数，可得f（﹣x）＝﹣f（x），
当x＜0时，f（x）＝x2+x﹣2，
可得x＞0时，﹣x＜0，f（﹣x）＝x2﹣x﹣2，
所以x＞0时，f（x）＝﹣f（﹣x）＝﹣x2+x+2，
则不等式0等价为或，
解得或，
即为x＞2或x＜﹣2，
所以原不等式的解集为（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）．
故答案为：（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）．
16．（5分）已知x＞0，y＞0，若m2+2m恒成立，则实数m的取值范围是 ﹣4＜m＜2 ．
【解答】解：根据题意，x＞0，y＞0，则0，0，
则28，即的最小值为8，
若m2+2m恒成立，必有m2+2m＜8恒成立，
m2+2m＜8⇔m2+2m﹣8＜0，
解可得，﹣4＜m＜2，
故答案为﹣4＜m＜2．
四、解答题（本大题共6小题，共72.0分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（10分）已知全集U＝{0，1，2，3，4，5，6}，集合A＝{x∈N|1＜x≤4}，B＝{x∈R|x2﹣3x+2＝0}．
（1）用列举法表示集合A与B；
（2）求A∩B及∁U（A∪B）．
【解答】解：（1）集合A＝{2，3，4}，B＝{1，2}；
（2）A∩B＝{2}；A∪B＝{1，2，3，4}，
∵全集U＝{0，1，2，3，4，5，6}，
∴∁U（A∪B）＝{0，5，6}．
18．（12分）已知集合A＝{x|x﹣2＞0}，B＝{x|﹣2x+8＞0}，M＝A∩B．
（1）求集合∁RM；
（2）设集合N＝{x|a＜x＜3a}，若x∈N是x∈M的必要不充分条件，求实数a的取值范围．
【解答】解：（1）由题意可得A＝{x|x﹣2＞0}＝{x|x＞2}，B＝{x|﹣2x+8＞0}＝{x|x＜4}，
M＝A∩B＝{x|2＜x＜4}，
于是∁RM＝{x|x≤2或x≥4}；
（2）若x∈N是x∈M的必要不充分条件，则集合M是集合N的真子集，
从而或，
解得或，
所以，
故实数a的取值范围为{a|}．
19．（12分）设a＞0，b＞0，且a+2b＝3．
（1）求ab的最大值；
（2）求的最小值．
【解答】解：（1）根据题意，因为a＞0，b＞0，且a+2b＝3，
则3＝a+2b，解得ab，当且仅当a＝2b时取等号，
此时ab的最大值为；
（2）根据题意，（）（a+2b）（），
又有2，当且仅当2ba时等号成立，
故，即的最小值为．
20．（12分）设f（x）＝x2+bx+c，不等式x2+bx+c≤0的解集为[1，3]．
（1）求实数b，c的值；
（2）x∈[﹣1，3]时，求f（x）的值域．
【解答】解：（1）由题意知，1和3是方程x2+bx+c＝0的两根，
所以，
解得b＝﹣4，c＝3；
（2）由（1）知，f（x）＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，
所以当x∈[﹣1，2）时，f（x）单调递减，当x∈（2，3]时，f（x）单调递增，
所以f（x）min＝f（2）＝﹣1，f（x）max＝f（﹣1）＝8，
故f（x）的值域为[﹣1，8]．
21．（12分）若函数是定义在[﹣1，1]上的奇函数，
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）用定义证明：f（x）在[﹣1，1]上是递减函数；
（3）若f（2+3m）+f（m）＞0，求实数m的范围．
【解答】解：（1）函数是定义在[﹣1，1]上的奇函数，
可得f（1）+f（﹣1）0，解得a，
即f（x）即f（x）（﹣1≤x≤1），
经检验，满足f（﹣x）+f（x）＝0，
所以f（x）的解析式为f（x）（﹣1≤x≤1）；
（2）证明：设﹣1≤x1＜x2≤1，则f（x1）﹣f（x2），
由于﹣1≤x1＜x2≤1，则x2﹣x1＞0，4x1x2+9＞0，4x12﹣9＜0，4x22﹣9＜0，
所以f（x1）﹣f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2），
即有f（x）在[﹣1，1]上是递减函数；
（3）由于f（2+3m）+f（m）＞0，且奇函数f（x）在[﹣1，1]上是递减函数，
则f（2+3m）＞﹣f（m）＝f（﹣m），
即有，解得﹣1≤m，
则m的取值范围是[﹣1，）．
22．（12分）某公司决定对旗下的某商品进行一次评估，该商品原来每件售价为25元，年销售8万件．
（1）据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？
（2）为了扩大该商品的影响力，提高年销售量．公司决定立即对该商品进行全面技术革新和销售策略调整，并提高定价到x元．公司拟投入万元．作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入万元作为浮动宣传费用．试问：当该商品改革后的销售量a至少达到多少万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和？并求出此时每件商品的定价．
【解答】解：（1）设该商品每件定价为t元，
若价格每提高1元，销售量将相应减少2000件，可得销售量为8﹣0.2（t﹣25）＝13﹣0.2t，
由题意可得t（13﹣0.2）t≥25×8，
整理得t2﹣65t+1000≤0，解得25≤t≤40．
所以要使销售的总收入不低于原收入，每件定价最多为40元．
（2）依题意知当x＞25时，不等式有解，
等价于x＞25时，有解，由于，
当且仅当，即x＝30时等号成立，所以a≥10.2，
当该商品改革后销售量a至少达到10.2万件时，
才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和，此时该商品的每件定价为30元．
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